第11講因式分解（講義與練習(xí)）-中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)(解析版)

第11講因式分解（核心考點(diǎn)講與練）

,聚焦考點(diǎn)

一.因式分解的意義

1、分解因式的定義：

把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式,這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解,也叫做分解因式.

2、因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運(yùn)算，二者是一個(gè)式子的不同表現(xiàn)形式.因式

分解是兩個(gè)或幾個(gè)因式積的表現(xiàn)形式，整式乘法是多項(xiàng)式的表現(xiàn)形式.例如：

3、因式分解是恒等變形，因此可以用整式乘法來檢驗(yàn).

--公因式

1、定義：多項(xiàng)式，"4+，汕+WC中，各項(xiàng)都含有一個(gè)公共的因式如因式〃?叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因

式.

2、確定多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公因式，可概括為三“定”：

①定系數(shù)，即確定各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；

②定字母，即確定各項(xiàng)的相同字母因式（或相同多項(xiàng)式因式）；

③定指數(shù)，即各項(xiàng)相同字母因式（或相同多項(xiàng)式因式）的指數(shù)的最低次暴.

三.因式分解-提公因式法

1、提公因式法：如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提出來，從而將多項(xiàng)式化成

兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.

2、具體方法:

（1）當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項(xiàng)的相同的

字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的次數(shù)取最低的.

（2）如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出“-”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)成為正數(shù).

提出“-”號(hào)時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào).

3、口訣：找準(zhǔn)公因式，一次要提凈；全家都搬走，留1把家守；提負(fù)要變號(hào)，變形看奇偶.

4、提公因式法基本步驟：

（1）找出公因式；

（2）提公因式并確定另一個(gè)因式：

①第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數(shù)再確定字母；

②第二步提公因式并確定另一個(gè)因式，注意要確定另一個(gè)因式，可用原多項(xiàng)式除以公因式，

所得的商即是提公因式后剩下的一個(gè)因式，也可用公因式分別除去原多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，求的剩下

的另一個(gè)因式；

③提完公因式后，另一因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同.

四.因式分解-運(yùn)用公式法

1、如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項(xiàng)式分解因式，這種方法叫公式法.

平方差公式：c/-/，=(a+%)(α-?)；

z22

完全平方公式：a±2ab+b=(?±6)i

2、概括整合：

①能夠運(yùn)用平方差公式分解因式的多項(xiàng)式必須是二項(xiàng)式，兩項(xiàng)都能寫成平方的形式，且符號(hào)相反.

②能運(yùn)用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式必須是三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)能寫成兩個(gè)數(shù)(或式)的平

方和的形式，另一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)(或式)的積的2倍.

3、要注意公式的綜合應(yīng)用，分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止.

五.提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用

提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.

六、因式分解-分組分解法

1、分組分解法一般是針對(duì)四項(xiàng)或四項(xiàng)以上多項(xiàng)式的因式分解，分組有兩個(gè)目的，一是分組后能出

現(xiàn)公因式，二是分組后能應(yīng)用公式.

2、對(duì)于常見的四項(xiàng)式，一般的分組分解有兩種形式：①二二分法，②三一分法.

例如：①“x+α,y+bx+by

=X(α+b)+y(α+?)

=(α+?)(X+y)

?2xy-x2+l-?2

="(X2-2xy+y2')+1

=1-(x-y)2

—(1+x-y)(1-x+y)

七.因式分解-十字相乘法等

借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項(xiàng)式分解因式的

方法，通常叫做十字相乘法.

①，+(p+q)x+pg型的式子的因式分解.

這類二次三項(xiàng)式的特點(diǎn)是：二次項(xiàng)的系數(shù)是1；常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的積；

可以直接將某些二次項(xiàng)的系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式因式分解：

X2+(Qq)x+pq=(x+p)(x+q)

②“x2+bx+c(a≠0)型的式子的因式分解

這種方法的關(guān)鍵是把二次項(xiàng)系數(shù)。分解成兩個(gè)因數(shù)ɑ?,宵的積mP2，

把常數(shù)項(xiàng)C分解成兩個(gè)因數(shù)Cl,C2的積C1?C2,并使“iC2+42CI正好是一

次項(xiàng)b,那么可以直接寫成結(jié)果：ax1+bx+c=(.a?x+c?)(42x+c2).

Λ.實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式

實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式是指可以把因式分解到實(shí)數(shù)的范圍(可用無理數(shù)的形式來表示)，

一些式子在有理數(shù)的范圍內(nèi)無法分解因式，可是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)就可以繼續(xù)分解因式.

例如I：f-2在有理數(shù)范圍內(nèi)不能分解，如果把數(shù)的范圍擴(kuò)大到實(shí)數(shù)范圍則可分解

X2-2—xi-(M)2=(x+我)(X-F)

九.因式分解的應(yīng)用

1、利用因式分解解決求值問題.

2、利用因式分解解決證明問題.

3、利用因式分解簡化計(jì)算問題.

【規(guī)律方法】因式分解在求代數(shù)式值中的應(yīng)用

1.因式分解是研究代數(shù)式的基礎(chǔ)，通過因式分解將多項(xiàng)式合理變形，是求代數(shù)式值的常用解題方

法，具體做法是：根據(jù)題目的特點(diǎn)，先通過因式分解將式子變形，然后再進(jìn)行整體代入.

2.用因式分解的方法將式子變形時(shí)，根據(jù)己知條件，變形的可以是整個(gè)代數(shù)式，也可以是其中的

一部分.

名師點(diǎn)睛

一.因式分解的意義(共3小題)

1.(2021秋?萊州市期末)已知多項(xiàng)式Or2+fev+c因式分解的結(jié)果為(X-I)(X+4),則Mc為()

A.12B.9C.-9D.-12

［分析】把多項(xiàng)式乘法展開再根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等即可求解.

【解答】解：；(X-I)(Λ-+4),

=x2+3X-4,

=ax1+bx+c,

.,.a=l,h=3,C=-4.

則ο?c=-12.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】注意正確計(jì)算多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等求解是解題的關(guān)鍵.

2.(2021秋?陽江期末)下列等式從左到右的變形，屬于因式分解的是()

A.a2-bλ-(.a+b)(a-b)B.a(x-y)—ax-ay

C.X2+2X+1=x(x+2)+1D.(x+l)(x+3)=X2+4Λ+3

【分析】根據(jù)因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，可得答案.

【解答】解：4、a2-?2=Ca+b)(a-b),把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，故此選

項(xiàng)符合題意；

B、aCχ-y）=ax-ay,是整式的乘法，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；

C,.r2+2x+l=x（x+2）+1,沒把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，不是因式分解，故此選

項(xiàng)不符合題意；

D、（x+l）（x+3）=f+4x+3,是整式的乘法，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意：

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的意義.掌握因式分解的定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積

的形式是解題關(guān)鍵.

3.（2021秋?淇縣期末）仔細(xì)閱讀下面例題，解答問題：

例題：已知二次三項(xiàng)式/-?+機(jī)有一個(gè)因式是（x+3）,求另一個(gè)因式以及加的值.

解：設(shè)另一個(gè)因式為G+〃），得

X2-4x+m=（x+3）（x+〃）

貝IJX2-4工+加=7+（幾+3）x+3n

.fn÷3=-4

1m=3n

解得：n=-7,m=-21

J另一個(gè)因式為（JV-7）,m的值為-21

問題：仿照以上方法解答下面問題：

己知二次三項(xiàng)式2√+3x-★有一個(gè)因式是（2r-5）,求另一個(gè)因式以及4的值.

【分析】根據(jù)例題中的已知的兩個(gè)式子的關(guān)系，兩個(gè)中二次三項(xiàng)式f-4x+〃?的二次項(xiàng)系數(shù)是1,

因式是（x+3）的一次項(xiàng)系數(shù)也是1,利用待定系數(shù)法求出另一個(gè)因式.所求的式子2f+3x-k

的二次項(xiàng)系數(shù)是2,因式是（2x-5）的一次項(xiàng)系數(shù)是2,則另一個(gè)因式的一次項(xiàng)系數(shù)一定是1,

利用待定系數(shù)法，就可以求出另一個(gè)因式.

【解答】解：設(shè)另一個(gè)因式為（x+α）,得：

2x1+3x-k=（2x-5）（x+A）,

則2Λ2+3X-?=2Λ2+（2?-5）X-5a

...[2a-5=3

1-5a=-k

解得：a=4,?=20.

故另一個(gè)因式為（x+4）,k的值為20.

【點(diǎn)評(píng)】正確讀懂例題，理解如何利用待定系數(shù)法求解是解本題的關(guān)鍵.

二.公因式（共2小題）

4.（2021秋?沂源縣期末）602-37），3分解因式時(shí)，應(yīng)提取的公因式是（）

A.3xyB.3x2yC.3x2√D.3x2/

【分析】分別找出系數(shù)的最大公約數(shù)和相同字母的最低指數(shù)次累，即可確定公因式.

【解答】解：6x3γ2-3x2y3=3x2y2(2χ-y),

因此6x3y2-3x2y3的公因式是37y2.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查公因式的確定，找公因式的要點(diǎn)是：(1)公因式的系數(shù)是多項(xiàng)式各項(xiàng)

系數(shù)的最大公約數(shù)：(2)字母取各項(xiàng)都含有的相同字母；(3)相同字母的指數(shù)取次數(shù)最低的.

5.(2021春?南京期中)多項(xiàng)式3/匕-6/6各項(xiàng)的公因式是3a1b.

【分析】根據(jù)公因式的尋找方法：先確定系數(shù)：最大公約數(shù)，再找同底數(shù)的基：指數(shù)最低的；

即可確定答案.

【解答】解:V3α?-6α3?=3α2?(1-2α),

.?.公因式為：3√?.

故答案為：3Ω?.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了公因式的確定方法.如果各項(xiàng)是單項(xiàng)式，則先確定系數(shù)：最大公約數(shù)，再

找同底數(shù)的幕：指數(shù)最低的；如果各項(xiàng)是多項(xiàng)式，則需要先因式分解.

三.因式分解-提公因式法(共4小題)

6.(2021春?天寧區(qū)校級(jí)月考)因式分解：X(〃?-1)+y(1-機(jī))=(x-y)-1).

【分析】直接將原式變形，進(jìn)而提取公因式(機(jī)-1),進(jìn)而得出答案.

【解答】解：原式=XUn-1)-y(in-1)

=(m-1)(?-j).

故答案為：(膽-1)(X-y).

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵.

7.(2021秋?啟東市期末)分解因式：2a(y-z)-3b(z-y)=(y-z)(20+3b).

【分析】利用提公因式法分解即可.

【解答】解：2a(y-z)-3b(z-y)

=Ia(y-z)+3bCy-z)

=(y-z)(2^+3?).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解-提公因式法，熟練掌握因式分解-提公因式法是解題的關(guān)鍵.

8.(2021?高郵市校級(jí)模擬)因式分解：3√t-9x2=3/Cr2-3).

【分析】提公因式3,分解因式即可.

【解答】解：3χ4-9x2

=3Λ2(x2-3).

故答案為：3X2(?-3).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查因式分解-提公因式法，正確找到公因式是解題的關(guān)鍵.

9.(2021?江都區(qū)二模)若ab=2,a+h=-1,則代數(shù)式,計(jì)國2的值等于-2.

【分析】原式提取公因式，把曲與a+b整體代入計(jì)算即可求出值.

【解答】解：'.^ab=2,a+b=-1,

二原式=而(α+?)=2×(-1)=-2.

故答案為：-2.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解-提公因式法，以及代數(shù)式求值，熟練掌握提公因式的方法是解

本題的關(guān)鍵.

四.因式分解-運(yùn)用公式法(共4小題)

10.(2021春?樂亭縣期末)下列各式能用公式法因式分解的是()

A.-X2+)?B.-X2-y2C.4x2+4xy-D.x2+xy+y2

【分析】根據(jù)平方差公式：a2-b2-(α+?)(α-6)；完全平方公式：a1±2ab+b1-(α±?)

2,進(jìn)行分析即可.

【解答】解：A、-x2+y2可以用平方差分解，故此選項(xiàng)符合題意；

8、-X2-)2不能用平方差分解，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、4/+4Xy-)，2不能用完全平方分解，故此選項(xiàng)不符合題意：

。、x2+xy+)?不能用完全平方分解，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了公式法分解因式，關(guān)鍵是掌握平方差公式和完全平方公式.

11.(2021?宜興市模擬)下列各式中，能用平方差公式分解因式的是()

A.x2+4y2B.-x2+4γ2C.Λ2-2jH-ID.-X2-4)?

【分析】能用平方差公式分解因式的式子必須是兩平方項(xiàng)的差.

【解答】解：A.Λ2+4)2兩項(xiàng)的符號(hào)相同，不能用平方差公式分解因式；

B.-x2+4>2是2y與X的平方的差，能用平方差公式分解因式：

C./-2>1是三項(xiàng)不能用平方差公式分解因式；

D.-7-4y2兩項(xiàng)的符號(hào)相同，不能用平方差公式分解因式.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方差公式分解因式，熟記平方差公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵.

12.(2021春?遵化市期末)我們所學(xué)的多項(xiàng)式因分解的方法主要有：①提公因式法；②平方差公

式法；③完全平方公式法.現(xiàn)將多項(xiàng)式(X-y)3+4(y-x)進(jìn)行因式分解，使用的方法有()

A.①②B.①?C.②③D.①②③

【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式得出答案.

【解答】解：(χ-y)3+4(y-χ)

=(x-y)3-4(x-y)

=(χ-?)[(X-y)2-4]

=(Λ,-y)Cx-3H-2)(X-y-2),

故將多項(xiàng)式(x-y)3+4(γ-x)進(jìn)行因式分解，使用的方法有：①提公因式法；②平方差公式

法；

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應(yīng)用乘法公式是解題關(guān)鍵.

13.(2021秋?朝天區(qū)期末)分解因式：/-4αt+4∕=(α-2〃)？.

【分析】利用完全平方公式即可進(jìn)行因式分解.

2

【解答】解:原式=d-2XαX2/(26)2=(ɑ-2fe),

故答案為：(4-20)2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查應(yīng)用公式法分解因式，掌握『±2"+廿=(α±b)2是正確解答的關(guān)鍵.

五.提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用(共2小題)

14.(2021秋?綠園區(qū)期末)因式分解：

(1)4%2-36；

(2)2α?-8α?2+8?3.

【分析】(1)直接提取公因式4,再利用平方差公式分解因式即可；

(2)直接提取公因式加，再利用完全平方公式分解因式即可.

【解答】解：(1)原式=4(川-9)

=4(w÷3)(771-3)；

(2)原式=2b(a2-4ab+4b2)

=2bCa-2b)2.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確運(yùn)用乘法公式是解題關(guān)鍵.

15.(2021秋?通州區(qū)期末)分解因式：

(1)2?-8/；

(2)4+12(/M-1)+9(w-1)2.

【分析】(1)先提公因式，再逆用平方差公式.

(2)逆用完全平方公式，再進(jìn)行化簡.

【解答】解：(1)2Λ2-8∕

—2(X2-4y2)

=2(x+2y)(x-2y).

(2)4+12(m-1)+9(w-1)2

=[2+3(w-1)]2

=(.3m-1)2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查因式分解，熟練掌握提公因式法、公式法進(jìn)行因式分解是解決本題的關(guān)

鍵.

六.因式分解-分組分解法(共3小題)

16.(2018春?玄武區(qū)校級(jí)期中)因式分解

(1)優(yōu)2(x-2)-Vm(2-x)

(2)(X+y)2-4(x+y-1)；

(3)(Λ2+J2)2-4Λ2J2;

(4)x3+x2γ-砂2-y3.

【分析】(1)先提公因式，再提公因式即可；

(2)利用完全平方公式進(jìn)行因式分解；

(3)先利用平方差公式變形，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解；

(4)先利用分組分解法進(jìn)行因式分解，再利用平方差公式進(jìn)行因式分解.

【解答】解：(1)nr(X-2)+/〃(2-x)

=ZM2(X-2)-m(?-2)

=(X-2)(/H2-/n)

=m(X-2)(∕w-1)；

(2)(x÷y)2-4(x÷y-1)

=(x+y)2-4(x÷y)+4

=(x+y-2)2；

(3)(x2+y2)2-4x2y2

=(jt2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)

=(x+y)2(X-y)2；

(4)x3÷x2y-Λ>J2-y3

=x2(JV+y)-J(χ+y)

=(x+y)(x2-y2)

=(X+y)2(x-y).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是因式分解，掌握提公因式法、完全平方公式、平方差公式進(jìn)行因式分解

的一般步驟是解題的關(guān)鍵.

17.(2017秋?臨西縣期末)閱讀下面的文字與例題.

將一個(gè)多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法是分組分解法.

例如：

(1)am+an+bm-sfbn

=(am+bm)÷(.an+bn)

=m((7+?)+〃(α+?)

=(a+b)(加+〃)

(2)√-∕-2y-l=jc2-(√+2>÷l)

=x2-(y+l)2

=(x+y+l)Cx-y-1)

試用上述方法分解因式a2+ab+2ac+bc+c2=(α+C)(α+∕>+c).

【分析】首先將原式重新分組再利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出即可.

【解答】解：a2+a∕τ+2a(?+bc+c2

=(a+c)2+h(α+c)

=(a+c+b)(α+c).

故答案為：(“+c+h)(α+c).

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分組分解法因式分解，正確分組得出是解題關(guān)鍵.

18.(2021春?金壇區(qū)期末)因式分解：4，-y2_2v-l=(2x+y+1)(分-y-1).

【分析】先給后三項(xiàng)加上一個(gè)負(fù)括號(hào)，利用完全平方公式，再利用平方差公式分解.

【解答】解：4X2-y2-2y-1

=4Λ2-(y2+2y+l)

=(2x)2-(y+l)2

=(2x+y+l)(2x-y-1).

故答案為：(2x+y+l)(2χ--y-1).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的因式分解，掌握因式分解的公式法并合理分組是解決本題的關(guān)鍵.

七.因式分解-十字相乘法等(共5小題)

19.(2021秋?淮陽區(qū)期末)甲乙兩人完成因式分解7+αx+b時(shí)，甲看錯(cuò)了。的值，分解的結(jié)果是(x+6)

(χ-2),乙看錯(cuò)了。的值，分解的結(jié)果為(χ-8)(x+4),那么x2+0v+b分解因式正確的結(jié)果

為(X-6)(x+2).

【分析】根據(jù)甲、乙看錯(cuò)的情況下得出〃、。的值，進(jìn)而再利用十字相乘法分解因式即可.

【解答】解：因式分解x2+ax+b時(shí)，

甲看錯(cuò)了。的值，分解的結(jié)果是(x+6)(χ-2),

Λ?=6×(-2)=-12,

又???乙看錯(cuò)了人的值，分解的結(jié)果為(x-8)(Λ-+4),

.?.α=-8+4=-4,

.?.原二次三項(xiàng)式為Λ2-4X-12,

因此，/-4x-12=(x-6)(X+2),

故答案為：(χ-6)(x+2).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查十字相乘法進(jìn)行因式分解，掌握十字相乘法的使用方法是得出答案的關(guān)鍵.

20.(2020秋?虹口區(qū)期末)分解因式：2/-α-6=(2a+3)(α-2).

【分析】原式利用十字相乘法分解即可.

【解答】解：原式=(2α+3)(α-2).

故答案為：(2α+3)(fl-2).

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解-十字相乘法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

21.(2021春?玄武區(qū)校級(jí)期中)分解因式：

(1)3αr2+6iZΛ?y+30y2；

(2)(4OT2+9)2-144M/2；

(3)Λ2-xy+4x-4y；

(4)(X2-3)2+(7-3)-2.

【分析】(1)先提取公因式，再根據(jù)完全平方公式分解即可；

(2)先根據(jù)平方差公式進(jìn)行分解，再根據(jù)完全平方公式分解因式即可；

(3)先分組，再提取公因式即可；

(4)先根據(jù)十字相乘法分解因式，再根據(jù)平方差公式分解因式即可.

【解答】解：(1)3αΛ2+60xy+36y2

=3“(Λ2+2X>,+J2)

—3a(X+y)2；

(2)(4W2+9)2-144m2；

=(4,/+9+⑵”)(4,/+9-12∕τ?)

=(2m+3)2(2w-3)2；

(3)x2-xy+4x-4y

=(X2-Xy)+(4X-4y)

=X(X-y)+4(X-y)

=(χ-y)(x+4)；

(4)(Λ2-3)2+(X2-3)-2

=(x2-3+2)(x2-3-1)

=(Λ2-1)(Λ2-4)

=(x+l)(X-I)(x+2)(X-2).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分解因式，注意：分解因式的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘

法，分組分解法等.

22.(2021春?濟(jì)陽區(qū)期末)閱讀下列材料：整體思想是數(shù)學(xué)解題中常見的一種思想方法：下面是

某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式(X2+2X)(X2+2X+2)+1進(jìn)行因式分解的過程.將“7+2x”看成一個(gè)整體，令

2

x+2x=yf則原式=J+2y+l=(y+l)2再將，，y，，還原即可.

解：設(shè)x2+2x=y.

原式=y(y+2)+1(第一步)

=y2+2y+↑(第二步)

=(γ+l)2(第三步)

二(√+2x÷l)2(第四步).

問題：(1)①該同學(xué)因式分解的結(jié)果不正確，請(qǐng)直接寫出正確的結(jié)果(x+l)4；

②根據(jù)材料1,請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)多項(xiàng)式(/-6x+8)(∕-6x+10)+1進(jìn)行因式分解;

(2)根據(jù)材料1,請(qǐng)你模仿以上方法嘗試計(jì)算：

(1-2-3------2020)X(2+3+?.?+2021)-(1-2-3-------2021)×(2+3+-+2020).

【分析】(1)①最后再利用完全平方公式將結(jié)果分解到不能分解為止；

②根據(jù)材料，用換元法進(jìn)行分解因式；

(2)設(shè)1-2-3------2020=y,則原式=2021(y+2+3+…+2020),再將y代入即可求解.

【解答】解：(1)①設(shè)x2+2X=y.

原式=y(}j+2)+1(第一步)

=y2+2y+](第二步)

=(}H-1)2(第三步)

=(X2÷2Λ÷1)2(第四步)

=(x+l)4,

故答案為：(x+l)上

②設(shè)X2-6x=y,

原式=(y+8)(j+10)+1

=y?+18y÷80+1

=(y÷9)2

=(Λ2-6x+9)2

=(χ-3)4；

(2)設(shè)1-2-3------2020=y,

原式=y(2+3+???+2021)-(j-2021)(2+3+-+2020)

=J(2+3+…+2020)+2021y-y(2+3+―+2020)÷2021(2÷3+???+2020)

=2021y+2021(2+3+-+2020)

=2021(y+2+3÷???+2020)

=2021(1-2-3------2020+2÷3+???+2020)

=2021X1

=2021.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解-換元法，公式法，也是閱讀材料問題，熟練掌握利用公式法分

解因式是解題的關(guān)鍵.

23.(2021春?南京月考)在對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即

把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符合相反的項(xiàng)，前者稱為拆

項(xiàng)，后者稱為添項(xiàng).先閱讀，再分解因式：

X4+4=(X4+4X2+4)-4x2=(X2+2)2-(2x)2=(x2-2x+2)(X2+2Λ-+2).

(1)按照這種方法把多項(xiàng)式d+4y4分解因式；

(2)分解因式：a4+a2b2+b4.

2

【分析】(1)將原式變形為χ4+4),4=χ4+4fy2+4y4-4%/,進(jìn)一步分解可得；

(2)將原式變形為j+2“2廬+/_//=(a2+b2y2.(H)2再進(jìn)一步分解可得.

【解答】解：(I)X4+由,4

=x4+4xiyr+4y4-4x2y2

=(x2+2y2)2-4Λ2J2

=(Λ2+2√+2Λ>?)(x2+2y2-2xy)；

(2)a4+c^b2+b4

=a4+2a2b2+h4-a2b2

=(a2+?2)2-(.ah')2

=(a2+b2+ab)(a2+b2-cιb).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式和平方差公式及因式分

解的步驟.

A.實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式(共3小題)

24.(2021秋?如皋市校級(jí)月考)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：a1-3b2=(α+√^b)(α-√^b)_.

【分析】利用平方差公式因式分解即可.

【解答】解：/一3/

=a2-(V3b)2

=(α+料b)(α-v?b).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，一定要注意分解到不能再分解為止.

25.(2022?南崗區(qū)模擬)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：X2V-2V=y(X+?Q)(x-.

【分析】先提取公因式y(tǒng)后，再把剩下的式子寫成Λ2-(點(diǎn))2,符合平方差公式的特點(diǎn)，可以

繼續(xù)分解.

【解答】解：∕y-2y=y(x2-2)=y(X+&)(X-&).

故答案為：y(Λ+√2^(X-J.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的因式分解，因式分解的步驟為：一提公因式；二看公式.在實(shí)

數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行因式分解的式子的結(jié)果一般要分到出現(xiàn)無理數(shù)為止.

26.(2020秋?崇川區(qū)校級(jí)月考)因式分解：

(1)7-2(實(shí)數(shù)范圍內(nèi))；

(2)-3αr2+180r),-21ayi.

【分析】(1)原式利用平方差公式分解即可：

(2)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可.

【解答】解：(1)原式=(.r+√2)(X-M)；

(2)原式=-3a(x2-6Λ3'+9y2)

=-3a(X-3y)2.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵.

九.因式分解的應(yīng)用(共3小題)

27.(2021秋?亭湖區(qū)期末)把一個(gè)兩位數(shù)交換十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字后得到一個(gè)新的兩位數(shù)，若將

這個(gè)新的兩位數(shù)與原兩位數(shù)相加，則所得的和一定是()

A.偶數(shù)B.奇數(shù)C.11的倍數(shù)D.9的倍數(shù)

【分析】用字母設(shè)出原兩位數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字，表示出原兩位數(shù)和新兩位數(shù)的和，進(jìn)行

因式分解，看是哪個(gè)常數(shù)的倍數(shù)即可.

【解答】解：設(shè)原兩位數(shù)十位上的數(shù)字是α,個(gè)位上的數(shù)字是從則原兩位數(shù)為IOa+〃，新兩位

數(shù)為10b+α,

這兩個(gè)數(shù)的和為llα+IIb=Il(α+b),

.??所得的和一定是11的倍數(shù)，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的應(yīng)用；注意兩位數(shù)的表示方法為：10X十位數(shù)字+個(gè)位數(shù)字.

28.(2021秋?崇川區(qū)期末)(閱讀材料)

我們知道，任意一個(gè)正整數(shù)〃都可以進(jìn)行這樣的分解：n=pXq(p,q是正整數(shù)，且pWq).在

〃的所有這種分解中，如果p,g兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小，我們就稱PXq是〃的最佳分解，并規(guī)

定當(dāng)PXq是"的最佳分解時(shí)，F(xiàn)(")=￡..

q

例如：18可以分解成IX18,2X9或3X6,因?yàn)?8-1>9-2>6-3,所以3X6是18的最佳分解，

從而尸(18)=—??.

62

(探索規(guī)律)

(1)F(15)=?,F(24)=2,???；

一5一—3一

(2)F(4)=1,F(9)=1,F(25)-1,…；

猜想：F(?)=1(X是正整數(shù)).

(應(yīng)用規(guī)律)

(3)若F(Ax)=區(qū),月/是正整數(shù)，求Λ的值；

9

(4)若F(X2-11)=1,請(qǐng)直接寫出X的值.

【分析】(1)由信息可知15的最佳分解是3X5,24的最佳分解是4X6,代入尸(〃)=￡中進(jìn)

q

行計(jì)算即可；

(2)由完全平方數(shù)的特點(diǎn)可知結(jié)果為1；

(3)把/+x化為X(x+l)即可得出結(jié)果；

(4)把(/-11)寫成完全平方數(shù)的形式即可得出X.

【解答】解：(1)=3X5=15,

：.F(15)=當(dāng)

5

V4X6=24,

：.F(24)=生上；

63

故答案為：1.2；

53

(2)V4,9,25都是平方數(shù)，

：.F(25)=1,F(χ2)=1,

故答案為：1；1；

(3)VF(x2+x),且/+x=x(x+l),

9

Λx(x+l)=8X9,

即X的值為8；

(4)'：F(X2-Il)=1,

.?.(Λ2-11)是一個(gè)完全平方數(shù)，

.'.X2-Il=X2-12+1,

?*?2x=12,

??x=6,

即X的值為6.

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于新定義問題，從題目所給的信息中分析得出規(guī)律從而掌握分解因數(shù)的方法,

熟悉完全平方數(shù)的特點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

29.(2021秋?南昌期末)閱讀材料：若-2加〃+2/-8"+16=0,求加、〃的值.

解：*.'m2-2mn+2n^-8〃+16=0,.*.(Z∕J2-2mn+ιι2,)+(/-8〃+16)=O

.?.(，"-")2+Cn-4)2=0,J.(，"-〃)2=0.(n-4)2=O,Λn=4,w=4.

根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：

(1)已知X2-2xy+2)2+6y+9=0,求孫的值：

(2)已知AABC的三邊長。、b、C都是正整數(shù)，且滿足/+/-Ioa-12H61=0,求AABC的最

大邊C的值；

(3)已知α-∕>=8,ah+c1-16c+80=0,求α+?+c的值.

【分析】(1)根據(jù)X2-2Λy+2γ2+6y+9=0,應(yīng)用因式分解的方法，判斷出(x-γ)2+(y+3)2

=0,求出x、y的值各是多少，再把它們相乘，求出Xy的值是多少即可；

(2)首先根據(jù)02+b2-104-12b+61=0,應(yīng)用因式分解的方法,判斷出(α-5)2+(?-6)2

=0,求出a、b的值各是多少；然后根據(jù)三角形的三條邊的長度的關(guān)系，求出BC的最大邊C

的值是多少即可；

(3)首先根據(jù)α-b=8,ab+c2--16c+80=0,應(yīng)用因式分解的方法，判斷出(α-4)2+(c-8)

2=0,求出0、c、匕的值各是多少；然后把a(bǔ)、b、C的值求和，求出o+b+c的值是多少即可.

(解答］解：(1)V?-2xy+2)2+6y+9=0,

(x2-2xy+√)+(√+6JM-9)=0,

二(χ-j)2+(y+3)2=0,

.?.χ-y=0,y+3=0,

.,.x=-3,y=-3,

??.孫=(-3)X(-3)=9,

即冷，的值是9.

(2)Va2+?2-10?-I2?+61=O,

Λ(α2-10α+25)+(?2-12?+36)=0,

.*.(α-5)2+(?-6)2=0,

?'?4-5=0,b-6=0,

.?.α=5,b=6,

V6-5<c<6+5,c26,

Λ6≤c<ll,

,△ABC的最大邊C的值可能是6、7、8、9、10.

(3)?：a-b=8,ab+cz-16c+80=0,

.'.a(〃-8)+16÷(C-8)2=0,

：?Ca-4)2+(c-8)2=0,

:,a-4=0,c-8=0,

.?α=4,c=8,b=a-8=4-8=-4,

.α+0+c=4-4÷8=8,

即α+h+c的值是8.

【點(diǎn)評(píng)】(1)此題主要考查了因式分解方法的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：

用因式分解的方法將式子變形時(shí)，根據(jù)已知條件，變形的可以是整個(gè)代數(shù)式，也可以是其中的

一部分.

(2)此題還考查了三角形的三條邊之間的關(guān)系，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：任

意兩邊之和大于第三邊；任意兩邊之差小于第三邊.

能力提升

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

選擇題(共8小題)

1.(2021?寧波模擬)下列因式分解正確的是()

A.-2a2+4a=-2a(α+2)B.x2-6xy+9y2=z(x-3y)2

C.2r2-y2-(2x+y)(2χ-y)D.a2+b1-(α+?)2

【分析】利用提公因式法、公式法逐項(xiàng)進(jìn)行因式分解即可.

【解答】解：由于-2∕+4α=-2α(α-2),所以選項(xiàng)A不符合題意；

22

由于Λ-6xy+9>2=(.v-3y),所以選項(xiàng)B符合題意；

由于d-/=(2x+y)(2x-γ),所以選項(xiàng)C不符合題意；

由于/+2曲+廿=(a+b)2,所以選項(xiàng)。不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式、完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征

是解決問題的關(guān)鍵.

2.(2021春?上虞區(qū)期末)下列多項(xiàng)式能用公式法分解因式的是()

①-4x2-y2;

②4X2-(->■)2；

③/+2"-?2;

2

④χ+1+Z—；

4

(S)w2n2+4-4mn.

A.①③④⑤B.②?④C.②@?D.②③?⑤

(分析】根據(jù)平方差公式及完全平方公式進(jìn)行判斷即可求求解.

【解答】解：①-4x2-.y2,不符合平方差公式，故不能用公式法分解因式；

②4X2-(-y)2=(2x+y)(2χ-y),符合平方差公式，故能用公式法分解因式；

③/+2"-7，不符合完全平方公式，故不能用公式法分解因式；

2

④χ+∣+γ=華+1)2,符合完全平方公式，故能用公式法分解因式；

2

⑤52z72+4-4〃?〃=(mn-2),符合完全平方公式，故能用公式法分解因式，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查因式分解-運(yùn)用公式法，掌握平方差公式及完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

3.(2021春?南溫區(qū)期末)下列多項(xiàng)式中，能用完全平方公式進(jìn)行分解因式的是()

A.4x2-1B.?2-2χ-?C.4X2+2X+1D.4x2-4x+l

【分析】根據(jù)完全平方公式的特點(diǎn)：兩項(xiàng)平方項(xiàng)的符號(hào)相同，另一項(xiàng)是兩底數(shù)積的2倍，對(duì)各

選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解.

【解答】解：A.4f-1,只含有兩項(xiàng)，不符合完全平方公式法分解因式的式子特點(diǎn)，故本選項(xiàng)

不合題意；

B.XL-2x-I,兩項(xiàng)平方項(xiàng)X2與-1的符號(hào)不同，故本選項(xiàng)不合題意：

C.4x2+2r+L不符合完全平方公式法分解因式的式子特點(diǎn)，故本選項(xiàng)不合題意；

D4Λ2-4X+1=(Zr-I)2,符合完全平方公式法分解因式的式子特點(diǎn)，故本選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了公式法分解因式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.

4.(2021春?嘉興期末)若x2-bχ-10=(x+5)(x-a),則α”的值是()

A.-8B.8C.-?D.?

88

【分析】直接利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式得出關(guān)于“，〃的等式，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：Vx2-bx-10=(x+5)(χ-α),

ΛX2-bx-10=Λ2+(-α+5)x-5a,

故-〃+5=-by-5a=-10,

解得：〃=2,b=-3,

故/=2-3=JL.

8

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了十字相乘法，正確得出。，6的值是解題關(guān)鍵.

5.(2021春?鎮(zhèn)海區(qū)期末)下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是()

A.4X2-1B.4x1+4x-1C.X2-x+1D.x2-x>,+y2

【分析】利用平方差公式以及完全平方公式分別將各式分解，即可作出判斷.

【解答】解：A.4?-I=(2r+l)(Zr-I),故此選項(xiàng)不合題意；

B.4X2+4X-1無法運(yùn)用完全平方公式分解因式，故此選項(xiàng)不合題意；

C.^2-X+A=(X-』)2,故此選項(xiàng)符合題意；

42

D.7-Λy+√無法運(yùn)用完全平方公式分解因式，故此選項(xiàng)不合題意：

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了公式法分解因式，正確掌握乘法公式是解題關(guān)鍵.

6.(2021?柯橋區(qū)模擬)利用函數(shù)知識(shí)對(duì)關(guān)于代數(shù)式0r2+bx+c(α≠O)的以下說法作出判斷，則

正確的有()

①如果存在兩個(gè)實(shí)數(shù)p≠q,使得a∕+bp+c=aq?+bq+c,則OX2+Zλr+c=α(x-p)G-夕)；

②存在三個(gè)實(shí)數(shù)相≠∕ιr≠s,使得atn2+bm+C=an1+hn+c=as2+hs+c↑

③如果〃C<0,則一定存在兩個(gè)實(shí)數(shù)機(jī)<n,使〃加加+CVO<an2+bn+c↑

2

④如果αc>O,則一定存在兩個(gè)實(shí)數(shù)〃7V〃，使卬〃2+∕w7+cVovm+加+°.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，根的判別式一一判斷即可.

【解答】解：①二"=P或4時(shí)，q^+bp+c與旬+c不一定等于0,

???①錯(cuò)誤；

②：最多存在兩個(gè)實(shí)數(shù)m≠”,^^anr+bnι+c=an2+hn+c,

???②錯(cuò)誤；

③?.ZcVO,則△>0,拋物線與X軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故一定存在兩個(gè)實(shí)數(shù)〃?<〃，^,am2+bm+c

<O<an2+bn+Ci

工③正確；

④???〃V0,則△不一定大于0,拋物線與A-軸沒有交點(diǎn)，

.??④錯(cuò)誤；

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)與X軸的交點(diǎn)，一元二次方程根的

判別式的知識(shí)點(diǎn).

7.(2021春?東陽市期末)把多項(xiàng)式/+以+8分解因式，得(x+3)(χ-4),則〃，b的值分別是

()

A.α=-l,b=-12B.a=l,b=12C.?=-1,?=12D.a=l,b=-12

【分析】首先利用多項(xiàng)式乘法將原式展開，進(jìn)而得出〃，6的值，即可得出答案.

【解答】解：：多項(xiàng)式x2+0r+b分解因式的結(jié)果為(x+3)(X-4),

Λx2+αr+?=(x+3)(X-4)=x2-x-12,

故a=-1,b=-12,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了多項(xiàng)式乘法，正確利用乘法公式用將原式展開是解題關(guān)鍵.

8.(2021秋?余杭區(qū)期中)三角形的三邊mb,c滿足(a+b12-J=2ab,則此三角形是()

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形

【分析】將所給出的等式化簡可得/+序=02,利用勾股定理的逆定理可求解.

【解答】解：：三角形的三邊α,b,C滿足(“+/，)2-c2=2ab,

.,.cΓ+2ab+b2-c2-2ah=0,

.".a2+b2=c2,

，三角形為直角三角形.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查完全平方公式，勾股定理的逆定理，將等式變形為/+必=02是解題的關(guān)

鍵.

二.填空題(共9小題)

9.(2021秋?惠州期末)因式分解：3X2-6x+3=3Cx-D2.

【分析】先提公因式，然后再利用完全平方公式繼續(xù)分解即可.

【解答】解：3∕-6x+3

=3(X2-2X+1)

=3(x-?)2,

故答案為：3(χ-D2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，一定要注意如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因

式，必須先提公因式.

10.(2021秋?長垣市期末)分解因式：2X3+4X2+2X=1Y(X+1)2.

【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可.

【解答】解：原式=Zr(X2+2Λ-+1)

=2X(x+1)2.

故答案為：2x(x+l)2.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)

鍵.

2

11.(2021秋?淮陽區(qū)期末)甲乙兩人完成因式分解x+ar+b時(shí)，甲看錯(cuò)了。的值，分解的結(jié)果是(χ+6)

(x-2),乙看錯(cuò)了匕的值，分解的結(jié)果為(χ-8)(x+4),那么x2+or+b分解因式正確的結(jié)果

為(X-6)(x+2).

【分析】根據(jù)甲、乙看錯(cuò)的情況下得出。、6的值，進(jìn)而再利用十字相乘法分解因式即可.

【解答】解：因式分解了+or+b時(shí)，

：甲看錯(cuò)了。的值，分解的結(jié)果是(x+6)(x-2),

Λ?=6×(-2)=-12,

又???乙看錯(cuò)了h的值，分解的結(jié)果為G-8)(x÷4),

.?.a=-8+4=-4,

原二次三項(xiàng)式為X2-4X-12,

因此，/-4χ-12=(χ-6)(X+2),

故答案為：(X-6)(x+2).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查十字相乘法進(jìn)行因式分解，掌握十字相乘法的使用方法是得出答案的關(guān)鍵.

12.(2021秋?南崗區(qū)校級(jí)期末)若α+b=8,ɑh=15,則49.

【分析】首先配方得出。2+必+臣=(〃+萬)2-必進(jìn)而得出答案.

【解答】解:'.'a+b=S,ah=↑5,

則,尸+“〃+/=(a+b)2-ah=S2-15=49.

故答案為：49.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了配方法的應(yīng)用，正確配方得出是解題關(guān)鍵.

13.(2021秋?河口縣期末)若m+〃=3,則2加2+4加〃+2"2-6的值為12.

【分析】原式前三項(xiàng)提取2變形后，利用完全平方公式化簡，將〃?+〃的值代入計(jì)算即可求出值.

【解答】解：?.?m+"=3,

.,.2m2+4mn+2n2-6=2(m+n)2-6=18-6=12.

故答案為：12.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解的應(yīng)用，將所求式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃问墙獗绢}的關(guān)鍵.

14.(2022?溫州模擬)分解因式：加2-4切=加(∕w-4).

【分析】提取公因式“，即可求得答案.

【解答】解：m2-4rn=m(/?-4).

故答案為："？(∕n-4).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法分解因式.題目比較簡單，解題需細(xì)心.

2

15.(2021?西湖區(qū)校級(jí)三模)已知χ-y=?∣?,Xy=4,則xF-jry=-2.

【分析】原式提取公因式，把己知等式代入計(jì)算即可求出值.

【解答】解：?.h-y=工，xy=4,

2

二原式=Xy(y-χ)=-Jty(χ-y)=-4X工=-2.

故答案為：-2.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握分解因式的方法是解本題的關(guān)鍵.

16.(2021秋?瑞安市期中)有4個(gè)不同的整數(shù)機(jī)、〃、p、4滿足(5-，W)(5-〃)(5-p)(5-q)

=9,再勺么〃計(jì)〃+〃+o=20.

【分析】因?yàn)閙，小p,g都是四個(gè)不同正整數(shù)，所以(5-加)、(5-/?)>(5-p)、(5-

q)都是不同的整數(shù)，四個(gè)不同的整數(shù)的積等于9,這四個(gè)整數(shù)為-1、-3、1、3,由此求得機(jī),

n,p,g的值，問題得解.

【解答】解：因?yàn)?5-M(5-∏)(5-p)(5-q)=9,

每一個(gè)因數(shù)都是整數(shù)且都不相同，

那么只可能是-1,1,-3,3,

由此得出m、〃、p、g分別為6、4、8、2,所以，nι+n+∣∏-cι=20.

故答案為：20.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘法，因式分解的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是一個(gè)正整數(shù)通過分解

把它寫為四個(gè)不同的整數(shù)的乘積，要考慮有兩個(gè)正因數(shù)，兩個(gè)負(fù)因數(shù)，從而再結(jié)合題意解決問

題.

17.(2021春?鹿城區(qū)校級(jí)期中)大長方形中放入5張長為α,寬為6的相同的小長方形，如圖所示，

其中A,B,C三點(diǎn)在同一條直線上.若陰影部分的面積為34,大長方形的周長為30,則一張小

長方形的面積為4.

a4

b

【分析】根據(jù)“陰影部分的面積為52,大長方形的周長為36”，即可得出關(guān)于X,y的方程組,

利用(①2-②)÷2,可求出一張小長方形的面積.

【解答】解：依題意得：

?2[(2a+b)+(a+2b)]=30

[(2a+b)(a+2b)-5ab=34

即(a+9b=5I①-，

a*+L=17②

(①2-②)÷2,得：xy=4.

.?.一張小長方形的面積為4.

故答案為4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的應(yīng)用以及二元二次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方

程組是解題的關(guān)鍵.

二.解答題(共7小題)

18.(2021春?上虞區(qū)期末)因式分解:

(1)4X2-/；

(2)9a3-6a2b+ab2.

【分析】(1)直接利用平方差公式分解因式得出答案;

(2)直接提取公因式m再利用完全平方公式分解因式得出答案.

【解答】解：(1)4∕-γ2=(2χ)2-丁

=(2x+y)(2x-y)；

(2)9/-6a2b+ab1

—a(902-6ab+tr')

=a(3a-b)2.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確運(yùn)用乘法公式是解題關(guān)鍵.

19.(2021春?煤州市期末)分解因式：

(1)25a2-4；

(2)3αr2-60r>H-3a>,2.

【分析】(1)利用平方差公式進(jìn)行因式分解即可；

(2)先提公因式3α,再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可.

【解答】解：(1)原式=(5?+2)(50-2)；

(2)原式=34(/-2Xy+)2)=3a(x-?)2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式的結(jié)構(gòu)特征

是應(yīng)用公式的前提，找出各項(xiàng)的公因式是提公因式的關(guān)鍵.

20.(2021春?寧波期末)因式分解：

(1)-ab+2a1h-aih?,

(2)(x-y)2-x+y.

【分析】(1)直接提取公因式-H,再利用完全平方公式分解因式得出答案；

(2)將原式后兩項(xiàng)添括號(hào)，再提取公因式(χ-γ),進(jìn)而分解因式即可.

【解答】解：(1)原式