多物體系統(tǒng)-輕彈簧連接體模型專題突破

?機械能守恒定律》考點微專題7多物體系統(tǒng)機械能守恒問題輕彈簧模型一、知能掌W（一）輕彈簧彈力做功.彈力功的特點彈簧彈力的功與路徑無關(guān)。同一彈簧在某一過程中彈力的功只是取決于初末狀態(tài)彈簧形變量的大小，與彈力的作用點經(jīng)過的路徑?jīng)]有關(guān)系。.彈力做功的計算（1）平均力求功：因為彈力隨著位移是線性變化的，所以彈力功的大小可以用平均力2求得即,一1 1 02 2說明：①上式是彈簧由原長到伸長或者壓縮X長度的過程彈力做的功，上式中的F是形變量為X時的彈力。②當形變量由X1變?yōu)閄2時彈力功的大小為=FLx=；（F1+F2）Ax=若一君）（2）圖像法求功：如圖所示，彈力F與形變量1成線性關(guān)系，如果將形變量1分成很多小段Al,在各小段上的彈力可以當作恒力處理，由W=FA1知，很多個矩形的面積之和就與彈力做功的大小相等，綜合起來考慮，圖線與1軸所夾面積，就等于彈力做功的大小.則*l=1kl-l=1kl2.（3）功能關(guān)系、能量轉(zhuǎn)化和守恒定律求功.同時要注意彈力做功的特點：Wk二一“（逐一好），（二）輕彈簧彈性勢能的大小計算方法.功能關(guān)系：彈力的功等于彈性勢能增量的負值即：Wk二一"（媛-瓷）=-AEp=Epl-Ep2,彈力做正功時彈性勢能減少：彈力做負功時彈性勢能增加。.計算公式：彈性勢能的大小計算公式：瑪=上z，（此式的定量計算在高中階段不作要求）。.能的轉(zhuǎn)化和守恒定律：（三）輕彈簧模型的機械能守恒問題由彈簧相連的物體系統(tǒng)，在運動過程中既有重力做功又有彈簧彈力做功，這時系統(tǒng)內(nèi)物體的動能、重力勢能和彈簧彈性勢能相互轉(zhuǎn)化或轉(zhuǎn)移，而總的機械能守恒.注意對輕彈簧連接的系統(tǒng)機械能守恒并非其中的單個物體機械能守恒，因為輕彈簧對系統(tǒng)中的每一個物體都要做功；求解這類問題時，要注意四個方面：首先以彈簧遵循的胡克定律為分析問題的突破II：.彈簧伸長或縮短時產(chǎn)生的彈力的大小遵循尸=區(qū)和"="x..當伸長和縮短的長度相同時，彈力大小相等。其次，以彈簧的彈性勢能的特點為分析問題的突破口：.彈簧發(fā)生形變時，具有一定的彈性勢能..彈簧的彈性勢能與彈簧的勁度系數(shù)、形變量有關(guān)，但是在具體的問題中不用計算彈性勢能的大小。.彈簧的形變量相同的時候彈性勢能相同，通過運算可以約去..當題目中始、末都不是彈簧原長時，要注意始、末彈力的大小與方向時刻要與當時的形變相對應(yīng)，即伸長量或壓縮量，而力的位移就可能是兩次形變量之和或之差一當初末狀態(tài)彈簧的形變量變化相同時,彈性勢能的而變化量也相同。再次，在相互作用過程特征方面，彈簧兩端物體把彈簧拉伸至最長（或壓縮至最短）時，兩端的物體具有相同的速度，彈性勢能最大.最后，如果系統(tǒng)每個物體除彈簧彈力外所受合力為零，當彈簧為自然長度時，系統(tǒng)內(nèi)彈簧某一端的物體具有最大速度（如繃緊的彈簧由靜止釋放）.（四）彈性勢能大小的三個特點及其變化量的計算：.同一彈簧彈性勢能與形變量的平方成正比，AEp=Ep2-Epl=ikxl2—!-kx22,其中彈性勢能的2 2計算式E 高中不要求掌握，這種直接計算的方法并不常見；「2.同一彈簧形變量（拉伸或壓縮）相同時彈性勢能相同，AEp=O：.同一彈簧形變量（拉伸或壓縮）的變化量相同時彈性勢能的變化量相同，依據(jù)功能關(guān)系和能量守恒定律計算。（五）系統(tǒng)機械能守恒問題解題步驟（選對象、析動力析功能、列方程、求結(jié)果）（1）選對象：正確選取研究對象（合適的系統(tǒng)）⑵建模型：對各物體或系統(tǒng)進行受力分析、運動分析、做功分析、能量轉(zhuǎn)化分析，判斷守恒的條件，搞清楚各種形式的能量的初末態(tài)⑶列方程：正確選取機械能守恒定律常用的表達形式，一般選用△瓦=一△瓦的形式，△瓦增=4互殳.注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關(guān)系和位移關(guān)系.（4）求結(jié)果：求解結(jié)果并對結(jié)果檢驗討論.（六）系統(tǒng)機械能守恒問題分析技巧.對■多個物體組成的系統(tǒng)要注意判斷物體運動過程中，系統(tǒng)的機械能是否守恒..注意尋找用繩或桿、彈簧相連接的物體間的速度關(guān)系和位移關(guān)系..列機械能守恒方程時，一般選用或的形式.（1）在應(yīng)用機械能守恒定律處理實際問題時，經(jīng)常遇到像“鏈條”“液柱”類的物體，其在運動過程中將發(fā)生形變，其重心位置相對物體也發(fā)生變化，因此這類物體不能再看成質(zhì)點來處理.（2）物體雖然不能看成質(zhì)點來處理，但因只有重力做功，物體整體機械能守恒.一般情況下，可將物體分段處理，確定質(zhì)量分布均勻的規(guī)則物體各部分的重心位置，根據(jù)初、末狀態(tài)物體重力勢能的變化列式求解.（七）在水平面上可以自由移動的光滑圓弧（滑塊類）類和懸點在水平面上可以自由移動的擺動類。光滑的圓弧放在光滑的水平面上，不受任何水平外力的作用，物體在光滑的圓弧上滑動，這一類的題目，也符合系統(tǒng)機械能守恒的外部條件和內(nèi)部條件，在動量專題中用具體的例子來說明懸掛小球的細繩系在一個不受任何水平外力的物體上，當小球擺動時,物體能在水平面內(nèi)自由移動,這一類的題目和在水平面內(nèi)自由移動的光滑圓弧類形異而質(zhì)同，同樣符合系統(tǒng)機械能守恒的外部條件和內(nèi)部條件，在動量專題中用用具體的例子來說明二探索提升題型一輕彈簧連接單一物體【典例1】（2020?貴州省高中元月考）把質(zhì)量為小的小球（可看做質(zhì)點）放在豎直的輕質(zhì)彈簧上，并把小球下按到工的位置（圖1甲），如圖所示.迅速松手后，彈簧把小球彈起，球升至最高位置。點（圖1丙），途中經(jīng)過位置3時彈簧正好處于自由狀態(tài)（圖1乙）.已知＜5的高度差為肌，5c的高度差為力2,重力加速度為g，不計空氣阻力.則（）A.小球從,4上升到3位置的過程中，動能增大B.小球從且上升到C位置的過程中，機械能一直增大C.小球在圖甲中時，彈簧的彈性勢能為6且（生十九）D.一定有九之九【答案】C【解析】A.球從/上升到6位置的過程中，先加速，當彈簧的彈力AAx=/ng時，合力為零，加速度減小到零，速度達到最大，之后小球繼續(xù)上升彈簧彈力小于重力，球做減速運動，故小球從工上升到方的過程中，動能先增大后減小，A錯誤；B.小球與彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，從/到6過程，彈簧彈性勢能減小，小球的機械能增加，離開6繼續(xù)上升到C的過程小球機械能不變，故B錯誤；C.根據(jù)能量的轉(zhuǎn)化與守恒，小球在圖甲中時，彈簧的彈性勢能等于小球由4到C位置時增加的重力勢能：Ev=mg（生+力1）,C正確；D.設(shè)球在6點速度為〃則6到c過程：r=2g比尸4到6過程，v2=l（g——）//i,可見：h2<hltD錯誤；故選C.m【典例2】（2020?山東泰安月考）如圖2所示，勁度系數(shù)為左的輕質(zhì)彈簧，一端系在豎直放置、半徑為五的光滑圓環(huán)頂點R另一端連接一套在圓環(huán)上且質(zhì)量為說的小球.開始時小球位于H點，此時彈簧處于原長且與豎直方向的夾角為45。，之后小球由靜止沿圓環(huán)下滑，小球運動的最低點5時的速率為也此時小球與圓環(huán)之間的壓力恰好為零，己知重力加速度為，下列分析正確的是（）圖2A.輕質(zhì)彈簧的原長為夫B.小球過5點時，所受的合力為7〃g+7?7二RC.小球從［到5的過程中，重力勢能轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢能D.小球運動到5點時，彈簧的彈性勢能為；洲V2【答案】D【解析】A.由幾何知識可知彈簧的原長為&衣，A錯誤；B.根據(jù)向心力公式：小球過萬點時，則由重力和彈簧彈力的合力提供小球的向心力產(chǎn)合=桁1，B錯誤；C.以小球和彈簧組成的系統(tǒng)為研究對象，在小球從月到萬的過程中，只有重力和彈簧的彈力做功，系統(tǒng)的機械能守恒，小球重力勢能減小轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢能和動能.故C錯誤；D.根據(jù)能量的轉(zhuǎn)化與守恒：〃3?=}〃1產(chǎn)+紇，得E=mgR--mv29故D正確.故選D【典例3】(2020?山東省濟南市高三期末)如圖3所示，質(zhì)量為次的小球穿在光滑細桿MN上，并可沿細桿滑動。已知細桿與水平面夾角30。，細桿長度為2乙尸為細桿中點。小球連接輕彈簧，彈簧水平放置，彈簧右端固定于豎直平面的。點。此時彈簧恰好處于原長，原長為3L,勁度系數(shù)為3拳。將小球從M■點由靜止釋放，小球會經(jīng)過尸點，并能夠到達N點。下列說法正確的是()圖3A.小球運動至尸點時受到細桿彈力為平〃7gB.小球運動到尸點處時的加速度為叵2C.小球運動至N點時的速度低7D.小球運動至N點時彈簧的彈性勢能為【答案】AC【解析】AB.小球運動至尸點時，根據(jù)幾何關(guān)系可得OP之間的距離為：d=2叵Lsin3(T=巫33 3mg則彈簧的彈力大小為：尸=〃［華^一"=￡mg對小球受力分析，可知受重力、彈簧的彈力和輕桿的彈作用，如圖所示:mg在垂直斜面方向上，根據(jù)平衡條件有：N=F+mgcos30,解得：N=士叵mg,63在沿斜面方向上，根據(jù)牛頓第二定律有：〃吆su】30=〃心，解得：〃=gsin30=gg,A正確，B錯誤；CD.根據(jù)幾何關(guān)系，可知QV=OM=友L,故小球從M點運動至N點，彈性勢能變化量為3零，所以在N點的彈性勢能為零，則整個過程小球減小的重力勢能全部轉(zhuǎn)化為小球的動能，根據(jù)機械能守恒有：〃吆?2Lsin30=，〃匕3解得：亞，C正確，D錯誤。故選AC。題型二輕彈簧連接多個物體【典例4】（2020?四川省棠湖中學高三上學期期末）如圖4所示，帶有擋板的光滑斜面固定在水平地面上，斜面的傾角為e=30。.質(zhì)量均為1kg的工、5兩物體用輕彈簧拴在一起，彈簧的勁度系數(shù)為5N/cm,質(zhì)量為2kg的物體C用細線通過光滑的輕質(zhì)定滑輪與物體5連接.開始時,4、5均靜止在斜面上，工緊靠在擋板處，用手托住C，使細線剛好被拉直.現(xiàn)把手拿開，讓C由靜止開始運動，從C開始運動到工剛要離開擋板的過程中，下列說法正確的是（ ）（取g=10m/s2）A.初狀態(tài)彈簧壓縮量為1cm B.末狀態(tài)彈簧的伸長量為1cmC.物體3、C與地球組成的系統(tǒng)機械能守恒 D.物體?？朔K的拉力所做的功為0.2J【答案】ABD【解析】人.初狀態(tài)彈簧的壓縮量為.氣絲=嚶震=宜】‘故A正確.B.末狀態(tài)彈簧的伸長量為毛=『=嗡*=—故B正確.C.對于物體仄C與地球組成的系統(tǒng),由于彈簧對方先做正功后做負功，所以系統(tǒng)的機械能不守恒.故C錯誤.D.初末狀態(tài)彈簧的彈性勢能相等，對于彈簧、物體與，C與地球組成的系統(tǒng)，根據(jù)機械能守恒定律得團4(±+x2)=%g(演+工)$加8+；+小”，對C,由動能定理得團48+x2)-Wt,.=1mcv2,解得物體c克服繩的拉力所做的功％克=0.21，故D正確.【典例5】如圖5,質(zhì)量為奶的物體月經(jīng)一輕質(zhì)彈簧與卜方地面上的質(zhì)量為生的物體夕相連，彈簧的勁

度系數(shù)為2乩8都處于靜止狀態(tài)。一條不可伸長的輕繩繞過輕滑輪，一端連物體4另一端連一輕掛鉤。開始時各段繩都處于伸直狀態(tài)，4上方的一段繩沿豎直方向?，F(xiàn)在掛鉤上掛一質(zhì)量為腦的物體。并從靜止狀態(tài)釋放，已知它恰好能使8離開地面但不繼續(xù)上升。若將。換成另一個質(zhì)量為（佐+外）的物體。，仍從上述初始位置由靜止狀態(tài)釋放，則這次8剛離地面時〃的速度的大小是多少？已知重力加速度為g。Apwi【答案】v=2【答案】v=2加]（m]+加Jg之（2/7?1+叫）k【解析】開始時，A、B靜止，設(shè)彈簧壓縮量為工，有kxiRg①掛C并釋放后，C向下運動，A向上運動，設(shè)B剛要離地時彈簧伸長量為短，有kji=m2g ②B不再上升，表示此時A和C的速度為零，C已降到其最低點。由機械能守恒，與初始狀態(tài)相比,彈簧性勢能的增加量為AE=msg -nug（為+面C換成D后，當B剛離地時彈簧勢能的增量與前一次相同，由能量關(guān)系得=+〃乙）g*i+X2）-〃7]g（X]+x2）-AE由③?式得-（2〃n+/%）戶=+x2）⑤題型三、擺動類、光滑斜面圓弧類【典例6】（2019年合肥模擬）（多選）如圖6所示，小車靜止在光滑的水平導軌上，一個小球用細繩懸掛在車上無初速度釋放，在小球下擺到最低點的過程中，下列說法正確的是（）圖6A,繩對小球的拉力不做功B.小球克服繩的拉力做的功等于小球減少的機械能C.小車和球組成的系統(tǒng)機械能守恒D.小球減少的重力勢能等于小球增加的動能【答案】BC【解析】由于導軌光滑，沒有熱量產(chǎn)生，所以小車和球組成的系統(tǒng)機械能守恒，小球減少的重力勢能轉(zhuǎn)化為小球和車的動能，故C正確，D錯誤.繩對小車拉力做正功，繩對小球拉力做負功，且小球克服繩的拉力做的功等于小球減少的機械能，故A錯誤，B正確.【典例7】（2020?湖南省師大附中高三第四次月考）如圖7所示，水平光滑地面上停放著一輛質(zhì)量為時的小車，其左側(cè)有半徑為區(qū)的四分之一光滑圓弧軌道3瓦軌道最低點方與水平軌道3C相切，整個軌道處于同一豎直平面內(nèi).將質(zhì)量為w的物塊（可視為質(zhì)點）從工點無初速釋放，物塊沿軌道滑行至軌道末端C處恰好沒有滑出.設(shè)重力加速度為g，空氣阻力可忽略不計.關(guān)于物塊從［位置運動至。位置的過程中，下列說法正確的是（ ）圖7A.小車和物塊構(gòu)成的系統(tǒng)動量不守恒B.摩擦力對物塊和軌道3c所做的功的代數(shù)和為零C.物塊運動過程中的最大速度為J荻

D.小車運動過程中的最大速度為D.小車運動過程中的最大速度為2nfgR

M2+Mm【答案】AD【解析】小車和物塊構(gòu)成的系統(tǒng)在水平方向受到的合力為零，豎直方向有加速度，合力不為零，所以小車和物塊構(gòu)成的系統(tǒng)動量不守恒，在水平方向動量守恒，A正確；摩擦力大小相等方向相反，但物塊與車位移不等(有相對位移)，代數(shù)和不為0,故B錯誤；在脫離圓弧軌道后，小車和物塊由于摩擦力都會做勻減速運動，所以最大速度出現(xiàn)在物塊運動到B點時，規(guī)定向右為正方向，小車和物塊構(gòu)成的系統(tǒng)在水平方向受到的合力為零，系統(tǒng)在水平方向動量守恒.設(shè)物塊運動到B點時，物塊的速度大小是匕，小車的速度大小是匕，根據(jù)動量守恒得：0=帆匕+加(一%)，根據(jù)能量守恒得,儂=加制叫解得「篇”舊寢〉故c錯誤D正確.【典例8】如圖8所示，傾角為。的斜面月被固定在水平面上，細線的一端固定于墻面，另一端跨過斜面頂端的小滑輪與物塊6相連，8靜止在斜面上.滑輪左側(cè)的細線水平，右側(cè)的細線與斜面平行.月、B的質(zhì)量均為出撤去固定力的裝置后，小￡均做直線運動，不計一切摩擦，重力加速度為g.求：(1)月固定不動時，月對8支持力的大小,V；(2)月滑動的位移為x時，6的位移大小s：(3)月滑動的位移為x時的速度大小心【答案】(l)2Z?oosa(2)a/2(1—cosa)?“⑶【解析】⑴支持力的大小磔cosa圖9圖9(2)如圖9所示,根據(jù)幾何關(guān)系s*=x*(1—cosa),s>=2r*sina且s=Ms：+s；解得s=a/2(1—cosa)*x(3)5的下降高度sr=x*sina根據(jù)機械能守恒定律3s團行根據(jù)速度的定義得以=:玲=覿0以=^2（1—cosa）?打解得v尸、I；豈:::/三、高考真JL（2020.山東）如圖10所示，質(zhì)量為M的物塊A放置在光滑水平桌面上，右側(cè)連接一固定于墻面的水平輕繩，左側(cè)通過一傾斜輕繩跨過光滑定滑輪與一豎直輕彈簧相連?，F(xiàn)將質(zhì)量為m的鉤碼B掛于彈簧下端，當彈簧處于原長時，將B由靜止釋放，當B卜降到最低點時（未著地），A對水平桌面的壓力剛好為零。輕繩不可伸長，彈簧始終在彈性限度內(nèi)，物塊A始終處于靜止狀態(tài)。以下判斷正確的是（ ）圖10M<2m2m<M<3mC.在B從釋放位置運動到最低點的過程中，所受合力對B先做正功后做負功D.在B從釋放位置運動到速度最大的過程中，B克服彈簧彈力做的功等于B機械能的減少量【答案】ACD【解析】AB.由題意可知B物體可以在開始位置到最低點之間做簡諧振動，故在最低點時有彈簧彈力T=2mg；對A分析，設(shè)繩子與桌面間夾角為6,則依題意有2〃吆sin8=Mg故有“<2加，故a正確，B錯誤；C.由題意可知B從釋放位置到最低點過程中，開始彈簧彈力小于重力，物體加速，合力做正功；后來彈簧彈力大于重力，物體減速，合力做負功，故C正確；D.對于B,在從釋放到速度最大過程中，B機械能的減少量等于彈簧彈力所做的負功，即等于B克服彈簧彈力所做的功，故D正確。（2017?江蘇）（多選）如圖11所示，三個小球A、B、C的質(zhì)量均為m,A與B、C間通過較鏈用輕桿連接，桿長為L,B、C置于水平地面上，用一輕質(zhì)彈簧連接，彈簧處于原長.現(xiàn)A由靜止釋放下降到最低點，兩輕桿間夾角a由60。變?yōu)?20。，A、B、C在同一豎直平面內(nèi)運動，彈簧在彈性限度內(nèi)，忽略一切摩擦，重力加速度為g.則此下降過程中（）圖113A.A的動能達到最大前，B受到地面的支持力小于狙g3A的動能最大時，B受到地面的支持力等于濯gC.彈簧的彈性勢能最大時，A的加速度方向豎直向下D.彈簧的彈性勢能最大值為點ngL【答案】AB【解析】A的動能最大時，設(shè)B和C受到地面的支持力大小均為F,此時整體在豎直方向受力平衡,可得2F=3mg,所以F=會；在A的動能達到最大前一直是加速下降，處于失重情況，所以B受到地面的支持力小于會，故A、B兩項正確；C項，當A達到最低點時動能為零，此時彈簧的彈性勢能最大，A的加速度方向向上，故C項錯誤；D項，A下落的高度為：h=Lsin60°—Lsin300,根據(jù)機械能守恒，小球A的機械能全部轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢能，即彈簧的彈性勢能最大值為&=皿由=闿工8^故D項錯誤.（2016?全國卷1【，21）（多選）如圖12,小球套在光滑的豎直桿上，輕彈簧一端固定于。點，另一端與小球相連?，F(xiàn)將小球從必點由靜止釋放，它在下降的過程中經(jīng)過了N點。已知在業(yè)N兩點處，彈簧對小球的彈力大小相等，且/創(chuàng)水NQ妙在小球從時點運動到N點的過程中（）ZMl'圖12A.彈力對小球先做正功后做負功B.有兩個時刻小球的加速度等于重力加速度C.彈簧長度最短時，彈力對小球做功的功率為零D.小球到達N點時的動能等于其在M、M兩點的重力勢能差【答案】BCD【解析】如圖所示,0P垂直于豎直桿,Q點與M點關(guān)于0P對稱,在小球從M點到Q點的過程中,彈簧彈力先做負功后做正功,故A錯。在P點彈簧長度最短,彈力方向與速度方向垂直,故此時彈力對小球做功的功率為零,故C正確。小球在P點時所受彈簧彈力等于豎直桿給它的彈力,豎直方向上只受重力,此時小球的加速度為g；當彈簧處于原長時,小球只受重力作用,此時小球的加速度也為“故B正確。小球和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒,小球在M點和N點時彈簧的彈性勢能相等,故小球從M到N重力勢能的減少量等于動能的增加量,而小球在M點的動能為零,則小球到達N點時的動能等于其在M、N兩點的重沙q力勢能差，故D正確。 II（2014?福建?18）如圖13所示，兩根相同的輕質(zhì)彈簧，沿足夠長的光滑斜面放置，下端固定在斜面底部擋板上，斜面固定不動.質(zhì)量不同、形狀相同的兩物塊分別置于兩彈簧上端.現(xiàn)用外力作用在物塊上，使兩彈簧具有相同的壓縮量，若撤去外力后，兩物塊由靜止沿斜面向上彈出并離開彈簧，則從撤去外力到物塊速度第一次減為零的過程，兩物塊（ ）圖13A.最大速度相同B.最大加速度相同C.上升的最大高度不同D.重力勢能的變化量不同【答案】C【解析】當彈簧的彈力和物塊重力沿斜面向下的分力大小相等時，物塊的速度最大，由于兩物塊的質(zhì)量不同，故兩物塊速度分別達到最大時，與質(zhì)量大的物塊接觸的彈簧的形變量較小，根據(jù)能量守恒定律可知，質(zhì)量大的物塊的最大速度較小，選項A錯誤.剛撤去外力時，兩物塊的加速度最大，根據(jù)牛頓第二定律得『颼sin。=3（J為斜面傾角），a=與一郎…,由于兩物塊的質(zhì)量不同，故兩物塊的最大227加速度不同，選項B錯誤.整個過程中，彈簧的彈性勢能全部轉(zhuǎn)化為物塊的重力勢能，由于兩物塊質(zhì)量不同，故上升的最大高度不同，選項C正確.兩物塊重力勢能的變化量等于彈簧彈性勢能的減少量，故重力勢能的變化量相同，選項D錯誤.四實踐拓展題型一輕彈簧模型連接單個物體練習1-1:（2020?安徽省安慶市高三上學期期末）如圖14甲所示，輕彈簧豎直固定在水平面上.一質(zhì)量為w=0.2kg的小球，從彈簧上端某高度處自由下落，從它接觸彈簧到彈簧壓縮至最短的過程中（彈簧在彈性限度內(nèi)），其速度v和彈簧壓縮量盤之間的函數(shù)圖象如圖14乙所示，其中A為曲線的最高點.不計小球和彈簧接觸瞬間機械能損失、空氣阻力，g取lOm/sz,則下列說法正確的是圖14A.小球剛接觸彈簧時加速度最大B.該彈簧的勁度系數(shù)為20.0N/mC.從接觸彈簧到壓縮至最短的過程中，小球的機械能守恒D.小球自由落體運動下落的高度L25m【答案】BD【解析】AB.由小球的速度圖象知，開始小球的速度增大，說明小球的重力大于彈簧對它的彈力，當殳為0.1m時，小球的速度最大，然后減小，說明當Ax為0.1m時，小球的重力等于彈簧對它的彈0.2x10力.所以可得：k^x=mg,解得：k=———N/m=20N/m,彈簧的最大縮短量為5耿=0.61m,所?X以產(chǎn)耿=20N/mx0.61m=12.2N,彈力最大時的加速度。=''°，——=51ni/s2,小m 0.2球剛接觸彈簧時加速度為10皿n所以壓縮到最短時加速度最大，故A錯誤，B正確；C.小球和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，單獨的小球機械能不守恒，故C錯誤；D.根據(jù)自由落體運動算得小球自由V j落體運動下落的高度D正確.故選BD。2g2x10練習1-2:（2020?山西省呂梁市高三一模）如圖15所示，彈簧的下端固定在光滑斜面底端，彈簧與斜面平行。在通過彈簧中心的直線上，小球尸從直線上的N點由靜止釋放，在小球尸與彈簧接觸到速度變?yōu)榱愕倪^程中，下列說法中正確的是（）p圖15A.小球尸動能一定在減小 B.小球尸的機械能一定在減少C.小球尸與彈簧系統(tǒng)的機械能一定在增加 D.小球產(chǎn)重力勢能的減小量大于彈簧彈性勢能的增加量【答案】B【解析】小球尸與彈簧接觸前，小球尸沿斜面向下做初速度為零的勻加速直線運動，速度沿斜面向下；小球P與彈簧接觸后，剛開始彈力小于重力沿斜面向下的分力，合外力沿斜面向下，加速度的方向沿斜面向下，隨著形變量的不斷增大，加速度不斷減小，此時小球P做加速度不斷減小的加速運動；當彈力等于重力沿斜面向下的分力時，加速度為零，速度最大，小球P的動能最大，接著彈力大于重力沿斜面向下的分力,合外力方向沿斜面向上,加速度沿斜面向上,隨著形變量的增大,加速度不斷增大，速度不斷減小，當彈簧壓到最短時，小球尸的速度為零，形變量最大，小球尸的機械能不斷減小，彈簧的彈性勢能不斷增大，最后達到最大。A.由上分析可知，小球P的動能先增大后減小，A錯誤；BC.由上分析可知，小球尸與彈簧組成的系統(tǒng)的機械能守恒，彈簧的彈性勢能不斷增大，所以小球尸的機械能不斷減小，B正確，C錯誤；D.當小球尸的速度為零時，根據(jù)系統(tǒng)機械能守恒，可知小球尸重力勢能的減小量等于彈簧彈性勢能的增加量，D錯誤。故選B。練習1-3：（2020?貴州省三都水族自治縣高中元月月考）如圖16所示，在固定傾斜光滑桿上套有一個質(zhì)量為切的圓環(huán)，桿與水平方向的夾角。=30。，圓環(huán)與豎直放置的輕質(zhì)彈簧上端相連，彈簧的另一端固定在地面上的H點，彈簧處于原長力.讓圓環(huán)沿桿由靜止滑下，滑到桿的底端時速度恰為零.則在圓環(huán)下滑過程中（）圖16A.圓環(huán)和地球組成的系統(tǒng)機械能守恒B.當彈簧垂直于光滑桿時圓環(huán)的動能最大C.彈簧的最大彈性勢能為加劭D.彈簧轉(zhuǎn)過60。角時，圓環(huán)的動能為絆2【答案】CD【解析】在圓環(huán)下滑過程中，彈簧的拉力對圓環(huán)做功，所以圓環(huán)和地球組成的系統(tǒng)的機械能不守恒，A錯誤；當圓環(huán)沿桿的加速度為零時，其速度最大，動能最大，此時彈簧處于伸長狀態(tài)，給圓環(huán)一個斜向左下方的拉力，故B錯誤；圓環(huán)和地球以及彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，根據(jù)系統(tǒng)的機械能守恒，圓環(huán)的機械能減少了mgh,那么圓弧的機械能的減小量等于彈性勢能增大量，為mgh,C正確；彈簧轉(zhuǎn)h1過60。角時，此時彈簧仍為原長，以圓環(huán)為研究對象，利用動能定理得：〃吆w=加’即圓環(huán)的動能等于W，故D正確，練習1-4：（2018?江蘇一模）（多選）如圖17所示，一輕質(zhì)彈簧一端固定在水平面上通過0點的轉(zhuǎn)軸上，另一端與一質(zhì)量為m的小環(huán)相連.環(huán)可以沿與水平方向成30°的光滑固定桿下滑，已知彈簧原長為L.現(xiàn)讓環(huán)從0點的正上方距0點為L的A點由靜止開始下滑,環(huán)剛好滑到與0點處于同一水平面上的B點時速度變?yōu)榱?則小環(huán)在從A點下滑到B點的過程中（）圖17A.小環(huán)的機械能守恒B.彈簧的彈性勢能一直變大C.彈簧的最大彈性勢能為mgLD.除A、B兩點外，彈簧彈力做功的瞬時功率為零還有兩處【答案】CD【解析】A項，對小環(huán)而言，有彈簧彈力對其做功，故小環(huán)的機械能不守恒，是小環(huán)和彈簧的系統(tǒng)機械能守恒，故A項錯誤；B項，彈簧的長度先縮短后伸長，故彈簧的彈性勢能先增加后減小、最后再次增加，故B項錯誤;C項，小環(huán)和彈簧的系統(tǒng)機械能守恒，系統(tǒng)重力勢能在減小，而在最低點時重力勢能最小，動能為零，故此時彈簧的彈性勢能最大，為mgL,故C項正確；D項，根據(jù)功的瞬時功率表達式P=Fvcos9,要使得P為零，可能是F為零、v為零、或者cos。為零，故除A、B兩點外，彈簧彈力做功的瞬時功率為零還有兩處，其中一處為彈力與速度垂直，一處為彈力為零，故D項正確.練習1-5:（2020?四川省教育大聯(lián)高三一模）如圖18所示，光滑細桿MN傾斜固定，與水平方向夾角為。，一輕質(zhì)彈簧一端固定在0點，另一端連接一小球，小球套在細杯上，。與桿MN在同一豎直平面內(nèi)，P為MN的中點，且OP垂直于MN,已知小球位于桿上M、P兩點時，彈簧的彈力大小相等且在彈性限度內(nèi).現(xiàn)將小球從細桿頂端M點由靜止釋放，則在小球沿細桿從M點運動到N點的過程中（重力加速度為g），以下判斷正確的是圖18A.彈簧彈力對小球先做正功再做負功B.小球加速度大小等于gsme的位置有三個C.小球運動到P點時速度最大D.小球運動到N點肘的動能是運動到P點時動能的兩倍【答案】BD【解析】A項：由題意不能確定在M點和在N點時彈簧是壓縮還是拉伸狀態(tài)，所以彈簧對小球可能先做正功后做負功，也可能先做負功后做正功，故A錯誤；B項：由于MP之間和PN之間各有一位置彈簧彈力為零，當彈力為零時小球的加速度為gSind,在P點時由于彈簧的彈力與桿垂直，所以小球的加速度也為gsin￡,所以小球加速度大小等于gsin8的位置有三個，故B正確；C項：由于小球在P點的加速度為gSinC,所以小球的速度一定不為最大，故C錯誤；D項：從M到P由能量守恒得：mghMP=\Ep+1mvj）,從P到N由能量守恒得：“吆/人+%'嚙-，喏,聯(lián)立解得：小球運動到N點肘的動能是運動到P點時動能的兩倍，故D正確.故選BD.練習1-6：（2020?安徽省肥東縣高級中學高三元月調(diào)研）如圖19所示，一輕彈簧卜端固定在傾角<9=30。的斜面的底端，斜面固定在水平地面上.物塊3放在木箱.4的里面，它們（均視為質(zhì)點）一起從斜面頂端。點由靜止開始下滑，到b點接觸彈簧，木箱d將彈簧上端壓縮至最低點c,此時將物塊5迅速拿出，然后木箱工又恰好被彈簧彈回到。點一已知木箱工的質(zhì)量為叫物塊5的質(zhì)量為3叫〃、c兩點間的距離為Z,重力加速度為,下列說法正確的是（）圖19A.在且上滑的過程中與彈簧分離時,4的速度最大B.彈簧被壓縮至最低點C時，其彈性勢能為0.8〃?g￡C.在木箱,4從斜面頂端。下滑至再次回到a點的過程中,因摩擦產(chǎn)生的熱量為L5mgLD.若物塊3沒有被拿出，.43能夠上升的最高位置距離。點為人4【答案】BC【解析】A.物體加速度為零的時候，速度最大，所以在A上滑的過程中當彈力等于重力沿斜面向下分力與摩擦力之和時速度最大，A錯誤B.設(shè)壓縮最短時，彈性勢能為Ep,根據(jù)題意下滑過程：Ep=4mgLsm0-4〃mgLcos0,上滑過程：Ep=mgLsm0+pmgLcos0,聯(lián)立解得：Ep=O.SmgL,〃=*,B正確C.根據(jù)題意可知，摩擦產(chǎn)熱等于克服摩擦力做功：2=4〃〃?gLcosd+〃mgLcosd=L5〃?gL,c正確DZ沒有拿出，上滑根據(jù)能量守恒：Ep=4mgZJsine+4〃〃7gZJcose,解得：口=上,所以最高點4I3距。點L—：=D錯誤44題型二輕彈簧模型連接多個物體練習2-1:（2019?四川涼山一診）如圖20所示，在傾角為30°的光滑斜面上，勁度系數(shù)為4的輕質(zhì)彈簧一端連接固定擋板C另一端連接質(zhì)量為m的物體A,一輕質(zhì)細繩通過定滑輪,一端系在物體A上，另一端與質(zhì)量也為m的物體6相連,細繩與斜面平行,斜面足夠長.用手托住物體￡使細繩剛好沒有拉力，然后由靜止釋放物體夙運動過程中物體8未落地,重力加速度為g），則（）A.物體夕運動到最低點時,細繩上的拉力為mg

B.彈簧恢好原長時,細繩上的拉力為。儂4C.物體月沿斜面向上運動的最大速度為厚D.物體D.物體A沿斜面向上運動的最大速度為【答案】BD【解析】開始時彈簧處于壓縮狀態(tài)，有F彈知in30。知，即彈簧被壓縮*嗤，則剛釋放3的瞬間,有mgtma,即aR.5醺即物體A的加速度方向沿斜面向上,由對稱性可知,物體6運動到最低點時,A的加速度方向沿斜面向下,大小為0.5.6的加速度向上，大小為0.5?對5分析,可知細繩上的拉力為火薪3=1.5砥選項A錯誤;彈簧恢復原長時,彈力為零,對46整體,由牛頓第二定律得ggin30。之4解得&R.25.對區(qū)有mg-R*解得細繩上的拉力為R也選項B正確;系統(tǒng)在平衡位置時A的速度最大，有9弊in30°仟彈J解得「彈2§甌此時彈簧伸長大噗，此位置彈簧的彈性勢能與初始位置的彈性勢能相同，由動能定理得貼（乃怪）工&依）sin30°弓*22M解得片、噂,選項C錯誤,D正確.練習2-2：如圖21所示，A、B兩小球由繞過輕質(zhì)定滑輪的細線相連，A放在固定的光滑斜面上，B、C兩小球在豎直方向上通過勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連，C球放在水平地面上.現(xiàn)用手控制住A,并使細線剛剛拉直但無拉力作用，并保證滑輪左側(cè)細線豎直、右側(cè)細線與斜面平行.已知A的質(zhì)量為4m,B、C的質(zhì)量均為m,重力加速度為g,細線與滑輪之間的摩擦不計，開始時整個系統(tǒng)處于靜止狀態(tài).釋放A后，A沿斜面下滑至速度最大時C恰好離開地面.下列說法正確的是（）圖21A.斜面傾角a=60"A獲得的最大速度為C剛離開地面時，B的加速度最大D.從釋放A到C剛離開地面的過程中，A、B兩小球組成的系統(tǒng)機械能守恒【答案】B【解析】釋放A后，A沿斜面下滑至速度最大時，拉力等于A的重力沿斜面的分力4mgsina,C恰好離開地面，輕質(zhì)彈簧彈力等于C球重力，丘=mg.對B,由平衡條件，4mgsina=2mg,解得斜面傾角a=30°,A項錯誤.

B項正確.初狀態(tài)，彈簧壓縮，kx=mg,末狀態(tài)，彈簧拉伸，H=mg.初末狀態(tài)彈簧彈性勢能相等，由機械能守恒定律，4mg?2xsina—mg?2x="(m+4m)v3>解得v=2g?B項正確.C剛離開地面時，B的加速度為零，C項錯誤；從釋放A到C剛離開地面的過程中，A、B、C和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，D項錯誤.練習2-3： （2018?河南一模）（多選）如圖22所示，一根輕質(zhì)彈簧一端固定于光滑豎直桿上，另一端與質(zhì)量為m的滑塊P連接，P穿在桿上，一根輕繩跨過定滑輪將滑塊P和重物Q連接起來，重物Q的質(zhì)量M=6m,把滑塊從圖中A點由靜止釋放后沿豎直桿上下運動，當它經(jīng)過A、B兩點時彈簧對滑塊的彈力大小相等，己知OA與水平面的夾角H=53°,0B長為L,與AB垂直，不計滑輪的摩擦力，重力加速度為g,滑塊P從A到B的過程中，說法正確的是（A.對于滑塊Q,其重力功率先增大后減小B.滑塊P運動到位置B處速度達到最大，且大小為華生0C.輕繩對滑塊P做功4mgLP與Q的機械能之和先減小后增加【答案】AC【解析】A項，物塊Q釋放瞬間的速度為零，當物塊P運動至B點時，物塊Q的速度也為零，所以當P從A點運動至B點時，物塊Q的速度先增加后減小，物塊Q的重力的功率也為先增加后減小，故A項正確；B項，即在BA間某位置速度最大，故B項錯誤；C項，從A到B過程中，對于P、Q和彈簧系統(tǒng)機械能守恒：6mg^COS53? L）-mgLtan53°=~mv2,對于P,由動能定理可得：W—jngL="mv2>聯(lián)立解得：W=4mgL,故C項正確；D項，彈簧的彈性勢能先減小后增加，則P與Q的機械能先增加后減小，故D項錯誤.練習2-4：（2020?湖北省武漢市武昌區(qū)元月調(diào)研）如圖23,靜止在光滑水平面上的物塊A和B的質(zhì)量分別是7以=3硒、機B=7〃0,在兩物塊間夾一壓縮的輕質(zhì)彈簧（彈簧與兩物塊均不相連），再用輕細線將兩物塊連接起來，此時彈簧的壓縮量為現(xiàn)將連接兩物塊的細線燒斷，在燒斷后瞬間，物塊A的加速度大小為。，兩物塊剛要離開彈簧時物塊A的速度大小為明則圖23A.當物塊B的加速度大小為。時，彈簧的壓縮量為守XB.物塊A從開始運動到剛要離開彈簧時位移大小為二2C.細線未燒斷時，彈簧的彈性勢能為6加。3D.細線未燒斷時，彈簧的彈性勢能為力"ov2【答案】AC【解析】A.當物塊A的加速度大小為〃，根據(jù)胡克定律和牛頓第二定律得依0=3〃?。。，當物塊B的加速度大小為。時，有心聯(lián)立解得1=冷，故A正確；B.取水平向左為正方向，根據(jù)系統(tǒng)的動量守恒得3〃7。^-〃7。十=0,又4+/=%,解得A的位移為乙=今，故B錯誤；CD.根據(jù)動量守恒定律得0=3m〃7。以，得物塊B剛要離開彈簧時的速度匕=3v,由系統(tǒng)的機械能守恒得：物塊開始運動前彈簧的彈性勢能為與=；乂3〃%儼+}x，〃o(3%)2=6〃7。y，故C正確，D錯誤。乙 乙故選ACo練習2-5：如圖24甲，質(zhì)量為m的小木塊左端與輕彈簧相連，彈簧的另一端與固定在足夠大的光滑水平桌面上的擋板相連，木塊的右端與一輕細線連接，細線繞過光滑的質(zhì)量不計的輕滑輪，木塊處于靜止狀態(tài).在下列情況中彈簧均處于彈性限度內(nèi)，不計空氣阻力及線的形變，重力加速度為g.(1)圖24甲中，在線的另一端施加一豎直向下的大小為F的恒力，木塊離開初始位置0由靜止開始向右運動，彈簧開始發(fā)生伸長形變，已知木塊過P點時，速度大小為v,0、P兩點間距離為s.求木塊拉至P點時彈簧的彈性勢能：(2)如果在線的另一端不是施加恒力，而是懸掛一個質(zhì)量為M的物塊，如圖24乙所示，木塊也從初始位置0由靜止開始向右運動，求當木塊通過P點時的速度大小.圖24【答案】(1)EP=Fs-l/2mv2-(2)V(mv2+2(Mg-F)s)/(M-hn)【解析】(1)用力F拉木塊至P點時，設(shè)此時彈簧的彈性勢能為EP,根據(jù)功能關(guān)系有Fs=EP+l/2mv2…①代入數(shù)據(jù)可解得：EP=Fs-l/2mv2…(2)懸掛鉤碼M時，當木塊運動到P點時，彈簧的彈性勢能仍為Ep,設(shè)木塊的速度為7,由機械能守恒定律得：Mgs=EP+l/2(m+M)v/2…③聯(lián)立②③解得v'=V(mv2+2(Mg-F)s)/(Mhn)練習2-6:如圖25所示，在傾角為30°的光滑斜面體上，一勁度系數(shù)為k=200N/m的輕質(zhì)彈簧一端連接固定擋板C,另一端連接一質(zhì)量為m=4kg的物體A,一輕細繩通過定滑輪，一端系在物體A上，另一端與質(zhì)量也為m的物體B相連，細繩與斜面平行，斜面足夠長，用手托住物體B使細繩剛好沒有拉力,然后由靜止釋放，求：(1)彈簧恢愛原長時細繩上的拉力：⑵物體A沿斜面向上運動多遠時獲得最大速度；(3)物體A的最大速度大小.【答案】(1)30N(2)20cm(3)1m/s【解析】(1)彈簧恢復原長時，物體A、B的加速度大小相同，對B分析：mg—T=ma,對A分析：T-mgsin30°=ma>代入數(shù)據(jù)