中考數(shù)學復習《函數(shù)壓軸題》經(jīng)典題型及測試題(含答案)

中考數(shù)學復習《函數(shù)壓軸題》經(jīng)典題型及測試題（含答案）

閱讀與理解

函數(shù)壓軸題主要分為兩大類：一是動點函數(shù)圖象問題；二是與動點、存在點、

相似等有關(guān)的二次函數(shù)綜合題.解答動點函數(shù)圖象問題，要把問題拆分，分清

動點在不同位置運動或不同時間段運動時對應的函數(shù)關(guān)系式，進而確定函數(shù)圖

象；解答二次函數(shù)綜合題，要把大題拆分，做到大題小做，逐步分析求解，最

后匯總成最終答案.

類型一動點函數(shù)圖象問題

此類問題一般是通過分析動點在幾何圖形邊上的運動情況，確定出有關(guān)動

點函數(shù)圖象的變化情況.分析此類問題，首先要明確動點在哪條邊上運動，在

運動過程中引起了哪個量的變化，然后求出在運動過程中對應的函數(shù)關(guān)系式，

最后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式判斷圖象的變化.

例1（2016?濟南）如圖，在四邊形ABC。中，AB//CD,ZS=90°,AB=AD=5,

BC=4,M、N、E分別是AB、AD.CB上的點，AM=CE=1,AN=3,點P

從點/W出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿折線/WB—BE向點E運動，同時

點Q從點N,以相同的速度沿折線NO—OC—CE向點￡運動，設(shè)△APQ的面

積為S，運動的時間為t秒，則S與t函數(shù)關(guān)系的大致圖象為（）

【分析】由點Q從點N出發(fā)，沿折線NDDCCE向點E運動，確定出點Q分別在

ND,DC,CE運動時對應的t的取值范圍，再根據(jù)t所在的取值范圍分別求出其

對應的函數(shù)關(guān)系式，最后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式確定對應的函數(shù)圖象.

［自主解答］過點。作0FUB于點F（如圖1）,則DF=BC=4.

1

9

：AD=59DF=%：.AF=3.

DF4

：.s\nZA=—=~9MF=3—1=2,BF=AB—AF=5—3=29DC=BF=2.

*：AD=S9AN=39：.ND=5—3=2.

(1)當時，點P在/WF上，點Q在ND上(如圖2),

此時AP=A/W+/WP=l+t,AQ=AN+NQ=3+t.

11422

：.S=^APAQ-sinZA=^(l+t)(3+t)X-=-(t+2)2-5.當0WtW2時，S

隨t的增大而增大，且當t=2時，S=6.由此可知A、B選項都不對.

(2)當t=5時，點P在/WF上，點Q在N。上(如圖3),

此時BP=：L,PE=BC~BP—CE=a—1-1=2.

11

，S=*B-PE=QX5X2=5.

V6>5,

選項。正確.

變式訓練

1.如圖，aABC是等腰直角三角形，ZC=90°,AC=BC,AB=4,D為AB上

的動點，DP_LAB交折線A—C—B于點P.設(shè)AD=x,4ADP的面積為y,貝!|y與

x的函數(shù)圖象正確的是（）

2.（2016?煙臺）如圖，。。的半徑為1,AD,BC是。O的兩條相互垂直的直徑,

2

點P從點。出發(fā)(P點與0點不重合)，沿OCD的路線運動.設(shè)AP=x,sinZAPB

=y,那么y與x之間的關(guān)系圖象大致是()

類型二二次函數(shù)的實際問題

解答此類問題時，首先要構(gòu)建合理的坐標系，并寫出對應的函數(shù)解析式，并利

用二次函數(shù)的性質(zhì)求解后續(xù)的問題.一般來說，選擇的坐標系不同，得出的解

析式必然不同，因此解答此類問題時，選擇最恰當?shù)淖鴺讼低@得尤為重要.

例2(2017?金華)甲、乙兩人進行羽毛球比賽，羽毛球飛行的路線為拋物線的

一部分，如圖，甲在O點正上方1m的P處發(fā)出一球，羽毛球飛行的高度y(m)

與水平距離x(m)之間滿足函數(shù)表達式y(tǒng)=a(x-4)2+h,已知點O與球網(wǎng)的水

平距離為5m,球網(wǎng)的高度為1.55m.

(1)當2=-J-時，①求h的值；②通過計算判斷此球能否過網(wǎng).

24

(2)若甲發(fā)球過網(wǎng)后,羽毛球飛行到點O的水平距離為7m,離地面的高度為絲

5

m的Q處時，乙扣球成功，求a的值.

積m)

【分析】(1)①將點P(0,1)代入y=-工(x-4)2+h即可求得h；②求出

24

x=5時，y的值，與1.55比較即可得出判斷；

(2)將(0,1)、(7,絲)代入y=a(x-4)?+h代入即可求得a、h.

5

3

［自主解答［解：(1)①當a=-工時，y=-J_(x-4)2+h,

2424

將點P(0,1)代入，得：-工X16+h=l,

24

解得：h=5；

3

②把x=5代入y=--A_(x-4)2+A,得：y=--J-X(5-4)2+A=1.625,

一243243

:1.625>1.55,

，此球能過網(wǎng)；

(2)把(0,1)、(7,絲)代入y=a(x-4)2+h,得：

5

’16a+h=l

'12，

9a+h=-^-

5

5

變式訓練

3.（2017?沈陽）某商場購進一批單價為20元的日用商品，如果以單價30元銷

售，那么半月內(nèi)可銷售出400件，根據(jù)銷售經(jīng)驗，提高銷售單價會導致銷售量

的減少，即銷售單價每

提高1元，銷售量相應減少20件，當銷售單價是元時，才能在半月內(nèi)獲

得最大利潤.

4、（2017?青島）青島市某大酒店豪華間實行淡季、旺季兩種價格標準，旺季每

間價格比淡季上漲上.下表是去年該酒店豪華間某兩天的相關(guān)記錄：

3

淡季旺季

未入住房間數(shù)100

日總收入（元）2400040000

（1）該酒店豪華間有多少間？旺季每間價格為多少元？

（2）今年旺季來臨，豪華間的間數(shù)不變.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果豪華間仍舊實

行去年旺季價格，那么每天都客滿；如果價格繼續(xù)上漲，那么每增加25元，每

天未入住房間數(shù)增加1間.不考慮其他因素，該酒店將豪華間的價格上漲多少

元時，豪華間的日總收入最高？最高日總收入是多少元？

4

【分析】（1）根據(jù)題意可以列出相應的方程組，進而求得該酒店豪華間的間數(shù)

和旺季每間的價格；

（2）根據(jù)題意可以求得總收入和上漲價格之間的函數(shù)解析式，然后化為頂點式

即可解答本題.

【自主解答】解：（1）設(shè)淡季每間的價格為X元，酒店豪華間有y間，

\（7-10）=24000

'x（l+y）y=40000，

解得，卜=600,

1尸50

/.x+l-x=600+Xx600=800,

33

答：該酒店豪華間有50間，旺季每間價格為800元；

（2）設(shè)該酒店豪華間的價格上漲x元，日總收入為y元，

y=（800+x）（50-上）=_1_（X-225）2+42O25,

2525

...當x=225時，y取得最大值，此時y=42025,

答：該酒店將豪華間的價格上漲225元時，豪華間的日總收入最高，最高日總

收入是42025元.

類型三二次函數(shù)的綜合題

二次函數(shù)作為整套試卷的壓軸題，往往會命制三個小問題，其中第一問求解

二次函數(shù)的解析式，此問題往往利用待定系數(shù)法便可解決；第二、三問往往涉

及動點問題及存在點問題，此問題需要利用全等三角形、相似三角形、平行四

邊形、圓等知識綜合解答，計算量很大，且題目較為綜合.

例3（2017?泰安））如圖，是將拋物線y=-x2平移后得到的拋物線，其對稱軸

為直線x=l,與x軸的一個交點為A（-1,0）,另一個交點為B,與y軸的交點

為C.

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）若點N為拋物線上一點，且BCJLNC,求點N的坐標；

（3）點P是拋物線上一點，點Q是一次函數(shù)y=3x+W的圖象上一點，若四邊形

22

OAPQ為平行四邊形，這樣的點P、Q是否存在？若存在，分別求出點P,Q的

5

【分析】(1)已知拋物線的對稱軸，因而可以設(shè)出頂點式，利用待定系數(shù)法求

函數(shù)解析式；

(2)首先求得B和C的坐標，易證△OBC是等腰直角三角形，過點N作NH_Ly

軸，垂足是H,設(shè)點N縱坐標是(a,-a2+2a+3),根據(jù)CH=NH即可列方程求解；

(3)四邊形OAPQ是平行四邊形，則PQ=OA=1,且PQ〃OA,設(shè)P(t,-t2+2t+3),

代入y=Wx+W,即可求解.

22

【自主解答】解：(1)設(shè)拋物線的解析式是y=-(x-1)2+匕

把(T,0)代入得0=-(-1-1)2+k,

解得k=4,

則拋物線的解析式是y=-(x-1)2+4,即y=-x?+2x+3；

(2)在y=-x2+2x+3中令x=0,則y=3,即C的坐標是(0,3),OC=3.

VB的坐標是(3,0),

/.OB=3,

.*.OC=OB,則aOBC是等腰直角三角形.

/.ZOCB=45°,

過點N作NH_Ly軸，垂足是H.

VZNCB=90°,

/.ZNCH=45°,

，NH=CH,

:.HO=OC+CH=3+CH=3+NH,

設(shè)點N縱坐標是(a,-a2+2a+3).

a+3=-a2+2a+3,

解得a=0(舍去)或a=l,

6

，N的坐標是（1,4）；

(3)?.,四邊形OAPQ是平行四邊形，則PQ=OA=1,且PQ〃OA,

設(shè)P(t,-t2+2t+3),代入y=>x+旦,貝!|-t2+2t+3=。(t+1)+W,

2222

整理，得2t2-t=0,

解得t=0或L

2

:.-t2+2t+3的值為3或li.

4

變式訓練

5.（2016?襄陽）如圖，已知點A的坐標為（-2,0）,直線y=--|x+3

與x軸、y軸分別交于點B和點C,連接AC,頂點為D的拋物線

y=ax?+bx+c過A、B、C三點.

（1）請直接寫出B、C兩點的坐標，拋物線的解析式及頂點D的坐

標；

（2）設(shè)拋物線的對稱軸DE交線段BC于點E,P是第一象限內(nèi)拋物

線上一點，過點P作x軸的垂線，交線段BC于點F,若四邊形DEFP

為平行四邊形，求點P的坐標；

（3）設(shè)點M是線段BC上的一動點，過點M作MN〃AB,交AC

于點N,點Q從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿線段BA

向點A運動，運動時間為t（秒），當t（秒）為何值時，存在AQMN

為等腰直角三角形？

解：（1）令x=0代入y=-m+3

7

??y=3，

AC(0,3),

令y=0代入y=--jx+3

:.x=4,

B(4,0),

設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x+2)(x-4),

把C(0,3)代入y=a(x+2)(x-4),

...拋物線的解析式為：y=(x+2)(x-4)=-部+務+3,

oo

頂點D的坐標為(1,誓)；

o

(2)當DP〃BC時，

此時四邊形DEFP是平行四邊形，

設(shè)直線DP的解析式為y=mx+n,

,直線BC的解析式為：y=-1x+3,

.3,

??y=--yx+n,

把D(1,4)代入y=-日x+n,

oq

._

??n一33豆’

直線DP的解析式為y=-?x+萼,

4o

解得：x=3或x=l(舍去)，

把x=3代入y=-4x+孚，

qo

.?.P的坐標為(3,皆)；

o

(3)由題意可知：0<t<6,

設(shè)直線AC的解析式為：y=mix+m,

把A(-2,0)和C(0,3)代入y=mix+ni,

8

-

0=2in1+n1

得：，

3=%

3

???解得、叫下,

\二3

直線AC的解析式為：y=-|x+3,

由題意知：QB=t,

如圖1,當NNMQ=90。,

:.OQ=4-t,

令x=4-t代入y=-jx+3,

.3.

??yf

AM（4-t,40

4

YMN〃x軸，

AN的縱坐標為gt,

4

把y=j代入y=￡x+3,

x=-^t-2,

*??N（-2,二t）,

24

Z.MN=（4-t）-（。-2）=6-

VMQ/7OC,

ABQM^ABOC,

.MQQB

,*OC-^OB，

:.MQ=-t,

4

當MN=MQ時，

?.?6公--3--.t=—3t.9

24

/.t=I,

o

此時QB=|,符合題意,

J

如圖2,當NQNM=90°時，

9

,:QB=t,

:.點Q的坐標為(4-t,0)

/.令x=4-t代入y=?x+3,

AN(4-t,9-1t),2％'

?.,MN〃x軸，

:,點M的縱坐標為9--|t,月/[

令y=9-*代入y=-苧+3,I

，x=2t-8「如圖2

M(2t-8,9-2t),

MN=(2t-8)-(4-t)=3t-12,

,:NQ〃OC,

，AAQN^AAOC,

.NQ_AQ

**0C-0A?

Z.NQ=9--|t,

當NQ=MN時，

9-當=3t-12,

???此時QB=粵，符合題意

o

如圖3,當NNQM=90°,

過點Q作QE_LMN于點E,

過點M作MFLx軸于點F,

設(shè)QE=a,

令y=a代入y=--1x+3,

3

令y=a代入y=-|-x+3,

io

AN(-|-a-2,0),

o

/.MN=(4-《a)-(-1-a-2)=6-2a,

33

當MN=2QE時，

:.6-2a=2a,

3

:.MF=QE=p

?/MF/7OC,

ABMF^ABCO,

.MF_BF

**0C-OB*

:.BF=2,

37

:.QB=QF+BF=^+2=5，

/.t=1,此情況符合題意，

綜上所述，當4QMN為等腰直角三角形時，此時t=§或?qū)懟?

6.(2017?濰坊)如圖1,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過平行四邊形ABCD的頂點A(0,

3)、B(-1,0)、D(2,3),拋物線與x軸的另一交點為E.經(jīng)過點E的直線

1將平行四邊形ABCD分割為面積相等兩部分，與拋物線交于另一點F.點P在

直線1上方拋物線上一動點，設(shè)點P的橫坐標為t

(1)求拋物線的解析式；

(2)當t何值時，4PFE的面積最大？并求最大值的立方根；

(3)是否存在點P使4PAE為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，

11

'c=3(a=-l

(1)由題意可得，a-b+c=O，解得.b=2，

4a+2b+c=3c=3

???拋物線解析式為y=-x2+2x+3；

(2)VA(0,3),D(2,3),

/.BC=AD=2,

VB(-1,0),

AC(1,0),

線段AC的中點為(1,1),

22

?.?直線I將平行四邊形ABCD分割為面積相等兩部分,

...直線I過平行四邊形的對稱中心，

?；A、D關(guān)于對稱軸對稱，

???拋物線對稱軸為x=l,

?*.E(3,0),

fl，,

設(shè)直線I的解析式為y=kx+m,把E點和對稱中心坐標代入可得/+11H2,解得

3k+m=0

-J-

k5

9

9

I唯

直線I的解析式為y=-Wx+旦,

55

2

尸春《，解得卜=3或,X二--

5

聯(lián)立直線I和拋物線解析式可得

y=-x2+2x+31y51

^25

/.F（-2,皇），

525

如圖1,作PH_Lx軸，交I于點M,作FNLPH,

12

AP(t,-t2+2t+3),M(t,-lt+1),

55

PM=-t2+2t+3-(-2t+2)=-t2+llt+A,

5555

2

SAPEF=SAPFM+SAPEM=1