矩陣的初等變換

關(guān)于矩陣的初等變換

本章先討論矩陣的初等變換,給出求逆矩陣的初等變換法；建立矩陣的秩的概念,并提出求秩的有效方法．內(nèi)容難度較大.引例一、消元法解線性方程組求解線性方程組分析：用消元法解下列方程組的過程．第2頁,共43頁，2024年2月25日，星期天解第3頁,共43頁，2024年2月25日，星期天用“回代”的方法求出解：第4頁,共43頁，2024年2月25日，星期天于是解得

(2)第5頁,共43頁，2024年2月25日，星期天小結(jié)：1．上述解方程組的方法稱為消元法．2．始終把方程組看作一個整體進(jìn)行變形，用到如下三種變換：

(1)交換方程次序；(2)以不等于0的數(shù)乘某個方程；

(3)一個方程加上另一個方程的k倍．3．上述三種變換都是可逆的．第6頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的．故這三種變換是同解變換．

因?yàn)樵谏鲜鲎儞Q過程中，僅僅只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)算．若記則對方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對矩陣B(方程組(1)的增廣矩陣)的變換．第7頁,共43頁，2024年2月25日，星期天定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:二、矩陣的初等變換

同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“r”換成“c”)．第8頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為初等變換．

初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．逆變換逆變換逆變換等價關(guān)系的性質(zhì)：第9頁,共43頁，2024年2月25日，星期天具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價．例如,兩個線性方程組同解，就稱這兩個線性方程組等價用矩陣的初等行變換解方程組(1)：第10頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第11頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第12頁,共43頁，2024年2月25日，星期天特點(diǎn)：(1)可劃出一條階梯線,線的下方全為零；(2)每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素為非零元，即非零行的第一個非零元．第13頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

例如行階梯形矩陣的特點(diǎn):階梯線下方的元素全為零;每個臺階只有一行,臺階數(shù)即是非零行的行數(shù),階梯線的豎線(每段豎線的長度為一行)后面的第一個元素為非零元,也就是非零行的第一個非零元.都是行階梯形矩陣.第14頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

注意：行最簡形矩陣是由方程組唯一確定的,行階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的．

行最簡形矩陣再經(jīng)過初等列變換,可化成標(biāo)準(zhǔn)形．第15頁,共43頁，2024年2月25日，星期天例如，第16頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

所有與矩陣A等價的矩陣組成的一個集合,稱為一個等價類，標(biāo)準(zhǔn)形F是這個等價類中最簡單的矩陣.

矩陣的行階梯形、行最簡形和標(biāo)準(zhǔn)形的比較：

以引例中的矩陣

B

為例,矩陣B

的行階梯形、行最簡形和標(biāo)準(zhǔn)形分別如下：第17頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

行階梯形矩陣

特點(diǎn)：階梯線以下的元素全是0，臺階數(shù)即為非零行數(shù),豎線后面的第一個元素為非零元.

行最簡形矩陣

特點(diǎn)：非零行的第一個非零元為1，且這些非零元所在的列的其他元素都為0.

標(biāo)準(zhǔn)形矩陣

特點(diǎn)：左上角為一個單位矩陣,其他位置上的元素全都為0.第18頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

從上面的例子可見,任何矩陣經(jīng)單純的初等行變換必能化為行階梯形矩陣和行最簡形矩陣,但不一定能化成標(biāo)準(zhǔn)形矩陣,如果再使用初等列變換,則一定能化成標(biāo)準(zhǔn)形矩陣.

將矩陣化為行階梯形矩陣的方法不是唯一的,所得結(jié)果也不唯一.但一個矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的,這反映了矩陣的另一個屬性,即矩陣的秩的概念.

利用初等變換把一個矩陣化為行階梯形矩陣和行最簡形矩陣,是一種很重要的運(yùn)算.由例可知,要解線性方程組只需把增廣矩陣化為行最簡形矩陣.第19頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

定義2

由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣.三種初等變換對應(yīng)著三種初等矩陣

矩陣的初等變換是矩陣的一種基本運(yùn)算，應(yīng)用廣泛.三、初等矩陣的概念第20頁,共43頁，2024年2月25日，星期天1.對調(diào)兩行(或兩列)第21頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第22頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第23頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第24頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第25頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第26頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第27頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第28頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

性質(zhì)1

設(shè)A是一個矩陣，對A施行一次初等行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣；對A施行一次初等列變換，相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣.四、初等矩陣的應(yīng)用初等變換初等矩陣初等逆變換初等逆矩陣第29頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

性質(zhì)2

設(shè)A為可逆方陣,則存在有限個初等方陣第30頁,共43頁，2024年2月25日，星期天定理1表明,如果A~B，r即A經(jīng)一系列初等行變換變?yōu)锽,則有可逆矩陣P,使PA=B.那么,如何去求出這個可逆矩陣P呢?由于PA=BPA=BPE=PP(A,E)=(B,P)(A,E)~(B,P)，r因此,如果對矩陣

(A,E)作初等行變換,那么,當(dāng)把A變?yōu)锽時,E就變?yōu)镻.第31頁,共43頁，2024年2月25日，星期天特別地,如果B=E,則P=A-1

，即(A,E)~(E,A-1)r一起,組成一個n2n

矩陣(A,E).對矩陣(A,E)作一系列的初等行變換,將其左半部分化為單位矩陣E,這時其右半部分就是A-1.即(A,E)

初等行變換(E,A-1).將A與E并排放在利用初等變換求逆陣的方法：第32頁,共43頁，2024年2月25日，星期天例1

設(shè)

的行最簡形矩陣為F,求F,并求一個可逆矩陣P,使PA=F.解把A用初等行變換化成最簡形,即為F,但需求出P,故按前面所述P(A,E)=(F,P).運(yùn)算如下第33頁,共43頁，2024年2月25日，星期天故為A的行最簡形，為所求的可逆矩陣.P不是唯一的.第34頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

解例2第35頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第36頁,共43頁，2024年2月25日，星期天即初等行變換第37頁,共43頁，2024年2月25日，星期天例3解第38頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第39頁,共43頁，2024年2月25日，星期天列變換列變換第40頁,共43頁，2024年2月25日，星期天1.初等行(列)變換初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換