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第一章集合§1集合的含義與表示知識點一元素與集合的相關(guān)概念[填一填][答一答]1.(1)集合中的元素可以是相同的嗎?提示:不可以.集合中的元素必須是不同的,同一個元素在一個集合中只可以出現(xiàn)一次,即集合中的元素是互異的.(2)判斷一組對象能否構(gòu)成集合的關(guān)鍵是什么?提示:關(guān)鍵是這些對象是否滿足確定性與互異性.知識點二元素與集合的關(guān)系及元素的特性[填一填](1)元素a與集合A的關(guān)系:關(guān)系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(屬于:a是集合A的元素,記作a∈A,讀作“a屬于A”.,不屬于:a不是集合A的元素,記作a?A,讀作“a不,屬于A”.))(2)集合元素的特性:集合中元素的特性為確定性、互異性、無序性.[答一答]2.(1)元素與集合之間除了“∈”和“?”外,還有其他關(guān)系嗎?提示:沒有.元素與集合之間只有兩種關(guān)系,任何一個元素與一個集合間,兩種關(guān)系必有一種成立.(2)如何判定一個元素是否屬于某個集合?提示:判定一個元素是否屬于某個集合,關(guān)鍵是看這個元素是否符合集合中元素的特征性質(zhì),只有符合其特征性質(zhì)才是這個集合中的元素.知識點三列舉法[填一填]把集合中的所有元素都列舉出來,寫在大括號“{}”內(nèi)表示集合的方法.[答一答]3.(1)列舉法是否可以表示所有的集合呢?說明理由.提示:不可以.對于集合中元素個數(shù)有無限個且沒有規(guī)律的集合是不可以用列舉法表示的.(2)用列舉法表示集合的關(guān)鍵是什么?提示:關(guān)鍵是找到集合中的所有元素,并把它們一一列舉出來或找到其呈現(xiàn)的規(guī)律.知識點四描述法[填一填]集合的特征性質(zhì)及描述法(1)集合的特征性質(zhì):如果在集合I中,屬于集合A的任意一個元素x都具有性質(zhì)p(x),而不屬于集合A的元素都不具有性質(zhì)p(x),則性質(zhì)p(x)叫做集合A的一個特征性質(zhì).(2)描述法表示集合:[答一答]4.(1)是否存在集合既可以用列舉法表示又可以用描述法表示?請舉例說明.提示:存在.比如正奇數(shù)的集合可以表示為{1,3,5,7,…},也可以表示為{x|x=2n+1,n∈N}.但是也有些集合是不可以的,如大于1的實數(shù)只能用描述法表示為{x|x>1,x∈R}.(2)集合A={x|x>1}與B={t|t>1}是否表示同一個集合?提示:是.雖然表示代表元素的字母不同,但都表示由大于1的所有實數(shù)組成的集合,因而表示同一個集合.1.對集合概念的兩點說明(1)集合是數(shù)學(xué)中不加定義的原始概念,我們只對它進(jìn)行描述性說明.(2)集合是一些能夠確定的不同的對象的整體,其中“整體”已暗含“所有”“全部”“全體”的含義,因此一些對象一旦構(gòu)成集合,那么這個集合就是這些對象的全體,而并非個別對象.2.0、含有一個元素0的集合A、?,三者之間的區(qū)別與聯(lián)系(1)0與A是不同的,0只是一個數(shù)字,而集合A則表示含有一個元素0的集合,它們的關(guān)系是0∈A.(2)?與A是不同的,?中沒有任何元素,而A則表示含有一個元素0的集合,它們之間的關(guān)系是兩個集合之間的關(guān)系.3.對集合的分類的兩點說明(1)集合通常是按照集合中元素個數(shù)來分類,如果集合中有有限個元素,則為有限集;如果是有無限個元素,則為無限集.(2)常見的自然數(shù)集、正整數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集都是無限集,它們的表示符號一定要牢記.4.列舉法表示集合時應(yīng)關(guān)注的五點(1)用列舉法表示集合時首先要注意元素是數(shù)、點,還是其他的對象,即確定性.(2)元素之間用“,”隔開而非“;”.(3)元素不能重復(fù)且無遺漏.(4)“{}”本身帶有“所有的…”或“…的全體(全部)”的意思,因此在大括號內(nèi)表示內(nèi)容時,應(yīng)把“所有”“全部”或“全體”等詞語刪去.(5)表示有特殊規(guī)律的無限集時,必須把元素間的規(guī)律表示清楚后才可以用省略號.5.描述法表示集合應(yīng)關(guān)注的五點(1)寫清楚集合中代表元素的符號,如實數(shù)或有序?qū)崝?shù)對(點),注意集合中對代表元素符號的范圍進(jìn)行限制,若沒有注明范圍,一般是在實數(shù)范圍內(nèi)考慮問題.(2)說明該集合中元素具有的性質(zhì),如方程、不等式、函數(shù)或幾何圖形等.(3)描述部分若出現(xiàn)元素符號以外的字母時,要對新字母說明其含義并指出其取值范圍.(4)所有描述的內(nèi)容都要寫在大括號內(nèi),用于描述的語句力求簡明、確切.(5)多層描述時,應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確使用“且”和“或”,并且所有描述的內(nèi)容都要寫在集合符號內(nèi).類型一集合的概念【例1】判斷下列每組對象能否構(gòu)成一個集合:(1)數(shù)學(xué)必修1課本中所有的難題;(2)滿足不等式2x-1≥1的x的值;(3)方程x2-3x+1=0在實數(shù)范圍內(nèi)的解;(4)π的近似值的全體.【思路探究】此類題目應(yīng)先分析各組對象是否具有確定性和互異性,然后再作判斷.【解】(1)“難題”無明確的標(biāo)準(zhǔn),對于某個題是否“難”無法客觀地判斷,故“數(shù)學(xué)必修1課本中所有的難題”不能構(gòu)成一個集合.(2)任意給一個實數(shù)x,可以明確地判斷x是不是“滿足不等式2x-1≥1的x的值”,即“x≥1”與“x<1”兩者必居其一,且僅居其一,故“滿足不等式2x-1≥1的x的值(3)任意給一個實數(shù)x,可以明確地判斷x是不是方程x2-3x+1=0在實數(shù)范圍內(nèi)的解,即“x2-3x+1=0”與“x2-3x+1≠0”兩者必居其一,且僅居其一,故“方程x2-3x+1=0在實數(shù)范圍內(nèi)的解(4)“π的近似值”沒有明確精確到什么程度,因此很難判斷一個數(shù)是不是π的近似值,故“π的近似值的全體”不能構(gòu)成一個集合.規(guī)律方法判斷指定的對象的全體能否構(gòu)成集合,關(guān)鍵在于能否找到一個明確的標(biāo)準(zhǔn),對于任何一個對象,都能確定它是否是給定集合的元素.下列各組對象能構(gòu)成集合的有1個.(1)平昌冬奧會速滑比賽中滑得很快的選手;(2)一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖像上的若干個點;(3)不超過2019的非負(fù)數(shù).解析:(1)“滑得很快”無明確的標(biāo)準(zhǔn),對于某位選手是否“滑得很快”無法客觀地判斷,因此,“平昌冬奧會速滑比賽中滑得很快的選手”不能構(gòu)成一個集合.(2)“若干個點”是模糊的概念,因此與之對應(yīng)的對象都是不確定的,自然它們不能構(gòu)成集合,故“一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖像上的若干個點”不能構(gòu)成一個集合.(3)任給一個實數(shù)x,可以明確地判斷x是不是“不超過2019的非負(fù)數(shù)”,即“0≤x≤2019”與“x<0或x>2019”,兩者必居其一,且僅居其一,故“不超過2019的非負(fù)數(shù)類型二元素和集合的關(guān)系【例2】(1)若3∈{m-1,3m,m2-1},則m(2)若2?{x|x-a≥0},則實數(shù)a的取值范圍是________.【思路探究】當(dāng)a∈A時,若集合A是用描述法表示的,則a一定滿足集合中元素的共同特征.若集合A是用列舉法表示的,則a一定等于集合A中的某個元素.當(dāng)a?A時,結(jié)論相反.【解析】(1)因為3∈{m-1,3m,m2-1},所以當(dāng)m-1=3時,m=4,此時3m=12,m2-1=15,符合題意.當(dāng)3m=3時,m=1,此時,m-1=0,m2-1=0,不符合集合中元素的互異性.當(dāng)m2-1=3時,m=2或-2,若m=2,則m-1=1,3m=6,符合題意;若m=-2,則綜上知m=4,2或-2.(2)由2?{x|x-a≥0}得2-a<0,所以a>2.【答案】(1)4,2或-2(2)a>2規(guī)律方法a∈A與a?A取決于a是不是集合A中的元素.根據(jù)集合中元素的確定性,可知對任何a與A,在a∈A與a?A這兩種情況中必有一種且只有一種成立.已知集合M中有兩個元素3,m+1,又4∈M,則實數(shù)m的值為(B)A.4 B.3C.2 D.1解析:由題意得m+1=4,即m=3.類型三集合的表示【例3】用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝薪o定的集合:(1)大于1且小于6的整數(shù)組成的集合A;(2)式子eq\f(|a|,a)+eq\f(|b|,b)(a≠0,b≠0)的所有值組成的集合C;(3)不等式2x-7<3的解集A;(4)平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上的點組成的集合.【思路探究】(1)用列舉法表示集合的關(guān)鍵是把集合的元素全部找出來,再按列舉法的規(guī)則正確表示.(2)用描述法表示集合的關(guān)鍵是正確描述出集合元素的共同特征,再按描述法的格式正確表示.【解】(1)大于1且小于6的整數(shù)有2,3,4,5,所以集合A={2,3,4,5}.(2)當(dāng)a>0,b>0時,eq\f(|a|,a)+eq\f(|b|,b)=2.當(dāng)a<0,b<0時,eq\f(|a|,a)+eq\f(|b|,b)=-2.當(dāng)a>0,b<0時,eq\f(|a|,a)+eq\f(|b|,b)=0.當(dāng)a<0,b>0時,eq\f(|a|,a)+eq\f(|b|,b)=0.所以集合C={-2,0,2}.(3)解2x-7<3得x<5,所以A={x|x<5}.(4)平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上的點的共同特征是至少有一個坐標(biāo)為0,所以D={(x,y)|x·y=0,x∈R,y∈R}.規(guī)律方法列舉法表示集合時要注意集合元素的互異性、無序性和確定性,元素與元素之間用“逗號”隔開.集合所含元素較少或所含元素不易表述時適用列舉法.描述法表示集合時要表述清楚元素的屬性.集合所含元素較多或所含元素較易表述時適用描述法.常用的點集與數(shù)集的表示要區(qū)分開.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)所有能被3整除的整數(shù);(2)滿足方程x=|x|的所有x的值構(gòu)成的集合.解:(1)能被3整除的整數(shù)可以表示為3n(n∈Z),所以用描述法表示為{x|x=3n,n∈Z}.(2){x|x=|x|}或{x|x≥0}.類型四集合表示法的綜合應(yīng)用【例4】已知集合A={x|ax2+2x+1=0}.(1)若A中沒有任何元素,求實數(shù)a的取值范圍;(2)若A中只有一個元素,求實數(shù)a的取值范圍;(3)若A中至少有一個元素,求實數(shù)a的取值范圍;(4)若A中至多有一個元素,求實數(shù)a的取值范圍.【思路探究】集合A是由方程ax2+2x+1=0的解構(gòu)成的集合.二次項系數(shù)a在整個實數(shù)范圍內(nèi)取值,要對a=0和a≠0進(jìn)行分類討論.A中只有一個元素,可以是方程只有一個根,也可以是方程有兩個等根.【解】(1)若A中沒有任何元素,則關(guān)于x的方程ax2+2x+1=0無實根.當(dāng)a=0時,x=-eq\f(1,2),不符合題意;當(dāng)a≠0時,由Δ=4-4a<0,解得a∴當(dāng)a>1時,A中沒有任何元素.(2)若A中只有一個元素,則關(guān)于x的方程ax2+2x+1=0只有一個實數(shù)根或有兩個相等的實數(shù)根.當(dāng)a≠0時,由Δ=4-4a=0,得a當(dāng)a=0時,x=-eq\f(1,2),符合題意.∴當(dāng)a=0或1時,A中只有一個元素.(3)由(2)知,A中只有一個元素時,a=0或a=1.A中有兩個元素時,有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0,,Δ>0,))解得a<1,且a≠0,綜上,當(dāng)a≤1時,A中至少有一個元素.(4)若A中至多有一個元素,綜合(1)(2)知a的取值范圍為a≥1或a=0.規(guī)律方法本題考查了數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析及數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng).分類討論思想適用于解決從整體上難以解決的數(shù)學(xué)問題.運用該思想時,把問題進(jìn)行科學(xué)規(guī)劃非常必要,必須遵循不重、不漏和最簡的原則.(1)設(shè)集合A={-1,0,1},B={0,1,2},若x∈A,且x?B,則x=(A)A.-1 B.0C.1 D.2解析:只有元素-1滿足x∈A,且x?B.(2)若集合P含有兩個元素1,2,集合Q含有兩個元素1,a2,且P,Q相等,則a=±eq\r(2).解析:由P,Q相等,得a2=2,從而a=±eq\r(2).經(jīng)檢驗,符合題意.——易錯誤區(qū)——忽略集合中元素的互異性【例5】已知集合A是由1,3,a2+a,a+1四個元素構(gòu)成的,若a∈A,求實數(shù)a的值.【錯解】①若a2+a=a,則a=0;②若a+1=a,則a∈?.所以實數(shù)a的值為0,1,3.【正解】①當(dāng)a=1時,集合A中元素為1,3,2,2,不滿足集合中元素的互異性,舍去;②當(dāng)a=3時,集合A中元素為1,3,12,4,符合題意;③當(dāng)a=a2+a,即a=0時,集合A中元素為1,3,0,1,不滿足集合中元素的互異性,舍去;④當(dāng)a=a+1時,a不存在.綜上所述,實數(shù)a的值為3.【錯因分析】錯解忽略了當(dāng)a=0或a=1時,集合A中的元素不滿足互異性.【防范措施】集合中元素要求具備“確定性”“互異性”“無序性”,在解題時應(yīng)特別留意互異性,否則極易出現(xiàn)增解.已知集合A中含有三個元素0,1,x,若x2∈A,求實數(shù)x的值.分析:既然x2是集合中的元素,則它既可能是1,也可能是0,或者是x,需對其進(jìn)行分類討論.解:(1)當(dāng)x2=0時,得x=0,此時集合A中有兩個相同的元素,舍去.(2)當(dāng)x2=1時,得x=±1.若x=1,此時集合A中有兩個相同的元素,舍去;若x=-1,此時集合A中有三個元素0,1,-1,符合題意.(3)當(dāng)x2=x時,得x=0或x=1,由上可知都不符合題意.綜上可知,符合題意的x的值為-1.一、選擇題1.下列語句所描述的對象的全體能構(gòu)成集合的是(C)A.校內(nèi)喜歡體育的學(xué)生B.本班視力良好的學(xué)生C.參與國慶60周年大閱兵的所有徒步方隊D.本班身材高大的學(xué)生解析:判斷所給的對象能否構(gòu)成集合,關(guān)鍵是理解集合的概念,明晰集
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