2024年山東煙臺(tái)德州高三一模高考數(shù)學(xué)試題答案詳解

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2024年高考診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.本試題滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘.2.答卷前，務(wù)必將姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題紙上.3.使用答題紙時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫，要字跡工整，筆跡清晰；超出答題區(qū)書寫的答案無(wú)效；在草稿紙?試題卷上答題無(wú)效.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1．已知集合，集合，則圖中陰影部分表示的集合為（

）

A． B． C． D．2．若，則（

）A．100 B．110 C．120 D．1303．若點(diǎn)在拋物線上，為拋物線的焦點(diǎn)，則A．1 B．2 C．3 D．44．若，則（

）A． B． C． D．5．將8個(gè)大小形狀完全相同的小球放入3個(gè)不同的盒子中，要求每個(gè)盒子中至少放2個(gè)小球，則不同放法的種數(shù)為（

）A．3 B．6 C．10 D．156．設(shè)為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則B．若與所成的角相等，則C．若，則D．若，則7．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．8．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，向量，且.若為橢圓上一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知為復(fù)數(shù)，下列結(jié)論正確的有（

）A．B．C．若，則D．若，則或10．先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記向上的點(diǎn)數(shù)分別為，設(shè)事件“為整數(shù)”，“為偶數(shù)”，“為奇數(shù)”，則（

）A． B．C．事件與事件相互獨(dú)立 D．11．給定數(shù)列，定義差分運(yùn)算：.若數(shù)列滿足，數(shù)列的首項(xiàng)為1，且，則（

）A．存在，使得恒成立B．存在，使得恒成立C．對(duì)任意，總存在，使得D．對(duì)任意，總存在，使得三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．若圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓恰好過(guò)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為.13．在三棱錐中，，且分別是的中點(diǎn)，，則三棱錐外接球的表面積為，該三棱錐外接球與內(nèi)切球的半徑之比為.14．若函數(shù)在上恰有5個(gè)零點(diǎn)，且在上單調(diào)遞增，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為.四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15．已如曲線在處的切線與直線垂直.(1)求的值；(2)若恒成立，求的取值范圍.16．如圖，在三棱柱中，，為的中點(diǎn)，平面.

(1)求證：；(2)若，求二面角的余弦值.17．聯(lián)合國(guó)新聞部將我國(guó)農(nóng)歷二十四節(jié)氣中的“谷雨”定為聯(lián)合國(guó)中文日，以紀(jì)念“中華文字始祖”倉(cāng)頡的貢獻(xiàn).某大學(xué)擬在2024年的聯(lián)合國(guó)中文日舉行中文知識(shí)競(jìng)賽決賽，決賽分為必答?搶答兩個(gè)環(huán)節(jié)依次進(jìn)行.必答環(huán)節(jié)，共2道題，答對(duì)分別記30分?40分，否則記0分；搶答環(huán)節(jié)，包括多道題，設(shè)定比賽中每道題必須進(jìn)行搶答，搶到并答對(duì)者得15分，搶到后未答對(duì)，對(duì)方得15分；兩個(gè)環(huán)節(jié)總分先達(dá)到或超過(guò)100分者獲勝，比賽結(jié)束.已知甲?乙兩人參加決賽，且在必答環(huán)節(jié)，甲答對(duì)兩道題的概率分別，乙答對(duì)兩道題的概率分別為，在搶答環(huán)節(jié)，任意一題甲?乙兩人搶到的概率都為，甲答對(duì)任意一題的概率為，乙答對(duì)任意一題的概率為，假定甲?乙兩人在各環(huán)節(jié)?各道題中答題相互獨(dú)立.(1)在必答環(huán)節(jié)中，求甲?乙兩人得分之和大于100分的概率；(2)在搶答環(huán)節(jié)中，求任意一題甲獲得15分的概率；(3)若在必答環(huán)節(jié)甲得分為70分，乙得分為40分，設(shè)搶答環(huán)節(jié)經(jīng)過(guò)X道題搶答后比賽結(jié)束，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.18．已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為，直線過(guò)點(diǎn)且與雙曲線交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)）.(1)求證：直線與直線的斜率之積為定值.并求出該定值；(2)過(guò)點(diǎn)分別作直線的垂線，垂足分別為，記的面積分別為，求的最大值.19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為1的圓沿著軸正向無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)，點(diǎn)為圓上一個(gè)定點(diǎn)，其初始位置為原點(diǎn)為繞點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的角度（單位：弧度，）.

(1)用表示點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡在點(diǎn)處的切線存在，且傾斜角為，求證：為定值；(3)若平面內(nèi)一條光滑曲線上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)均可表示為，則該光滑曲線長(zhǎng)度為，其中函數(shù)滿足.當(dāng)點(diǎn)自點(diǎn)滾動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，其軌跡為一條光滑曲線，求的長(zhǎng)度.答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．A【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合A，再結(jié)合韋恩圖，利用交集的定義求解即得.【詳解】解不等式，得，即，由，得，所以圖中陰影部分表示的集合為.故選：A2．C【分析】利用二項(xiàng)式定理分別求出即可計(jì)算得解.【詳解】在中，，，所以.故選：C3．B【解析】由拋物線的定義轉(zhuǎn)化即可求值.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，即，所以，故故選：B【點(diǎn)睛】本題考查由拋物線的定義轉(zhuǎn)化求值問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.4．C【分析】根據(jù)二倍角公式以及誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】由可得，故，故選：C5．B【分析】對(duì)每個(gè)盒子放入2個(gè)球，再看余下2個(gè)球的去向即可得解.【詳解】依題意，每個(gè)盒子放入2個(gè)球，余下2個(gè)球可以放入一個(gè)盒子有種方法，放入兩個(gè)盒子有種方法，所以不同放法的種數(shù)為.故選：B6．D【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對(duì)于A，平行于同一平面的兩條直線可能平行，也可能異面，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，與所成的角相等，則可能異面，可能相交，也可能平行，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，，則可能垂直，但也可能平行或者相交或者異面，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，，則，D正確，故選：D7．A【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的周期，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性及指對(duì)數(shù)運(yùn)算計(jì)算即得.【詳解】在上的奇函數(shù)滿足，則，于是，即函數(shù)的周期為4，而，則，，又當(dāng)時(shí)，，所以.故選：A8．A【分析】根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)的軌跡，再借助三角代換及點(diǎn)到直線距離公式求出最小值.【詳解】設(shè)點(diǎn)，由及，得，即，而，消去得：，設(shè)橢圓上的點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離，其中銳角由確定，當(dāng)時(shí)，，而，所以的最小值為.故選：A【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求出橢圓上的點(diǎn)與其相離的直線上點(diǎn)的距離最小值，可轉(zhuǎn)化為求橢圓上的點(diǎn)到直線距離有最小值解決.9．ABD【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的意義計(jì)算判斷ABD；舉例說(shuō)明判斷C.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，，，，B正確；對(duì)于C，取，滿足，而，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，即，則，即，因此或，即或，D正確.故選：ABD10．BCD【分析】列舉所有的基本事件，再由古典概型的概率公式，相互獨(dú)立事件的定義及條件概率的概率公式計(jì)算可得.【詳解】先后兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，得到向上的點(diǎn)數(shù)分別為，，則基本事件總數(shù)為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36種情況，滿足事件的有，，，，，，，，，，，共種，其概率，故A錯(cuò)誤；滿足事件的有，，，，，，，，，，，，，，，，，，共個(gè)，故；滿足事件的有，，共個(gè)，所以，故B正確；滿足事件的有，，，，，，，，，，，，，，，，，，共個(gè)，故，滿足事件的有，，，，，，，，，共個(gè)，所以，所以事件與事件相互獨(dú)立，故C正確；滿足事件的有，，，，，，，共種，所以，則，故D正確.故選：BCD11．BC【分析】由已知求出及范圍判斷AB；利用累加法結(jié)合錯(cuò)位相減法求和求出及范圍判斷C；求出及的范圍判斷D.【詳解】對(duì)于A，由，得，顯然有最小值4，無(wú)最大值，因此不存在，使得恒成立，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由選項(xiàng)A知，，則，顯然當(dāng)時(shí)，恒成立，B正確；對(duì)于C，由，得，當(dāng)時(shí)，即，于是，兩式相減得，因此，顯然滿足上式，則，由，得數(shù)列是遞增數(shù)列，有最小值1，無(wú)最大值，從而對(duì)任意，總存在，使得，C正確；對(duì)于D，，由選項(xiàng)C得，顯然數(shù)列是遞減數(shù)列，，因此對(duì)任意，不存在，使得成立，D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及數(shù)列新定義問(wèn)題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，由給定的數(shù)列結(jié)合新定義探求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并進(jìn)行合理的計(jì)算、分析、推理等方法綜合解決.12．4【分析】利用軸對(duì)稱列式求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入圓方程即得.【詳解】依題意，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在圓上，則，解得，因此點(diǎn)在圓上，則，解得，所以實(shí)數(shù)的值為4.故答案為：413．【分析】第一空作出輔助線，證明三三垂直，將三棱錐放入長(zhǎng)方體中求解外接球半徑即可，第二空利用體積相等求出內(nèi)切球半徑，再求比值即可.【詳解】如圖，，且，故，可得，則，取中點(diǎn)，連接，則，又，面，可得面又面，則，又分別是的中點(diǎn)，連接，則//由題意得，故，，又，面，故面，又，則，可得，則兩兩垂直，故以作長(zhǎng)方體，如圖所示，則該長(zhǎng)方體外接球即為所求三棱錐的外接球，連接，其中點(diǎn)為所求外接球的球心，設(shè)其半徑為，可得，故，解得，而，設(shè)該三棱錐內(nèi)切球半徑為，球心為，連接，則，可得，故，而，，，易知是的中點(diǎn)，由，得，故得，而由勾股定理得，則，故可將一式化為，解得，而半徑比為，故答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查內(nèi)切球和外接球的半徑問(wèn)題，解題關(guān)鍵是構(gòu)造出長(zhǎng)方體，將三棱錐放入其中，然后求出外接球半徑，得到面積，進(jìn)而由體積關(guān)系轉(zhuǎn)化得到所要求的內(nèi)切球半徑，再求比值即可．14．【分析】根據(jù)給定條件，利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即得.【詳解】依題意，函數(shù)，由，得，則或，由，得，由在上恰有5個(gè)零點(diǎn)，得，解得，由，得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，即，且，解得，所以正實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，可把看成一個(gè)整體，由求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，由求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)斜率關(guān)系，即可求導(dǎo)求解，（2）求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)的最值求解.【詳解】（1）由于的斜率為，所以，又,故，解得，（2）由（1）知，所以，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取最小值，要使恒成立，故，解得，故的取值范圍為16．(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，借助余弦定理及勾股定理的逆定理證得，再利用線面垂直的判定、性質(zhì)推理即得.（2）由（1）的信息以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用面面角的向量求法求解即可.【詳解】（1）在三棱柱中，，則，由，得，在中，，由余弦定理，得，，于是，由平面平面，得，而平面，因此平面，又平面，所以，（2）由（1）知，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，得，則，于是，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，取，得，顯然為平面的一個(gè)法向量，因此，顯然二面角的大小為銳角，所以二面角的余弦值為.

17．(1)；(2)；(3)分布列見(jiàn)解析，.【分析】（1）把得分之和大于100分的事件分拆，再利用相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率公式計(jì)算即得.（2）甲獲得15分的事件是甲搶到答正確與乙搶到答錯(cuò)的事件和，再列式求出概率.（3）求出的可能值及各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列并求出數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）兩人得分之和大于100分可分為甲得40分、乙得70分，甲得70分、乙得40分，甲得70分、乙得70分三種情況，所以得分大于100分的概率.（2）搶答環(huán)節(jié)任意一題甲得15分的概率.（3）的可能取值為2，3，4，5，由搶答任意一題甲得15分的概率為，得搶答任意一題乙得15分的概率為，，，，，所以的分布列為：2345數(shù)學(xué)期望.18．(1)證明見(jiàn)解析，；(2).【分析】（1）由已知求出雙曲線，設(shè)出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合斜率坐標(biāo)公式計(jì)算即得.（2）設(shè)出直線的方程，求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再建立面積積的函數(shù)關(guān)系，借助基本不等式求出最大值即得.【詳解】（1）令雙曲線半焦距為c，依題意，，由，解得，則雙曲線的方程為，顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線的方程為，由消去得，，，設(shè)，則，直線的斜率分別為，所以.（2）設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，由，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，用替換上式中的得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，所以的最大值為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中的幾何圖形面積范圍或最值問(wèn)題，可以以直線的