考點 正態(tài)分布版典型數(shù)學試題解讀與變式

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精典型高考數(shù)學試題解讀與變式2018版考點48正態(tài)分布【考綱要求】利用實際問題的直方圖,了解正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義．【命題規(guī)律】在選擇題、填空題考查較多，屬容易題，分值5分，在解答題中結合其他知識考查屬中等題.【典型高考試題變式】正態(tài)分布例1。【2017課標1】為了監(jiān)控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件,并測量其尺寸(單位：cm）．根據(jù)長期生產經(jīng)驗，可以認為這條生產線正常狀態(tài)下生產的零件的尺寸服從正態(tài)分布．（1）假設生產狀態(tài)正常，記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學期望；(2)一天內抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件,就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查．(ⅰ)試說明上述監(jiān)控生產過程方法的合理性;（ⅱ）下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：9.95 10。12 9.96 9.96 10。01 9。92 9.98 10。0410.26 9。91 10.13 10。02 9.22 10。04 10.05 9.95經(jīng)計算得,，其中為抽取的第個零件的尺寸,．用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標準差作為的估計值，利用估計值判斷是否需對當天的生產過程進行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計和（精確到0.01）．附:若隨機變量服從正態(tài)分布，則,，．【分析】（1）根據(jù)題設條件知一個零件的尺寸在之內的概率為0.9974，則零件的尺寸在之外的概率為0.0026，而,進而可以求出的數(shù)學期望.（2)(i)判斷監(jiān)控生產過程的方法的合理性,重點是考慮一天內抽取的16個零件中，出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率是大還是小，若小即合理;(ii）根據(jù)題設條件算出的估計值和的估計值，剔除之外的數(shù)據(jù)9.22,算出剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù),即為的估計值，剔除之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差，即為的估計值.【解析】（1）抽取的一個零件的尺寸在之內的概率為0。9974，從而零件的尺寸在之外的概率為0.0026，故.因此。的數(shù)學期望為。(2)（i）如果生產狀態(tài)正常,一個零件尺寸在之外的概率只有0。0026，一天內抽取的16個零件中，出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率只有0。0408，發(fā)生的概率很小。因此一旦發(fā)生這種情況,就有理由認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當天的生產過程進行檢查,可見上述監(jiān)控生產過程的方法是合理的.【名師點睛】數(shù)學期望是離散型隨機變量中重要的數(shù)學概念，反映隨機變量取值的平均水平.求解離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望時，首先要分清事件的構成與性質，確定離散型隨機變量的所有取值，然后根據(jù)概率類型選擇公式,計算每個變量取每個值的概率，列出對應的分布列，最后求出數(shù)學期望.正態(tài)分布是一種重要的分布,之前考過一次，尤其是正態(tài)分布的原則.【變式1】某種品牌攝像頭的使用壽命ξ(單位：年)服從正態(tài)分布，且使用壽命不少于2年的概率為0。8,使用壽命不少于6年的概率為0。2.某校在大門口同時安裝了兩個該種品牌的攝像頭，則在4年內這兩個攝像頭都能正常工作的概率為________．【答案】【變式2】【廣西南寧2017屆普通高中畢業(yè)班第二次模擬】某食品店為了了解氣溫對銷售量的影響，隨機記錄了該店1月份中5天的日銷售量（單位：千克）與該地當日最低氣溫（單位:)的數(shù)據(jù)，如下表：x258911y1210887（1）求出與的回歸方程；（2）判斷與之間是正相關還是負相關;若該地1月份某天的最低氣溫為，請用所求回歸方程預測該店當日的銷售量;（3)設該地1月份的日最低氣溫~，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，求。附:①回歸方程中，，.②，，若～,則，。【解析】(1）因為令，，,所以，所以所以（或者：)所以所求的回歸方程是【數(shù)學思想】=1\*GB3①數(shù)形結合思想．=2\＊GB3②轉化與化歸思想.【溫馨提示】=1\*GB3\＊MERGEFORMAT①曲線與x軸之間面積為1.正態(tài)曲線關于直線x＝μ對稱，從而在關于x＝μ對稱的區(qū)間上概率相同．②P（X≤a）＝1－P(X≥a)，P（X≤μ－a）＝P(X≥μ＋a）．【典例試題演練】1.【2017云南大理統(tǒng)測】2016年1月某校高三年級1600名學生參加了教育局組織的期末統(tǒng)考，已知數(shù)學考試成績（試卷滿分為150分)．統(tǒng)計結果顯示數(shù)學考試成績在80分到120分之間的人數(shù)約為總人數(shù)的，則此次統(tǒng)考中成績不低于120分的學生人數(shù)約為（)A．80B．100C．120D．200【答案】D【解析】正態(tài)曲線圖象的對稱軸為,根據(jù)其對稱性可知，成績不低于分的學生人數(shù)約為人，故選D。2.【2017年第三次全國大聯(lián)考】已知某次數(shù)學考試的成績服從正態(tài)分布，則114分以上的成績所占的百分比為（附：,)A.B。C。D.【答案】D【解析】由已知得，故,故選D．3.【2017山西晉城市模擬考試】已知展開式中的常數(shù)項為，且，則（）（附:若隨機變量,則，）A．B．C．D．【答案】B4.設隨機變量δ服從正態(tài)分布N（3，7），若p（δ＞a+2）=p(δ＜a－2），則a=（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由已知若p（δ＞a+2）=p(δ＜a－2），則5。已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(3，1）,且P（l≤X≤5）=0．6826，則（)A．0．1588 B．0．1587 C．0．1586 D．0．1585【答案】B【解析】依題意，故選B。6.【2017河北五邑四?！磕承８呖紨?shù)學成績近似地服從正態(tài)分布，且,則的值為（）A。0。49B.0.48C.0.47D.0.46【答案】D【解析】依據(jù)題設條件及正太分布的對稱性可知所以，則，所以，應選D?！?017荊、荊、襄、宜四地七校聯(lián)考】設隨機變量服從正態(tài)分布，若，則函數(shù)沒有極值點的概率是（）A。 B。C.D.【答案】C【解析】由無相異實根得，因此函數(shù)沒有極值點的概率是,選C.設有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)f(x)的圖象，且f(x)＝eq\f(1,\r(8π））e（x∈R）,則這個正態(tài)總體的平均數(shù)與標準差分別是（）A。10與8B.10與2C。8與10D.2與10【答案】B【解析】f（x）＝eq\f(1，\r（2π）×2)e，所以σ＝2，μ＝10，即正態(tài)總體的平均數(shù)與標準差分別為10與2，故選B.已知三個正態(tài)分布密度函數(shù)φi(x)＝eq\f(1,\r（2π)σi）e－eq\f（（x－μi）2,2σeq\o\al(2，i)）(x∈R,i＝1，2,3）的圖象如圖所示，則（)A。μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3B。μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3C。μ1＝μ2＜μ3,σ1＜σ2＝σ3D。μ1＜μ2＝μ3,σ1＝σ2＜σ3【答案】D【解析】由正態(tài)曲線關于直線x＝μ對稱，知μ1＜μ2＝μ3；σ的大小決定曲線的形狀，σ越大，總體分布越分散，曲線越矮胖；σ越小，總體分布越集中，曲線越瘦高，則σ1＝σ2＜σ3。實際上,由φ1（μ1)＝φ2(μ2)＞φ3（μ3)，則eq\f(1，\r（2π)σ1）＝eq\f（1，\r（2π）σ2）＞eq\f(1,\r(2π)σ3)，即σ1＝σ2＜σ3.故選D。(2017·石家莊模擬）設X～N（1,σ2),其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，且P（X≥3）＝0。0228，那么向正方形OABC中隨機投擲20000個點，則落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值為（)附:（隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（1，σ2)，則P（μ－σ〈ξ<μ＋σ)＝0。6826，P(μ－2σ〈ξ〈μ＋2σ)＝0。9544）．A．12076B．13174C．14056 D．7539【答案】B11。【2017年原創(chuàng)押題預測卷02（山東卷）】已知，且，則若，則.【答案】【解析】因為，故由可得，解得，故.由可得,由正態(tài)曲線的對稱性可知，所以。12?！?017四川資陽模擬】已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2）,且P（0≤X≤2）＝0。3，則P（X＞4)＝_____．【答案】0.2；【解析】由題意結合正態(tài)分布的性質可知：,則。13。【2017湖北省黃石市調研】已知隨機變量服從正態(tài)分布，且,則___________．【答案】0。3【解析】14.【2017廣東省汕頭市模擬】為評估設備生產某種零件的性能，從設備生產零件的流水線上隨機抽取100件零件作為樣本,測量其直徑后,整理得到下表：直徑/5859616263646566676869707173合計件數(shù)11356193318442121100經(jīng)計算，樣本的平均值，標準差，以頻率值作為概率的估計值。（1）為評判一臺設備的性能，從該設備加工的零件中任意抽取一件,記其直徑為，并根據(jù)以下不等式進行評判(表示相應事件的概率）；①;②；③.評判規(guī)則為：若同時滿足上述三個不等式，則設備等級為甲；僅滿足其中兩個,則等級為乙；若僅滿足其中一個，則等級為丙；若全部不滿足，則等級為丁，試判斷設備的性能等級。(2）將直徑小于等于或直徑大于的零件認為是次品.（ⅰ）從設備的生產流水線上隨意抽取2件零件，計算其中次品個數(shù)的數(shù)學期望；（ⅱ）從樣本中隨意抽取2件零件，計算其中次品個數(shù)的數(shù)學期望。（2）由圖表知道：直徑小于或等于的零件有2件,大于的零件有4件共計6件(i)從設備的生產流水線上任取一件，取到次品的概率為,依題意，故。(ii）從100件樣品中任意抽取2件，次品數(shù)的可能取值為0，1,2故。15.(2014·新課標全國卷Ⅰ）從某企業(yè)生產的某種產品中抽取500件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得如下頻率分布直方圖：(1）求這500件產品質量指標值的樣本平均數(shù)eq\x\to(x）和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）；（2)由直方