高中數(shù)學(xué)選擇性必修三：6-2-4 組合數(shù)（教案）

第六章計(jì)數(shù)原理

課時(shí)6.2.2排列與組——組合組合數(shù)

本節(jié)目標(biāo)

1.理解組合的概念，掌握組合數(shù)公式及組合數(shù)性質(zhì).

2.正確認(rèn)識(shí)組合與排列的區(qū)別與聯(lián)系.

3.能應(yīng)用組合數(shù)公式解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

題組一對(duì)組合概念的理解

1.從2,3,5,7,11,13,17,19這八個(gè)數(shù)中任取兩個(gè),則下列問(wèn)題是組合問(wèn)題的為()

A.相加，可以得到多少個(gè)不同的和

B.相乘,可以得到多少個(gè)不同的積

C.相減,可以得到多少個(gè)不同的差

D.相除,可以得到多少個(gè)不同的商

2.判斷下列問(wèn)題是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題.

(1)若集合A={a,b,c,d},則集合A的含有3個(gè)元素的子集有多少個(gè)？

(2)某鐵路線上有4個(gè)車站,則這條鐵路線上需準(zhǔn)備多少種車票？

⑶從7本不同的書中取出5本給某同學(xué)；

(4)三個(gè)人去做5種不同的工作,每人做1種,有多少種分工方法？

(5)把3本相同的書分給5個(gè)學(xué)生,每人最多得一本,有多少種分配方法？

題組二組合數(shù)公式及其性質(zhì)的應(yīng)用

3.若C歹2=c∕-ι,貝!∣X=()

A.-lB.4

CT或4D.1或5

4.已知球+「C后=以,則n=()

A.14B.15C.13D.12

5.(多選)(2020山東德州高二下月考)下列關(guān)系中，能成立的是()

n

A.CyC如B.Cy=f；,,

C?m!普D.AWnA”=A機(jī)

6.不等式7?4*的解集為____________.

C%LXCx

7.Ci+Cf+???+C20=.

8.(1)求值瑞F+C*V

⑵已知?r?=τ?,求管.

v?eV<61LUL7

9.證明:篇?C駿=C4％.

題組三無(wú)限制條件的組合問(wèn)題

10.有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生,從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組,則不同的選法

共有（）

A.60種B.70種

C.75種D.150種

IL從進(jìn)入決賽的6名選手中決出1名一等獎(jiǎng),2名二等獎(jiǎng),3名三等獎(jiǎng)，則可能的決賽結(jié)果共有

種.（用數(shù)字作答）

12.已知集合A=B=（0,1,2,9},f:A-B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù),那么該函數(shù)的值域的不同情況

有種.

13.平面內(nèi)有12個(gè)點(diǎn),其中有4個(gè)點(diǎn)共線,此外再無(wú)3點(diǎn)共線，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn),可以得到多少個(gè)不同

的三角形（位置不同的三角形視為不同的三角形）?

題組四有限制條件的組合問(wèn)題

14.從3名教師和5名學(xué)生中選出4人參加“我和我的祖國(guó)”快閃活動(dòng).要求至少有一名教師入選,

且入選教師人數(shù)不多于入選學(xué)生人數(shù),則不同的選派方案的種數(shù)是（）

Λ.20B.40C.60D.120

15.某市為了提高整體教學(xué)質(zhì)量,在高中率先實(shí)施了市區(qū)共建“1+2”合作體,現(xiàn)某市直屬高中學(xué)校選

定了6名教師和2名中層干部去2所共建學(xué)校交流學(xué)習(xí)，若每所共建學(xué)校需要派3名教師和1名中層

干部,則共有多少種選派方法（）

A.160B.80C.40D.20

16.正方體A1B1C1D-ABCD中,P.（i=l,2,???（12）是棱的中點(diǎn),在任意兩個(gè)中點(diǎn)的連線中，與平面AiClB平

行的直線有（）

A.36條B.21條D.6條

17.如圖,機(jī)器人亮亮沿著單位網(wǎng)格從A地移動(dòng)到B地,每次只移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度,則亮亮從點(diǎn)A移動(dòng)

到點(diǎn)B最近的走法共有種.

18.將7個(gè)大小、材質(zhì)完全相同的小球分別編號(hào)為1,2,4,5,6,9,10,現(xiàn)從中取出3個(gè),則它們的編號(hào)

之和為奇數(shù)的取法共有種.

19.藍(lán)天救援隊(duì)有男救援員8名，女救援員4名，現(xiàn)選派5名救援員參加一項(xiàng)救援.

(1)若男救援員甲與女救援員乙必須參加,共有多少種不同的選法？

(2)若救援員甲、乙均不能參加,共有多少種不同的選法？

(3)若至少有一名男救援員和一名女救援員參加,共有多少種不同的選法？

能力提升練

題組一有限制條件的組合問(wèn)題

L（*?）安排A,B,C,D,E,F共6名義工照顧甲，乙,丙三位老人,每?jī)晌涣x工照顧一位老人,考慮到義工

與老人住址距離問(wèn)題,不安排義工A照顧老人甲，且不安排義工B照顧老人乙,則不同的安排方法共有

（）

Λ.30種B.40種C.42種D.48種

2.（、*?）若5個(gè)人各寫一張卡片（每張卡片的形狀、大小均相同），現(xiàn)將這5張卡片放入一個(gè)不透明的

箱子里,并攪拌均勻，再讓這5人在箱子里各摸一張,恰有1人摸到自己寫的卡片的種數(shù)為（）

?.20B.90C.15D.45

3.（多選）（*?）從7名男生和5名女生中選4人參加夏令營(yíng),規(guī)定男、女生至少各有1人參加,則不同

的選法總數(shù)應(yīng)為（)

?.GCKKB?Gc升&熊+Gcg

rr4_p4_p4

v.LI2'-*7??D.G瑪(C∣+CjC?+C∣)

4.（#?）現(xiàn)有6名學(xué)生,其中3人只會(huì)唱歌,2人只會(huì)跳舞,剩下1人既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞,選出2人唱

歌,2人跳舞,共有種不同的選法.（請(qǐng)用數(shù)學(xué)作答）

5.（*）作家馬伯庸小說(shuō)《長(zhǎng)安十二時(shí)辰》中,靖安司通過(guò)長(zhǎng)安城內(nèi)的望樓傳遞信息.同名改編電視劇

中，望樓傳遞信息的一種方式如下：如圖所示,在九宮格中，每個(gè)小方格可以在白色和紫色（此處以陰

影代表紫色）之間變換,從而一共可以有512種不同的顏色組合,即代表512種不同的信息.現(xiàn)要求每

一行,每一列上至多有一個(gè)紫色小方格（如圖所示即滿足要求）.則一共可以傳遞一種信息.（用數(shù)字

作答）

6.（#?）一個(gè)口袋內(nèi)有4個(gè)不同的紅球,6個(gè)不同的白球.

⑴從中任取4個(gè)球,紅球的個(gè)數(shù)不比白球少的取法有多少種？

（2）若取一個(gè)紅球記2分,取一個(gè)白球記1分,從中任取5個(gè)球,使總分不少于7分的取法有多少種？

題組二排列與組合的綜合問(wèn)題

7.（*?）從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù),組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)

為（）

A.300B.216C.180D.162

8.（#?）甲、乙、丙3人站到共有6級(jí)的臺(tái)階上,若每級(jí)臺(tái)階最多站2人，同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)分站

的位置,則不同的站法總數(shù)是（）

A.90B.120C.210D.216

9.（、*?）如果一個(gè)四位數(shù)的各位數(shù)字互不相同,且各位數(shù)字之和等于10,則稱此四位數(shù)為“完美四位

數(shù)”（如1036）,則由數(shù)字0,1,2,3,4,5,6,7構(gòu)成的“完美四位數(shù)”中,奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.12B.44C.58D.76

10.（#?）如圖,一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)區(qū)域,現(xiàn)給地圖著色,要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色.現(xiàn)有4種顏

色可供選擇,則不同的著色方法共有種.

11.（*）某部門共有4名員工,某次活動(dòng)期間,周六、周日的上午、下午各需要安排一名員工值班,

若規(guī)定同一天的兩個(gè)值班崗位不能安排給同一名員工,則該活動(dòng)值班崗位的不同安排方式有多少種？

答案全解全析

6.2.3組合

6.2.4組合數(shù)

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.B判斷一個(gè)問(wèn)題是不是組合問(wèn)題,關(guān)鍵是看該問(wèn)題是否與順序有關(guān)，由于減法與除法不滿足交換

律,取出的兩個(gè)數(shù)就與順序有關(guān),因此不是組合問(wèn)題,故C、D不是組合問(wèn)題;加法與乘法滿足交換律,

與取出的兩個(gè)數(shù)的順序無(wú)關(guān),但是由于給出的8個(gè)數(shù)中,5+11=3+13,11+19=13+17等,故相加,可以得

到多少個(gè)不同的和這個(gè)問(wèn)題不是純粹的組合問(wèn)題，只有相乘,可以得到多少個(gè)不同的積這個(gè)問(wèn)題是組

合問(wèn)題,故選B.

2.解析(1)因?yàn)榧夕娜我粋€(gè)含3個(gè)元素的子集與元素順序都無(wú)關(guān),所以它是組合問(wèn)題.

(2)因?yàn)檐嚻迸c起點(diǎn)、終點(diǎn)順序有關(guān),例如“甲一乙”與“乙一甲”的車票不同,所以它是排列問(wèn)題.

(3)因?yàn)閺?本不同的書中取出5本給某同學(xué),取出的5本書并不考慮書的順序,所以它是組合問(wèn)題.

(4)因?yàn)閺?種不同的工作中選出3種,按一定順序分給三個(gè)人去做,所以它是排列問(wèn)題.

(5)因?yàn)?本書是相同的,把3本書無(wú)論分給哪三個(gè)人都不需要考慮順序,所以它是組合問(wèn)題.

OQ.D???r?χ-2--1∩92x-l，

χ-2=2χ-l或χ-2+2χ-l=9,

解得X=-I或x=4.

經(jīng)檢驗(yàn),只有x=4符合題意，.?.x的值是4.

故選B.

4.D由題知,誄+以=鬣+1，由組合數(shù)的性質(zhì)知,喘+以=鬃+1，

所以廢+1=Cz+1，所以6+7=n+l,得n=12.

故選D.

5.BCD對(duì)于A,令n=3,m=l,可得等式瑪不成立,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由組合數(shù)的計(jì)算公式知C普丁故B正確；

對(duì)于C,由排列數(shù)與組合數(shù)的定義知暮一大X?6m”一!故C正確；

對(duì)于D,A附mA5ΓF?T+湍MT=7≤+AM∣,故D正確?

故選BCD.

6.答案{5,6,7,8,9,10,11}

解析將原不等式化簡(jiǎn)得

624/240

x(x-l)(χ-2)X(X-I)(χ-2)(χ-3)X(χ-l)(x-2)(x-3)(χ-4)'

易知x25,整理得X2-11X-12<0,Λ5≤X<12.

又?.?χ∈N*,.?.原不等式的解集為{5,6,7,8,9,10,11}.

7.答案165

解析由組合數(shù)的性質(zhì)可得，

CM卜???+%=中髭+???+%=中鬃+…+/=吟啜翳=165.

5-n≤ni

n

θ^J°'1解得4≤n≤5,?,?n∈N*,Λn=4或n=5.

9-n<n÷1,

{9-∏≥0,

當(dāng)n=4時(shí),原式=己+Cg=5;當(dāng)n=5時(shí),原式=Cg+C[=16.

(2)由題意可知in的取值范圍為{m∣0WmW5,m∈N},

山已知得?n!(5-m)!_m!(6-m)!7m!(7-m)!

5!6!10x7?

即10m=(7~m)(6~m),

整理得m2-23πι+42=0,解得m=21(舍去)或m=2,ΛCgl=C∣=28.

9證明Ck?crnΛ=———?____(n-k);_______—_______

,nn-kk!(n-k)!(m-k)!(n-m)!fc!(m~k)!(n-m)!,

n

cm.Ck-'.m!一n!

nmml(n-m)!k!(m-k)!kl(n-m)!(m-k)!,

所以CQC峻=優(yōu)?哈.

10.C從6名男醫(yī)生中選出2名男醫(yī)生有髭種選法,從5名女醫(yī)生中選出1名女醫(yī)生有瑪種選法,所

以不同的選法有髭瑪=15X5=75種,故選C.

11.答案60

解析分三步:第一步,一等獎(jiǎng)有瑪種可能的結(jié)果;第二步,二等獎(jiǎng)有髭種可能的結(jié)果;第三步,三等獎(jiǎng)

有◎種可能的結(jié)果,故共有瑪髭髭=60種可能的結(jié)果.

12.答案15

解析因?yàn)閒:A-B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，

所以該函數(shù)的值域可能包含1個(gè),或2個(gè),或3個(gè),或4個(gè)元素，

因此值域的不同情況有禺+C>G+以=15種.

13.解析第一類:從共線的4個(gè)點(diǎn)中選取2個(gè)點(diǎn)，另外8個(gè)點(diǎn)中選1個(gè)點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn),共有

鬃瑪=48個(gè)不同的三角形；

第二類:從共線的4個(gè)點(diǎn)中選取1個(gè)點(diǎn),另外8個(gè)點(diǎn)中選2個(gè)點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn),共有最CAlI2個(gè)

不同的三角形；

第三類:共線的4個(gè)點(diǎn)不選,僅從另外8個(gè)點(diǎn)中選3個(gè)點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn),共有喘=56個(gè)不同的三角

形.

由分類加法計(jì)數(shù)原理,知不同的三角形共有48+112+56=216個(gè).

14.C由題意可分成兩類：

(1)1名教師和3名學(xué)生,共CKA30種方案；

(2)2名教師和2名學(xué)生,共鬃髭=30種方案.

故不同的選派方案的種數(shù)是30+30=60.

故選C.

15.C先派3名教師和1名中層干部去其中一所學(xué)校,有自G種選派方法,剩余的3名教師和1名中

層干部直接去另一所學(xué)校,只有1種方法,所以共有以0=40種選派方法.故選C.

16.B與平面A1CiB平行的平面有平面PRP8,平面PIOPIIP6,平面P9P5P2P3PvPi2,

.?.從這3個(gè)平面上任取兩個(gè)棱的中點(diǎn)的連線均與平面A1C1B平行，.?.共有髭+G+C=21條直線與平面

A1C1B平行.故選B.

17.答案80

解析分三步:①?gòu)腁到C,亮亮要移動(dòng)兩步,一步是向右移動(dòng)一個(gè)單位,一步是向上移動(dòng)一個(gè)單位,此

時(shí)有最種走法；

②從C到D,亮亮要移動(dòng)六步,其中三步是向右移動(dòng),三步是向上移動(dòng),此時(shí)有髭種走法；

③從D到B,由①可知有禺種走法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知,共有GC式戶80種不同的走法.故答案為80.

18.答案19

解析由題知,7個(gè)小球中編號(hào)為奇數(shù)的小球有3個(gè),編號(hào)為偶數(shù)的小球有4個(gè)，

所以取出的3個(gè)小球的編號(hào)之和為奇數(shù)有以下兩類：

第一類,3個(gè)小球的編號(hào)中有1個(gè)為奇數(shù),2個(gè)為偶數(shù),對(duì)應(yīng)的不同取法共有W鬣=3X6=18和I

第二類,3個(gè)小球的編號(hào)中有3個(gè)為奇數(shù),0個(gè)為偶數(shù),對(duì)應(yīng)的不同取法共有CK刃1X1=1種.

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,三個(gè)小球的編號(hào)之和為奇數(shù)的取法共有18+1=19種.

19.解析(1)共有12名救援員，若甲、乙必須參加，則再?gòu)氖Ｏ碌?0名中選3名即可,有量o=12O種

不同的選法.

(2)若甲、乙兩人均不能參加,則從剩下的10名中選5名即可,有底o(hù)=252種不同的選法.

(3)由總的選法數(shù)減去5名都是男救援員的選法數(shù),得到的就是至少有一名男救援員和一名女救援員

參加的選法數(shù)，即有C%-源=736種不同的選法.

能力提升練

1.C6名義工照顧三位老人,每?jī)晌涣x工照顧一位老人,共有髭鬃=90種安排方法，

其中義工A照顧老人甲的安排方法有瑪鬣=30種，

義工B照顧老人乙的安排方法有心鬣=30種，

義工A照顧老人甲，同時(shí)義工B照顧老人乙的安排方法有禺禺=12種，

所以符合題意的不同的安排方法有90-30-30+12=42種.故選C.

2.D根據(jù)題意,分2步：

第一步,先從5個(gè)人里選1人恰好摸到自己寫的卡片,有心種選法，

第二步,對(duì)于剩余的4人,因?yàn)槊總€(gè)人都不能選自己寫的卡片,所以第一個(gè)人有3種選法,卡片被選走

的那個(gè)人也有3種選法,剩下的2人選法唯一,所以不同的選法有禺X禺XC/45種.

故選D.

3.BC(1)分三類:3男1女,2男2女,1男3女,所以男、女生至少各有1人參加的選法總數(shù)為

C瑪+C犯＞G熊.

(2)任選4人的方法數(shù)為C&減去其中全部為男生或全部為女生的方法數(shù)第+禺,故不同的選法總數(shù)

應(yīng)為CA-C齊禺.經(jīng)檢驗(yàn),A,D不正確，

故選BC.

4.答案12

解析根據(jù)題意,分三種情況：(1)既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人未選中，有髭C殲中選法；(2)選中既會(huì)唱歌又

會(huì)跳舞的人唱歌,有禺第種選法；(3)選中既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人跳舞,有C犯專種選法.

故選法總數(shù)為C犯尹禺C＞髭的=12.

5.答案34

解析顯然,紫色小方格最多有3個(gè).分類討論：

(1)若無(wú)紫色小方格,則只有1種結(jié)果；

(2)若有且只有1個(gè)紫色小方格,則有瑪=9種結(jié)果；

(3)若有且只有2個(gè)紫色小方格，先選出有紫色小方格的那兩行，有髭=3種選法,這兩行的排法有

CK齊6種,此種情況下共有18種結(jié)果；

(4)若有且只有3個(gè)紫色小方格,則有禺?*=6種結(jié)果.

綜上,一共有34種結(jié)果,即一共可以傳遞34種信息.

6.解析(1)從中任取4個(gè)球,紅球的個(gè)數(shù)不比白球少的取法可分為三類:紅球4個(gè),紅球3個(gè)和白球

1個(gè),紅球2個(gè)和白球2個(gè).

若取出的為4個(gè)紅球,則取法有1種；

若取出的為3個(gè)紅球和1個(gè)白球,則取法有第X(?=24種；

若取出的為2個(gè)紅球和2個(gè)白球,則取法有鬣X髭=90種.

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,紅球的個(gè)數(shù)不比白球少的取法有1+24+90=115種.

(2)使總分不少于7分有三種情況,4個(gè)紅球和1個(gè)白球,3個(gè)紅球和2個(gè)白球,2個(gè)紅球和3個(gè)白球.

若取出的為4個(gè)紅球和1個(gè)白球,則取法有以禺=6種；

若取出的為3個(gè)紅球和2個(gè)白球,則取法有第X髭=60種；

若取出的為2個(gè)紅球和3個(gè)白球,則取法有鬣Xa=I20種.

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,總分不少于7分的取法有6+60+120=186種.

7.C根據(jù)題意,分兩類:當(dāng)偶數(shù)取2,4時(shí),組成的四位數(shù)有鬣A￡=72個(gè);當(dāng)偶數(shù)取0,2或0,4時(shí),考慮

首位,只有三個(gè)數(shù)可排,故組成的四位數(shù)有2釐Ag*=108個(gè).

因此共有72+108=180個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).故選C.

8.C因?yàn)榧?、乙、?人站到共有6級(jí)的臺(tái)階上,且每級(jí)臺(tái)階最多站2人，

所以可分為兩類:第一類，甲、乙、丙各自站在一級(jí)臺(tái)階上,共有以A,=120種站法；

第二類,有2人站在同一級(jí)臺(tái)階上,剩余1人獨(dú)自站在一級(jí)臺(tái)階上,共有釐髭A,=