中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)《函數(shù)壓軸題》經(jīng)典題型及測(cè)試題(含答案)

中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)《函數(shù)壓軸題》經(jīng)典題型及測(cè)試題（含答案）

閱讀與理解

函數(shù)壓軸題主要分為兩大類(lèi)：一是動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象問(wèn)題；二是與動(dòng)點(diǎn)、存在點(diǎn)、

相似等有關(guān)的二次函數(shù)綜合題.解答動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象問(wèn)題，要把問(wèn)題拆分，分清

動(dòng)點(diǎn)在不同位置運(yùn)動(dòng)或不同時(shí)間段運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而確定函數(shù)圖

象；解答二次函數(shù)綜合題，要把大題拆分，做到大題小做，逐步分析求解，最

后匯總成最終答案.

類(lèi)型一動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象問(wèn)題

此類(lèi)問(wèn)題一般是通過(guò)分析動(dòng)點(diǎn)在幾何圖形邊上的運(yùn)動(dòng)情況，確定出有關(guān)動(dòng)

點(diǎn)函數(shù)圖象的變化情況.分析此類(lèi)問(wèn)題，首先要明確動(dòng)點(diǎn)在哪條邊上運(yùn)動(dòng)，在

運(yùn)動(dòng)過(guò)程中引起了哪個(gè)量的變化，然后求出在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，

最后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式判斷圖象的變化.

例1（2016?濟(jì)南）如圖，在四邊形ABC。中，AB//CD,ZS=90°,AB=AD=5,

BC=4,M、N、E分別是AB、AD.CB上的點(diǎn)，AM=CE=1,AN=3,點(diǎn)P

從點(diǎn)/W出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線/WB—BE向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，同時(shí)

點(diǎn)Q從點(diǎn)N,以相同的速度沿折線NO—OC—CE向點(diǎn)￡運(yùn)動(dòng)，設(shè)△APQ的面

積為S，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，則S與t函數(shù)關(guān)系的大致圖象為（）

【分析】由點(diǎn)Q從點(diǎn)N出發(fā)，沿折線NDDCCE向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，確定出點(diǎn)Q分別在

ND,DC,CE運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)應(yīng)的t的取值范圍，再根據(jù)t所在的取值范圍分別求出其

對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，最后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式確定對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象.

［自主解答］過(guò)點(diǎn)。作0FUB于點(diǎn)F（如圖1）,則DF=BC=4.

1

9

：AD=59DF=%：.AF=3.

DF4

：.s\nZA=—=~9MF=3—1=2,BF=AB—AF=5—3=29DC=BF=2.

*：AD=S9AN=39：.ND=5—3=2.

(1)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在/WF上，點(diǎn)Q在ND上(如圖2),

此時(shí)AP=A/W+/WP=l+t,AQ=AN+NQ=3+t.

11422

：.S=^APAQ-sinZA=^(l+t)(3+t)X-=-(t+2)2-5.當(dāng)0WtW2時(shí)，S

隨t的增大而增大，且當(dāng)t=2時(shí)，S=6.由此可知A、B選項(xiàng)都不對(duì).

(2)當(dāng)t=5時(shí)，點(diǎn)P在/WF上，點(diǎn)Q在N。上(如圖3),

此時(shí)BP=：L,PE=BC~BP—CE=a—1-1=2.

11

，S=*B-PE=QX5X2=5.

V6>5,

選項(xiàng)。正確.

變式訓(xùn)練

1.如圖，aABC是等腰直角三角形，ZC=90°,AC=BC,AB=4,D為AB上

的動(dòng)點(diǎn)，DP_LAB交折線A—C—B于點(diǎn)P.設(shè)AD=x,4ADP的面積為y,貝!|y與

x的函數(shù)圖象正確的是（）

2.（2016?煙臺(tái)）如圖，。。的半徑為1,AD,BC是。O的兩條相互垂直的直徑,

2

點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)(P點(diǎn)與0點(diǎn)不重合)，沿OCD的路線運(yùn)動(dòng).設(shè)AP=x,sinZAPB

=y,那么y與x之間的關(guān)系圖象大致是()

類(lèi)型二二次函數(shù)的實(shí)際問(wèn)題

解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，首先要構(gòu)建合理的坐標(biāo)系，并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，并利

用二次函數(shù)的性質(zhì)求解后續(xù)的問(wèn)題.一般來(lái)說(shuō)，選擇的坐標(biāo)系不同，得出的解

析式必然不同，因此解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，選擇最恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系往往顯得尤為重要.

例2(2017?金華)甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽，羽毛球飛行的路線為拋物線的

一部分，如圖，甲在O點(diǎn)正上方1m的P處發(fā)出一球，羽毛球飛行的高度y(m)

與水平距離x(m)之間滿足函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=a(x-4)2+h,已知點(diǎn)O與球網(wǎng)的水

平距離為5m,球網(wǎng)的高度為1.55m.

(1)當(dāng)2=-J-時(shí)，①求h的值；②通過(guò)計(jì)算判斷此球能否過(guò)網(wǎng).

24

(2)若甲發(fā)球過(guò)網(wǎng)后,羽毛球飛行到點(diǎn)O的水平距離為7m,離地面的高度為絲

5

m的Q處時(shí)，乙扣球成功，求a的值.

積m)

【分析】(1)①將點(diǎn)P(0,1)代入y=-工(x-4)2+h即可求得h；②求出

24

x=5時(shí)，y的值，與1.55比較即可得出判斷；

(2)將(0,1)、(7,絲)代入y=a(x-4)?+h代入即可求得a、h.

5

3

［自主解答［解：(1)①當(dāng)a=-工時(shí)，y=-J_(x-4)2+h,

2424

將點(diǎn)P(0,1)代入，得：-工X16+h=l,

24

解得：h=5；

3

②把x=5代入y=--A_(x-4)2+A,得：y=--J-X(5-4)2+A=1.625,

一243243

:1.625>1.55,

，此球能過(guò)網(wǎng)；

(2)把(0,1)、(7,絲)代入y=a(x-4)2+h,得：

5

’16a+h=l

'12，

9a+h=-^-

5

5

變式訓(xùn)練

3.（2017?沈陽(yáng)）某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一批單價(jià)為20元的日用商品，如果以單價(jià)30元銷(xiāo)

售，那么半月內(nèi)可銷(xiāo)售出400件，根據(jù)銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，提高銷(xiāo)售單價(jià)會(huì)導(dǎo)致銷(xiāo)售量

的減少，即銷(xiāo)售單價(jià)每

提高1元，銷(xiāo)售量相應(yīng)減少20件，當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)是元時(shí)，才能在半月內(nèi)獲

得最大利潤(rùn).

4、（2017?青島）青島市某大酒店豪華間實(shí)行淡季、旺季兩種價(jià)格標(biāo)準(zhǔn)，旺季每

間價(jià)格比淡季上漲上.下表是去年該酒店豪華間某兩天的相關(guān)記錄：

3

淡季旺季

未入住房間數(shù)100

日總收入（元）2400040000

（1）該酒店豪華間有多少間？旺季每間價(jià)格為多少元？

（2）今年旺季來(lái)臨，豪華間的間數(shù)不變.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果豪華間仍舊實(shí)

行去年旺季價(jià)格，那么每天都客滿；如果價(jià)格繼續(xù)上漲，那么每增加25元，每

天未入住房間數(shù)增加1間.不考慮其他因素，該酒店將豪華間的價(jià)格上漲多少

元時(shí)，豪華間的日總收入最高？最高日總收入是多少元？

4

【分析】（1）根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的方程組，進(jìn)而求得該酒店豪華間的間數(shù)

和旺季每間的價(jià)格；

（2）根據(jù)題意可以求得總收入和上漲價(jià)格之間的函數(shù)解析式，然后化為頂點(diǎn)式

即可解答本題.

【自主解答】解：（1）設(shè)淡季每間的價(jià)格為X元，酒店豪華間有y間，

\（7-10）=24000

'x（l+y）y=40000，

解得，卜=600,

1尸50

/.x+l-x=600+Xx600=800,

33

答：該酒店豪華間有50間，旺季每間價(jià)格為800元；

（2）設(shè)該酒店豪華間的價(jià)格上漲x元，日總收入為y元，

y=（800+x）（50-上）=_1_（X-225）2+42O25,

2525

...當(dāng)x=225時(shí)，y取得最大值，此時(shí)y=42025,

答：該酒店將豪華間的價(jià)格上漲225元時(shí)，豪華間的日總收入最高，最高日總

收入是42025元.

類(lèi)型三二次函數(shù)的綜合題

二次函數(shù)作為整套試卷的壓軸題，往往會(huì)命制三個(gè)小問(wèn)題，其中第一問(wèn)求解

二次函數(shù)的解析式，此問(wèn)題往往利用待定系數(shù)法便可解決；第二、三問(wèn)往往涉

及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題及存在點(diǎn)問(wèn)題，此問(wèn)題需要利用全等三角形、相似三角形、平行四

邊形、圓等知識(shí)綜合解答，計(jì)算量很大，且題目較為綜合.

例3（2017?泰安））如圖，是將拋物線y=-x2平移后得到的拋物線，其對(duì)稱(chēng)軸

為直線x=l,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（-1,0）,另一個(gè)交點(diǎn)為B,與y軸的交點(diǎn)

為C.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)N為拋物線上一點(diǎn)，且BCJLNC,求點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是一次函數(shù)y=3x+W的圖象上一點(diǎn)，若四邊形

22

OAPQ為平行四邊形，這樣的點(diǎn)P、Q是否存在？若存在，分別求出點(diǎn)P,Q的

5

【分析】(1)已知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，因而可以設(shè)出頂點(diǎn)式，利用待定系數(shù)法求

函數(shù)解析式；

(2)首先求得B和C的坐標(biāo)，易證△OBC是等腰直角三角形，過(guò)點(diǎn)N作NH_Ly

軸，垂足是H,設(shè)點(diǎn)N縱坐標(biāo)是(a,-a2+2a+3),根據(jù)CH=NH即可列方程求解；

(3)四邊形OAPQ是平行四邊形，則PQ=OA=1,且PQ〃OA,設(shè)P(t,-t2+2t+3),

代入y=Wx+W,即可求解.

22

【自主解答】解：(1)設(shè)拋物線的解析式是y=-(x-1)2+匕

把(T,0)代入得0=-(-1-1)2+k,

解得k=4,

則拋物線的解析式是y=-(x-1)2+4,即y=-x?+2x+3；

(2)在y=-x2+2x+3中令x=0,則y=3,即C的坐標(biāo)是(0,3),OC=3.

VB的坐標(biāo)是(3,0),

/.OB=3,

.*.OC=OB,則aOBC是等腰直角三角形.

/.ZOCB=45°,

過(guò)點(diǎn)N作NH_Ly軸，垂足是H.

VZNCB=90°,

/.ZNCH=45°,

，NH=CH,

:.HO=OC+CH=3+CH=3+NH,

設(shè)點(diǎn)N縱坐標(biāo)是(a,-a2+2a+3).

a+3=-a2+2a+3,

解得a=0(舍去)或a=l,

6

，N的坐標(biāo)是（1,4）；

(3)?.,四邊形OAPQ是平行四邊形，則PQ=OA=1,且PQ〃OA,

設(shè)P(t,-t2+2t+3),代入y=>x+旦,貝!|-t2+2t+3=。(t+1)+W,

2222

整理，得2t2-t=0,

解得t=0或L

2

:.-t2+2t+3的值為3或li.

4

變式訓(xùn)練

5.（2016?襄陽(yáng)）如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2,0）,直線y=--|x+3

與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B和點(diǎn)C,連接AC,頂點(diǎn)為D的拋物線

y=ax?+bx+c過(guò)A、B、C三點(diǎn).

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐

標(biāo)；

（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸DE交線段BC于點(diǎn)E,P是第一象限內(nèi)拋物

線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交線段BC于點(diǎn)F,若四邊形DEFP

為平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)M是線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN〃AB,交AC

于點(diǎn)N,點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段BA

向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），當(dāng)t（秒）為何值時(shí)，存在AQMN

為等腰直角三角形？

解：（1）令x=0代入y=-m+3

7

??y=3，

AC(0,3),

令y=0代入y=--jx+3

:.x=4,

B(4,0),

設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x+2)(x-4),

把C(0,3)代入y=a(x+2)(x-4),

...拋物線的解析式為：y=(x+2)(x-4)=-部+務(wù)+3,

oo

頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,誓)；

o

(2)當(dāng)DP〃BC時(shí)，

此時(shí)四邊形DEFP是平行四邊形，

設(shè)直線DP的解析式為y=mx+n,

,直線BC的解析式為：y=-1x+3,

.3,

??y=--yx+n,

把D(1,4)代入y=-日x+n,

oq

._

??n一33豆’

直線DP的解析式為y=-?x+萼,

4o

解得：x=3或x=l(舍去)，

把x=3代入y=-4x+孚，

qo

.?.P的坐標(biāo)為(3,皆)；

o

(3)由題意可知：0<t<6,

設(shè)直線AC的解析式為：y=mix+m,

把A(-2,0)和C(0,3)代入y=mix+ni,

8

-

0=2in1+n1

得：，

3=%

3

???解得、叫下,

\二3

直線AC的解析式為：y=-|x+3,

由題意知：QB=t,

如圖1,當(dāng)NNMQ=90。,

:.OQ=4-t,

令x=4-t代入y=-jx+3,

.3.

??yf

AM（4-t,40

4

YMN〃x軸，

AN的縱坐標(biāo)為gt,

4

把y=j代入y=￡x+3,

x=-^t-2,

*??N（-2,二t）,

24

Z.MN=（4-t）-（。-2）=6-

VMQ/7OC,

ABQM^ABOC,

.MQQB

,*OC-^OB，

:.MQ=-t,

4

當(dāng)MN=MQ時(shí)，

?.?6公--3--.t=—3t.9

24

/.t=I,

o

此時(shí)QB=|,符合題意,

J

如圖2,當(dāng)NQNM=90°時(shí)，

9

,:QB=t,

:.點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(4-t,0)

/.令x=4-t代入y=?x+3,

AN(4-t,9-1t),2％'

?.,MN〃x軸，

:,點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為9--|t,月/[

令y=9-*代入y=-苧+3,I

，x=2t-8「如圖2

M(2t-8,9-2t),

MN=(2t-8)-(4-t)=3t-12,

,:NQ〃OC,

，AAQN^AAOC,

.NQ_AQ

**0C-0A?

Z.NQ=9--|t,

當(dāng)NQ=MN時(shí)，

9-當(dāng)=3t-12,

???此時(shí)QB=粵，符合題意

o

如圖3,當(dāng)NNQM=90°,

過(guò)點(diǎn)Q作QE_LMN于點(diǎn)E,

過(guò)點(diǎn)M作MFLx軸于點(diǎn)F,

設(shè)QE=a,

令y=a代入y=--1x+3,

3

令y=a代入y=-|-x+3,

io

AN(-|-a-2,0),

o

/.MN=(4-《a)-(-1-a-2)=6-2a,

33

當(dāng)MN=2QE時(shí)，

:.6-2a=2a,

3

:.MF=QE=p

?/MF/7OC,

ABMF^ABCO,

.MF_BF

**0C-OB*

:.BF=2,

37

:.QB=QF+BF=^+2=5，

/.t=1,此情況符合題意，

綜上所述，當(dāng)4QMN為等腰直角三角形時(shí)，此時(shí)t=§或?qū)懟?

6.(2017?濰坊)如圖1,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A(0,

3)、B(-1,0)、D(2,3),拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為E.經(jīng)過(guò)點(diǎn)E的直線

1將平行四邊形ABCD分割為面積相等兩部分，與拋物線交于另一點(diǎn)F.點(diǎn)P在

直線1上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)t何值時(shí)，4PFE的面積最大？并求最大值的立方根；

(3)是否存在點(diǎn)P使4PAE為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，

11

'c=3(a=-l

(1)由題意可得，a-b+c=O，解得.b=2，

4a+2b+c=3c=3

???拋物線解析式為y=-x2+2x+3；

(2)VA(0,3),D(2,3),

/.BC=AD=2,

VB(-1,0),

AC(1,0),

線段AC的中點(diǎn)為(1,1),

22

?.?直線I將平行四邊形ABCD分割為面積相等兩部分,

...直線I過(guò)平行四邊形的對(duì)稱(chēng)中心，

?；A、D關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，

???拋物線對(duì)稱(chēng)軸為x=l,

?*.E(3,0),

fl，,

設(shè)直線I的解析式為y=kx+m,把E點(diǎn)和對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)代入可得/+11H2,解得

3k+m=0

-J-

k5

9

9

I唯

直線I的解析式為y=-Wx+旦,

55

2

尸春《，解得卜=3或,X二--

5

聯(lián)立直線I和拋物線解析式可得

y=-x2+2x+31y51

^25

/.F（-2,皇），

525

如圖1,作PH_Lx軸，交I于點(diǎn)M,作FNLPH,

12

AP(t,-t2+2t+3),M(t,-lt+1),

55

PM=-t2+2t+3-(-2t+2)=-t2+llt+A,

5555

2

SAPEF=SAPFM+SAPEM=1