矩陣的初等變換

關于矩陣的初等變換

本章先討論矩陣的初等變換,給出求逆矩陣的初等變換法；建立矩陣的秩的概念,并提出求秩的有效方法．內容難度較大.引例一、消元法解線性方程組求解線性方程組分析：用消元法解下列方程組的過程．第2頁,共43頁，2024年2月25日，星期天解第3頁,共43頁，2024年2月25日，星期天用“回代”的方法求出解：第4頁,共43頁，2024年2月25日，星期天于是解得

(2)第5頁,共43頁，2024年2月25日，星期天小結：1．上述解方程組的方法稱為消元法．2．始終把方程組看作一個整體進行變形，用到如下三種變換：

(1)交換方程次序；(2)以不等于0的數(shù)乘某個方程；

(3)一個方程加上另一個方程的k倍．3．上述三種變換都是可逆的．第6頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的．故這三種變換是同解變換．

因為在上述變換過程中，僅僅只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進行運算，未知量并未參與運算．若記則對方程組的變換完全可以轉換為對矩陣B(方程組(1)的增廣矩陣)的變換．第7頁,共43頁，2024年2月25日，星期天定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:二、矩陣的初等變換

同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“r”換成“c”)．第8頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為初等變換．

初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．逆變換逆變換逆變換等價關系的性質：第9頁,共43頁，2024年2月25日，星期天具有上述三條性質的關系稱為等價．例如,兩個線性方程組同解，就稱這兩個線性方程組等價用矩陣的初等行變換解方程組(1)：第10頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第11頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第12頁,共43頁，2024年2月25日，星期天特點：(1)可劃出一條階梯線,線的下方全為零；(2)每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素為非零元，即非零行的第一個非零元．第13頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

例如行階梯形矩陣的特點:階梯線下方的元素全為零;每個臺階只有一行,臺階數(shù)即是非零行的行數(shù),階梯線的豎線(每段豎線的長度為一行)后面的第一個元素為非零元,也就是非零行的第一個非零元.都是行階梯形矩陣.第14頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

注意：行最簡形矩陣是由方程組唯一確定的,行階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的．

行最簡形矩陣再經過初等列變換,可化成標準形．第15頁,共43頁，2024年2月25日，星期天例如，第16頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

所有與矩陣A等價的矩陣組成的一個集合,稱為一個等價類，標準形F是這個等價類中最簡單的矩陣.

矩陣的行階梯形、行最簡形和標準形的比較：

以引例中的矩陣

B

為例,矩陣B

的行階梯形、行最簡形和標準形分別如下：第17頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

行階梯形矩陣

特點：階梯線以下的元素全是0，臺階數(shù)即為非零行數(shù),豎線后面的第一個元素為非零元.

行最簡形矩陣

特點：非零行的第一個非零元為1，且這些非零元所在的列的其他元素都為0.

標準形矩陣

特點：左上角為一個單位矩陣,其他位置上的元素全都為0.第18頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

從上面的例子可見,任何矩陣經單純的初等行變換必能化為行階梯形矩陣和行最簡形矩陣,但不一定能化成標準形矩陣,如果再使用初等列變換,則一定能化成標準形矩陣.

將矩陣化為行階梯形矩陣的方法不是唯一的,所得結果也不唯一.但一個矩陣的標準形是唯一的,這反映了矩陣的另一個屬性,即矩陣的秩的概念.

利用初等變換把一個矩陣化為行階梯形矩陣和行最簡形矩陣,是一種很重要的運算.由例可知,要解線性方程組只需把增廣矩陣化為行最簡形矩陣.第19頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

定義2

由單位矩陣E經過一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣.三種初等變換對應著三種初等矩陣

矩陣的初等變換是矩陣的一種基本運算，應用廣泛.三、初等矩陣的概念第20頁,共43頁，2024年2月25日，星期天1.對調兩行(或兩列)第21頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第22頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第23頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第24頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第25頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第26頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第27頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第28頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

性質1

設A是一個矩陣，對A施行一次初等行變換，相當于在A的左邊乘以相應的m階初等矩陣；對A施行一次初等列變換，相當于在A的右邊乘以相應的n階初等矩陣.四、初等矩陣的應用初等變換初等矩陣初等逆變換初等逆矩陣第29頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

性質2

設A為可逆方陣,則存在有限個初等方陣第30頁,共43頁，2024年2月25日，星期天定理1表明,如果A~B，r即A經一系列初等行變換變?yōu)锽,則有可逆矩陣P,使PA=B.那么,如何去求出這個可逆矩陣P呢?由于PA=BPA=BPE=PP(A,E)=(B,P)(A,E)~(B,P)，r因此,如果對矩陣

(A,E)作初等行變換,那么,當把A變?yōu)锽時,E就變?yōu)镻.第31頁,共43頁，2024年2月25日，星期天特別地,如果B=E,則P=A-1

，即(A,E)~(E,A-1)r一起,組成一個n2n

矩陣(A,E).對矩陣(A,E)作一系列的初等行變換,將其左半部分化為單位矩陣E,這時其右半部分就是A-1.即(A,E)

初等行變換(E,A-1).將A與E并排放在利用初等變換求逆陣的方法：第32頁,共43頁，2024年2月25日，星期天例1

設

的行最簡形矩陣為F,求F,并求一個可逆矩陣P,使PA=F.解把A用初等行變換化成最簡形,即為F,但需求出P,故按前面所述P(A,E)=(F,P).運算如下第33頁,共43頁，2024年2月25日，星期天故為A的行最簡形，為所求的可逆矩陣.P不是唯一的.第34頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

解例2第35頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第36頁,共43頁，2024年2月25日，星期天即初等行變換第37頁,共43頁，2024年2月25日，星期天例3解第38頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第39頁,共43頁，2024年2月25日，星期天列變換列變換第40頁,共43頁，2024年2月25日，星期天1.初等行(列)變換初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換