條件概率與全概率公式 講義 高三數(shù)學一輪復習

條件概率與全概率公式

1.條件概率

(-)定義

一般地，設A,3為兩個事件，且尸(A)>0,稱尸(B|A)=[^為在事件A發(fā)生的條件下，事件8發(fā)生

的條件概率.「(例A)讀作A發(fā)生的條件下3發(fā)生的概率.

注意:(1)條件概率P(B|A)中后面就是條件；(2)若P(A)=O,表示條件A不可能發(fā)生，此時用條

件概率公式計算P(B|A)就沒有意義了，所以條件概率計算必須在尸(A)>0的情況下進行.

(-)性質(zhì)

(1)條件概率具有概率的性質(zhì)，任何事件的條件概率都在0和1之間，即04P(8|A)41.

(2)必然事件的條件概率為1,不可能事件的條件概率為0.

(3)如果B與C互斥,則P(8C|A)=P(B|A)+P(C|A).

注意：(1)如果知道事件A發(fā)生會影響事件5發(fā)生的概率，那么尸(3)wP(B|A)；

(2)已知A發(fā)生，在此條件下3發(fā)生，相當于AB發(fā)生，要求P(8|A),相當于把A看作新的基本事件空

“(4B)

rcmn(AB)〃(。)P(AB)

間計算AB發(fā)生的概率，即P(B|A)=',、)=:<=.

“(A)”(A)P(A)

H(Q)

(三)計算方法

P(AR)

(1)利用定義計算：先分別計算概率P(AB)和P(A),然后代入公式P(8|A)=±V即可.

尸(A)

(2)借助古典概型計算概率的公式：先求事件A包含的基本事件數(shù)”(A),再在事件月發(fā)生的條件下求

事件8包含的基本事件數(shù)”(AB),則P(B|A)=3箸.

2.相互獨立與條件概率的關系

(-)相互獨立事件的概念及性質(zhì)

(1)相互獨立事件的概念

對于兩個事件A，8,如果P(B|A)=P(B),則意味著事件A的發(fā)生不影響事件B發(fā)生的概率.設P(A)>0,

根據(jù)條件概率的計算公式，P(B)=P(B|A)=?^,從而P(A8)=P(A)P(8).

尸(A)

由此我們可得：設A,8為兩個事件，若P(A8)=尸(A)P(8),則稱事件A與事件8相互獨立.

(2)概率的乘法公式

由條件概率的定義，對于任意兩個事件A與5,若尸(A)>0,則尸(AB)=P(A)尸(8|A).我們稱上式為概率

的乘法公式.

(3)相互獨立事件的性質(zhì)

如果事件A,5互相獨立，那么力與萬，川與5,Z與否也都相互獨立.

(4)兩個事件的相互獨立性的推廣

兩個事件的相互獨立性可以推廣到〃(〃>2,〃eN*)個事件的相互獨立性，即若事件4，&,…，A“相互獨

立，則這〃個事件同時發(fā)生的概率尸(A44)=尸(A)(4)P(A?).

(-)事件的獨立性

(1)事件A與3相互獨立的充要條件是P(AB)=P(A>P(8).

(2)當P(B)>0時，A與B獨立的充要條件是尸(A|8)=P(A).

(3)如果尸(4)>0,A與3獨立，則P(B|A)=/SB=P(A)?P(B)=p?成立.

尸(A)尸(A)

3.全概率公式

(-)全概率公式(由因求果)

(1)P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)；

(2)定理1若樣本空間。中的事件A1,4,…，4“滿足：

①任意兩個事件均互斥，即AA=0,i,j=l,2,,n,i豐j；

②4+4++A,=c；

③尸（Aj>0,i=\,2,,n.

則對。中的任意事件5,都有B=3A+8&++外,，且

P（B）=EP（BAJ=fp（a）尸（B14）.

i=li=l

證明：如下圖所示，因為事件A，4,,人中有且只有一個與事件B同時發(fā)生，其中A，4，，4互斥,

〃

即B=,顯然%，班2,即,也互不相容.

/=1

所以由概率的加法公式和概率的乘法公式得：

P（B）=尸（fBA.）=P（BA,+BA,+SA/t）

i=l

=P（3A）+P（%）++P（BA>1）

=尸（A）P（BIA）+p（4）「（B|4）++尸（4）尸（814）

=fp（a）p（BiA）

1=1

即得到全概率公式：

p（B）=fp（4）p（8i4）

注：（1）內(nèi)涵：全概率公式是用來計算一個復雜事件的概率，它需要將復雜事件分解成若干簡單事件的概

率計算，即運用了“化整為零”的思想處理問題.我們認真分析定理1中的已知條件后，將所研究事件的試

驗結果視為8,而導致事件8發(fā)生的若干不同的假設情況也可以理解為各種原因視為A，4，，4,而且

只有A，AZ，，4發(fā)生了才有事件3的發(fā)生，那么全概率公式做出了由因求果的推斷.

(2)關鍵點：什么樣的問題適用于這個公式？所研究的事件試驗前提或前一步驟試驗有多種可能，在這多

種可能中均有所研究的事件發(fā)生，這時要求所研究事件的概率就可用全概率公式.

合理選擇外,4,,4,P(Aj),P(B\Ai)(i=l,2,,〃)易求.

(-)貝葉斯公式(執(zhí)果求因)

⑴一般地，當0cp(A)<1且P(B)>0時，有P(4|B)=IA)P(A)P(8|A)

P(A)P(B\A)+P(A)P(B\A)

(2)定理2若樣本空間建中的事件A，4，，4滿足：

①任意兩個事件均互斥，即44=0，i，j=l，2,,n,j；

②A+&++A,=。；

③0cp(A)<1,i=l,2,,n.

則對C中的任意概率非零的事件5,都有B=BA+%++BA,,,

且2A⑶=%處皿=*2*3

「⑶fp(a)p(Bia)

/=1

注：(1)在理論研究和實際中還會遇到一類問題，這就是需要根據(jù)試驗發(fā)生的結果尋找原因，看看導致這

一試驗結果的各種可能的原因中哪個起主要作用，解決這類問題的方法就是使用貝葉斯公式.貝葉斯公式的

意義是導致事件3發(fā)生的各種原因可能性的大小，稱之為后驗概率.

(2)貝葉斯公式充分體現(xiàn)了P(A|B),P(A),P(B),P(B\A),P(B\A),P(AB)之間的轉關系，即

P(A|B)=生也，P(AB)=P(A|B)P(B)=P(8|A)P(A),P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|力之間的內(nèi)在聯(lián)

P(B)

系.

考直一條件概率

1、一個袋中有2個黑球和3個白球，如果不放回地抽取兩個球，記事件“第一次抽到黑球”為A；事件“第二

次抽到黑球''為8.

(1)分別求事件A,B,A8發(fā)生的概率;

(2)求P(B|A).

2、現(xiàn)有6個節(jié)目準備參加比賽，其中4個舞蹈節(jié)目，2個語言類節(jié)目，如果不放回地依次抽取2個節(jié)目,

求：

(1)第1次抽到舞蹈節(jié)目的概率；

(2)第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率；

(3)在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率.

3、在一個袋子中裝有10個球，設有1個紅球，2個黃球，3個黑球，4個白球，從中依次摸2個球，求在第

一個球是紅球的條件下，第二個球是黃球或黑球的概率.

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4、根據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計，某酒店一商務房間1天有客人入住的概率為1,連續(xù)2天有客人入住的概率為:，在

該房間第一天有客人入住的條件下，求第二天也有客人入住的概率.

5、從1、2、3、4、5、6、7、8、9中不放回地依次取2個數(shù)，事件A為“第一次取到的是奇數(shù)”，B

為“第二次取到的是3的整數(shù)倍”，求在A的條件下8發(fā)生的概率.

6、某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的條件下，求他在周六晚上或周五晚上值班的概率.

考點二相互獨立與條件概率的關系

1、判斷下列各對事件是否是相互獨立事件.

(1)甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生.現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學參加演講比賽，

“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”；

(2)容器內(nèi)盛有5個白乒乓球和3個黃乒乓球，“從8個球中任意取出1個，取出的是白球”與“從剩下的7個

球中任意取出1個，取出的還是白球“；

(3)擲一顆骰子一次，“出現(xiàn)偶數(shù)點”與咄現(xiàn)3點或6點”.

2、面對某種流感病毒，各國醫(yī)療科研機構都在研究疫苗，現(xiàn)有A,B,C三個獨立的研究機構在一定的時

期內(nèi)能研制出疫苗的概率分別是1，L求：

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(1)他們都研制出疫苗的概率；

(2)他們都失敗的概率；

(3)他們能夠研制出疫苗的概率.

3、在一段線路中并聯(lián)著3個自動控制的常開開關，只要其中1個開關能夠閉合，線路就能正常工作.假定

在某段時間內(nèi)每個開關能夠閉合的概率都是0.7,計算在這段時間內(nèi)線路正常工作的概率.

4、在同一時間內(nèi)，甲、乙兩個氣象臺獨立預報天氣準確的概率分別為3和3.在同一時間內(nèi)，求:

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(1)甲、乙兩個氣象臺同時預報天氣準確的概率；

(2)至少有一個氣象臺預報準確的概率.

5、一個家庭中有若干個小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A=｛一個家庭中既有男孩又有女孩｝,

8=｛一個家庭中最多有一個女孩｝.對下述兩種情形，討論A與8的獨立性：

(1)家庭中有兩個小孩；(2)家庭中有三個小孩.

考直三全概率公式

1、甲箱的產(chǎn)品中有5個正品和3個次品，乙箱的產(chǎn)品中有4個正品和3個次品.

(1)從甲箱中任取2個產(chǎn)品，求這2個產(chǎn)品都是次品的概率；

(2)若從甲箱中任取2個產(chǎn)品放入乙箱中，然后再從乙箱中任取一個產(chǎn)品，求取出的這個產(chǎn)品是正品的概率.

2、一項血液化驗用來鑒別是否患有某種疾病.在患有此種疾病的人群中，通過化驗有95%的人呈陽性反應，

而健康的人通過化驗也會有1%的人呈陽性反應.某地區(qū)此種病的患者僅占人口的0.5%.若某人化驗結果

為陽性，問此人確實患有此病的概率是多大？

3、假定具有癥狀5={$,52，邑，54}的疾病有4，d2,4三種，現(xiàn)從20000份患有疾病4,d2,4的病歷

卡中統(tǒng)計得到下列數(shù)字：