函數(shù)的奇偶性 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第一冊(cè)

4.1函數(shù)的奇偶性同學(xué)們大家好，歡迎來(lái)到我的數(shù)學(xué)微課課堂！

我們生活在美的世界中，有過(guò)許多對(duì)美的感受。請(qǐng)大家想一下有哪些美呢?有和諧美、自然美、對(duì)稱美...今天，我們就來(lái)討論對(duì)稱美，請(qǐng)大家想一下哪些事物給過(guò)你對(duì)稱美的感覺(jué)呢?這種“對(duì)稱美”在數(shù)學(xué)中也有大量的反映，讓我們看看下列各函數(shù)有什么共性？我們又是如何體現(xiàn)這種對(duì)稱性的呢？這兩個(gè)函數(shù)圖像有什么共同特征？相應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)值對(duì)應(yīng)表是如何體現(xiàn)這些特征的？對(duì)于函數(shù)f(x)=x2

：有f(-3)=9=f(3)，f(-2)=4=f(2)，f(-1)=1=f(1)。對(duì)于函數(shù)g(x)=2-|x|：有g(shù)(-1)=1=g(1)，g(-2)=0=g(2)，g(-3)=-1=g(3)。你能用符號(hào)語(yǔ)言精確地描述“函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”這一特征嗎？從函數(shù)值對(duì)應(yīng)表可以看到，當(dāng)自變量x取一對(duì)相反數(shù)時(shí)，相應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)值相同。例如，對(duì)于函數(shù)f(x)=x2，有f(-3)=9=f(3)，f(-2)=4=f(2)，f(-1)=1=f(1)實(shí)際上，?x

∈R，都有f（-x）=

(-x)2

=x2

=f(x)，這時(shí)稱函數(shù)f（x）=x2

為偶函數(shù)。一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x

∈I，都有-x

∈I，且f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。下面兩個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)嗎？?jī)蓚€(gè)函數(shù)的圖像都關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形

有f(-3)=-3=-f(3)，f(-2)=-2=-f(2)，f(-1)=-1=-f(1)。有g(shù)(-1)=-1=-g(1)，g(-2)=-1/2=-g(2)，g(-3)=-1/3=-g(3)。對(duì)于函數(shù)f(x)=x：對(duì)于函數(shù)g(x)=1/x：請(qǐng)你試著填一填下面表格。你發(fā)現(xiàn)了什么？當(dāng)自變量x取一對(duì)相反數(shù)時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值f(x)也是一對(duì)相反數(shù)，即對(duì)?x

∈R，都有f(-x)=-f(x)，此時(shí)，稱函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)。一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镮，如果?x

∈I，都有-x∈I.且f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)y=f(x)就叫做奇函數(shù)。函數(shù)的奇偶性定義：函數(shù)的奇偶性:如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則稱這個(gè)函數(shù)具有奇偶性。奇函數(shù):一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，則稱y=f(x)為奇函數(shù)。偶函數(shù):一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，則稱y=f(x)為偶函數(shù)。對(duì)函數(shù)奇偶性定義的理解:(1)函數(shù)的奇偶性是相對(duì)于定義域D內(nèi)的任意一個(gè)x而言的，而函數(shù)的單調(diào)性是相對(duì)于定義域內(nèi)的某個(gè)子集而言的,從這個(gè)意義上講,函數(shù)的單調(diào)性屬于“局部性質(zhì)”,而函數(shù)的奇偶性則屬于“整體性質(zhì)”。(2)奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。如何判斷函數(shù)的奇偶性:考察“f（-x）與f（x）的關(guān)系，具體步驟如下:(1)求f（x）的定義域;(2)若定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)f（x）不具有奇偶性，若定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可再利用定義驗(yàn)證f（-x）與f（x）的關(guān)系。那么現(xiàn)在你可以歸納出證明函數(shù)奇偶性的步驟嗎？第一步：求出函數(shù)的定義域第二步：判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若否，則函數(shù)不具有奇偶性，結(jié)束判斷，若是，則進(jìn)行第三步第三步：對(duì)?x

∈I(I為定義域)，計(jì)算f(-x)。若f(-x)=f(x)，則f(x)為偶函數(shù);若f(-x)=-f(x)，則f(x)為奇函數(shù);若f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)；則f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x)，則f(x)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)。判斷下列函數(shù)的奇偶性。010203解：（1）f（x）=x4

的定義域?yàn)镽，?x

∈R，都有-x

∈R，且f(-x)=(-x)4

=f(x)，那么函數(shù)f(x)為偶函數(shù)。（2）f（x）=x5的定義域?yàn)镽，?x

∈R，都有-x

∈R，且f(-x)=(-x)5

=-f(x)，那么函數(shù)f(x)為奇函數(shù)。（3）f（x）=x+1/x的定義域?yàn)閧x|x≠0}，?x

∈{x|x≠0}，都有-x

∈{x|x≠0}，且f（-x）=-x+1/-x=-（x+1/x）=-f（x），那么函數(shù)f（x）為奇函數(shù)。如果函數(shù)改為g（x）=x4（x>0），那么g（x）還是偶函數(shù)嗎？x>0，-x<0，不符合偶函數(shù)的定義。一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x

∈I，都有-x

∈I，且f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。已知f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，試將下圖補(bǔ)充完整。錯(cuò)題辨析已知函數(shù)

，判斷函數(shù)的奇偶性。我們來(lái)看小明同學(xué)的解析：解：

∴

∴該函數(shù)為偶函數(shù)。同學(xué)們，他做的對(duì)嗎？答案是不對(duì)，錯(cuò)解分析：本題主要出錯(cuò)的原因在于未注意到定義域?qū)瘮?shù)奇偶性的影響，實(shí)際上，本題定義域中僅有兩個(gè)元素，其定義域?yàn)閧1,-1}，則f(x)=0，該函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，是特殊的函數(shù)。本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的奇偶性，通過(guò)函數(shù)圖象的對(duì)稱性進(jìn)而研究函數(shù)值,再到用精準(zhǔn)的符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)該性質(zhì)，得到了函數(shù)