2024年九年級中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)最短路徑模型專項練習(xí)

最短路徑模型專項練習(xí)“兩定一動”模型如圖，A，B兩定點在定直線l的同側(cè)，在直線l上找一動點P，使得PA+PB最小.模型證明作法：過點A作關(guān)于直線l的對稱點A'，連接A'B交直線l于點P，此時點P為所求.證明:依題意PA=PA',∴PA+PB=PA'+PB≥A'B.當(dāng)A',P,B三點共線時,(PA+PB經(jīng)典例題如圖,在△ABC中,BC=10,CD是∠ACB的平分線.若點P,Q分別是CD和AC上的動點,且△ABC的面積為24,則PA+PQ的最小值是().A.125B.4完全解答答:C.解:過點A作AQ'⊥BC于點Q',交CD于點P,過點P作PQ⊥AC.如圖所示：∵CD平分∠ACB,點P,Q分別是CD和AC上的動點,∴PQ'=PQ,點Q與Q'關(guān)于CD對稱.∴此時,AQ'=(PA+PQ)最小值·∵BC=10,S△ABC=24,∴AQ∴PA+PQ的最小值是24實戰(zhàn)演練1.如圖,等腰三角形ABC的底邊BC長為4cm,面積為16cm2,腰AC的垂直平分線EF交AC于點E，交AB于點F，點D為BC的中點，點M為直線EF上的動點.則△CDM周長的最小值為().A.6cmB.8cmC.9cmD.10cm2.如圖,在△ABC中,∠BCA=90°,BC=3,CA=4,AD平分∠BAC,點M,N分別為AD,AC上的動點,則CM+MN的最小值是().A.1.2B.2C.2.4D.5如圖,A(4,3),B(2,1),在x軸上取P,Q兩點,使PA+PB的值最小,|QA-QB|的值最大,則PQ=.“一定兩動”模型如圖,在∠AOB中有一定點P,在射線OA,OB上分別找M,N兩點,使得△PMN的周長最小.模型證明作法：過點P作關(guān)于射線OB的對稱點.P?,，作關(guān)于射線OA的對稱點.P?連接P?P?交直線OA,OB于M,N兩點,此時點M,點N為所求.證明：依題意PN=P?N,PM=MP?,∴C=P?M+P?N+MN≥P?P?,即當(dāng)P?,N,M,P?四點共線時,△PMN的周長取得最小值，為P?P?.經(jīng)典例題如圖,在五邊形ABCDE中,∠BAE=136°,∠B=∠E=90°,在BC,DE上分別找一點M,N,使得△AMN的周長最小時,則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為().A.84°B.88°C.90°D.96°完全解答答:B.解：如圖所示，作點A關(guān)于BC和ED的對稱點A',A'',連接A'A'',交BC于點M,交ED于點N,則A'A''即為△AMN的周長最小值.延長EA,作A'H⊥AE于H點.∵∠BAE=136°,∴∠HAA'=44°.∴∠A又∵∠AA'M=∠MAA',∠NAE=∠A'',且∠AA'M+∠MAA'=∠AMN,∠NAE+∠A''=∠ANM,·.∠AMN+∠ANM=∠A=2(∠A=2×44°=88°.實戰(zhàn)演練1.如圖,點P是∠AOB內(nèi)任意一點,OP=8cm,點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點,若PN+PM+MN的最小值是8cm,則∠AOB的度數(shù)是.2.四邊形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠C=70°,在BC,CD上分別找一點M，N，當(dāng)△AMN的周長最小時，∠AMN+∠ANM的度數(shù)為.“兩定兩動”模型如圖,在∠AOB中有兩定點P,Q,在射線OA，OB上分別找M，N兩點，使得四邊形PMNQ的周長最小.模型證明作法：過點P作關(guān)于射線OA的對稱點P?，過點Q作關(guān)于射線OB的對稱點Q?，連接P?Q?交射線OA,OB于點M,N,此時點M，N為所求.證明:依題意PM=MP?,NQ=NQ?,則C四邊形PQNM=PQ+QN+NM+MP=PQ+NQ?+MN+MP?≥PQ+P?Q?.當(dāng)P?，M，N，Q?四點共線時，四邊形PMNQ的周長取得最小值，為PQ+P?Q?.經(jīng)典例題如圖,∠AOB=30°,點M,N分別在邊OA,OB上,且OM=2,ON=5,點P,Q分別在邊OB,OA上,則當(dāng)MP+PQ+QN取得最小值時,SNOQ+完全解答解：作點M關(guān)于OB的對稱點M'，作點N關(guān)于OA的對稱點N'，如圖所示,連接M'N',交OA和OB于點Q與點P,此時MP+PQ+QN的值最小.根據(jù)軸對稱的定義可知，∠N'OQ=∠M'OB=∠AOB=30°,OM=MO=2,ON=ON'=5,∴∠NOM=∠NOQ+∠MOB+∠AOB=90°.又根據(jù)對稱，得S=∴實戰(zhàn)演練1.如圖,∠AOB=30°,點M,N分別是邊OA,OB上的定點,點P,Q分別是邊OB,OA上的動點,記∠OPM=α,∠OQN=β,當(dāng)MP+PQ+QN的值最小時，關(guān)于α，β的數(shù)量關(guān)系正確的是().A.β-α=60°B.β+α=210°C.β-2α=30°D.β+2α=240°2.如圖,已知.∠AOB=24°,OP平分∠AOB,點C在OA上,點D在OB上,點E在OP上.當(dāng)CP+CD+DE取最小值時,此時.∠PCD的度數(shù)為().A.36°B.48°C.60°D.72°3.如圖，已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=10,,點D,E在線段BC上，且CD=2,BE=5,,點P,Q分別是線段AC,AB上的動點,則四邊形PQED周長的最小值為多少?“兩定點一定長”模型如圖，已知l?∥l?,A,B兩定點在定直線l?和l?的兩側(cè)，在定直線l?和l?上分別找M，N兩點,使得MN⊥l?,且AM+MN+NB的值最小.模型證明作法：把點A向下平移至點A?，使.AA?=MN,連接A?B交l?于點N,作MN⊥l?交l?于點M,連接AM,此時點M,N為所求.證明：依題意.AA?=MN且AA?∥MN,則四邊形AA?NM是平行四邊形.∴AM=A?N,即.AM+MN+NB=A?N+MN+NB≥A?B+MN.當(dāng)A?,N,B三點共線時.AM+MN+NB經(jīng)典例題如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(0,1),點B(4,2),PQ是x軸上的一條動線段,且PQ=1,當(dāng)AP+PQ+QB取最小值時，點Q坐標(biāo)為.完全解答答:(2,0).解：如圖，把點A向右平移1個單位長度得到點E(1，1)，作點E關(guān)于x軸的對稱點F(1,-1),連接BF,BF與x軸的交點即為點Q,此時AP+PQ+QB的值最小.設(shè)直線BF的解析式為y=kx+b，則有k+b=?1,4k+b=2解得∴直線BF的解析式為y=x-2.令y=0,得到x=2.∴Q點坐標(biāo)為(2,0).實戰(zhàn)演練1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A，B兩點的坐標(biāo)分別為A(0，1)，B(0,2),線段CD(點D在點C右側(cè))在x軸上移動,且CD=1,連接AC,BD.則AC+BD的最小值為.2.如圖,正方形ABCD的邊長為4,點E,F為對角線BD上的動點，且EF=2,連接CE,CF,求3.已知正方形ABCD的對角線AC,BD交于點O,點M是AO上一點.(1)如圖①,AQ⊥DM于點N,交BO于點Q.①求證:(OM=OQ;②若DQ=DC,求證：QN+NM=(2)如圖②，點M是AO的中點，線段EF(點E在點F的左邊)在直線BD上運動,連接AF,ME.若AB=4,EF=2,直接寫出AF+ME的最小值.4.如圖①，直線a，b表示一條河的兩岸，且a‖b,，現(xiàn)在要在這條河上建一座橋，使村莊A經(jīng)橋過河到村莊B.橋的長度等于河寬且橋與河岸垂直.現(xiàn)在由小明、小紅兩位同學(xué)在圖②中設(shè)計兩種建橋方案：小明:作AD⊥a,交a于點D,交b于點C.在CD處建橋.路徑是A-C-D-B.小紅:把CD平移至BE,連接AE,交b于點G,作GF⊥a于點F.在FG處建橋.路徑是A-G-F-B.(1)在圖②中，請問：小明、小紅