第二章++圓錐曲線(xiàn)復(fù)習(xí)提升訓(xùn)練 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

本章復(fù)習(xí)提升易混易錯(cuò)練易錯(cuò)點(diǎn)1對(duì)圓錐曲線(xiàn)方程理解不到位致錯(cuò)1.(2022安徽蕪湖月考)在平面直角坐標(biāo)系中,到點(diǎn)(1,1)和直線(xiàn)x+2y=3的距離相等的點(diǎn)的軌跡是()A.直線(xiàn)B.拋物線(xiàn)C.圓D.雙曲線(xiàn)2.(2022山西大同第一中學(xué)月考)若雙曲線(xiàn)E:x225-y2144=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)E上,且|PF1|=16,則|PFA.26或6B.26C.6D.28易錯(cuò)點(diǎn)2忽略圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn)位置致錯(cuò)3.若橢圓x29+y2m+4=1的焦距為A.1B.4C.1或7D.4或64.以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心,兩坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸的雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)的傾斜角為π3,則雙曲線(xiàn)的離心率為易錯(cuò)點(diǎn)3混淆橢圓與雙曲線(xiàn)中a,b,c之間的關(guān)系致錯(cuò)5.已知雙曲線(xiàn)x24-y2b2=1(b>0)的焦點(diǎn)與橢圓xA.42B.5C.3D.5

易錯(cuò)點(diǎn)4求軌跡方程時(shí)不能正確剔除不符合題意的點(diǎn)致錯(cuò)6.(2024黑龍江哈爾濱第九中學(xué)期中)已知A(-2,0),B(2,0),直線(xiàn)AM,BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積是3,則點(diǎn)M的軌跡C的方程為.

7.(2022河南鄭州重點(diǎn)高中聯(lián)考)△ABC的三邊a,b,c(a>b>c)滿(mǎn)足a+c=2b,A,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-1,0),(1,0),求頂點(diǎn)B的軌跡方程.易錯(cuò)點(diǎn)5忽略直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系中的特殊情況致錯(cuò)8.過(guò)點(diǎn)(0,1)且與拋物線(xiàn)y2=4x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)有()A.1條B.2條C.3條D.0條9.過(guò)雙曲線(xiàn)x2-y22=1的右焦點(diǎn)F作直線(xiàn)l,交雙曲線(xiàn)于A,B兩點(diǎn),若|AB|=4,則這樣的直線(xiàn)l有(A.1條B.2條C.3條D.4條思想方法練一、分類(lèi)討論思想在圓錐曲線(xiàn)中的應(yīng)用1.(多選題)已知θ∈R,則方程x2+3(cosθ)·y2=1所表示的曲線(xiàn)可能為()A.雙曲線(xiàn)B.拋物線(xiàn)C.橢圓D.圓2.(2024浙江杭師大附中期中)已知雙曲線(xiàn)x24-y25=1的左焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上且在x軸上方,若線(xiàn)段PF的中點(diǎn)在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,|OF|為半徑的圓上,二、數(shù)形結(jié)合思想在圓錐曲線(xiàn)中的應(yīng)用3.已知拋物線(xiàn)C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線(xiàn)為l,過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交l于點(diǎn)A,與拋物線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)為B,且FA=-2FB,則|AB|=(A.3B.6C.9D.124.(2024上海南匯中學(xué)期中)直線(xiàn)3x-2y+6=0與曲線(xiàn)y29-x|A.1B.2C.3D.4三、轉(zhuǎn)化與化歸思想在圓錐曲線(xiàn)中的應(yīng)用5.(2024江蘇南京第九中學(xué)學(xué)情調(diào)研)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0),C的上頂點(diǎn)為A,兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為12.過(guò)F1且垂直于AF2的直線(xiàn)與C交于D,EA.11B.12C.13D.146.(2023江蘇南京十三中期中)設(shè)拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于M,N兩點(diǎn).(1)若l過(guò)點(diǎn)F,且|MN|=3p,求l的斜率;(2)若Pp2,p,且l的斜率為-1,當(dāng)P?l時(shí),求l在y軸上的截距的取值范圍(用p表示),并證明∠MPN的平分線(xiàn)始終與四、函數(shù)與方程思想在圓錐曲線(xiàn)中的應(yīng)用7.設(shè)F1,F2分別是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),過(guò)F1的直線(xiàn)l交橢圓于A,B兩點(diǎn),l在y軸上的截距為1,若|AF1|=3|F1B|,且AF2A.33B.3C.68.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線(xiàn)C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M,N在雙曲線(xiàn)C上,若四邊形OFMNA.3-1B.5-1C.3+1D.5+19.已知雙曲線(xiàn)x24-y2=1,A(3,0),O為坐標(biāo)原點(diǎn),M為雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn),則OM·AMA.-145B.-2C.-3D.

答案與分層梯度式解析本章復(fù)習(xí)提升易混易錯(cuò)練1.A因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)在直線(xiàn)x+2y=3上,所以所求點(diǎn)的軌跡是過(guò)點(diǎn)(1,1)且與直線(xiàn)x+2y=3垂直的直線(xiàn).易錯(cuò)警示定點(diǎn)不在定直線(xiàn)上時(shí),平面內(nèi)到定點(diǎn)和定直線(xiàn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線(xiàn);定點(diǎn)在定直線(xiàn)上時(shí),平面內(nèi)到定點(diǎn)和定直線(xiàn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是直線(xiàn).2.B由題知a=5,b=12,c=13,由雙曲線(xiàn)的定義知||PF1|-|PF2||=10,∴|16-|PF2||=10,解得|PF2|=6或|PF2|=26.又∵|PF2|≥c-a=8,∴|PF2|=26,故選B.總結(jié)反思(1)對(duì)于形如x2m+y2n=1的方程,當(dāng)m,n異號(hào)時(shí),其為雙曲線(xiàn)方程;(2)不少同學(xué)常把y=ax2(a≠0)這種形式的方程看成是拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程,導(dǎo)致解題錯(cuò)誤,其標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)為x2=1a(3)在雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)中,若F1,F2分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn),P為雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn),則|PF3.D由題意可得c=1.當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí),9-(m+4)=1,解得m=4,符合題意;當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí),(m+4)-9=1,解得m=6,符合題意.故選D.4.答案2或2解析若雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),則漸近線(xiàn)的方程為y=±bax,由題意可得ba=tan若雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在y軸上,設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),則漸近線(xiàn)的方程為y=±abx,由題意可得ab=tanπ3綜上可得,e=2或e=23易錯(cuò)警示研究含參數(shù)的圓錐曲線(xiàn)方程時(shí),要注意判斷焦點(diǎn)的位置,如果不能確定焦點(diǎn)的位置,要分情況討論.5.D由題意得4+b2=25-16,∴b2=5,∴b=5,因此該雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為y=52x,即5x-2y=0.又雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)為(3,0)和(-3,0),所以雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離d=355+4=總結(jié)反思在橢圓中,a,b,c之間的關(guān)系式為a2=b2+c2,而在雙曲線(xiàn)中,a,b,c之間的關(guān)系式為c2=a2+b2,關(guān)系式不能混淆.6.答案x24-解析設(shè)M(x,y),x≠±2,則kAM=yx∵kAM·kBM=3,∴yx+2·yx-2=3,整理得即點(diǎn)M的軌跡C的方程為x24-易錯(cuò)警示涉及斜率時(shí),往往會(huì)忽略斜率為0或斜率不存在的特殊情況,導(dǎo)致所求軌跡含有不符合條件的點(diǎn).7.解析設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x,y).∵A(-1,0),C(1,0),a+c=2b,即|BC|+|BA|=2|AC|,∴|BC|+|BA|=4>|AC|.根據(jù)橢圓的定義知,頂點(diǎn)B的軌跡方程為x2∵a>c,即(x∴x<0.∵點(diǎn)B不在x軸上,∴x≠-2.故頂點(diǎn)B的軌跡方程為x2易錯(cuò)警示求軌跡問(wèn)題時(shí),注意是否存在隱含條件,不能擴(kuò)大或縮小變量的取值范圍.本題易忽略題中的條件a>b>c及隱含條件點(diǎn)B在x軸上時(shí),A,B,C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形.8.C易知過(guò)點(diǎn)(0,1)且斜率不存在的直線(xiàn)方程為x=0,滿(mǎn)足與拋物線(xiàn)y2=4x只有一個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)直線(xiàn)方程為y=kx+1,與y2=4x聯(lián)立,得k2x2+(2k-4)x+1=0,當(dāng)k=0時(shí),方程有一個(gè)解,此時(shí)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)k≠0時(shí),令Δ=(2k-4)2-4k2=0,解得k=1,此時(shí)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn).所以滿(mǎn)足題意的直線(xiàn)有3條.故選C.9.C若l⊥x軸,則AB為通徑,而通徑長(zhǎng)度2b2a正好是4,故存在直線(xiàn)l交雙曲線(xiàn)于同支上的A,B兩點(diǎn)且|AB|=4,這樣的直線(xiàn)只有一條.若l經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn),則|AB|=2,故存在直線(xiàn)l交雙曲線(xiàn)于異支上的A,B兩點(diǎn)且|AB|=4,這樣的直線(xiàn)有且只有兩條.故滿(mǎn)足|AB|=4的直線(xiàn)l有3條.總結(jié)反思(1)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),可能是相切的位置關(guān)系,也可能是直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行或重合.(2)不要認(rèn)為雙曲線(xiàn)同一支上兩點(diǎn)連接而成的線(xiàn)段才是弦,左支和右支上的點(diǎn)連接而成的線(xiàn)段也是弦.(3)在過(guò)雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)的弦中,如果弦的端點(diǎn)在同一支上,則通徑最短,如果在不同支上,則連接兩頂點(diǎn)所得的弦最短.思想方法練1.ACD-1≤cosθ≤1,由于θ∈R,所以對(duì)cosθ的符號(hào)和取值進(jìn)行討論,從而確定曲線(xiàn)表示的圖形.

當(dāng)cosθ=0時(shí),方程化為x=±1,表示兩條直線(xiàn);當(dāng)0<cosθ<13時(shí),方程化為x2+y213cosθ=1,表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓;當(dāng)cosθ=13時(shí),方程化為x2+y2=1,表示圓;當(dāng)13<cosθ≤1時(shí),方程化為x2+y213cosθ=1,表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓;當(dāng)-1≤cosθ<0時(shí),方程化為x2.答案11解析由雙曲線(xiàn)x24-y25=1可知a=2,b=5,設(shè)線(xiàn)段PF的中點(diǎn)為M,雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為A,則|OM|=3,|AF|=6,點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上且在x軸上方,所以分點(diǎn)P在第一象限內(nèi)和在第二象限內(nèi)兩種情況討論.如圖,若點(diǎn)P在第一象限內(nèi),則|PA|=2|OM|=6,|PF|=|PA|+4=10,在△PFA中,由余弦定理得cos∠PFA=|PF所以sin∠PFA=1-所以tan∠PFA=sin∠所以直線(xiàn)PF的斜率為115若點(diǎn)P在第二象限,設(shè)P(s,t)(s<0,t>0),則Ms-故(s-3)2綜上所述,直線(xiàn)PF的斜率為115思想方法在解答圓錐曲線(xiàn)相關(guān)問(wèn)題時(shí),應(yīng)用圓錐曲線(xiàn)的方程、幾何性質(zhì)以及與直線(xiàn)的位置關(guān)系解題常遇到多種可能情況,需要對(duì)各種情況加以分類(lèi),并逐類(lèi)求解,然后綜合歸納得出問(wèn)題的正確答案.分類(lèi)討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想,同時(shí)也是一種重要的解題方法,分類(lèi)時(shí)要做到不重復(fù)、不遺漏.3.C拋物線(xiàn)C:y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0)和準(zhǔn)線(xiàn)l:x=-1,作圖如下:由FA=-2FB,可得|FA|∶|AB|=2∶3,過(guò)B作BC⊥l于C,設(shè)l與x軸交于D,則|FD|∶|BC|=2結(jié)合圖形可發(fā)現(xiàn)三角形ADF與三角形ACB相似,則有對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例.因?yàn)閨FD|=2,所以|BC|=3,所以|FB|=3,所以|AB|=3|FB|=9,故選C.4.B考慮x≥0和x<0兩種情況,畫(huà)出曲線(xiàn)和直線(xiàn),根據(jù)圖形得到答案.當(dāng)x≥0時(shí),曲線(xiàn)y29-x|x|4其一條漸近線(xiàn)方程為y=32x,直線(xiàn)3x-2y+6=0與該漸近線(xiàn)平行當(dāng)x<0時(shí),曲線(xiàn)y29-x|x|4如圖所示,由圖可知,直線(xiàn)3x-2y+6=0與曲線(xiàn)y29-x|故選B.思想方法在解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合,把代數(shù)式的精確刻畫(huà)與幾何圖形的直觀(guān)描述有機(jī)結(jié)合,避免煩瑣的計(jì)算和推理,實(shí)現(xiàn)快速、準(zhǔn)確解題.5.C因?yàn)闄E圓的離心率e=ca=12,所以a=2c,所以b=a2-c2=3c,所以橢圓的焦點(diǎn)在x則|AF1|=|AF2|=|F1F2|=2c,所以△AF1F2為正三角形,又直線(xiàn)DE過(guò)F1且垂直于AF2,所以∠DF1F2=30°,所以直線(xiàn)DE的方程為y=33設(shè)D(x1,y1),E(x2,y2),聯(lián)立x24c2+y23c2=1,y=33(x+c所以|DE|=1+332×-8c132直線(xiàn)DE垂直平分AF2,所以求△ADE的周長(zhǎng)等價(jià)轉(zhuǎn)化為求△F2DE的周長(zhǎng),而△F2DE的周長(zhǎng)可結(jié)合橢圓定義快速得出.易知直線(xiàn)DE垂直平分AF2,所以△ADE的周長(zhǎng)等于△F2DE的周長(zhǎng),所以△ADE的周長(zhǎng)為4a=13.故選C.6.解析(1)當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí),直線(xiàn)l的方程為x=p2,與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立,消去x可得y2=p2,即y=±p,所以|MN|=2p,但|MN|=3p,故直線(xiàn)l的斜率存在,設(shè)其為k,易知k≠0,則直線(xiàn)l的方程為y=kx-p由y=kx-p2,y2=2px,設(shè)M(xM,yM),N(xN,yN),則xM+xN=k2所以|MN|=|MF|+|NF|=xM+p2利用拋物線(xiàn)的定義進(jìn)行距離的轉(zhuǎn)化,從而得到與k有關(guān)的式子并求解.解得k=±2,所以直線(xiàn)l的斜率為±2.(2)設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=-x+m,M(x1,y1),N(x2,y2).由y=-x+m,y2則x1+x2=2m+2p,x1x2=m2.由Δ=(2m+2p)2-4m2>0,得m>-p2.又P?l,故-p2+m≠p,所以m≠3p2,從而l在y軸上的截距通過(guò)∠MPN與直線(xiàn)PM,PN的傾斜角的關(guān)系,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩直線(xiàn)斜率之間的關(guān)系問(wèn)題.kPM+kPN=y=(=(-=-=-2所以直線(xiàn)PM,PN的斜率互為相反數(shù),傾斜角互補(bǔ),從而∠MPN的平分線(xiàn)始終與y軸平行或垂直.思想方法轉(zhuǎn)化與化歸思想在解析幾何中的運(yùn)用常常體現(xiàn)在以下方面:利用圓錐曲線(xiàn)的定義及幾何性質(zhì)對(duì)相關(guān)的量進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸,將一般點(diǎn)或一般圖形轉(zhuǎn)化為特殊點(diǎn)或特殊圖形,將圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式或者代數(shù)運(yùn)算,將代數(shù)形式或者代數(shù)運(yùn)算翻譯為幾何圖形語(yǔ)言等.7.D由AF2⊥x軸,l在y軸上的截距為1,易知A(c,2),又|AF1|=3|F1B|,∴由三角形相似可得B-53c,-2構(gòu)建關(guān)于a,b,c的方程組求值.得c2a2+又|AF2|=b2a=2,故選D.8.C由題意可知|OF|=c,由四