2023上海一中理科實(shí)驗(yàn)班招生考試數(shù)學(xué)試題(附答案)

2023上海一中理科實(shí)驗(yàn)班招生考試數(shù)學(xué)試題(附答案)一、選擇題（共10小題，每小題2分，共20分）1.設(shè)$a$和$b$是正整數(shù)，它們之間的最大公約數(shù)是3，最小公倍數(shù)是15，則$a$和$b$的和為幾？A.7B.5C.12D.16答案:B2.集合$A=\{0,1,2,3,4\}$，$B=\{-1,0,1,2,3\}$，則集合$A\capB=$A.$\emptyset$B.$\{0,1,2,3\}$C.$\{0\}$D.$\{1,2,3\}$答案:D3.若$a$為非零實(shí)數(shù)，$\frac{a^2}{3}+\frac{1}{12a^2}=\frac{11}{4}$，則$a=$A.$\frac{1}{2}$B.$-\frac{1}{2}$C.$\frac{1}{4}$D.$-\frac{1}{4}$答案:A4.已知點(diǎn)$A(1,2)$和$B(t,5)$在第二象限上的直線$\frac{x-8}{2}=\frac{y-2}{q-t}$的圖像在直線$y=-x+8$的上方，求實(shí)數(shù)$t$的取值范圍。A.$(2,5)$B.$(5,8)$C.$(8,11)$D.$(11,14)$答案:C5.在銳角三角形$ABC$中，$\sinA+\sinB=\sqrt{2}$，那么$\sinA\sinB=$A.$1-\sqrt{2}$B.$1+\sqrt{2}$C.$2-\sqrt{2}$D.$2+\sqrt{2}$答案:B6.已知函數(shù)$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$為常數(shù)。若$f(1)=0$，$f(2)=2$，$f(3)=3$，則$f(\frac{4}{3})$的值為多少？A.$\frac{61}{27}$B.$\frac{63}{27}$C.$\frac{65}{27}$D.$\frac{67}{27}$答案:C7.若集合$A=\{x\in\mathbb{R}\,|\,-4\leqx\leq4\}$，$B=\{x\in\mathbb{R}\,|\,-2\leqx\leq3\}$，則集合$A\capB=$A.$\emptyset$B.$[-2,3]$C.$[-4,3]$D.$[-4,4]$答案:B8.$\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\dots+\frac{n}{2^n}=1-\frac{n+1}{2^n}$，這個(gè)式子成立的條件是？A.$n>1$B.$n>2$C.$n>3$D.$n>4$答案:A9.若在數(shù)列$8,3,a,b,0$中，$a,b$均為整數(shù)，則$a,b$的可能取值有多少個(gè)？A.1B.2C.3D.4答案:C10.若$f(x)=\frac{4x+1}{2x-3}$，$f(x)$在定義域內(nèi)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)$x$的取值范圍是？A.$x\neq-\frac{3}{2}$B.$x\neq\frac{1}{2}$C.$x\neq\frac{3}{2}$D.$x\neq\frac{5}{2}$答案:C二、填空題（共5小題，每小題4分，共20分）11.在平面直角坐標(biāo)系$xOy$中，直線$2x+y-7=0$與$y$軸的夾角為\_\_\_\_°。答案:9012.設(shè)集合$A=\{x\,|\,2x>8\}$，若$x=4$屬于集合$A$，則$x$的取值范圍是\_\_\_\_。答案:$x>4$13.若$x$為正數(shù)，$\log_2(x+8)-\log_2(x-8)=1$，則$x=$\_\_\_\_。答案:1414.設(shè)函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2+2}$，則$f(f(x))=$\_\_\_\_。答案:$\frac{x^4+2x^2+1}{x^8+4x^4+5}$15.在平面直角坐標(biāo)系$xOy$中，過點(diǎn)$A(0,3)$和$B(4,6)$的直線與$x$軸交于點(diǎn)$C$，則四邊形$ACOB$的面積為\_\_\_\_。答案:12三、解答題（共2題，每小題30分，共60分）16.已知函數(shù)$f(x)=x^3+x^2+ax+b$，其中$a$、$b$為常數(shù)。若函數(shù)圖像過點(diǎn)$(0,2)$，且$|f(x)|\leq1$，求函數(shù)$f(x)$的解析式。答案:$f(x)=x^3+x^2-\frac{1}{4}x+\frac{9}{4}