新高考專用2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)1 等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用含解析

專項(xiàng)二數(shù)列

考點(diǎn)1等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用

大題拆解技巧

【母題】(2021年全國(guó)乙卷)設(shè)瓜｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)歹九數(shù)列版｝滿足b.=守.已知

ai,3a%9a3成等差數(shù)列.

(1)求｛a,｝和｛bj的通項(xiàng)公式;

⑵記S“和T”分別為瓜｝和｛bn｝的前n項(xiàng)和,證明:T”今.

【拆解1】設(shè)瓜｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，已知ab3a2,9a3成等差數(shù)列,求等比數(shù)列瓜｝的公比.

【解析】設(shè)公比為q,因?yàn)閿?shù)列匕?｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，且孤3az,9as成等差數(shù)列，

所以6a2=a1+9a3,所以6aiq=ai+9aiq\

即9q、6q+l=0,解得

【拆解2】設(shè)E｝是首項(xiàng)為1,公比為;的等比數(shù)列,數(shù)列?｝滿足此?求⑸｝和?｝的通項(xiàng)公

式.

,1H

【解析】因?yàn)閿?shù)列｛須｝是首項(xiàng)為1,公比為;的等比數(shù)列,所以an=(1),

所以也守余

1

【拆解3】已知數(shù)列｛a,,｝是首項(xiàng)為1,公比為;的等比數(shù)列,且b,號(hào),記S”和%分別為｛aj和｛b?｝

的前n項(xiàng)和，求S”和T”.

【解析】因?yàn)閿?shù)列｛a,｝是首項(xiàng)為1,公比為|的等比數(shù)歹U,所以S,,半%(14),

?51——/3

3

*渭+…+號(hào)+和①

1號(hào)$+…耳+向，②

①-②得1*+##…+丸3(1*-撕

所以*(1*，

【拆解4】已知S,(1*，*(『*)-&,證明:T,微

【解析】因?yàn)門「對(duì)(1康-號(hào)5(1享=-"<0,所以T得

小做變式訓(xùn)練

已知等差數(shù)列｛aj的公差d不為0,其中a3=7,aba2,a6成等比數(shù)列.數(shù)列｛b.｝滿足

log2bllog2b2log2b31。82、2

(1)求數(shù)列｛aj與｛bj的通項(xiàng)公式；

⑵若Cn=ah,求數(shù)列｛cj的前n項(xiàng)和Sn.

【拆解1］已知等差數(shù)列｛&｝的公差d不為0,其中a3=7,aba2,小成等比數(shù)列，求數(shù)列｛an｝的通

2

項(xiàng)公式.

【解析】由已知得a?=aiae,又a3=7,

(7-d)2=(7-2d)(7+3d),

解得d=0(舍去)或d=3,

an=as+(n-3)d=3n-2.

【拆解2】已知數(shù)列｛b?｝滿足;+/+；+…+±4求數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式.

log2bllog2b2log2b3log2bn2

【解析】V—+—+—+-+^^=^,?

b2

log2bjlog2b2log2b3log2n

「?當(dāng)n=l時(shí)，可知］10g2bl=2,

log2bl2

-*.bi=4,

當(dāng)n22時(shí),可知士+廣+士+…+盧」號(hào)②

Log2bllog2b2log2b3Iog2bn-12

:

①-②得In「!=log2bn=2n,.\bn=4"(n52),

log2bn2

又bi=4滿足b?=4n,故當(dāng)nWN*時(shí),都有bn=4n.

n

【拆解3］已知an=3n-2,bn=4.若cn=anbn,求數(shù)列｛cn｝的通項(xiàng)公式.

nn

［解析］由已知an=3n-2,bn=4得a=&b尸(3n-2)X4.

n

【拆解4】已知cn=(3n-2)X4,求數(shù)列｛cj的前n項(xiàng)和Sn.

3

12n

【解析】VSn=lX4+4X4+-+(3n-5)X4"-'+(3n-2)X4,③

4S?=1X4、…+(3n-5)X4n+(3n-2)X4"”,④

S?-@M-3S?=4+3(42+43+—+4")-(3n-2)X4"-'=3(l-n)X4"“-12,

解得S.=(nT)X4"“+4.

通法技巧歸納

1.一般地,如果數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，｛&｝是等比數(shù)列,那么求數(shù)列｛&?b,｝的前n項(xiàng)和時(shí),可

采用錯(cuò)位相減法.

2.用錯(cuò)位相減法求和時(shí),應(yīng)注意：

⑴要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形.

(2)在寫出“S”與"qS；的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便下一步準(zhǔn)確地

寫出“$「qSJ的表達(dá)式.

突破實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練

(基礎(chǔ)過(guò)關(guān)》

1.已知公差不為0的等差數(shù)列｛&,｝滿足a3=5,且a.,a2,as成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛a.｝的通項(xiàng)公式；

4

(2)設(shè)b?4-->求數(shù)列｛bj的前n項(xiàng)和T?.

3anan+i

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d(dWO),由二=5得r+2d=5,

2

由aba2,as成等比數(shù)歹U可得(ai+d)?刊(ai+4d),即2aid-d=0,

因?yàn)閐WO,所以2a)-d=0,解得ai=l,d=2,所以an=2n-l,n￡N*.

⑵由(1)可得bn=^--~4一％nZ+i)-；廠9277-2^7，

3anan4，i3(2n-l?(2n+l;322n-l2n+l

TJH)_1)(1_1)_1(『_!_)

n1-123352n-l2n+l23n22n+l4n+22?3”

3

2.在數(shù)列｛an｝中，ai=l,an+i=an-2anan+i.

(1)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式;

⑵若b，W,求數(shù)列?｝的前n項(xiàng)和S“

==_

【解析】(1)?ai1,an+ian2anan+i,

...a“W0,二工一^-2n上」=2,

anan+lan+lan

...數(shù)列Fl是以2為公差，工1為首項(xiàng)的等差數(shù)列,

31

.\-!-=l+2(n-l)=2n-l>

an

工an士，(nWN)

2n-l

n

(2)由(1)知bn=(2n-l)X3,

5

Sn=lX3+3X32+5X33+7X3'+—+(2n-l)X3".

等式兩邊同時(shí)乘以3得3S?=1X32+3X33+5X347X3“…+(2n-l)X3叱

兩式相減得-2$?=3+2X32+2X3斗2X3’+…+2X3"-(2n-l)X3,rl

=3+2(32+33+34+-+3n)-(2n-l)X3"*'

=3+2x"：')-(2n-l)X3n+,

=3+3""-9-(2n-l)X3°+,

=2(l-n)X3ntl-6,

.,.S?=(n-1)X3向+3.

3.設(shè)數(shù)列｛a?｝滿足aE,a2=4,%-備+曰"'(nGN*).

(1)求數(shù)列｛a“｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)b?=1og2a2+1og2a3+?-?+1og2a?.,,數(shù)列｛J｝的前n項(xiàng)和為S?,證明：S?<*

[解析](1)因?yàn)閍?=[(a?-a?-i)+(a?-i-a?-2)+…+(a3-a2)]+a?(n23),

所以a?=(2"-l+2"-2+-+22)+4=2"(n>3),

當(dāng)n=2時(shí),a2=4,滿足a?=2",當(dāng)n=l時(shí),ai=l,不滿足a?=2",

所以數(shù)列｛a?｝的通項(xiàng)公式為同尸=b

U,n>z.

6

(2)因?yàn)閎n=log2a2+log2a3+???+log2an+i=2+3+…+(n+l)二二?

所以施q（七）

所以S串（1++（泠+（憐+（若）+???++總）］

Z_Z2-(/—]+一L+I——--I---I----1-)、

323n+1n+2n+3

=￡（U，?）

36n+1n+2n+3'

所以S??

4.在數(shù)列｛aj中，ai=l,a>i~an,（c>0）,且ai,a,a.5成等比數(shù)列.

ncan+l2

（1）證明：數(shù)列肝｝是等差數(shù)列,并求｛an｝的通項(xiàng)公式.

2

⑵設(shè)數(shù)列｛bn｝滿足bn=（4n+l）ananH,其前n項(xiàng)和為Sn,證明：SWn+l.

【解析】（1）由為“』,得L=L+c,即C,所以數(shù)列是等差數(shù)列,其公差為C,首項(xiàng)

can+lan+ianan+1anla/

為1,因此，上=i+（n-l）c,a?=1,

an1+（n-l）c

由ai,az,as成等比數(shù)列，得/a—即（」；）?=1X2,解得c=2或c=0（舍去）,

-c4-l4r*4-1

故①福

(2)因?yàn)閎產(chǎn)粵1+.2=1+/磊，

4nz-l(2n-l)(2n+l)

所以S*b2+…+b產(chǎn)n+dd+FW焉)=n+—,

7

因?yàn)閊^->0,所以SWn+1.

zn+l

〈能力拔高〉

5.己知等差數(shù)列｛aj和等比數(shù)列｛bj滿足a,=l,ah+a2bg+…+aM=2"J2n-4.

⑴求數(shù)列｛a,,｝,｛b,J的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)——----S?=ci+c2+—+c?,求證：S?<1.

(b?-a?)(bn+|-a?+1)

【解析】(1)假設(shè)等差數(shù)列｛a,,｝的公差為d和等比數(shù)列｛b“｝的公比為q,

=n--

因?yàn)閍ibn+a2bn-i+，，,+anbi2-2n4,

取n=l得aibi=2,又ai=l,所以bi—2,

取n=2得ab+a2b尸8,所以2q+2(l+d)=8,即q+d=3,①

取n=3得ab+a2b2+a3b尸22,所以2q2+2q(l+d)+2(l+2d)=22,②

聯(lián)立①②解得q=2,d=l,

所以a?=l+n-l=n,*2X2*2：

nn+2n

經(jīng)檢驗(yàn)an=n,bn=2，使得aibn+a2bn-1+,??+a,)bi=2-2n-4對(duì)任意正整數(shù)都成立,所以an=n,bn=2.

(2)=____」

V7c(2n-n)(2n+1-n-l)2n-n2n+1-n-l，

__irir111111_[1

cSFC1+C2+…+C產(chǎn)丁5+廣"丁正+…+用石-而Kr下E=1技FP

8

rnu,2n+12nnx2n+1-(n+l)2n(n-l)x2n^

因?yàn)椤?——;--=~-———30,A

n+1nn(n+l)n(n+1)

n+l9nfn+lA

所以Jo2J即數(shù)歹uJo單調(diào)遞增，

n+1n(n+1J

9n+lesi

所以52三=2>1對(duì)任意正整數(shù)恒成立，

所以2"“>n+l對(duì)任意正整數(shù)恒成立，

所以懸?>。，所以『西匕〈1，

所以SW1得證.

6.已知正項(xiàng)數(shù)列｛aj滿足2圖=劣+1.

⑴求an.

(2)將數(shù)列｛an｝分組:(ai),(a2,a3),(aba5,a6),(a7,弧a?,aw),記第n組的和為bn.

①求數(shù)列｛bj的通項(xiàng)公式b.；

②求數(shù)列｛(-1)寸的前2n項(xiàng)的和.

【解析】⑴由2A令n=l,解得aE,

2

因?yàn)?國(guó)=&,+1,所以S“=W二,①

當(dāng)n22吐Snr=??平］,②

=

由①-②得2ali+2an-1二密-4］一］,所以￡1?~an-i2,

9

所以數(shù)列｛aj是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,

所以an=ai+(n-1)d=l+(n-1)X2=2n-1.

當(dāng)n=l時(shí),ai=l符合上式，所以an=2n-l.

++

⑵①由題意可知，bi=ai=Si,b2=a2+a3=S3-Si,bs=ai+as+ae=Se-Ss,bFa7as+a9aio=Sio-S6,

i-jC_(l+2n-l)n_2

所以bn=Sn5+1)—Sj|(n+l)，乂\n~n,

11

2~2——2

_rn(n+l)l2[nT2

(n+1)nlf3

所以b?=S?(n+l)-S,n-n.

22

②由①可得(-1)-=(-1)"月設(shè)以為數(shù)列｛(T)學(xué)｝的前2n項(xiàng)的和,

所以

222222

T2?=(-l+2)+(-3+4)+(-5+6)+-+[-(2n-l)+(2n)1=3+7+…+(4n-l)=^y^-=n(2n+l).

＜拓展延伸)

7.己知等差數(shù)列｛aj是遞增數(shù)列，且a,+a,=O,a2a3-l.

(1)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)叱3環(huán)+4,數(shù)列也｝的前n項(xiàng)和為T,?是否存在常數(shù)入，使得入T「b"「恒為定值?若存在,

求出X的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】⑴設(shè)等差數(shù)列瓜｝的公差為d,由a",=0,a2a3=T,得加,解得

(⑶+d)⑶+2d)=-1,