留數(shù)及其應(yīng)用對數(shù)留數(shù)與輻角原理

關(guān)于留數(shù)及其應(yīng)用對數(shù)留數(shù)與輻角原理如果函數(shù)f(z)在z0的鄰域內(nèi)解析,C是此鄰域內(nèi)一條簡單閉曲線，那末根據(jù)柯西積分定理有因此f(z)=...+c-n(z-z0)-n+...+c-1(z-z0)-1

+c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...0<|z-z0|<R兩端沿C逐項(xiàng)積分:一、留數(shù)的概念及留數(shù)定理如果z0為f(z)的一個(gè)孤立奇點(diǎn),則沿在z0的某個(gè)去心鄰域0<|z-z0|<R內(nèi)包含z0的任意一條正向簡單閉曲線C的積分一般就不等于零.第2頁,共59頁，2024年2月25日，星期天定義5.4設(shè)z0為f(z)

的孤立奇點(diǎn)，f(z)

在z0

鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)中負(fù)冪次項(xiàng)(z-z0)–1

的系數(shù)c–1稱為f(z)在z0的留數(shù)，記作Res[f(z),z0]即Res[f(z),z0]=c–1

（1）第3頁,共59頁，2024年2月25日，星期天第4頁,共59頁，2024年2月25日，星期天定理5.7(留數(shù)定理)設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)z1,z2,...,zn外處處解析.C是D內(nèi)包圍各奇點(diǎn)的一條正向簡單閉曲線,則（3）Dz1z2z3znC1C2C3CnC第5頁,共59頁，2024年2月25日，星期天證明把在C內(nèi)的孤立奇點(diǎn)zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正向簡單閉曲線Ck圍繞起來,則根據(jù)復(fù)合閉路定理有注解1、留數(shù)定理在兩個(gè)從定義上看，完全不同，也不相干的概念之間架起一個(gè)橋梁，是非常重要的。注解2、具體計(jì)算一定要注意前面的系數(shù)第6頁,共59頁，2024年2月25日，星期天

一般來說求函數(shù)在孤立奇點(diǎn)z0處的留數(shù)即求它在洛朗級數(shù)中(z-z0)-1項(xiàng)的系數(shù)c-1即可.但如果知道奇點(diǎn)的類型,對求留數(shù)可能更有利.

如果z0是f(z)的可去奇點(diǎn),則Res[f(z),z0]=0.如果z0是本性奇點(diǎn),則只好將其按洛朗級數(shù)展開.如果z0是極點(diǎn),則有一些對求c-1有用的規(guī)則.第7頁,共59頁，2024年2月25日，星期天法則I二、函數(shù)在極點(diǎn)的留數(shù)求法例5.17求函數(shù)在各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)解：由于

是的一階極點(diǎn)，有第8頁,共59頁，2024年2月25日，星期天法則II第9頁,共59頁，2024年2月25日，星期天第10頁,共59頁，2024年2月25日，星期天證明：由條件法則III第11頁,共59頁，2024年2月25日，星期天解：因是的二階極點(diǎn)，則由公式

（5）有例5.19求函數(shù)在

處的留數(shù)

第12頁,共59頁，2024年2月25日，星期天例

函數(shù)在極點(diǎn)處的留數(shù)解：因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)一階極點(diǎn)，且

第13頁,共59頁，2024年2月25日，星期天第14頁,共59頁，2024年2月25日，星期天第15頁,共59頁，2024年2月25日，星期天三、

函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)

定義5.5設(shè)∞為f(z)的一個(gè)孤立奇點(diǎn),即f(z)在圓環(huán)域

R<|z|<+∞內(nèi)解析,則稱設(shè)f(z)在R<|z

|<+∞內(nèi)的洛朗展式為這里

C-是順時(shí)針方向?yàn)閒(z)在點(diǎn)∞的留數(shù),記為第16頁,共59頁，2024年2月25日，星期天這就是說,f(z)在點(diǎn)的留數(shù)等于它在點(diǎn)的去心鄰域R<|z|<+內(nèi)洛朗展開式中z-1的系數(shù)變號.第17頁,共59頁，2024年2月25日，星期天

定理5.8如果f(z)在C∞上只有有限個(gè)孤立點(diǎn)(包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)),z1,z2,…，zn,∞,則f(z)在各點(diǎn)的留數(shù)總和為零.,

證明：對于充分大的正數(shù)

,使全在內(nèi)，由留數(shù)定理得第18頁,共59頁，2024年2月25日，星期天故得

法則Ⅳ：

例5.22求函數(shù)在它各有限奇點(diǎn)的留數(shù)總和。第19頁,共59頁，2024年2月25日，星期天

解：函數(shù)的有限奇點(diǎn)是2及，共五個(gè)其中2是三階極點(diǎn)，每個(gè)是二階極點(diǎn)，顯然，逐個(gè)求出在各奇點(diǎn)的留數(shù)，不論用規(guī)則2或展開洛朗級數(shù)，都是十分麻煩的，現(xiàn)在我們利用定理5.8來求：第20頁,共59頁，2024年2月25日，星期天所以欲求的留數(shù)之和為1例5.23計(jì)算積分，其中為正向圓周：第21頁,共59頁，2024年2月25日，星期天解：除外，被積函數(shù)的奇點(diǎn)是，據(jù)定理5.8有由于都在C的內(nèi)部，第22頁,共59頁，2024年2月25日，星期天

課后作業(yè)一、

思考題1，2，3

二、習(xí)題五：7-10第23頁,共59頁，2024年2月25日，星期天第三講§5.3留數(shù)在定積分中的應(yīng)用*§5.4對數(shù)留數(shù)與輻角原理第24頁,共59頁，2024年2月25日，星期天.§5.3留數(shù)在定積分中的應(yīng)用(Residueintheapplicationofdefiniteintegral)二、形如型積分一、形如的積分三、形如的積分第25頁,共59頁，2024年2月25日，星期天在數(shù)學(xué)分析中往往要計(jì)算一些定積分或反常積分，而這些積分中的被積函數(shù)的原函數(shù)，不能用初等函數(shù)表示出來；或者可以求出原函數(shù)，但計(jì)算也非常繁瑣。在這種情況下把這些定積分的計(jì)算問題，轉(zhuǎn)化為計(jì)算某些解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的留數(shù)。下面通過例子進(jìn)行討論.一、形如的積分第26頁,共59頁，2024年2月25日，星期天并且在上連續(xù).表示,的有理函數(shù),這里令當(dāng)經(jīng)歷變程時(shí),z沿圓周|z|=1的正方向繞行一周.因此有第27頁,共59頁，2024年2月25日，星期天例5.24求的值.解:由于,被積函數(shù)的分母在內(nèi)不為零,因而積分是有意義的.第28頁,共59頁，2024年2月25日，星期天第29頁,共59頁，2024年2月25日，星期天在被積函數(shù)的三個(gè)極點(diǎn)z=0,p,1/p中只有前兩個(gè)在圓周|z|=1內(nèi),其中z=0為二階極點(diǎn),z=p為一階極點(diǎn).第30頁,共59頁，2024年2月25日，星期天例

計(jì)算積分

其中常數(shù)有兩個(gè)極點(diǎn)在內(nèi)只有一個(gè)極點(diǎn)第31頁,共59頁，2024年2月25日，星期天二.形如型積分其中

為有理分式函數(shù).于是求得第32頁,共59頁，2024年2月25日，星期天為互質(zhì)多項(xiàng)式,且合條件:

定理5.9設(shè)為有理分式,其中(1)、,即

比至少高兩次，（2）在實(shí)軸上無零點(diǎn)，第33頁,共59頁，2024年2月25日，星期天取積分路徑如圖所示,其中CR是以原點(diǎn)為中心,R為半徑的在上半平面的半圓周.取R適當(dāng)大,使R(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點(diǎn)zk都包含在這積分路徑內(nèi).z1z2z3yCR-RROx第34頁,共59頁，2024年2月25日，星期天例5.25第35頁,共59頁，2024年2月25日，星期天第36頁,共59頁，2024年2月25日，星期天

其中

為有理分式函數(shù).定理

5.10設(shè)

為有理分式函數(shù).其中與

為互質(zhì)多項(xiàng)式,且滿足條件:(1)、

的次數(shù)比

的次數(shù)高。(2)、

在實(shí)軸上無零點(diǎn)。三、形如的積分第37頁,共59頁，2024年2月25日，星期天注：公式（2）與（3）都要求

在實(shí)軸上無零點(diǎn)，即

在實(shí)軸上無孤立奇點(diǎn)，若

在實(shí)軸上有孤立奇點(diǎn)，則將(3)式實(shí),虛部分開,得到形如:第38頁,共59頁，2024年2月25日，星期天例

求的值解：這里m=2,n=1,m-n=1.

在實(shí)軸上無孤立奇點(diǎn),因而所求的積分是存在的，在上半平面內(nèi)有一階極點(diǎn)ai,第39頁,共59頁，2024年2月25日，星期天

例5.27計(jì)算積分的值.解：

因?yàn)槭桥己瘮?shù),所以而

在上半平面內(nèi)無奇點(diǎn)，第40頁,共59頁，2024年2月25日，星期天由公式（4）比較等式兩端的實(shí),虛部得第41頁,共59頁，2024年2月25日，星期天*§5.4對數(shù)留數(shù)與輻角原理(Logarithmicresidueandargumentprinciple)一、對數(shù)留數(shù)二、輻角原理三、儒歇（Rouche）定理第42頁,共59頁，2024年2月25日，星期天一、對數(shù)留數(shù)定義5.6形如

的積分稱為對數(shù)留數(shù)。顯然,函數(shù)f(z)的零點(diǎn)和奇點(diǎn)都可能是的奇點(diǎn).第43頁,共59頁，2024年2月25日，星期天

證明:如a為f(z)的n階零點(diǎn),則在點(diǎn)a的鄰域內(nèi)有引理(1)設(shè)a為f(z)的n階零點(diǎn),則a必為函數(shù)(2)設(shè)b為f(z)的m階極點(diǎn)，則b必為函數(shù)其中g(shù)(z)在點(diǎn)a的鄰域內(nèi)解析,且g(a)≠0.于是的一階極點(diǎn),且的一階極點(diǎn),且第44頁,共59頁，2024年2月25日，星期天由在點(diǎn)a的鄰域內(nèi)解析,(2)如b為f(z)的m階極點(diǎn)知在點(diǎn)b的去心鄰域內(nèi)有的一階極點(diǎn),且知a必為的一階極點(diǎn),且故b為其中在點(diǎn)b的鄰域內(nèi)解析第45頁,共59頁，2024年2月25日，星期天定理5.11設(shè)C是一條圍線,f(z)符合條件:(1)

證明：設(shè)ak(k=1,2,…p)為f(z)在C內(nèi)部的不同零點(diǎn),其階數(shù)相應(yīng)地為nk;bj(j=1,2,…q)為f(z)在C(1)f(z)在C內(nèi)部除有限個(gè)極點(diǎn)外是解析的;(2)f(z)在C上解析且不為零，則式中N(f,C)與P(f,C)分別表示f(z)在C內(nèi)部的零點(diǎn)與極點(diǎn)的個(gè)數(shù)（m階零點(diǎn)（或極點(diǎn)）算m個(gè)）第46頁,共59頁，2024年2月25日，星期天在C內(nèi)部及C上除去在C內(nèi)部有一階極點(diǎn)ak(k=1,2,…p)及bj(j=1,2,…q)均是解析的.故由留數(shù)定理,及引理得例1、計(jì)算積分內(nèi)的不同極點(diǎn),其級數(shù)相應(yīng)地mj,則根據(jù)引理知,第47頁,共59頁，2024年2月25日，星期天為了說明對數(shù)留數(shù)幾何意義，我們將對數(shù)留數(shù)寫成二、

輻角原理函數(shù)是z的單值函數(shù)，當(dāng)

起沿簡單閉曲線繞行一周回到

時(shí)有第48頁,共59頁，2024年2月25日，星期天另一方面，當(dāng)起沿正方向繞行簡單閉曲線一周回到

時(shí)，的值可能改變。于是式中

表示沿

正方向繞行一周后

的改變量，是

的整倍數(shù)。第49頁,共59頁，2024年2月25日，星期天定理5.12（輻角原理）在定理5.11的條件下，

在閉曲線的內(nèi)部的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與極點(diǎn)個(gè)數(shù)之差，等于當(dāng)

沿

正方向繞行一周后

的改變量

除以，即特別，如

在

的內(nèi)部及上均解析，且

在上不為零時(shí)，則第50頁,共59頁，2024年2月25日，星期天定理5.13(儒歇(Rouche)定理)

證明：由假設(shè)f(z)與f(z)+

(z)在C內(nèi)部解析,且連續(xù)到C,在C上有|f(z)|>0,及三、

儒歇(Rouche)定理設(shè)C是一條圍線,函數(shù)f(z)及

(z)滿足條件:(1)它們在C的內(nèi)部均解析,且連續(xù)到C;(2)在C上,|f(z)|>|

(z)|則f(z)與f(z)+

(z)在C內(nèi)部有同樣多的零點(diǎn),即

第51頁,共59頁，2024年2月25日，星期天由關(guān)系式下面只須證明C0z201

第52頁,共59頁，2024年2月25日，星期天根據(jù)條件(2),當(dāng)z沿C變動(dòng)時(shí)將z平面上的圍線C變成平面上的閉曲線

,借助函數(shù)即是說,點(diǎn)

不會(huì)圍著原點(diǎn)

=0

繞行.

全在圓周|

-1|=1的內(nèi)部.第53頁,共59頁，2024年2月25日，星期天例1方程在內(nèi)根的個(gè)數(shù)。解：取由于當(dāng)時(shí)，我們有由此可知：在

上，有根據(jù)儒歇定理已給方程在內(nèi)根的個(gè)數(shù)與在內(nèi)根的個(gè)數(shù)相同，