第05講相交線（十一大題型）（原卷版）

第05講相交線（十一大題型）1.了解兩直線相交所成的角的位置和大小關(guān)系，理解鄰補(bǔ)角和對(duì)頂角概念，掌握對(duì)頂角的性質(zhì)；2.理解垂直作為兩條直線相交的特殊情形，掌握垂直的定義及性質(zhì)；3.理解點(diǎn)到直線的距離的概念，并會(huì)度量點(diǎn)到直線的距離；4.能依據(jù)對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角及垂直的概念與性質(zhì)，進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.知識(shí)點(diǎn)一、鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角1．鄰補(bǔ)角：如果兩個(gè)角有一條公共邊，并且它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線，那么具有這種關(guān)系的兩個(gè)角叫做互為鄰補(bǔ)角．要點(diǎn)：(1)鄰補(bǔ)角的定義既包含了位置關(guān)系，又包含了數(shù)量關(guān)系：“鄰”指的是位置相鄰，“補(bǔ)”指的是兩個(gè)角的和為180°．(2)鄰補(bǔ)角是成對(duì)出現(xiàn)的，而且是“互為”鄰補(bǔ)角．(3)互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角一定互補(bǔ)，但互補(bǔ)的兩個(gè)角不一定互為鄰補(bǔ)角．(4)鄰補(bǔ)角滿足的條件：①有公共頂點(diǎn)；②有一條公共邊，另一邊互為反向延長(zhǎng)線.2.對(duì)頂角及性質(zhì)：（1）定義：由兩條直線相交構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)沒(méi)有公共邊(相對(duì))的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角．（2）性質(zhì)：對(duì)頂角相等．要點(diǎn)：(1)由定義可知只有兩條直線相交時(shí)，才能產(chǎn)生對(duì)頂角．(2)對(duì)頂角滿足的條件：①相等的兩個(gè)角；②有公共頂點(diǎn)且一角的兩邊是另一角兩邊的反向延長(zhǎng)線.3.鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角對(duì)比：角的名稱特征性質(zhì)相同點(diǎn)不同點(diǎn)對(duì)頂角①兩條直線相交形成的角；②有一個(gè)公共頂點(diǎn)；③沒(méi)有公共邊.對(duì)頂角相等.①都是兩條直線相交而成的角；②都有一個(gè)公共頂點(diǎn)；③都是成對(duì)出現(xiàn)的.①有無(wú)公共邊；②兩直線相交時(shí)，對(duì)頂角只有2對(duì)；鄰補(bǔ)角有4對(duì).鄰補(bǔ)角①兩條直線相交而成；②有一個(gè)公共頂點(diǎn)；③有一條公共邊.鄰補(bǔ)角互補(bǔ).知識(shí)點(diǎn)二、垂線1．垂線的定義：兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫垂足．要點(diǎn)：(1)記法：直線a與b垂直，記作：；直線AB和CD垂直于點(diǎn)O，記作：AB⊥CD于點(diǎn)O.(2)垂直的定義具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性質(zhì)，即有：CD⊥AB．2．垂線的畫法：過(guò)一點(diǎn)畫已知直線的垂線，可通過(guò)直角三角板來(lái)畫，具體方法是使直角三角板的一條直角邊和已知直線重合，沿直線左右移動(dòng)三角板，使另一條直角邊經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)，沿此直角邊畫直線，則所畫直線就為已知直線的垂線(如圖所示)．要點(diǎn)：(1)如果過(guò)一點(diǎn)畫已知射線或線段的垂線時(shí)，指的是它所在直線的垂線，垂足可能在射線的反向延長(zhǎng)線上，也可能在線段的延長(zhǎng)線上．(2)過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，這點(diǎn)與垂足間的線段為垂線段．3．垂線的性質(zhì)：（1）在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．（2）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．簡(jiǎn)單說(shuō)成：垂線段最短．要點(diǎn)：（1）性質(zhì)（1）成立的前提是在“同一平面內(nèi)”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”說(shuō)明了垂線的存在性和唯一性．（2）性質(zhì)（2）是“連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．”實(shí)際上，連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的線段有無(wú)數(shù)條，但只有一條最短，即垂線段最短．在實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常應(yīng)用其“最短性”解決問(wèn)題．4．點(diǎn)到直線的距離：定義：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離．要點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長(zhǎng)度，是一個(gè)數(shù)量，不能說(shuō)垂線段是距離；（2）求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，要從已知條件中找出垂線段或畫出垂線段，然后計(jì)算或度量垂線段的長(zhǎng)度．題型1：對(duì)頂角的概念【典例1】．下列各選項(xiàng)中，與屬于對(duì)頂角的是（

）A． B．C． D．【典例2】．下列四個(gè)圖形中，和是對(duì)頂角的是（

）A．B．C．D．題型2：根據(jù)對(duì)頂角相等求角度【典例3】．如圖，直線a，b相交于點(diǎn)O，已知，則．【典例4】．如圖，AB與CD相交于點(diǎn)O，，，則．題型3：鄰補(bǔ)角的意義【典例5】．下列圖形中，與是鄰補(bǔ)角的是（

）A．

B．

C．

D．

【典例6】．已知與是鄰補(bǔ)角，是的鄰補(bǔ)角，那么與的關(guān)系是（

）A．對(duì)頂角 B．相等但不是對(duì)頂角 C．鄰補(bǔ)角 D．互補(bǔ)但不是鄰補(bǔ)角題型4：找鄰補(bǔ)角【典例7】．如圖，圖中鄰補(bǔ)角有幾對(duì)（

）A．4對(duì) B．5對(duì) C．6對(duì) D．8對(duì)【典例8】．如圖，直線AB、MN相交于一點(diǎn)O，，則∠COM的鄰補(bǔ)角是（

）A．∠AON B．∠AOC C．∠NOC D．∠MOB題型5：利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求角度【典例9】．如圖，點(diǎn)在直線上，平分，且，則．【典例10】．如圖，直線、相交于點(diǎn)G，，平分，若，則°．題型6：相交線【典例11】．當(dāng)兩條不同的直線有時(shí)，我們稱這兩條直線，這個(gè)點(diǎn)叫做它們的．【典例12】．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)（

）①過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；②平面內(nèi)，互相垂直的兩條直線一定相交；③有公共頂點(diǎn)且相等的角是對(duì)頂角；④直線外一點(diǎn)到已知直線的垂線段，叫做這點(diǎn)到直線的距離；A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【典例13】．平面上的三條直線最多可將平面分成（

）部分A．4 B．6 C．7 D．8題型6：相交線【典例14】．如圖，用三角板經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)畫這條直線的垂線，這樣的垂線只能畫出一條．這里面蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是．【典例15】．如圖，在同一平面內(nèi)，，垂足都為點(diǎn)O，則與重合的理由是（）A．兩點(diǎn)之間，線段最短B．垂線段最短C．經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行D．在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直題型7：相交線有關(guān)的作圖【典例16】．根據(jù)語(yǔ)句“直線與直線相交，點(diǎn)在直線上，直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)．”畫出的圖形是（

）A． B． C．D．【典例17】．按下列語(yǔ)句畫圖：點(diǎn)在直線上，也在直線上，但不在直線上，且直線兩兩相交，下列圖形符合題意的是（）A． B．C． D．題型8：相交線有關(guān)的交點(diǎn)問(wèn)題【典例18】．平面內(nèi)兩兩相交的條直線，其交點(diǎn)個(gè)數(shù)最少為個(gè)，最多為個(gè)，則等于（

）A． B． C． D．以上都不對(duì)【典例19】．在同一平面內(nèi)不重合的三條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)（

）A．可能是0個(gè)，1個(gè)，2個(gè) B．可能是0個(gè)，1個(gè)，3個(gè)C．可能是0個(gè)，1個(gè)，2個(gè)，3個(gè) D．可能是0個(gè)，2個(gè)，3個(gè)題型9：垂線段、點(diǎn)到直線的距離有關(guān)描述【典例20】．下列判斷正確的是（

）A．從直線外一點(diǎn)到已知直線的垂線段叫做點(diǎn)到已知直線的距離B．過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，垂線的長(zhǎng)度就是這點(diǎn)到已知直線的距離C．作出已知直線外一點(diǎn)到已知直線的距離D．連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短【典例21】．（1）在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有直線與已知直線垂直（2）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，（3）直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做【典例22】．下列說(shuō)法正確的是（

）．A．垂線段就是與已知直線相交的線段B．垂線段就是垂直于已知直線的線段C．垂線段就是一條豎起來(lái)的線段D．過(guò)直線外一點(diǎn)向已知直線作垂線，這一點(diǎn)到垂足之間的線段叫垂線段【典例23】．下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（）①P點(diǎn)到直線l的距離是P點(diǎn)到直線l的垂線段；②P點(diǎn)到直線l的距離是P點(diǎn)到直線l的垂線段長(zhǎng)；③過(guò)P點(diǎn)做直線l的垂線，垂足為O，P點(diǎn)到直線l的距離是P、O點(diǎn)兩點(diǎn)之間的距離．A．3 B．2 C．1 D．0題型10：求點(diǎn)到直線的距離【典例24】．P為直線m外一點(diǎn)，A，B，C為直線m上三點(diǎn)，，則點(diǎn)P到直線m的距離（）A．等于 B．等于 C．小于 D．不大于【典例25】．如圖，已知于，于，，，，，．則：（1）點(diǎn)A到直線的距離為；（2）點(diǎn)A到直線的距離為；（3）點(diǎn)到直線的距離為；（4）點(diǎn)到直線的距離為；（5）點(diǎn)到直線的距離為．題型11：垂線段有關(guān)的作圖題【典例26】．如圖，已知，根據(jù)下列要求作圖并回答問(wèn)題：（1）作邊上的高；（2）過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為；（3）點(diǎn)到直線的距離是線段________的長(zhǎng)度．（不要求寫畫法，只需寫出結(jié)論即可）一、單選題1．下面四個(gè)圖形中，與是對(duì)頂角的圖形的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．32．下列圖形中，∠1與∠2互為鄰補(bǔ)角的是（）A． B．C． D．3．下列說(shuō)法正確的是（）A．互補(bǔ)的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角 B．相等的角必是對(duì)頂角C．對(duì)頂角一定相等 D．若兩個(gè)角不是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角不相等4．如圖，已知直線與相交于點(diǎn)F，平分，若，則度數(shù)是（

）A． B． C． D．5．如圖，取兩根木條a，b，將它們釘在一起，得到一個(gè)相交線的模型，固定木條a，轉(zhuǎn)動(dòng)木條b，當(dāng)減小時(shí)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．增大 B．增大 C．減小 D．與的和增大6．下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)有（

）（1）直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短．（2）畫一條直線的垂線段可以畫無(wú)數(shù)條．（3）在同一平面內(nèi)，經(jīng)過(guò)一個(gè)已知點(diǎn)能畫一條且只能畫一條直線和已知直線垂直．（4）從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段叫做點(diǎn)到直線的距離．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．已知∠1與∠2是對(duì)頂角，∠1與∠3是鄰補(bǔ)角，則∠2+∠3的度數(shù)為（）A．90° B．180° C．270° D．360°8．如圖：若∠AOB與∠BOC是一對(duì)鄰補(bǔ)角，OD平分∠AOB，OE在∠BOC內(nèi)部，并且∠BOE＝∠COE，∠DOE＝72°.則∠COE的度數(shù)是()A．36°B．72°C．44°D．56°9．如圖，為直線上一點(diǎn)，，OE平分，OG平分，OF平分，下列結(jié)論：①；②與互補(bǔ)；③；④，其中正確的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④10．如圖，2條直線最多有＝1個(gè)交點(diǎn)，3條直線最多有＝3個(gè)交點(diǎn)，4條直線最多有＝6個(gè)交點(diǎn)，……由此猜想，8條直線最多有＿＿＿個(gè)交點(diǎn).A．32 B．16 C．28 D．40二、填空題11．如圖，點(diǎn)在直線上，，垂足為，，則線段的長(zhǎng)是點(diǎn)到直線的距離．12．如圖，這是小濤同學(xué)在體育課上某一次跳遠(yuǎn)后留下的腳?。ㄟ^(guò)測(cè)量得到如下數(shù)據(jù)：米，米，米，米，其中AC，DE分別垂直起跳線于C，E．小濤這次跳遠(yuǎn)成績(jī)是米．13．如圖，直線相交于點(diǎn)O，則的對(duì)頂角是，的鄰補(bǔ)角是．14．如圖，直線相交于點(diǎn)．的對(duì)頂角是，的鄰補(bǔ)角是．15．如圖，點(diǎn)O是直線上一點(diǎn)，，是的平分線，則的度數(shù)是°．16．如圖，直線、相交于點(diǎn)O，平分，平分，且，則的度數(shù)為．17．如圖，直線相交于點(diǎn)O，．（1）圖中的對(duì)頂角有對(duì)；（2）的鄰補(bǔ)角是；（3）如果，，那么．18．如圖，已知直線，作，垂足為，在內(nèi)部，在內(nèi)部，且，，則的度數(shù)為．三、解答題19．如圖所示，是鈍角.（不寫作圖過(guò)程，保留作圖痕跡）(1)畫出點(diǎn)A到的垂線段.(2)過(guò)點(diǎn)C畫的垂線.20．如圖，直線相交于點(diǎn)是內(nèi)部的一條射線．(1)寫出和的鄰補(bǔ)角；(2)寫出圖中所有的對(duì)頂角．21．如圖，已知于，于．(1)點(diǎn)到直線的距離是線段_______的長(zhǎng)；(2)點(diǎn)到直線的距離是線段_______的長(zhǎng)；(3)線段的長(zhǎng)表示點(diǎn)到直線_______距離；(4)線段的長(zhǎng)表示點(diǎn)到直線_______距離；(5)線段的長(zhǎng)表示點(diǎn)_______到直線______距離；(6)線段的長(zhǎng)表示點(diǎn)_______到直線______距離；22．如圖，直線和直線相交于點(diǎn)，平分．(1)寫出圖中的對(duì)頂角______，和兩個(gè)鄰補(bǔ)角______；(2)若，求的度數(shù)．23．按下列要求畫圖并填空：如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，P是CD上的一點(diǎn)．(1)過(guò)點(diǎn)P畫出CD的垂線，交直線AB于點(diǎn)E；(2)過(guò)點(diǎn)P畫PF⊥AB，垂足為點(diǎn)F；(3)點(diǎn)O到直線PE的距離是線段的長(zhǎng)；(4)點(diǎn)P到直線CD的距離為．24．按下列要求畫圖并填空：如圖，（1）過(guò)點(diǎn)A畫直線BC的平行線AD；（2）過(guò)點(diǎn)B畫直線AD的垂線段，垂足為點(diǎn)E；（3）若點(diǎn)B到直線AD的距離為4，BC=2，則=．25．如圖，直線與相交于點(diǎn)，，，射線平分，求的度數(shù)．26．如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OA平分．(1)的對(duì)頂角為_(kāi)_______；(2)若，求的度數(shù)；(3)若，求的度數(shù)．27．如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，OF⊥OE于點(diǎn)O，若∠AOC＝60°，求∠BOF的度數(shù)．解：∵∠BOD＝∠AOC（對(duì)頂角相等），∠AOC＝60°（）∴∠＝°∵OE平分∠BOD（

已知

）∴∠BOE＝∠＝°（）∵OF⊥OE（已知）∴∠EOF＝°（）∵∠BOF+∠BOE＝∠EOF∴∠BOF＝°．28．如圖，直線、相交于點(diǎn)，平分，．(1)求的度數(shù)；(2)若，是否平