線性回歸經(jīng)典假設(shè)的分析

關(guān)于線性回歸經(jīng)典假設(shè)的分析第一節(jié)多重共線性多重共線性含義及引起的后果多重共線性的檢驗(yàn)多重共線性的克服及嶺回歸方法第2頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天4.1.1多重共線性含義及引起的后果

一、多重共線性的含義

“多重共線性”一詞由R.Frisch1934年提出，它原指模型的解釋變量間存在線性關(guān)系。針對(duì)總體回歸模型（2.2）式

,的經(jīng)典假設(shè)條件，要求（4.1）即要求矩陣X滿秩。X滿秩就能保證行列式

，從而可以得到參數(shù)的估計(jì)值。如果這個(gè)假設(shè)條件不滿足，即，就表明某些解釋變量之間存在完全的線性相關(guān)關(guān)系，在這種情形下，根本無(wú)法求出參數(shù)的估計(jì)值。第3頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天然而，在實(shí)際問(wèn)題中，某些解釋變量之間不是完全線性相關(guān)的或接近完全線性相關(guān)的。就模型中解釋變量的關(guān)系而言，有三種可能。1、，解釋變量間毫無(wú)線性關(guān)系，變量間相互正交。這時(shí)已不需要多重回歸，每個(gè)參數(shù)

j都可以通過(guò)Y對(duì)的一元回歸來(lái)估計(jì)。2、，解釋變量間完全共線性。此時(shí)模型參數(shù)將無(wú)法確定。直觀地看，當(dāng)兩變量按同一方式變化時(shí)，要區(qū)別每個(gè)解釋變量對(duì)被解釋變量的影響程度就非常困難。第4頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天3、，解釋變量間存在一定程度的線性關(guān)系。實(shí)際中常遇到的是這種情形。隨著共線性程度的加強(qiáng)，對(duì)參數(shù)估計(jì)值的準(zhǔn)確性、穩(wěn)定性帶來(lái)影響。因此我們關(guān)心的不是有無(wú)多重共線性，而是多重共線性的程度。這里需要說(shuō)明的是，在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，經(jīng)濟(jì)變量在時(shí)間上有共同變化的趨勢(shì)。如在經(jīng)濟(jì)上升時(shí)期，收入、消費(fèi)、就業(yè)率等都增長(zhǎng)，當(dāng)經(jīng)濟(jì)處于收縮期，收入、消費(fèi)、就業(yè)率等都下降或增長(zhǎng)率下降。當(dāng)這些變量同時(shí)做解釋變量就會(huì)給模型帶來(lái)多重共線性問(wèn)題。另外，解釋變量與其滯后變量同作解釋變量時(shí)，也會(huì)引起多重共線性。第5頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、多重共線性引起的后果如果解釋變量之間存在明顯的相關(guān)關(guān)系，即存在嚴(yán)重的多重共線性，將會(huì)影響模型的構(gòu)建。1、當(dāng)，X為降秩矩陣，則不存在，不可計(jì)算。2、若，即使，仍具有無(wú)偏性，即

第6頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天然而，當(dāng)時(shí)，接近降秩矩陣，即，變得很大。所以喪失有效性。以二元解釋變量線性模型為例，當(dāng)時(shí)，為

時(shí)方差的2.78倍。當(dāng)時(shí)，為時(shí)的10.26倍。第7頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天4.1.2多重共線性的檢驗(yàn)既然多重共線性會(huì)造成一些嚴(yán)重的后果，在建立線性回歸模型的過(guò)程中，有必要檢驗(yàn)樣本是否存在多重共線性。第8頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天檢驗(yàn)樣本是否存在嚴(yán)重的多重共線性常用的方法如下。一、可決系數(shù)的值較大而回歸系數(shù)的t值較小。當(dāng)模型的可決系數(shù)R2很高，總體顯著性檢驗(yàn)的F值很高，而每個(gè)回歸參數(shù)估計(jì)值的方差又非常大，即t值很低時(shí)，說(shuō)明解釋變量之間存在多重共線性。二、Klein判別法。計(jì)算多重可決系數(shù)R2及解釋變量之間的簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)。若有某個(gè)>R2，則Xi，Xj間的多重共線性是有害的。第9頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、特征值與病態(tài)指數(shù)。根據(jù)矩陣行列式的性質(zhì)，矩陣的行列式等于其特征根的連乘積。因而當(dāng)行列式時(shí)，矩陣X’X至少有一個(gè)特征根近似等于零。反之，可以證明，當(dāng)矩陣X’X至少有一個(gè)特征根近似等于零時(shí)，X的列向量之間必存在多重共線性。第10頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天實(shí)際上，設(shè)是矩陣X’X的一個(gè)近似等于零特征根，c是對(duì)應(yīng)于該特征根的特征向量，則（4.2）對(duì)（4.2）式兩邊左乘c’，即有即從而（4.3）這里（4.3）式就反映出了前面所定義的多重共線性。我們應(yīng)該注意到，矩陣X’X有多少個(gè)特征根近似為零，設(shè)計(jì)矩陣就會(huì)有多少個(gè)類似（4.3）式多重共線性關(guān)系，并且這些多重共線關(guān)系系數(shù)向量就等于接近于零的那些特征根對(duì)應(yīng)的特征向量。第11頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天另外，特征根近似為零的標(biāo)準(zhǔn)可以用下面的病態(tài)指數(shù)（conditionindex）來(lái)確定。記X’X的最大特征根為，稱（4.4）為特征根的病態(tài)指數(shù)。注意特征根的個(gè)數(shù)與病態(tài)指數(shù)都包含了常數(shù)項(xiàng)在內(nèi)。病態(tài)指數(shù)度量了矩陣的特征根散布程度，可以用來(lái)判斷多重共線性是否存在以及多重共線性的嚴(yán)重程度。一般認(rèn)為，當(dāng)0<CI<10時(shí)，設(shè)計(jì)矩陣X沒(méi)有多重共線性；當(dāng)10<CI<100時(shí)，認(rèn)為設(shè)計(jì)矩陣X存在較強(qiáng)的多重共線性；當(dāng)CI>100時(shí)，則認(rèn)為存在嚴(yán)重的多重共線性。第12頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天4.1.3多重共線性的克服及嶺回歸方法如果多重共線性較為嚴(yán)重，我們?cè)撊绾翁幚?？一般?lái)說(shuō)沒(méi)有一個(gè)十分嚴(yán)格的克服多重共線性的方法。但是，可以盡量的降低線性回歸模型中存在的多重共線性。這里介紹一些經(jīng)驗(yàn)規(guī)則和理論方法以便克服或降低多重共線性問(wèn)題時(shí)參考。第13頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、克服多重共線性的經(jīng)驗(yàn)方法

1、剔除變量。面對(duì)嚴(yán)重的多重共線性，最簡(jiǎn)單的克服方法之一就是剔除一個(gè)共線性的變量。但是，如果從模型中剔除的是重要的解釋變量，可能會(huì)引起模型的設(shè)定誤差。所謂設(shè)定誤差是指在回歸分析中使用了不正確的模型。我們知道，在解釋糧食產(chǎn)量的模型中，應(yīng)該包括播種面積和施肥量，那么剔除播種面積這個(gè)變量，就會(huì)構(gòu)成設(shè)定誤差。當(dāng)模型中出現(xiàn)設(shè)定誤差時(shí)，線性模型的分析出現(xiàn)的問(wèn)題會(huì)更為嚴(yán)重，其中問(wèn)題之一是當(dāng)出現(xiàn)設(shè)定誤差時(shí)，回歸系數(shù)的估計(jì)值是有偏的，這與多重共線性相比是一個(gè)更為嚴(yán)重的問(wèn)題。第14頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天事實(shí)上，假設(shè)真實(shí)的模型為如果我們錯(cuò)誤的擬合了模型

記，第15頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天那么，

這里，為回歸模型中回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì)量。第16頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天所以，（4.5）當(dāng)解釋變量之間存在多重共線性時(shí)，是不會(huì)為零的，從而由（4.5）式知，這說(shuō)明如果因?yàn)橛卸嘀毓簿€性而將一共線變量刪除會(huì)導(dǎo)致有偏估計(jì)，而有偏估計(jì)對(duì)參數(shù)的估計(jì)來(lái)說(shuō)，是一個(gè)更為嚴(yán)重的問(wèn)題。在這里我們需要提及的是，在不完全共線的情形下，OLS估計(jì)量仍然是BLUE。第17頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天2、增加樣本容量。由于多重共線性是一個(gè)樣本特征，所以有可能在同樣變量的另一樣本中共線性問(wèn)題并不嚴(yán)重。這樣只需要增大樣本容量就能減輕共線性問(wèn)題。看來(lái)增加樣本容量可能是克服共線性的一個(gè)好方法，但在實(shí)際解決問(wèn)題時(shí)，我們補(bǔ)充數(shù)據(jù)擴(kuò)大樣本容量并不是一件容易的事情，特別是在建立計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型時(shí)所希望的解釋變量的值就更困難。第18頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天3、先驗(yàn)信息。如果通過(guò)經(jīng)濟(jì)理論分析能夠得到某些參數(shù)之間的線性關(guān)系，可以將這種線性關(guān)系作為約束條件，將此約束條件和樣本信息結(jié)合起來(lái)進(jìn)行最小二乘估計(jì)。第19頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天為了進(jìn)一步說(shuō)明問(wèn)題，假設(shè)我們考慮模型如果依據(jù)長(zhǎng)期的經(jīng)驗(yàn)分析可以認(rèn)為兩個(gè)解釋變量的系數(shù)相互關(guān)系為，運(yùn)用這個(gè)先驗(yàn)信息有其中，。這樣可以估計(jì)出，然后可以得到。第20頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天另外，我們應(yīng)該注意到，橫截面數(shù)據(jù)與時(shí)間序列數(shù)據(jù)并用也是先驗(yàn)信息法的一種變形，這種方法稱為數(shù)據(jù)并用（poolingthedata）。其基本思想是，首先利用橫截面數(shù)據(jù)估計(jì)出部分參數(shù)，再利用時(shí)間序列數(shù)據(jù)估計(jì)另外的部分參數(shù)，最后得到整個(gè)方程參數(shù)的估計(jì)。第21頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、一階差分方法一階差分法就是將原模型變形為差分模型的形式，進(jìn)而降低多重共線性的一種方法。將原模型經(jīng)過(guò)一階差分變換為

其中，，，，，。第22頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天一般情況，差分變換后變量之間的相關(guān)性比變換前要弱的多，所以差分后的模型可以有效地降低出現(xiàn)共線性的現(xiàn)象。然而，差分變換常常會(huì)引起信息的丟失，使自由度減少了一個(gè)，也可能會(huì)使得模型的干擾項(xiàng)出現(xiàn)序列相關(guān)，即第23頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天這樣就違背了經(jīng)典線性回歸模型的相關(guān)假設(shè)，因此在具體應(yīng)用時(shí)要慎重。關(guān)于序列相關(guān)的有關(guān)內(nèi)容將在后面詳細(xì)介紹。第24頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、逐步回歸法逐步回歸法的基本思想是，首先用被解釋變量對(duì)每一個(gè)所考慮的解釋變量做簡(jiǎn)單回歸，然后以對(duì)被解釋變量貢獻(xiàn)最大的解釋變量所對(duì)應(yīng)的回歸方程為基礎(chǔ)，以對(duì)被解釋變量貢獻(xiàn)大小為順序逐個(gè)引入其余的解釋變量。這個(gè)過(guò)程會(huì)出現(xiàn)3種情形。①若新變量的引入改進(jìn)了和檢驗(yàn)，且回歸參數(shù)的t檢驗(yàn)在統(tǒng)計(jì)上也是顯著的，則該變量在模型中予以保留。②若新變量的引入未能改進(jìn)和檢驗(yàn)，且對(duì)其他回歸參數(shù)估計(jì)值的t檢驗(yàn)也未帶來(lái)什么影響，則認(rèn)為該變量是多余的，應(yīng)該舍棄。③若新變量的引入未能改進(jìn)和檢驗(yàn)，且顯著地影響了其他回歸參數(shù)估計(jì)值的符號(hào)與數(shù)值，同時(shí)本身的回歸參數(shù)也通不過(guò)t檢驗(yàn)，這說(shuō)明出現(xiàn)了嚴(yán)重的多重共線性，舍棄該變量。第25頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天四、嶺回歸法當(dāng)在建立計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型存在多重共線性時(shí)，最小二乘估計(jì)的性質(zhì)就不夠理想，有時(shí)甚至遭到破壞。在這種情況下，要從本質(zhì)上克服多重共線性，就需要一些新的估計(jì)方法。近四十年來(lái)，人們提出了許多新的估計(jì)方法，其在理論上最有影響并得到廣泛應(yīng)用的就是嶺估計(jì)（ridgeregression）。為了能夠較為深入了解嶺回歸方法，并進(jìn)一步說(shuō)明嶺估計(jì)量的優(yōu)良性，我們引進(jìn)評(píng)價(jià)一個(gè)估計(jì)優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)——均方誤差（meansquarederrors）。第26頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天設(shè)為未知參數(shù)向量，為的一個(gè)估計(jì)量。定義的均方誤差為（4.6）它量度了估計(jì)量跟未知參數(shù)向量平均偏離的大小。一個(gè)好的估計(jì)量應(yīng)該有較小的均方誤差。均方誤差有一個(gè)重要的性質(zhì)，即（4.7）事實(shí)上，（4.8）第27頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天根據(jù)矩陣跡的有關(guān)性質(zhì)，（4.8）式中的第一項(xiàng)為

如果記，則（4.9）（4.9）式是估計(jì)量的各分量方差之和。第28頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天而且（4.10）（4.10）式是估計(jì)量的各分量的偏差平方和。這樣一個(gè)估計(jì)的均方誤差就是由各分量的方差和偏差所決定的。一個(gè)好的估計(jì)量應(yīng)該有較小的方差和偏差。第29頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天下面我們介紹嶺回歸的基本方法。當(dāng)解釋變量之間存在多重共線性時(shí)，則將會(huì)增大，原因是接近奇異。如果將加上一個(gè)正常數(shù)對(duì)角陣kI（k>0，I為單位矩陣），即，使得

的可能性比的可能性更小，那么接近奇異的程度就會(huì)比小的多。第30頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天這樣就可以得到的嶺回歸估計(jì)為（4.11）其中稱為的嶺回歸估計(jì)量，k稱為嶺參數(shù)或偏參數(shù)。當(dāng)k取不同的值時(shí)，我們得到不同的估計(jì)，因此嶺估計(jì)是一個(gè)估計(jì)類，當(dāng)k=0時(shí)，就是普通最小二乘估計(jì)量。于是嚴(yán)格的講，最小二乘估計(jì)量就是嶺估計(jì)類中一個(gè)估計(jì)量。第31頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天但是在一般情況下，當(dāng)我們提及嶺估計(jì)時(shí)，一般不包括最小二乘估計(jì)。特別是在解釋變量之間存在多重共線性時(shí)，以作為的估計(jì)應(yīng)比最小二乘估計(jì)穩(wěn)定，隨著k的逐漸增大，回歸系數(shù)可能呈現(xiàn)出穩(wěn)定的狀態(tài)。因此，要選擇適當(dāng)?shù)膋值，嶺回歸參數(shù)才會(huì)優(yōu)于最小二乘估計(jì)參數(shù)。第32頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天為了進(jìn)一步說(shuō)明嶺回歸估計(jì)的優(yōu)良性，有必要介紹嶺回歸估計(jì)量的有關(guān)性質(zhì)。性質(zhì)1嶺回歸的參數(shù)估計(jì)是回歸參數(shù)的有偏估計(jì)。實(shí)際上，有（4.12）因此嶺估計(jì)量是有偏估計(jì)，這是嶺估計(jì)與最小二乘估計(jì)的一個(gè)重要不同之處。第33頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天性質(zhì)2在嶺參數(shù)k與Y無(wú)關(guān)的情況下，是最小二乘估計(jì)的一個(gè)線性變換，也是理論值Y的線性函數(shù)。實(shí)際上，根據(jù)（4.11）式很容易看出這個(gè)性質(zhì)的正確性。性質(zhì)3存在k>0，使得（4.13）即存在k>0，使得在均方誤差意義下，嶺估計(jì)優(yōu)于最小二乘估計(jì)。第34頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天這里需要說(shuō)明的是關(guān)于k值的選擇非常重要，在此我們主要介紹用嶺跡法選擇k值的基本思路。嶺估計(jì)是隨著k值的改變而變化。若記為的第i個(gè)分量，它是k的一元函數(shù)。當(dāng)k在上變化時(shí)，的圖形稱為嶺跡（ridgetrace）。將的每個(gè)分量的嶺跡畫(huà)在同一個(gè)圖上，根據(jù)嶺跡的變化趨勢(shì)選擇k值，使得各個(gè)回歸系數(shù)的嶺估計(jì)大體上穩(wěn)定，并且各個(gè)回歸系數(shù)嶺估計(jì)值的符號(hào)比較合理并符合實(shí)際。第35頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天我們知道，最小二乘估計(jì)是使殘差平方和達(dá)到最小的估計(jì)。k愈大，嶺估計(jì)跟最小二乘估計(jì)偏差愈大。因此，它對(duì)應(yīng)的殘差平方和也隨著k的增加而增加。當(dāng)我們用嶺跡法選擇k值時(shí)，還應(yīng)該考慮使得殘差平方和不要上升的太多。在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，上述幾點(diǎn)原則有時(shí)可能會(huì)有些相互不一致，顧此失彼的情況也經(jīng)常出現(xiàn)，這就要根據(jù)不同的情況靈活處理。第36頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天需要提及的是，目前還沒(méi)有形成公認(rèn)的選擇嶺參數(shù)的最優(yōu)方法，除了嶺跡法，我們還可以選用方差擴(kuò)大因子法、殘差平方和法等等。另外，在實(shí)際應(yīng)用中，也可以考慮使用逐步搜索的方法，即開(kāi)始給定小的k值，然后逐漸增加k的取值進(jìn)行模擬，直到嶺估計(jì)量的值趨于穩(wěn)定為止。顯然，用逐步搜索的方法確定k，具有一定的主觀性，但是具體的過(guò)程體現(xiàn)出了統(tǒng)計(jì)模擬的基本思想。第37頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天第二節(jié)異方差性異方差性含義及引起的后果異方差性的檢驗(yàn)廣義最小二乘法及異方差性的克服第38頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天4.2.1異方差性含義及引起的后果一、異方差的含義及表現(xiàn)二、異方差引起的后果第39頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、異方差的含義及表現(xiàn)針對(duì)總體回歸模型（2.2）式

,的經(jīng)典假設(shè)條件，要求給出是一個(gè)對(duì)角矩陣，即=

2I=

2(4.14) 且的協(xié)差陣主對(duì)角線上的元素都是常數(shù)且相等，即每一干擾項(xiàng)的方差都是有限的相同值（同方差假定）；且非主對(duì)角線上的元素為零（非自相關(guān)假定），當(dāng)這個(gè)假定不成立時(shí)，不再是一個(gè)純量對(duì)角矩陣。第40頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天

=

2=

2

2I.

當(dāng)干擾項(xiàng)向量的協(xié)差陣主對(duì)角線上的元素不相等時(shí)，稱該隨機(jī)誤差系列存在異方差，即干擾項(xiàng)向量中的元素取自不同的分布總體。非主對(duì)角線上的元素表示干擾項(xiàng)之間的協(xié)方差值。比如中的，（i

j）表示與第i組和第j組觀測(cè)值相對(duì)應(yīng)的與的協(xié)方差。若非主對(duì)角線上的部分或全部元素都不為零，干擾項(xiàng)就是序列相關(guān)的。本節(jié)討論異方差，下一節(jié)討論序列相關(guān)問(wèn)題。(4.15)第41頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天首先明確同方差假定如圖4.1和4.2所示。對(duì)于隨著解釋變量的變化，相應(yīng)的分布方差都是相同的。

圖4.1同方差情形圖4.2同方差情形第42頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天這樣我們就可以進(jìn)一步明確，異方差通常的三種表現(xiàn)形式，（1）遞增型，（2）遞減型，（3）條件自回歸型。遞增型異方差見(jiàn)圖4.3和4.4。圖4.5為遞減型異方差。圖4.6為條件自回歸型異方差。

第43頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天圖4.3遞增型異方差情形第44頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天圖4.4遞增型異方差第45頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天圖4.5遞減型異方差第46頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天圖4.6復(fù)雜型異方差第47頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天這里我們要說(shuō)明的是：第一，時(shí)間序列數(shù)據(jù)和截面數(shù)據(jù)中都有可能存在異方差；第二，經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列中的異方差常為遞增型異方差。金融時(shí)間序列中的異方差常表現(xiàn)為自回歸條件異方差。無(wú)論是時(shí)間序列數(shù)據(jù)還是截面數(shù)據(jù)，遞增型異方差的來(lái)源主要是因?yàn)殡S著解釋變量值的增大，被解釋變量取值的差異性增大。第48頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、異方差引起的后果我們從簡(jiǎn)單線性回歸模型入手，討論異方差對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響，然后再針對(duì)一般回歸線性模型進(jìn)行討論。對(duì)模型(4.16)當(dāng)，為異方差時(shí)（是一個(gè)隨時(shí)間或序數(shù)變化的量），回歸參數(shù)估計(jì)量仍具有無(wú)偏性和一致性。針對(duì)而言

(4.17)第49頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天但是回歸參數(shù)估計(jì)量不再具有有效性，即

(4.18)第50頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天在(4.17)和(4.18)式的推導(dǎo)中利用了的非序列相關(guān)的假定。(4.18)式不等號(hào)左側(cè)項(xiàng)分子中的不是一個(gè)常量，不能從累加式中提出，所以不等號(hào)左側(cè)項(xiàng)不等于不等號(hào)右側(cè)項(xiàng)。而不等號(hào)右側(cè)項(xiàng)是同方差條件下

1的最小二乘估計(jì)量的方差。因此異方差條件下的失去有效性。另外回歸參數(shù)估計(jì)量方差的估計(jì)是真實(shí)方差的有偏估計(jì)量，即E(())

第51頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天針對(duì)一般線性回歸模型（2.2）式

,因?yàn)镺LS估計(jì)量無(wú)偏性的證明只依賴于模型的一階矩，所以當(dāng)以（4.14）式所示時(shí)，OLS估計(jì)量仍具有無(wú)偏性和一致性，即

(4.19)但不具有有效性和漸近有效性。第52頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天而且的分布將受到影響，即

(4.20)由（4.20）式知異方差條件下是非有效估計(jì)量。異方差性的存在，會(huì)對(duì)線性回歸模型正確的建立和統(tǒng)計(jì)推斷帶來(lái)嚴(yán)重的后果，因此在計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析中，有必要檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠翊嬖诋惙讲?。?3頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天4.2.2異方差性的檢驗(yàn)一、定性分析異方差二、戈德菲爾德－昆茨檢驗(yàn)三、格萊澤檢驗(yàn)四、懷特檢驗(yàn)五、自回歸條件異方差檢驗(yàn)第54頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、定性分析異方差定性分析異方差的角度很多，我們可以根據(jù)實(shí)際建立模型依據(jù)的經(jīng)濟(jì)理論和實(shí)際經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象來(lái)分析是否存在異方差性，一般情形經(jīng)濟(jì)變量規(guī)模差別很大時(shí)容易出現(xiàn)異方差，如個(gè)人收入與支出關(guān)系，投入與產(chǎn)出關(guān)系。另外，我們也可以利用散點(diǎn)圖（圖4.6）和殘差圖（圖4.7），來(lái)初步判斷異方差的存在性。第55頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天圖4.6散點(diǎn)圖第56頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天第57頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、戈德菲爾德－昆茨檢驗(yàn)戈德菲爾德－昆茨（Goldfeld-Quandt）檢驗(yàn)方法是戈德菲爾德－昆茨于1965年提出的，所要檢驗(yàn)的問(wèn)題為

H0:具有同方差H1:具有遞增型異方差第58頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天其檢驗(yàn)的基本思想是：第一，把原樣本分成兩個(gè)子樣本。具體方法是把成對(duì)（組）的觀測(cè)值按解釋變量的大小順序排列，略去m個(gè)處于中心位置的觀測(cè)值（通常n

30時(shí)，取mn/4

，余下的n-m個(gè)觀測(cè)值自然分成容量相等(n-m)/2的兩個(gè)子樣本）。

X1,X2,…,Xi-1,Xi,Xi+1,…,Xn-1,Xn}

n1=(n-m)/2m=n/4n2=(n-m)/2第59頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天第二，用兩個(gè)子樣本分別估計(jì)回歸直線，并計(jì)算殘差平方和。相對(duì)于n2

和n1

分別用SSE2

和SSE1表示。第三，構(gòu)建F統(tǒng)計(jì)量

F==，

（k為模型中被估參數(shù)個(gè)數(shù)）在H0成立條件下，F(xiàn)

第60頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天第四，判別規(guī)則如下，若F

,接受H0（ut具有同方差）

若F>,拒絕H0（遞增型異方差）這里我們應(yīng)該注意到，當(dāng)摸型含有多個(gè)解釋變量時(shí)，應(yīng)以每一個(gè)解釋變量為基準(zhǔn)檢驗(yàn)異方差。此法的基本思路也適用于遞減型異方差。另外，對(duì)于截面樣本，計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量之前，必須先把數(shù)據(jù)按解釋變量的值從小到大排序。第61頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、格萊澤檢驗(yàn)格萊澤（Glejser）檢驗(yàn)的基本思想是，檢驗(yàn)

是否與解釋變量Xi存在函數(shù)關(guān)系。若存在函數(shù)關(guān)系，則說(shuō)明存在異方差；若無(wú)函數(shù)關(guān)系，則說(shuō)明不存在異方差。通常應(yīng)檢驗(yàn)的幾種形式是

=a0+a1Xi

=a0+a1/Xi

=a0+a1,….第62頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天格萊澤檢驗(yàn)的特點(diǎn)是不僅能對(duì)異方差的存在進(jìn)行判斷，而且還能對(duì)異方差隨某個(gè)解釋變量變化的函數(shù)形式進(jìn)行診斷。該方法既可檢驗(yàn)遞增型異方差，也可檢驗(yàn)遞減型異方差。應(yīng)該注意，當(dāng)原模型含有多個(gè)解釋變量值時(shí)，可以把

擬合成多變量回歸形式。第63頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天四、懷特檢驗(yàn)懷特（White）檢驗(yàn)由H.White1980年提出。戈德菲爾德－昆茨檢驗(yàn)必須先把數(shù)據(jù)按解釋變量的值從小到大排序。格萊澤檢驗(yàn)通常要試擬合多個(gè)回歸式。White檢驗(yàn)不需要對(duì)觀測(cè)值排序，也不依賴于隨機(jī)誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布，它是通過(guò)一個(gè)輔助回歸式構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行異方差檢驗(yàn)。第64頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天懷特檢驗(yàn)的具體步驟如下。以二元回歸模型為例，Yi=

0+

1Xi1+

2Xi2+(4.21)第一，首先對(duì)上式進(jìn)行OLS回歸，求殘差。并做如下輔助回歸式，=

0+

1Xi1+

2Xi2+

3Xi12+

4Xi22+

5Xi1Xi2+vi(4.22)即用對(duì)原回歸式中的各解釋變量、解釋變量的平方項(xiàng)、交叉積項(xiàng)進(jìn)行OLS回歸。注意，上式中要保留常數(shù)項(xiàng)。求輔助回歸(4.22)式的可決系數(shù)R2。第65頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天第二，懷特檢驗(yàn)的零假設(shè)和備擇假設(shè)是

H0:(4.21)式中的不存在異方差，

H1:(4.21)式中的存在異方差第三，在不存在異方差假設(shè)條件下統(tǒng)計(jì)量

nR2

2(5)(4.23)其中n表示樣本容量，R2是輔助回歸(4.22)式的OLS估計(jì)式的可決系數(shù)。自由度5表示輔助回歸(4.22)式中解釋變量項(xiàng)數(shù)。第66頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天第四，判別規(guī)則是若nR2

2

(5),接受H0（具有同方差）

若nR2>

2

(5),拒絕H0（具有異方差）懷特檢驗(yàn)的特點(diǎn)是，不僅能夠檢驗(yàn)異方差的存在，同時(shí)在多變量的情況下，還能夠判斷出是哪一個(gè)變量引起的異方差，通常適用于截面數(shù)據(jù)的情形。該方法不需要異方差的先驗(yàn)信息，但要求觀測(cè)值為大樣本。第67頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天五、自回歸條件異方差檢驗(yàn)異方差的另一種檢驗(yàn)方法稱作自回歸條件異方差(autoregressiveconditionalheteroscedasticity)檢驗(yàn)，簡(jiǎn)稱為ARCH檢驗(yàn)。這種檢驗(yàn)方法不是把原回歸模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)

i2

看作是Xi

的函數(shù)，而是把

i2看作誤差滯后項(xiàng)，，…的函

數(shù)。ARCH是誤差項(xiàng)二階矩的自回歸過(guò)程。恩格爾（Engle1982）針對(duì)ARCH過(guò)程提出LM檢驗(yàn)法。第68頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天輔助回歸式定義為=

0+

1+…+

n,(4.24)LM統(tǒng)計(jì)量定義為

ARCH=nR2

2(m)

其中R2是輔助回歸式（4.24）的可決系數(shù)。在 H0：

1=…=

m=0成立條件下，ARCH漸近服從

2(m)分布。第69頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天ARCH檢驗(yàn)的最常用形式是一階自回歸模型（m=1），

=

0+

1.在這種情形下，ARCH漸近服從

2(1)分布。ARCH檢驗(yàn)的特點(diǎn)是，要求變量的觀測(cè)值是大樣本，并且是時(shí)間序列數(shù)據(jù)；它只能判斷模型中是否存在異方差，而不能診斷出是哪一個(gè)變量引起的異方差。第70頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天4.2.3廣義最小二乘法及異方差性的克服為了進(jìn)一步從理論上掌握克服異方差的方法，更好的開(kāi)拓建立計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的思路，這里我們將詳細(xì)的介紹廣義最小二乘法的基本理論和方法，然后討論異方差的克服。第71頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、廣義最小二乘法設(shè)模型為其中E()=0，=E()=

2已知。因?yàn)?/p>

I，違反了線性回歸模型的經(jīng)典假定條件，所以應(yīng)該對(duì)模型進(jìn)行適當(dāng)修正。因?yàn)槭且粋€(gè)n階正定矩陣，根據(jù)線性代數(shù)的知識(shí)，必存在一個(gè)非退化n

n階矩陣M使下式成立。

=In

n

從（4.27）式得

=-1

(4.25)(4.26)(4.27)第72頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天用M左乘(4.25)式回歸模型兩側(cè)得

(4.29)令,,,那么(4.29)式變換為

(4.30)根據(jù)（4.15）式，則的協(xié)差陣為===

2=

2I.變換后模型的是一個(gè)純量對(duì)角矩陣。對(duì)變換后模型（4.30）式進(jìn)行OLS估計(jì)，得到的是的最佳線性無(wú)偏估計(jì)量。這種估計(jì)方法稱作廣義最小二乘法。(4.31)第73頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天的廣義最小二乘估計(jì)量（generalizedleastsquaresestimator）定義為

(4.32)第74頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天對(duì)線性回歸模型（4.25）式，滿足條件(4.26)式時(shí)，廣義最小二乘估計(jì)量為參數(shù)的最優(yōu)線性無(wú)偏估計(jì)量，具體表現(xiàn)為：1、線性特性由（4.32）式知

（4.33）第75頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天令，那么，（4.33）式為

從而，說(shuō)明它不僅是Y的線性組合，也是的線

性組合。2、無(wú)偏性由（4.34）式知（4.35）（4.34）第76頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天3、最小方差性首先計(jì)算廣義最小二乘估計(jì)量的協(xié)方差矩陣為

假設(shè)為的任何其他線性無(wú)偏估計(jì)量，

不妨假設(shè)

（4.36）第77頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天由于為的無(wú)偏估計(jì)量，即有

這樣只有或那么有

（4.38）（4.39）第78頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天在（4.39）式中從而根據(jù)矩陣代數(shù)的知識(shí)，任何矩陣與自身轉(zhuǎn)置的乘積都是半正定矩陣，（4.40）式中的為半正定矩陣，其對(duì)角線上的元素必然是非負(fù)的，因此得知，廣義最小二乘估計(jì)量為參數(shù)的最優(yōu)線性無(wú)偏估計(jì)量。（4.40）第79頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天在實(shí)際應(yīng)用中，我們需要對(duì)進(jìn)行估計(jì)，的無(wú)偏估計(jì)量為

（4.41）第80頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天這里我們需要強(qiáng)調(diào)的是，一般情況下廣義最小二乘估計(jì)量比普通最小二乘估計(jì)量更有效。事實(shí)上，當(dāng)線性模型滿足(4.26)式，如果繼續(xù)對(duì)模型用普通最小二乘法得到的估計(jì)量，知

（4.42）第81頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天由（4.36）式知，只要證明

成立。（4.43）式中的不等號(hào)表示為一個(gè)半正定矩陣。令，，由于

（4.44）（4.43）第82頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天那么，根據(jù)（4.27）式

根據(jù)矩陣代數(shù)的知識(shí)，（4.45）式中的為半正定矩陣。從而，說(shuō)明了為一個(gè)半正定矩陣。（4.45）第83頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、異方差的克服設(shè)模型(4.25)式，滿足E()=0，=E()=

2

，一般的異方差情形是

=（4.46）第84頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天對(duì)應(yīng)用廣義最小二乘法而言，很容易選取M為M=第85頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天我們需要提及的是，在經(jīng)濟(jì)意義成立的情形下，對(duì)模型（2.1）式的變量進(jìn)行對(duì)數(shù)變換，有

(4.47)對(duì)數(shù)變換后的模型通常可以降低異方差性的影響。這是因?yàn)榻?jīng)過(guò)對(duì)數(shù)變換后的線性模型，其殘差表示相對(duì)誤差，而相對(duì)誤差往往比絕對(duì)誤差有較小的差異。第86頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天事實(shí)上，針對(duì)樣本回歸模型取對(duì)數(shù)后的樣本回歸模型為

(4.48)其中，殘差，因此，

(4.49)第87頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天對(duì)（4.49）式右端進(jìn)行泰勒展開(kāi)，即

(4.50)將（4.50）式中的X用替換，則這說(shuō)明模型（4.48）中的殘差表示相對(duì)誤差。第88頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天例4.1對(duì)模型

假設(shè)格萊澤檢驗(yàn)結(jié)果是說(shuō)明異方差形式是。第89頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天用除原模型各項(xiàng)，有則說(shuō)明消除了異方差。然后對(duì)變換后的模型做OLS估計(jì)。第90頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天第三節(jié)序列相關(guān)性序列相關(guān)性含義及引起的后果序列相關(guān)的檢驗(yàn)序列相關(guān)的克服第91頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天4.3.1序列相關(guān)性含義及引起的后果一、序列相關(guān)的含義及性質(zhì)1、序列相關(guān)的含義針對(duì)線性模型（2.1）式

當(dāng)，(i,j

n,i

j),即誤差項(xiàng)的取值在時(shí)間上是相互無(wú)關(guān)的。稱誤差項(xiàng)非序列相關(guān)。如果，(i

j)(4.51)則稱誤差項(xiàng)存在序列相關(guān)。第92頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天序列相關(guān)又稱自相關(guān)。原指一隨機(jī)變量在時(shí)間上與其滯后項(xiàng)之間的相關(guān)。這里主要是指回歸模型中隨機(jī)誤差項(xiàng)與其滯后項(xiàng)的相關(guān)關(guān)系。序列相關(guān)也是相關(guān)關(guān)系的一種。第93頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天序列相關(guān)按形式可分為兩類。(1)一階自回歸形式當(dāng)誤差項(xiàng)只與其滯后一期值有關(guān)時(shí)，即=f(),稱具有一階自回歸形式。第94頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天(2)高階自回歸形式當(dāng)誤差項(xiàng)的本期值不僅與其前一期值有關(guān)，而且與其前若干期的值都有關(guān)系時(shí)，即則稱具有高階自回歸式。第95頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天通常假定誤差項(xiàng)的序列相關(guān)是線性的。因計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型中序列相關(guān)的最常見(jiàn)形式是一階自回歸形式，所以下面重點(diǎn)討論誤差項(xiàng)的線性一階自回歸形式，即

(4.52)其中是序列相關(guān)回歸系數(shù)，是隨機(jī)誤差項(xiàng)。滿足通常假設(shè)

第96頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天針對(duì)（4.52）式，利用OLS方法，得到的估計(jì)公式為，

=(4.53)其中n是樣本容量。若把，看作兩個(gè)變量，則它們的相關(guān)系數(shù)是

=(4.54)第97頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天對(duì)于大樣本而言，顯然有

(4.55)把（4.55）式代入（4.54）式得≈=(4.56)第98頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天因而對(duì)于總體參數(shù)而言，有

=，即一階自回歸形式的序列相關(guān)回歸系數(shù)等于該兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)。因此原回歸模型中誤差項(xiàng)的一階自回歸形式(4.52)式可表示為

(4.57)

的取值范圍是[-1，1]。當(dāng)

0時(shí)，稱存在正序列相關(guān)；當(dāng)

0時(shí)，稱存在負(fù)序列相關(guān)。當(dāng)

=0時(shí)，稱不存在序列相關(guān)。第99頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天圖4.8a,c,e,分別給出具有正序列相關(guān)，負(fù)序列相關(guān)和非序列相關(guān)的三個(gè)序列。為便于理解時(shí)間序列的正負(fù)序列相關(guān)特征，圖4.8b、d、f分別給出圖4.8a、c、e中變量對(duì)其一階滯后變量的散點(diǎn)圖。正負(fù)序列相關(guān)以及非序列相關(guān)性展現(xiàn)的更為明了。第100頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天圖4.8時(shí)間序列及其自相關(guān)散點(diǎn)圖a.非序列相關(guān)的序列圖第101頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天

b.非序列相關(guān)的散點(diǎn)圖第102頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天c.正序列相關(guān)的序列圖第103頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天

d.正序列相關(guān)的散點(diǎn)圖第104頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天e.負(fù)序列相關(guān)的序列圖第105頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天

f.負(fù)序列相關(guān)的散點(diǎn)圖第106頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天2、序列相關(guān)有關(guān)性質(zhì)針對(duì)一階自回歸(4.57)式，討論誤差項(xiàng)的期望、方差與協(xié)方差公式。由(4.57)式知

(4.58)因?yàn)閷?duì)于平穩(wěn)序列有，整理（4.58）式得的期望為

(4.59)第107頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天那么，

的方差為整理上式得

(4.60)第108頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天其協(xié)方差為

(4.61)同理

(s

0)(4.62)第109頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天則由(4.60)式、(4.61)式和(4.62)式得

其中。從而驗(yàn)證了當(dāng)回歸模型的誤差項(xiàng)存在一階自回歸形式時(shí)，。同理也可證明當(dāng)存在高階自回歸形式時(shí)，仍有。這里要說(shuō)明的是，自相關(guān)多發(fā)生于時(shí)間序列數(shù)據(jù)中。若出現(xiàn)于截面數(shù)據(jù)中，稱其為空間自相關(guān)。第110頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天3、序列相關(guān)的來(lái)源與后果誤差項(xiàng)存在序列相關(guān)，主要有如下幾個(gè)原因。(1)模型的數(shù)學(xué)形式不妥。若所用的數(shù)學(xué)模型與變量間的真實(shí)關(guān)系不一致，誤差項(xiàng)常表現(xiàn)出自相關(guān)。比如平均成本與產(chǎn)量呈拋物線關(guān)系，當(dāng)用線性回歸模型擬合時(shí)，誤差項(xiàng)必存在自相關(guān)。(2)經(jīng)濟(jì)變量的慣性。大多數(shù)經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列都存在自相關(guān)。其本期值往往受滯后值影響。突出特征就是慣性與低靈敏度。如國(guó)民生產(chǎn)總值，固定資產(chǎn)投資，國(guó)民消費(fèi)，物價(jià)指數(shù)等隨時(shí)間緩慢地變化，從而建立模型時(shí)導(dǎo)致誤差項(xiàng)自相關(guān)。第111頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天(3)回歸模型中略去了帶有自相關(guān)的重要解釋變量。若丟掉了應(yīng)該列入模型的帶有自相關(guān)的重要解釋變量，那么它的影響必然歸并到誤差項(xiàng)中，從而使誤差項(xiàng)呈現(xiàn)自相關(guān)。當(dāng)然略去多個(gè)帶有自相關(guān)的解釋變量，也許因互相抵消并不使誤差項(xiàng)呈現(xiàn)自相關(guān)。第112頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天當(dāng)誤差項(xiàng)存在序列相關(guān)時(shí)，模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)量具有如下特性。(1)只要假定條件成立，回歸系數(shù)仍具有無(wú)偏性。

(4.63)第113頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天(2)喪失有效性。如果回歸模型中誤差項(xiàng)存在一階自回歸形式(4.57)式，根據(jù)(4.62)式的結(jié)果，知

(4.64)與不等。第114頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天(3)有可能低估誤差項(xiàng)的方差。低估回歸參數(shù)估計(jì)量的方差，等于夸大了回歸參數(shù)的抽樣精度，過(guò)高的估計(jì)統(tǒng)計(jì)量t的值，從而把不重要的解釋變量保留在模型里，使顯著性檢驗(yàn)失去意義。(4)由于存在自相關(guān)時(shí)，（）和都變大，都不具有最小方差性。所以用依據(jù)普通最小二乘法得到的回歸方程去預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)是無(wú)效的。第115頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天4.3.2序列相關(guān)的檢驗(yàn)1、定性分析法定性分析法就是依據(jù)殘差ei對(duì)時(shí)間i的序列圖的性質(zhì)作出判斷。由于殘差et是對(duì)誤差項(xiàng)的估計(jì)，所以盡管誤差項(xiàng)觀測(cè)不到，但可以通過(guò)ei的變化判斷是否存在序列相關(guān)。第116頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天定性分析法的具體步驟是，(1)用給定的樣本估計(jì)回歸模型，計(jì)算殘差ei,(i=1,2,…n)，繪制殘差圖；(2)分析殘差圖。若殘差圖與圖4.8a類似，則說(shuō)明不存在自相關(guān)；若與圖4.8c類似，則說(shuō)明存在正自相關(guān)；若與圖4.8e類似，則說(shuō)明存在負(fù)自相關(guān)。經(jīng)濟(jì)變量由于存在慣性，不可能表現(xiàn)出如圖4.8e那樣的震蕩式變化。其變化形式常與圖4.8中c相類似，所以經(jīng)濟(jì)變量的變化常表現(xiàn)為正自相關(guān)。第117頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天2、DW（Durbin-Watson）檢驗(yàn)法DW檢驗(yàn)是J.Durbin,G.S.Watson于1950年發(fā)表的一篇論文《TestingforSerialCorrelationinLeastSquaresRegression》中提出的。它是利用殘差ei構(gòu)成的統(tǒng)計(jì)量推斷誤差項(xiàng)是否存在序列相關(guān)。第118頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天使用DW檢驗(yàn)，應(yīng)首先滿足如下三個(gè)條件。(1)誤差項(xiàng)的自相關(guān)為一階自回歸形式。(2)因變量的滯后值不能在回歸模型中作解釋變量。(3)樣本容量應(yīng)充分大（n

15）第119頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天DW檢驗(yàn)的基本思想如下。給出假設(shè)H0:（不存在序列相關(guān))H1:(存在一階序列相關(guān))用殘差值ei計(jì)算統(tǒng)計(jì)量DW。

DW=(4.65)其中分子是殘差的一階差分平方和，分母是殘差平方和。第120頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天把上式展開(kāi)，

DW=(4.66)因?yàn)橛小帧?4.67)代入(4.66)式，有

DW≈=2(1-)=2(4.68)第121頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天因?yàn)榈娜≈捣秶荹-1,1]，所以DW統(tǒng)計(jì)量的取值范圍是[0,4]。

與DW值的對(duì)應(yīng)關(guān)系見(jiàn)表4.1。0<－1<表4.1與DW值的對(duì)應(yīng)關(guān)系及意義DW的表現(xiàn)

=0DW=2非序列相關(guān)

=1DW=0完全正序列相關(guān)

=－1DW=4完全負(fù)序列相關(guān)0<<10<DW<2有某種程度的正序列相關(guān)

-1<<02<DW<4有某種程度的負(fù)序列相關(guān)第122頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天實(shí)際中DW=0,2,4的情形是很少見(jiàn)的。當(dāng)DW取值在（0,2），（2,4）之間時(shí)，怎樣判別誤差項(xiàng)是否存在序列相關(guān)呢？推導(dǎo)統(tǒng)計(jì)量DW的精確抽樣分布是困難的，因?yàn)镈W是依據(jù)殘差ei

計(jì)算的，而ei的值又與的形式有關(guān)。DW檢驗(yàn)與其它統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)不同，它沒(méi)有唯一的臨界值用來(lái)制定判別規(guī)則。然而Durbin-Watson根據(jù)樣本容量和被估參數(shù)個(gè)數(shù)，在給定的顯著性水平下，給出了檢驗(yàn)用的上、下兩個(gè)臨界值dU和dL。第123頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天判別規(guī)則如下：

(1)若DW取值在（0,dL）之間，拒絕原假設(shè)H0,認(rèn)為存在一階正序列相關(guān)。(2)若DW取值在（4-dL,4）之間，拒絕原假設(shè)H0,認(rèn)為存在一階負(fù)序列相關(guān)。(3)若DW取值在（dU,4-dU）之間，接受原假設(shè)H0,認(rèn)為非序列相關(guān)。(4)若DW取值在（dL,dU）或（４-dU,4-dL）之間，這種檢驗(yàn)沒(méi)有結(jié)論，即不能判別是否存在一階序列相關(guān)。第124頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天判別規(guī)則可用圖4.9表示。DW

圖4.9判別規(guī)則第125頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天當(dāng)DW值落在“不確定”區(qū)域時(shí)，有兩種處理方法。①加大樣本容量或重新選取樣本，重作DW檢驗(yàn)。有時(shí)DW值會(huì)離開(kāi)不確定區(qū)。②選用其它檢驗(yàn)方法。見(jiàn)附表5，DW檢驗(yàn)給出DW檢驗(yàn)臨界值。DW檢驗(yàn)臨界值與三個(gè)參數(shù)有關(guān)。①檢驗(yàn)水平

，②樣本容量n,③原回歸模型中解釋變量個(gè)數(shù)k（不包括常數(shù)項(xiàng)）。第126頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天這里我們應(yīng)該提及的是，①不適用于聯(lián)立方程模型中各方程的序列相關(guān)檢驗(yàn)。②DW統(tǒng)計(jì)量不適用于對(duì)高階序列相關(guān)的檢驗(yàn)。③因?yàn)镈W統(tǒng)計(jì)量是以解釋變量非隨機(jī)為條件得出的，所以當(dāng)有滯后的內(nèi)生變量作解釋變量時(shí)，DW檢驗(yàn)無(wú)效。這方面的內(nèi)容，將在第5章的§5.3中介紹。第127頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天3、回歸檢驗(yàn)法回歸檢驗(yàn)法的優(yōu)點(diǎn)是：第一，適合于任何形式的序列相關(guān)檢驗(yàn)；第二，若結(jié)論是存在序列相關(guān)，則同時(shí)能提供出序列相關(guān)的具體形式與參數(shù)的估計(jì)值。缺點(diǎn)是計(jì)算量大。第128頁(yè),共188頁(yè)，2024年2月25日，星期天回歸檢驗(yàn)法的思想如下：①用給定樣本估計(jì)模型并計(jì)算殘差ei。②對(duì)殘差序列ei,(i=1,2,…,n)用普通最小二乘法進(jìn)行不同形式的回歸擬合。如

ei=

ei–1+vi

ei=

1ei–1+

2ei–2+viei=