考點 直線與圓數(shù)學(xué)（文）個黃金考點精析精訓(xùn)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2018屆高考數(shù)學(xué)30個黃金考點精析精訓(xùn)考點23直線與圓【考點剖析】1。最新考試說明：1。直線與方程（1)在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素。(2）理解直線的傾斜角和斜率的概念,掌握過兩點的直線斜率的計算公式.(3)能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直。(4)掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式),了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系。(5)能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標(biāo)。（6）掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離。2。圓與方程(1）掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程。（2）能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系。（3）能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.(4)初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想。2。命題方向預(yù)測：（1)兩條直線的平行與垂直，點到直線的距離，兩點間距離是命題的熱點．對于距離問題多融入解答題中，注重考查分類討論與數(shù)形結(jié)合思想．題型多為客觀題，難度中低檔。（2)求圓的方程或已知圓的方程求圓心坐標(biāo)，半徑是高考的熱點，多與直線相結(jié)合命題，著重考查待定系數(shù)法求圓的方程,同時注意方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的運用．多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬中、低檔題。（3)直線與圓的位置關(guān)系,特別是直線與圓相切一直是高考考查的重點和熱點．多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，近幾年多有與圓錐曲線結(jié)合出現(xiàn)在綜合性較強的解答題。3.課本結(jié)論總結(jié)：(1)。直線的概念與方程①概念:直線的傾斜角θ的范圍為[0°,180°）,傾斜角為90°的直線的斜率不存在，過兩點的直線的斜率公式k＝tanα＝eq\f(y2－y1，x2－x1）（x1≠x2)；②直線方程：點斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0），兩點式eq\f(y－y1,y2－y1）＝eq\f（x－x1，x2－x1）(x1≠x2，y1≠y2），一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0）；③位置關(guān)系：當(dāng)不重合的兩條直線l1和l2的斜率存在時，兩直線平行l(wèi)1∥l2?k1＝k2，兩直線垂直l1⊥l2?k1·k2＝－1，兩直線的交點就是以兩直線方程組成的方程組的解為坐標(biāo)的點；④距離公式:兩點間的距離公式，點到直線的距離公式，兩平行線間的距離公式．（2）．圓的概念與方程①標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心坐標(biāo)（a，b），半徑r，方程(x－a）2＋(y－b)2＝r2,一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（其中D2＋E2－4F②直線與圓的位置關(guān)系:相交、相切、相離，代數(shù)判斷法與幾何判斷法；③圓與圓的位置關(guān)系：相交、相切、相離、內(nèi)含，代數(shù)判斷法與幾何判斷法.(3）確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法,大致步驟為：①根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；②根據(jù)條件列出關(guān)于a,b，r或D、E、F的方程組；③解出a、b、r或D、E、F代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程．4.名師二級結(jié)論：（1)與直線Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0)平行、垂直的直線方程的設(shè)法:一般地，平行的直線方程設(shè)為Ax＋By＋m＝0;垂直的直線方程設(shè)為Bx－Ay＋n＝0。（2）對稱①點關(guān)于點的對稱點P（x0，y0）關(guān)于A(a，b)的對稱點為P′(2a－x0，2b－y0）．②點關(guān)于直線的對稱設(shè)點P（x0，y0）關(guān)于直線y＝kx＋b的對稱點P′（x′，y′），則有eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\f(y′－y0,x′－x0）·k＝－1，,\f(y′＋y0，2)＝k·\f(x′＋x0,2）＋b，）)可求出x′，y′。③直線關(guān)于直線的對稱:10若已知直線l1與對稱軸l相交,則交點必在與l1對稱的直線l2上,然后再求出l1上任一個已知點P1關(guān)于對稱軸l對稱的點P2，那么經(jīng)過交點及點P2的直線就是l2；20若已知直線l1與對稱軸l平行，則與l1對稱的直線和l1分別到直線l的距離相等,由平行直線系和兩條平行線間的距離即可求出l1的對稱直線．（3）計算直線被圓截得的弦長的常用方法①幾何方法運用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計算．②代數(shù)方法運用根與系數(shù)關(guān)系及弦長公式|AB｜＝eq\r(1＋k2）｜xA－xB｜＝eq\r（1＋k2[xA＋xB2－4xAxB］)。說明：圓的弦長、弦心距的計算常用幾何方法．

(4）確定圓的方程時，常用到的圓的三個性質(zhì)①圓心在過切點且與切線垂直的直線上；②圓心在任一弦的中垂線上；③兩圓內(nèi)切或外切時,切點與兩圓圓心三點共線．（5)過圓上一點只能作圓的一條切線，這條切線垂直過切點的半徑；過圓C外一個P可作圓的兩條切線，在使用直線的斜率為參數(shù)這類圓的切線方程時要注意斜率不存在的情況，如果切點是A，B，則點A，B在以線段CP為直徑的圓D上，從而圓C，D的方程中消掉二次項得到的方程就是切點弦AB的方程．5.課本經(jīng)典習(xí)題:(1)新課標(biāo)A版必修二第127頁，例2已知過點M(—3,—3)的直線被圓所截得的弦長為，求直線的方程.【答案】，或根據(jù)點到直線的距離公式，得到圓心到直線的距離，即解得:，所以，所求直線有兩條,它們的方程分別為：,或?！窘?jīng)典理由】此例很好地融合了直線與圓的有關(guān)知識,而直線與圓的位置關(guān)系是高考命題的熱點．(2）新課標(biāo)人教A版必修二第133頁,B組第2題:已知點A(-2，—2)，B(—2,6），C(4，-2)，點P在圓上運動，求的最大值和最小值.【答案】：最大值為88，最小值為72?！窘?jīng)典理由】在幾何中求最值,通常可直接應(yīng)用幾何性質(zhì)來求，也可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來求解；此題很好地將圓和最值問題聯(lián)系在一起，這也是高考命題的熱點．6?？键c交匯展示：（1)直線、圓與不等式的交匯1.【2018屆黑龍江省大慶實驗中學(xué)高三上學(xué)期期初】若直線mx+ny+2=0(m＞0，n＞0）截得圓的弦長為2，則的最小值為（）A。4B。6C.12D.16【答案】B【解析】圓心坐標(biāo)為，半徑為1,又直線截圓得弦長為2，所以直線過圓心，即,，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此最小值為6，故選B．（2）直線、圓與向量的交匯【2017江蘇,13】在平面直角坐標(biāo)系中,點在圓上，若則點的橫坐標(biāo)的取值范圍是▲.【答案】(3）直線、圓與圓錐曲線的交匯【2017課標(biāo)3，文11】已知橢圓C：，（a>b〉0）的左、右頂點分別為A1,A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為（)A． B． C． D．【答案】A【考點分類】熱點1直線的方程與位置關(guān)系1.【2017屆浙江省嘉興一中、杭州高級中學(xué)、寧波效實中學(xué)等高三下學(xué)期五校聯(lián)考】已知直線,其中,則“”是“”的（） A。充分不必要條件B。必要不充分條件C.充要條件D。既不充分也不必要條件【答案】A【解析】直線的充要條件是或。故選A。2.【2016高考上海理數(shù)】已知平行直線，則的距離___________?！敬鸢浮俊窘馕觥坷脙善叫芯€間距離公式得.3?！?017屆陜西省西安市鐵一中學(xué)高三上第五次模擬】設(shè)點，若直線與線段有一個公共點，則的最小值為__________．【答案】【解析】因為直線與線段有一個公共點，所以點在直線的兩側(cè)，所以，即或，畫出它們表示的平面區(qū)域,如圖所示，表示原點到區(qū)域的點距離的平方，由圖可知，當(dāng)原點到直線的距離到區(qū)域內(nèi)的點的距離的最小值，，所以的最小值為.【方法規(guī)律】（1）充分掌握兩直線平行與垂直的條件是解決直線問題的關(guān)鍵,對于斜率都存在且不重合的兩條直線l1和l2，l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1·k2＝－1。若有一條直線的斜率不存在,那么另一條直線的斜率是多少一定要特別注意．（2）若直線l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2,則:直線l1⊥l2的充要條件是k1·k2＝－1.【解題技巧】1．與直線Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0)平行、垂直的直線方程的設(shè)法：一般地，平行的直線方程設(shè)為Ax＋By＋m＝0；垂直的直線方程設(shè)為Bx－Ay＋n＝0.２．設(shè)l1:A1x＋B1y＋C1＝0,l2:A2x＋B2y＋C2＝0。則：l1//l2?A1B2-B1A2＝0；l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0．【易錯點睛】（1)直線方程中點斜式方程最為根本,但要注意這個形式的方程，當(dāng)直線的傾斜角等于90°時，不能應(yīng)用；使用直線的截距式方程時,要始終考慮兩個問題，一是直線的截距是不是存在,二是直線的截距是不是零，不然很容易出現(xiàn)錯誤．例如：求過點（5，2），且在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍的直線方程?！敬鸢浮縳－2y－9＝0或2x－5y＝0。易忽視直線過坐標(biāo)原點的情況；(2）在判斷兩條直線的位置關(guān)系時,首先應(yīng)分析直線的斜率是否存在．兩條直線都有斜率，可根據(jù)判定定理判斷，若直線無斜率時，要單獨考慮．（3)在運用兩平行直線間的距離公式d＝eq\f(｜C1－C2|，\r(A2＋B2))時，一定要注意將兩方程中的x，y系數(shù)化為分別相等．熱點2圓的方程和性質(zhì)1?！?018屆黑龍江省伊春市第二中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考】已知圓C1：x+12+y-12=1，圓C2A。x+22+C。x+22+【答案】B【解析】圓C1：x+12+y-12=1,圓心為（-1，1)半徑為1，圓C2與圓C（2，—2)，半徑為1,所以圓C2為故選B2.【2017天津，文12】設(shè)拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為l。已知點C在l上，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A.若，則圓的方程為。【答案】【解析】【方法規(guī)律】1．利用圓的幾何性質(zhì)求方程：根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓心坐標(biāo)和半徑,進而寫出方程．2．利用待定系數(shù)法求圓的方程：(1）若已知條件與圓的圓心和半徑有關(guān),則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值;（2)若已知條件沒有明確給出圓的圓心或半徑，則選擇圓的一般方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E,F的方程組,從而求出D，E,F的值?！窘忸}技巧】1。已知點A（x1，y1），B（x2，y2)，則以AB為直徑的圓的方程是（x－x1)（x－x2）＋（y－y1)(y－y2）＝0.點與圓的位置關(guān)系2.可知平面上的一點M（x0，y0)與圓C之間存在著下列關(guān)系：(1)d>r?M在圓外，即（x0－a）2＋（y0－b)2>r2?M在圓外；(2)d＝r?M在圓上，即（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2?M在圓上；(3)d〈r?M在圓內(nèi)，即(x0－a）2＋(y0－b)2〈r2?M在圓內(nèi)．3。求圓的方程，主要有兩種方法：（1）幾何法:通過研究圓的性質(zhì)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系進而求得基本量和圓的方程．具體過程中要用到初中有關(guān)圓的一些常用性質(zhì)和定理．（2）待定系數(shù)法：根據(jù)條件設(shè)出圓的方程,再由題目給出的條件,列出等式,求出相關(guān)量．【易錯點睛】求圓的方程需要三個獨立條件，所以不論設(shè)哪一種圓的方程都要列出關(guān)于系數(shù)的三個獨立方程．熱點3直線與圓的位置關(guān)系1?！?018屆湖北省華師一附中高三9月調(diào)研】已知圓C：(）及直線:,當(dāng)直線被C截得的弦長為時，則=（）A。B。C.D?！敬鸢浮緾【解析】由題意，得，解得，又因為，所以；故選C。2?！?016高考江蘇卷】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知以為圓心的圓及其上一點（1）設(shè)圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2）設(shè)平行于的直線與圓相交于兩點，且,求直線的方程；（3）設(shè)點滿足:存在圓上的兩點和,使得,求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2)(3）【解析】圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心M(6，7），半徑為5,.（1)由圓心在直線x=6上,可設(shè)。因為N與x軸相切，與圓M外切,所以，于是圓N的半徑為，從而,解得.因此，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為。（2）因為直線l||OA，所以直線l的斜率為.設(shè)直線l的方程為y=2x+m，即2x—y+m=0，則圓心M到直線l的距離因為而所以，解得m=5或m=—15。故直線l的方程為2x—y+5=0或2x—y-15=0.(3)設(shè)因為，所以……①因為點Q在圓M上，所以……。②將①代入②，得.于是點既在圓M上，又在圓上，從而圓與圓有公共點，所以解得。因此,實數(shù)t的取值范圍是.【方法規(guī)律】1.判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的有兩種方法(1）代數(shù)法：eq\o(→，\s\up12（判別式）,\s\do12(Δ＝b2－4ac)）eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(>0?相交，，＝0?相切，，<0?相離。))（2）幾何法:利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系：d〈r?相交，d＝r?相切,d〉r?相離。2．圓的弦長的常用求法(1）幾何法:設(shè)圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為l,則(eq\f（l，2））2＝r2－d2(2）代數(shù)方法：運用韋達定理及弦長公式：｜AB|＝eq\r（1＋k2)｜x1－x2｜＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2]）.注意：常用幾何法研究圓的弦的有關(guān)問題．3．求過一點的圓的切線方程時，首先要判斷此點是否在圓上．然后設(shè)出切線方程，用待定系數(shù)法求解．注意斜率不存在情形?！窘忸}技巧】1.(1）若兩圓相交，則從兩圓的方程中消掉二次項后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程．(2)若兩圓相切，則從兩圓的方程中消掉二次項后得到的二元一次方程是兩圓的經(jīng)過公共切點的公切線的方程.2。圓的切線(1）過圓O：x2＋y2＝r2上一點P（x0，y0)的圓的切線方程是x0x＋y0y＝r2；(2）過圓O：x2＋y2＝r2外一點P(x0，y0)作圓的兩條切線,切點為A，B，則直線AB的方程是x0x＋y0y＝r2?！疽族e點睛】過圓外一定點求圓的切線，應(yīng)該有兩個結(jié)果，若只求出一個結(jié)果，應(yīng)該考慮切線斜率不存在的情況．例.已知圓C：x2＋y2＝4，則過點P（2,4）的圓的切線方程是________?！敬鸢浮?3x—4y+7=0或x=2?！緹狳c預(yù)測】1?！?017屆江西師范大學(xué)附屬中學(xué)三?！恳阎本€與，則“”是“”的（）條件。A.充要B。充分不必要C。必要不充分D。既不充分又不必要【答案】B【解析】時，可得，時,可得,解得或,是的充分不必要條件，故選B。2。【2016高考新課標(biāo)2】圓的圓心到直線的距離為1，則a=（）（A）(B)(C）（D)2【答案】A【解析】圓的方程可化為，所以圓心坐標(biāo)為，由點到直線的距離公式得：，解得，故選A．3。若直線始終平分圓的周長，則的取值范圍是（）A.B。C。D?！敬鸢浮緿4.已知直線l：x+ay-1=0（aR）是圓C：的對稱軸.過點A（-4，a）作圓C的一條切線，切點為B，則｜AB|=（）A、2B、C、6D、【答案】C【解析】圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為,因此，，即，。選C.5.若圓C：關(guān)于直線對稱，則由點向圓所作的切線長的最小值是（）A.2B。4【答案】B【解析】由題知圓C的圓心C（-1,2)，半徑為，因為圓C關(guān)于直線對稱，所以圓心C在直線上，所以，即，所以由點向圓所作的切線長為===，當(dāng)時，切線長最小，最小值為4，故選B。6。【2018屆江西省贛州市紅色七校高三第一次聯(lián)考】已知圓C：x2+y2-2ax-2by+A。1B。2C.3D.4【答案】C7。已知直線，若,則的值為（）A、B、C、D、或【答案】【解析】，則，所以或.8?！緩V東省惠州市2017屆高三第一次調(diào)研】已知圓截直線所得弦長為6,則實數(shù)的值為()A．8B．11C．14D．17【答案】B【解析】圓,圓心，半徑．故弦心距．再由弦長公式可得；故選B．9?！窘K省泰州中學(xué)2017屆高三摸底考試】已知圓：(）及圓上的點，過點的直線交圓于另一點，交軸于點，若,則直線的斜率為．【答案】【解析】設(shè)直線的斜率為,則直線,與聯(lián)立解得，而，由得10.已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切,則_______．【答案】【解析】試題分析:因為拋物線的準(zhǔn)線為圓的方程為,所以，解得.11.【四川省成都市2017屆高中畢業(yè)班摸底】已知圓上存在兩點關(guān)于直線對稱，經(jīng)過點作圓的切線，切點為，則__________.【答案