向量法求空間角系-高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

第七章立體幾何與空間向量

專題7.5向量法求空間角系

能用向量法解決異面直線、直線與平面、平面與平面的夾角問(wèn)題，并能描述解決這一類問(wèn)題的程序，體會(huì)向量法

在研究空間角問(wèn)題中的作用.

考點(diǎn)一異面直線所成的角

考點(diǎn)二直線與平面所成的角

考點(diǎn)三平面與平面的夾角

【知識(shí)梳理】

1.異面直線所成的角

若異面直線/2所成的角為仇其方向向量分別是“，V,則COS9=|COS〈“，V〉

回M

2.直線與平面所成的角

如圖，直線N8與平面a相交于點(diǎn)8,設(shè)直線AB與平面a所成的角為仇直線48的方向向量為"，平面a的法向量

IunI

為"，則sin8=|cos(w,n)|=1|“||川1=?近.

3.平面與平面的夾角

如圖，平面a與平面用相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90。的二面角稱為平面a與平面少的夾

角.

若平面a,￡的法向量分別是"I和心,則平面a與平面用的夾角即為向量"1和"2的夾角或其補(bǔ)角.設(shè)平面a與平面￡

的夾角為仇則cos6=|cos<m,"2〉|=.

\ni\\n2\

第一部分核心典例

題型一異面直線所成的角

1.如圖，在正方體ABCD-4片GA中，E、F分別是BBX,CD的中點(diǎn)，

⑴求證：平面NDE；

(2)求異面直線ERC風(fēng)所成的角

【詳解】(1)以。為原點(diǎn)，。/為》軸，為y軸，on為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,

則。(0,0,0),A(1,0,0),2(0,0,1),E(1,1,1),F(0,1,0),

則。1尸=(0,—1),DA=(1，0,0),AE=(0，1，；)，

貝U印而=0,印?荏=0,

所以印_L耳，D.FYAE.

所以功尸，。/,DXFVAE

因?yàn)椤?門/￡=/,￡>/u平面NEu平面NDE,

所以2尸_1平面ADE.

(2)以。為原點(diǎn)，D4為x軸，。。為V軸，Z)n為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示:

不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,

則⑸(1,1,1),C(0,1,0),

故5=(1,0,1),~EF=(T，一，—y),

設(shè)異面直線￡尸，C5/所成的角為a,所以cose"cos(而，西

則異面直線￡尸，CB所成的角為30°.

2.四棱錐尸一/3CO中，底面/BCD是正方形，PD=AD=2,PA=PC=26，￡是尸B的中點(diǎn).

(1)求直線BD與直線PC所成角的余弦值；

(2)求證：尸C_L平面4DE；

(3)求點(diǎn)B到平面ADE的距離.

【詳解】(1)因?yàn)榈酌?8C。是正方形，PD=AD=2,PA=PC=272.

所以在AP4D中，尸。2+/。2=4+4=8=尸/2,所以尸口，/。，

同理可證得尸+DC2=4+4=8=PC?,所以尸￡>_L￡>C,

又因?yàn)镹D_LDC,AD,DCu平面/8CD,所以尸D_L面Z3CD；

以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以所在直線為x/，z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

由題意￡>(0,0,0),4(2,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),尸(0,0,2),￡(1,1,1),

設(shè)直線與直線PC所成的角為0,

因?yàn)辂?(-2,-2,0),定=(0,2,-2),

\BD-PC\_4_1

月I以cos0——.---~f=T=~~

\BD\-\PC\2V2X2V22

所以直線5。與直線PC所成角的余弦值為

(2)因?yàn)閷?(2,0,0),定=(0,2,-2),瓦=81,1)

^^,ZM-PC=2x0+0x2+0x(-2)=0,n￡；-PC=0xl+2xl+(-2)xl=0,

所以PCIDA,PCIDE,又D4cDE=D,DA,DEu平面4DE,

所以PCI平面NDE.

(3)由(2)知，PCI.平面則PC=(O,2,-2)為平面NOE的一個(gè)法向量,

設(shè)點(diǎn)B到平面的距離為d,則d為向量9在向量定=(02-2)上的投影的絕對(duì)值,

由麗=（2,2,0）,得

八段C1

2夜''

|尸。

所以點(diǎn)B到平面NDE的距離為V2.

題型二直線與平面所成的角

尸-4BC。中，底面48CD是矩形，48=2/。=2,尸4,平面ABCRE為尸。中點(diǎn)，且川=1.

(1)求證：尸8〃平面ZCE；

(2)求直線BE與平面尸所成角的余弦值.

【詳解】(1)連接2。，交/C于點(diǎn)O,連接EO,

為BD中點(diǎn)，E為PD中點(diǎn)，EO//PB.

又：EOu平面ZCE,PBC平面/CE,P3//平面/CE.

如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸,y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則4（0,0,0）,C（2,l,0）,5（2,0,0）,尸（0,0,1）,￡＞（0,1,0）,

J,1,PD=（0,l,-l）,PC=（2,l,-l）,

則E。,法,BE=\-2,

n?PD=y-z=0

設(shè)平面尸CD的法向量為〃=(x,y,z),貝卜令y=i,得〃=（o,U）.

n-PC=2x+y-z=0

設(shè)直線BE與平面尸。所成角為。，且。w

]_

?sin0=：.cose=Jl-sin?。=

33

即直線BE與平面尸CD所成角的余弦值為逑.

3

4.如圖，NE_L平面/BCD,CFHAE,ADIIBC,AD1AB,AB=AD=\,AE=BC=2CF=2.

⑴求證：8尸〃平面4DE；

(2)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值；

【詳解】(1)由CFC平面/DE,/Eu平面ADE,則CF〃平面ADE,

由/O〃8C,5CC平面/DE,/Du平面4DE,則8c〃平面4DE,

而C〃nBC=C,CF,3Cu平面8CF,

故平面BCFH平面ADE,

又BFu平面BCF,則BFH平面ADE；

(2)AEV^^ABCD,N8,/Du平面/BCD,

則AEVAD,又AD上AB,

以A為原點(diǎn)，分別以為x),z軸構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系/-孫z,如下圖所示:

又48=40=1,AE=BC=2CF=2,

所以*1,0,0),C(l,2,0),￡)(0,1,0),￡(0,0,2),

貝lj演=(-1,-2,2),5￡=(-1,0,2),瓦=(0,-1,2),

,、m-BE=-x+2z=Q

令平面瓦乃的一個(gè)法向量行=(x),z),貝叫—.,

m-DE=—y+2z=Q

令z=l,貝?。萦?2,y=2,即＞=(2,2,1),

4

即直線CE與平面5DE所成角的正弦值為§.

題型三平面與平面的夾角

5.在三棱柱N3C-4耳￡中，4G，平面//CC，。為24的中點(diǎn)，A/CD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形.

⑴證明：ACLAXB.

Q)若BC=也,求二面角8-。。一。的大小.

【詳解】(1)連接4C,：4C1，平面44CC，且8C//4G,

...3C」平面粉。?,/Cu平面A41clC,BC±AC,

又AD=CD=AXD=1,/DAC=ZDCA,NDCA]=/D4c,

ZDAC+ZDCA+NDCA]+ZDA.C=180°,

所以ZDCA+/DCq=90。,即AC_L*,

又BCcCA】=C,5Cu平面BC4i,C4]U平面BO1，

所以力CL平面5C4],

45u平面BC4，:.ACLAXB.

(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，C4,C4，C3分別為x軸，V軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則c（o,o,o）,3（o,o,g,G（-i,6,。）,。閨-1,后6）,

即8G=（-1,百,-百），8。=-,-A/3,

設(shè)平面BCQ的法向量為用=（x,y,z）,

［畫(huà)標(biāo)=0［-x+^y-^z=0

則］麗,玩=0，即＜』x+且y_6z=0，

、22

令z=2,解得x=y=3,故7"=（百,3,2）,

由題意平面CCQ的法向量為〃=(0,0,1%

m-n21

cos（m,n2,且二面角8-CQ-C為銳角,

R-H4

二面角8-CQ-4的大小60。.

6.如圖，四棱錐P-/BCD的底面48。是矩形，P/_L平面/BCD,PA=AD=2,5￡＞=272.

(1)求證：AD1平面上4C；

(2)求二面角尸-CD-B余弦值的大??；

【詳解】(1)如圖所示，以/為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,

則/（0,0,0）,0（0,2,0）,尸（0,0,2）,

在RtABND中，因?yàn)?O=2,BD=26，則48=2,所以B（2,0,0）,C（2,2,0）,

_____k_LILlUl

可得/尸=（0,0,2）,ZC=（2,2,0）,BD=（-2,2,0）,

因?yàn)辂?萬(wàn)=0，BDAC=0,即5Z）_L/P，BDLAC,

且/尸c/C=/,4P,/Cu平面勿C,所以2。1平面P4C.

（2）由（1）可得麗=（0,2,-2）,CD=（-2,0,0）,

”■?---?

々?PD=2y-2z=0

設(shè)平面尸C￡＞的法向量為4=(無(wú)，為z),貝?卜

nx-CD=-2x=0

令y=1,則x=o,z=1,

故平面尸CD的法向量可取為，=(0,1,1),

因?yàn)槭?，平面ABCD,則萬(wàn)=(0,0,2)為平面ABCD的一個(gè)法向量,

LIUUJl

嚴(yán)腺）?怨2

前得cos（n,AP）=而皿=—7=—=

「侍'}I"網(wǎng)6x22，

設(shè)二面角尸--8的大小為。，由圖易得。為銳角,

所以二面角尸-CD-8余弦值為變.

2

7.如圖所示，在四棱錐尸-48。中，側(cè)面尸40,底面48cD,側(cè)棱尸/=尸。=0，PA±PD,底面48CD

為直角梯形，BCHAD,ABLAD,AB=BC=l,。為/。的中點(diǎn).

(1)求證：CO_L平面P4D；

⑵求平面BPC與平面PCD夾角的余弦值.

【詳解】(1)證明：因?yàn)镻4=PD,且。為4D的中點(diǎn)，可得尸O_L4D,

又因?yàn)閭?cè)面尸4。，底面/BCD,側(cè)面尸/De底面48cz)=40,且尸Ou平面尸

所以尸01底面/BCD,因?yàn)椤u平面/BCD,所以PO_LOC,

因?yàn)镻/=PD=正且尸可得40=2,

因?yàn)榈酌?8CD為直角梯形，且4B=BC=1,且。為4。的中點(diǎn)，

所以O(shè)C//AB,所以。C_L/D,

又因?yàn)槭琌n/D=。，且PO,4Du平面p/。，所以O(shè)C_L平面

(2)解：以。為原點(diǎn)，以。所在的直線分別為x,%z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖所示，

在等腰直角AP4D中，可得尸0=1,且4B=3C=1,

可得5(l,-l,0),C(l,0,0),尸(0,0,1),￡>(0,1,0),

貝ljG=(0,-1,0)不=(T0,1),麗=(_1,1,0),

設(shè)平面8PC的法向量為4=(%,加4)

%?CP=-%j+Zj=0

取玉=1,可得弘=0,馬=1,所以々=(1,0,1),

設(shè)平面PCD的法向量為〃2=(%2,%/2)

n2CD=-x2+y2=0

取々=1,可得歹2=I/2=1,所以〃2=(1,1,1),

2瓜

則COS("],"J=

所以平面5PC與平面尸CD夾角的余弦值為逅.

3

第二部分課堂達(dá)標(biāo)

一、單選題

1.已知兩條異面直線的方向向量分別是以=(3,-1,2),"=(-1,3,2),則這兩條直線所成的角。滿足()

1111

A.sin0=—B.cos6=—C.sin6)=——D.cos0-——

7777

【答案】B

【詳解】因?yàn)閮蓷l異面直線的方向向量分別是瓦=(3,-1,2)尸=(-1,3,2),

|-3-3+4|1

所以cos0=cos<u,v>

講心+(-1)2+22J(T)2+3、227

故選：B

2.已知直平行六面體48co-4片中，AAX=AB=BC=2,ZBAD=60°,則直線BQ與。8所成角的余

弦值為()

6]1

A.—B.-C.-D.0

424

【答案】A

【詳解】取的中點(diǎn)尸，連接。尸，因?yàn)镹8=8C=2,N8/D=60。，

所以48=40=2,故△48。為等邊三角形，故

所以。尸

又平行六面體ABCD.AMR為直平行六面體,

故以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC。。所在直線分別為x/，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則。(0,0,0),8(百,1,0),G(0,2,2),

設(shè)直線BC,與DB所成角的大小為0,

「西3_|(-V3,1,2).(73,1,0)1J-3+1+O|V|

貝Ijcos—cos(畫(huà)，麗

一函，詞\/3+l+4xj3+l+0.2/2x2~4

g與D8所成角的余弦值為去

故選：A

3.若平面。的一個(gè)法向量為比=(1,0/)，平面尸的一個(gè)法向量是五=(-3,1,3),則平面。與尸所成的角等于

A.30°B.45°C.60D.90°

【答案】D

【詳解】因?yàn)槌?為=(1,0,1)?(-3,1,3)=-3+0+3=0,

所以而±M,

所以平面。與尸所成的角等于90。.

故選：D

2兀

4.若直線/的方向向量與平面a的法向量的夾角等于胃，則直線/與平面a所成的角等于()

27r7C—兀兀

A.—B.—C.—D.一

3364

【答案】c

【詳解】令直線/的方向向量為Z，平面a的法向量為3,直線/與平面。所成的夾角為萬(wàn)，

.cl一2兀1八C兀c兀

sinp=|cos<a,b>^=cos—=—,0<p<—,p=—.

故選：C

5.設(shè)直線/與平面。相交，且/的方向向量為的法向量為/若=則/與。所成的角為()

【答案】C

【詳解】V=

/與a的法向量所在直線所成銳角為三,

???/與々所成的角為=

236

故選:C.

6.如圖，在圓錐S。中，是底面圓。的直徑，D,E分別為SO,SB的中點(diǎn)，OC±AB,SO=AB^4,

則直線AD與直線CE所成角的余弦值為()

A.@B-Tc-fD-f

3

【答案】C

【詳解】

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(2,0,0),4(020),Z>(0,0,2),E(0-1,2),

則無(wú)5=(0,-2,2),CE=(-2-1,2),

I/______\|ADCE2+4_也

所以直線AD與直線CE所成角的余弦值為卜os(/D,CE)卜一“一

AD\KZIE12VL312

故選：C

7.已知ZE垂直于正方形48co所在的平面，若48=1,/￡=6，則平面/3E與平面CDE夾角的大小是

()

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【詳解】以A為原點(diǎn)，分別以N8,AD,NE所在直線為x軸、了軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，

則/1,0,0),C(l,l,o),￡>(0,1,0),￡(0,0,73),

可得麗=(-1,0,0),CE=(-1,-1,V3).

設(shè)平面CDE的法向量為￡=(x,y,z),

則一，令z=l,可得〃=0,后1.

n-CD=-x=Q''

因?yàn)?E垂直于正方形NBC。所在的平面，NOu平面48CD

所以NEJ./。，又因?yàn)?8CD是正方形，所以

因?yàn)?￡口48=A,AE,ABu平面/BE,所以40_L平面/BE,

Ulin

所以平面/BE的一個(gè)法向量為40=(0,1,0),

/_.■\n-ADA/3y/i

所以cos(〃,4D)=同商=西=則平面/BE與平面C7)E夾角的大小是30°.

故選:A

8.如圖，四棱錐尸一48CD的底面48CD是菱形，AB=4,ZABC=60°,PAlnABCD,且尸4=4,E

是尸/的中點(diǎn)，貝IPC到平面BED的距離為()

A.V2B.y/3C.2V2D.2A/3

【答案】A

【詳解】取CD的中點(diǎn)尸，連接NG/C,

因?yàn)樗倪呅?8C。是菱形，ZABC=60°,

所以A/CZ>為等邊三角形，

又因?yàn)槭瑸橹悬c(diǎn)，

所以/P_LCQ,

以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以所在直線為x/，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則8(4,0,0),D(-2,2瓜0),￡1(0,0,2),尸(0,0,4),C(2,273,0),

所以礪=(-4,0,2),瓦=(2,-2指',2),

設(shè)平面BED的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),

n-BE=0f-4x+2z=0_廠

則｛—，即｛廠，取z=2,得"=(1,6,2),

n?DE=02x-2j3y+2z=0

因?yàn)榻?(2,2g,-4),

所以￡定=2+6—8=0，即正_LA，

又因?yàn)槭珻O平面BED,

所以PC〃平面BED,

所以PC到平面BED的距離就是點(diǎn)P到平面BED的距離

因?yàn)辂?(0,0,2),

所以點(diǎn)尸到平面BED的距離d=用何=，=也，

\n\2V2

所以尸C到平面BED的距離為V2，

故選：A.

二、多選題

9.如圖，在底面為正方形的四棱錐尸-4BCD中，尸平面48cD,4P=48=1,則下列說(shuō)法正確的是()

A.異面直線PB與NC所成的角為60°

B.直線產(chǎn)。與平面所成的角為30。

C.平面PBO與平面尸/B的夾角為30。

D.點(diǎn)。到面總。的距離為必

3

【答案】ABD

【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)镻/_L平面/8C。，/2,/Du平面/3C￡),

所以PAYAD,

又四邊形/BCD為正方形，故兩兩垂直，

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，48,40,4?所在直線分別為x/,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則尸(0,0,1),5(1,0,0),/(0,0,0),C。,1,0),。(0,1,0),

則麗=(1,0,-1),就=(1,1,0),

I/______A|I麗?就|1(1,0,-1).(1,1,0)11

設(shè)直線PB與AC所成的角大小為0,貝Ucos。=COS(P8,AC\=二」=z八,=-,

1\4叫Vl+lxVl+12

故。=60。，A正確;

B選項(xiàng)，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以ZC_LAD,

又P4_L平面48CD,BDu平面48CD,故尸/_LM),

因?yàn)閆CcP/=4,ZC,尸Zu平面R4C,

所以8。，平面川C,故可取麗=(-1,1,0)為平面R4c的法向量,

設(shè)直線與平面P4C所成的角大小為a,

阿?明|(0,1,-1卜(-1,1,0)|

則sina=cos(PD,BD

西.甌VT+ixVi+T2

故直線尸。與平面K4C所成的角為30。，B正確;

C選項(xiàng)，設(shè)平面尸5。的法向量為K=(x,y,z),

n-BD=(x,y,z)\-l,tO)=-x+y=O

則_—?/、/、，令歹=1得x=z=l,

五=(%,、/)?(0,1,-1)=y-z=0

故〃=(1,1,1),

平面PAB的法向量為蔡=(0,1,0),

何.”_|(O,l,O)-(l,U)|_

\m\-\nVi+i+i3

故平面PBD與平面尸48的夾角不為30。，C錯(cuò)誤;

D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)知，平面尸3。的法向量為"=(1,1,1),

\n^CB\二|”』)『磯旦口正確.

故點(diǎn)C到面PBD的距離d=門

\n\V33

故選：ABD

V31/-一

10.已知二面角中，平面。的一個(gè)法向量為或=三3,&，平面力的一個(gè)法向量為巧

7

則二面角尸的平面角滿足()

A.余弦值為在

B.正弦值為5

2

C.大小為60。D.大小為30?；?50。

【答案】BD

【詳解】設(shè)所求二面角的平面角的大小為6,

-+2

4

3

x—

2

所以＜9=30。或150。，故C錯(cuò)誤，D正確,

又因?yàn)閟in30o=sinl5（r=L故A錯(cuò)誤，B正確,

2

故選：BD

三、填空題

11.在菱形/BCD中，ZABC=60°,沿對(duì)角線NC折疊之后，使得平面2/C1?平面NCO（如圖），則平面

BCD與平面ACD夾角的正弦值為.

【答案】拽心病

55

【詳解】設(shè)/C的中點(diǎn)為E,連接BE,DE,

因?yàn)榱庑蜛BCD中,ZABC=60°,

所以三角形8/C和三角形ZCD都是等邊三角形，

因此3E_L/C,DEJ.AC,

因?yàn)槠矫鍭4C_L平面NCZ）,平面A4Cc平面NCZ>=/C,

所以BE_L平面/CD,而。Eu平面/CD,

因此BE工DE,因此建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為2,^（l,0,0）,C（-l,0,0）,D（0,^0）5@0,出）,

設(shè)平面BCD的法向量為〃?=（x,%z）,BC=1-l,0,-6）,BD=',區(qū)-小,

m-BC=-x-6z=0一/廠\

所以有《一rrn應(yīng)=（一百,1,1）,

m-BD=y/3y-y/3z=0'7

平面/CD的法向量為3=礪=（0,0,6），

平面BCD與平面ACD夾角為。，

故答案為：孚

12.如圖，在圓錐SO中，N8是底面圓。的直徑，D,E分別為SO,S3的中點(diǎn)，OC±AB,SO=AB=4,

則直線AD與直線CE所成角的余弦值為.

【答案】①）正

22

【詳解】以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則C（2,0,0）,4（0,2,0）,0（0,0,2）,￡（0,-1,2）,

所以40=(0,—2,2),=(-2,-1,2),

/77H7^\AD-CE65/2

所以cos〈4D,CE)=~p_=—『—=—

"即||詞25義32.

故直線AD與直線CE所成角的余弦值為旦.

2

四、解答題

13.如圖，在直角梯形/BCD中，AB//CD,4048=90。，AD=OC=!A3.以直線A8為軸，將直角梯形

2

A8CD旋轉(zhuǎn)得到直角梯形/BEF,且/尸_LND.

⑴求證：。尸//平面8CE；

(2)在線段。尸上是否存在點(diǎn)尸，使得直線N尸和平面8C尸所成角的正弦值為逆？若存在，求出g的值；

3DF

若不存在，說(shuō)明理由.

【詳解】(1)將直角梯形/BCD繞著AB旋轉(zhuǎn)得到直角梯形/3EF,

故CD=EF豆CDUEF,

故四邊形。力方為平行四邊形，

所以DF//CE,

又CEu平面BCE,DFa平面8CE,所以DF//平面3CE；

(2)因?yàn)?F_L/。，ZDAB=90°,NF4B=90°,

所以尸兩兩垂直，

故以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以尸所在直線分別為xj,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?￡)=DC=,設(shè)AD=1,

2

則4(0,0,0),0,0),尸(0,0,1),8(0,2,0),C(l,1,0),

設(shè)袈=M(0V掰VI),則麗=疝再設(shè)尸0,6),

Ur

則(。一1,0,6)=77?(-1,0,1),解得〃=l-m9b=m,故尸(1一九0,冽),

當(dāng)機(jī)=0時(shí)，此時(shí)尸與。重合，直線肝和平面5co垂直，

不滿足所成角的正弦值為逑，舍去；

3

當(dāng)加。0時(shí)，設(shè)平面5。尸的法向量為〃=(%,%2),

?力=(1,—l,0)?(x,y,z)=x—y=0

則<---f/\\'

PC-n=~m)'^x,y,z)=mx+y-mz=0

人_eim+1.m+\\

令x=l,則歹=l,z=------,故〃=1,1,-------,

mm

設(shè)直線AF和平面BCP所成角的正弦值為e，

則sin0=cos

解得加或-1(舍去),

綜上，在線段。廠上是否存在點(diǎn)P,使得直線肝和平面尸所成角的正弦值為逆,

3

…DP1

此;時(shí)——=-

DF3

14.如圖，在直棱柱48co-4片&。中，底面/BCD是菱形，AB=2,ZBAD=60°,AAl=a,E,尸分別是棱

3C,Z)4的中點(diǎn).

⑴求證：￡尸〃平面4助；

(2)若二面角4-3。-/的大小是45。，求。值，并求直線4c與平面43。所成角的正弦值.

【詳解】(1)取4。的中點(diǎn)尸，連接PF,PB,

因?yàn)镋,尸分別是棱3C,?！ǖ闹悬c(diǎn)，所以尸尸〃42且尸尸=342，BE=；BC,

因?yàn)橹崩庵?3CO-4耳CQ中，8?！?"且"=42，

所以PF//BE,且PF=BE,

故四邊形為平行四邊形，所以EF//BP,

因?yàn)榉?平面4比),平面4助，

所以跖〃平面4助；

(2)連接NC,與80相交于點(diǎn)。，連接4G，耳2相交于點(diǎn)”，

因?yàn)榈酌?3。是菱形，所以/C,8。相互垂直，則NC,AD,?！▋蓛纱怪?，

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，。4。民?！ㄋ谥本€分別為x/，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)?3=2,/8/。=60。,幺4=。，所以/。=8。=2,OB=1,AO=43,

故/(百,0,0)4(6,0,@,網(wǎng)0,1,嘰40,-1，9,qd,oj,

設(shè)平面4瓦＞的法向量為加=(x,y,z),

m-BD=(x,乂z)?(0,-2,0)=—2y=0

m-=(x,y,z)-^-^3,-1,=-y]~3x-y-az=C

解得歹=0,令x=l,則2=—見(jiàn)，故加=1,0,--

a

a\7

平面N8O的法向量為"=(0,0,1),

解得a=百，

設(shè)直線4c與平面AtBD所成角大小為0,

小福卜1,0,-1).卜26,0,一句］而

則sin6=cos(m9AxC

同.困—71+1x712+3-10

15.如圖，尸。是三棱錐尸-4BC的高，PA=PB,AB1AC,E是尸B的中點(diǎn).

(1)求證：OE〃平面融C；

(2)若ZABO=/C3。=30°,尸0=3,PA=5.

①求二面角C-/E-8所成平面角的正弦值；

②在線段CE上是否存在一點(diǎn)M,使得直線MO與平面BCP所成角為30°?

【詳解】(1)如圖，取N5的中點(diǎn)D,連接。4。8,

,?PO上面ABC,PA=PB,；.OA=OBOD