小升初數(shù)學(xué)銜接講義 第16講余角和補(bǔ)角（解析版）

第十六講余角和補(bǔ)角

【課程解讀】

--------小學(xué)初中課程解讀

小學(xué)課程初中課程

小學(xué)數(shù)學(xué)中，要求知道平角與周初中數(shù)學(xué)中，理解角的概念，能比較角的大

角，了解周角、平角、鈍角、直小;認(rèn)識(shí)度、分、秒，會(huì)對(duì)度、分、秒進(jìn)行簡(jiǎn)

角、銳角之間的大小關(guān)系;能用量單的換算，并會(huì)計(jì)算角的和、差;理解對(duì)頂角、

角器量指定角的度數(shù)，能畫指定余角、補(bǔ)角等概念，探索并掌握對(duì)頂角相等、

度數(shù)的角，會(huì)用三角尺畫30。，同角（等角）的余角相等，同角（等角）的

45°,60°,90。角。補(bǔ)角相等的性質(zhì)。

【知識(shí)銜接】

--------小學(xué)知識(shí)回顧--------

（1）1平角=180。，1周角=360。，1直角=90。，1周角=2平角=4直角.

（2）銳角：小于90。的角叫做銳角；鈍角：大于90。小于180。的角叫做鈍角.

------初中知識(shí)鏈接------

L余角與補(bǔ)角的概念

一般情況下,如果兩個(gè)角的和等于90度（直角）,我們就說這兩個(gè)角互為余角,即其中每.一個(gè)角是另一個(gè)角的余

角.例如,Nl與N2互為余角,Nl是N2的余角,N2也是Nl的余角.

同樣,如果兩個(gè)角的和等于180度（平角）,就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角,即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角.

2.余角與補(bǔ)角的性質(zhì)

等角（同角）的余角相等;等角（同角）的補(bǔ)角相等.

3.方位角

表示方位的角叫做方位角，是由標(biāo)準(zhǔn)方向線北端或者南端開始順時(shí)針方向到某一直線的夾角.

方位的表示通常用“北偏東多少度”、"北偏西多少度''或者"南偏東多少度”、"南偏西多少度”來表示,“北偏東

45度”、“北偏西45度"、"南偏東45度”、“南偏西45度”,分別稱為“東北方向”、“西北方向”,“東南方向”、“西南

方向

說明:用量角器畫射線要注意兩點(diǎn):一是先從正南或正北方向作角的始邊,二要分清東南西北,理解偏東、偏西

的意義.

【經(jīng)典題型】

小學(xué)經(jīng)典題型

1.從7:00到7:30,分針旋轉(zhuǎn)了（）。

A.30oB.90oC.180°

【答案】C

【解析】

【詳解】分針一小時(shí)轉(zhuǎn)一圈，半個(gè)小時(shí)轉(zhuǎn)180。

2.當(dāng)3：30時(shí)，鐘面上時(shí)針與分針?biāo)鶌A的較小角是（）90度。（填大于、小于或等于）

【答案】小于

【解析】

當(dāng)3：30時(shí)，分針正指6,時(shí)針指在3和4中間，它們之間夾角是2格半，1格是30。，2格半小于90。，故

答案為：小于。

3.三角形不可能有兩個(gè)鈍角。（）

【答案】√

【解析】

三角形的內(nèi)角和為180度，而鈍角的度數(shù)大于90度，如果一個(gè)三角形內(nèi)有兩個(gè)鈍角，則三角形的內(nèi)角和就

大于180度，所以一個(gè)三角形中，不可能有兩個(gè)鈍角；

故答案為：√

4.鐘面上6時(shí)整，時(shí)針與分針形成的角是平角。（）

【答案】√

【解析】鐘面上6時(shí)整，時(shí)針與分針形成的角是平角；

故答案為：√

5.從6：00到12：00時(shí)針旋轉(zhuǎn)了180。。（）

【答案】√

【解析】

30O×6=I80O

所以鐘面上時(shí)針從12走到6,時(shí)針旋轉(zhuǎn)了180度;

故答案為：q

初中經(jīng)典題型

1.若NC與/￡互為補(bǔ)角，且NC是N/的3倍，則N夕為（）

A.45oB.60oC.90oD.135°

【答案】A

【解析】

解：?.?Nα與互為補(bǔ)角，

ΛZa+Zβ=180o,

Ya是ZB的3倍，

ΛZa=3Zβ,

Λ3Zβ+Zβ=180o,

解得:Zβ=45o.

故選：A.

2.一副直角三角板有不同的擺放方式，圖中滿足/a與NB相等的擺放方式是（）

【答案】B

【解析】

解：A.Za,NP互余,不合題意；

B.根據(jù)根據(jù)同角的余角相等可得Na=Nβ,符合題意;

C.Zα=60o,Zβ=75o,不合題意;

D.Za=450,Zβ=60o,不合題意.

故選：B.

3.如圖，直線AB,CD相交于點(diǎn)O,OEj_ABI/COE=55。,則NBOD的度數(shù)是（）

A.35oB.45oC.30oD.40°

【答案】A

【解析】解：?.?OELAB,

.?.ZAOE=90o,

,.?NCoE=55°,

NAoC=90。-/CoE=35。，

.?.ZBOD=ZAOC=35°.

故選：A.

4.如果一個(gè)角是50。，那么它的余角的度數(shù)是（).

A.40oB.50oC.IOO0D.130°

【答案】A

【解析】

解：設(shè)這個(gè)角為X°,由題意得：90°-X0=50°,

5.若/A與NB互為余角，ZA=AO0,則NB=（

A.140oB.40oC.

【答案】C

【解析】YNA與/8互為余角，ZA=40o,

ZB=90o-40°=50°,

故選：C.

6.下列圖形中Nl和N2互為余角的是（）

【答案】D

【解析】根據(jù)余角的定義，兩角之和為90。，這兩個(gè)角互余.

D中/1和/2之和為90。，互為余角.

故選D.

7.如圖所示，ZAOC=ΛBOC=90°,NAoD=NCoE,則圖中互為余角的共有（）

A.5對(duì)B.4對(duì)C.3對(duì)D.2對(duì)

【答案】B

【解析】如圖，ZAOC=ZBOC=90°

Nl+/2=90。

即Nl與/2互余，N3與N4互余

N3+N4=90°

ZAOD=ZCOE,即Nl=/3

Z+/2=90。

,即N3與N2互余，Nl與N4互余

Nl+N4=90°

綜上，互為余角的共有4對(duì)

故選：B.

8.如果兩個(gè)不相等的角互為補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角（）

A.都是銳角B.都是鈍角C.一個(gè)銳角，一個(gè)鈍角D.以上答案都不對(duì)

【答案】C

【解析】?.?兩個(gè)不相等的角互為補(bǔ)角，

.?.這兩個(gè)角一個(gè)角大于90。，一個(gè)角小于90。，

即一個(gè)是鈍角，一個(gè)是銳角，

故選：C

9.若NA與NB互為余角，NA=30。，則NB的補(bǔ)角是（）

A.60oB.120°C.30oD.150°

【答案】B

【解析】解：；NA與NB互為余角，NA=30。，

ΛZB=90o-ZA=60o

ΛZB的補(bǔ)角為180o-60o=120o

故選B.

10.已知Na與NB互余，且Na=35。1823”,則∕β=.

【答案】54o4137"

【解析】

,."Za與N0互余，

.?.Np=90-35°18'23"=54°41'37".

11.已知/AOB和/COD的兩邊分別互相垂直,且/COD比/AOB的3倍少60。,則/COD的度數(shù)為

【答案】30。或120°

【解析】解:設(shè)NAOB=x。，則NCoD=3x°-60°,

分兩種情況：

①如圖1,VZAOB和NCOD的兩邊分別互相垂直，

.?.ZCOD=90o+90o-ZAOB,

即3x-60=90+90-X,

x=60o,

.?.ZCOD=3×60o-60°=120°；

圖1

②如圖2,VOA±OC,0B±0D,

ZAOB+ZBOD=ZCOD+ZAOC,

x+90=3x-60+90,

x=30o,

ZCOD=30°,

綜上所述，ZCOD的度數(shù)為30?；?20°,

故答案為：30?；?20。.

12.若NAOB=65。，則它的余角是,它的補(bǔ)角是

【答案】25。115°

【解析】解：；NAOB=65。，

.?.它的余角是90。-65。=25°

它的補(bǔ)角是180o-65o=115o

故答案為：25°；115°.

13.已知NAoB=25。42，，則/AOB的補(bǔ)角為.

【答案】154o18,

【解析】

解：NAOB的補(bǔ)角為：180。-25。42，=154。1&.

故答案為：154。181

14.若Na的余角是它的2倍，則Na的度數(shù)為

【答案】30°

【解析】

題意可知，Na的余角是2N。，

，Na+2Na=90。，

.?.Na=30。，

故答案為：30°.

15.如圖，O是直線AB上一點(diǎn)，OC是NAOB的平分線，若NAQr）=58°32'，則NCoD

【答案】31o28,

【解析】=O是直線AB上的一點(diǎn)，OC是/AOB的平分線，

二ZAOC=90o.

，NCOD=NAOC-NAOD=90。-58°32'=31o28,，

故答案為：31028,.

16.Nl和/2互余，/2和/3互補(bǔ)，/1=63。，Z3=

【答案】153°

【解析】解：?.?∕l+N2=90°,/1=63°,

.?.Z2=90o-63o=27o,

XV/2+23=180。，

ΛZ3=l80o-27o=153o.

故答案為：153。.

17.一個(gè)角的余角是這個(gè)角的2倍，求這個(gè)角的度數(shù)？

【答案】300

【解析】解：設(shè)這個(gè)角的度數(shù)為X,則其余角為（90。-x）,

根據(jù)題意得90°-X=2X

解得X=30°

所以這個(gè)角的度數(shù)為30。.

18.互補(bǔ)的兩個(gè)角之差是28°，求其中較小角的余角度數(shù).

【答案】14。

【解析】解：設(shè)較小的角為X,則其補(bǔ)角為18(Γ一χ,

根據(jù)題意得：180。一x-x=28。，

解得X=76。，

則90°-χ=90°-76°=14°,

答：其中較小角的余角的度數(shù)為14。.

19.一個(gè)角與它的補(bǔ)角的度數(shù)之比為1：8,求這個(gè)角的余角的度數(shù).

【答案】700

【解析】設(shè)這個(gè)角是X,則它的補(bǔ)角=180。-X,

根據(jù)題意得，X：(180o-χ)=l:8,

解得x=20。，

90°-20°=70°.

答：這個(gè)角的余角是70。.

20.如圖，O是直線AB上一點(diǎn)，OC為任意一條射線，OD平分NBoC,OE平分/AOC.

(1)指出圖中NAOD與NBoE的補(bǔ)角；

(2)試判斷NCOD與NCOE具有怎樣的數(shù)量關(guān)系.并說明理由.

【答案】(1)/AOD的補(bǔ)角為∕BOD,ZCOD；/BOE的補(bǔ)角為NAoE,ZCOE；

(2)ZCOD+ZCOE=90o,理由參見解析.

【解析】

(1)SZAOD+ZBOD=180°,

所以/AOD的補(bǔ)角為/BOD,

又因?yàn)镺D平分NBOC,

所以NCoD=/BOD,

所以/AOD的補(bǔ)角為∕BOD,ZCOD；

同理因?yàn)镹AoE+NB0E=18(T,

所以NBoE的補(bǔ)角為/AOE,

又因?yàn)镺E平分∕AOC,

所以/COE=/AOE,

所以/BOE的補(bǔ)角為∕AOE,ZCOE；

(2);OD平分∕BOC,OE平分NAOC,

11

.?.ZCOE=-ZAOC,ZCOD=-ZBOC,

22

111

.?.ZCOD+ZCOE=-ZBOC+-ZAOC=-ZAOB=90o,

222

即ZCOD與/COE的數(shù)量關(guān)系是∕COD+∕COE=90t

【實(shí)戰(zhàn)演練】

先作小學(xué)題—夯實(shí)基礎(chǔ)

1.在下面三角形中，Zl=38o,Z2+Z3=90o,求/3和/4各是多少度?

【答案】N3是38。，/4是52。

【解析】

Z4=180o-Zl-(Z2+Z3)，

/4=180°-38°-90°,

Z4=52o;

Z3=180o-90°-Z4,

/3=180°-90°-52°,

/3=38。.

答：/3是38。，/4是52。.

2.下圖中，/1=33。，求N2的度數(shù)。(寫出必要的計(jì)算過程。)

【答案】Z2=90o-33o=57o

【解析】

【詳解】

Z2=90o-33o=57o

3.如下圖，已知/1=28。，求/2,Z3,/5的度數(shù)。

【答案】Z2=152o;/3=28°；Z5=62°

【解析】

Z2=180o-28o=152o

Z3=l80o-152o≈28o

Z5=90o-28o=62o

4.如圖，Z1=40°,那么N2、N3各是多少度？

【答案】42是50。，/3是140°

【解析】

因?yàn)镹l+N2+90°=180°,/1=40°

所以/2=180。-90°-40°=50°

因?yàn)椋琙l+Z3=180o,NI=40。

所以23=180。-40。=140。

答：/2是50。，/3是140。.

5.下圖中/1=50。，求N2,Z4,/5的度數(shù)。

【答案】Z2=40o;N5=13O。；N4=50°

【解析】

【詳解】

Z2=90o-50o=40o;

Z5=180o-50o=130o;

Z4=180o-130o=50o

再戰(zhàn)初中題——能力提升--------

1.一個(gè)角的度數(shù)是40。，那么它的余角的補(bǔ)角度數(shù)是（）

A.130oB.I40oC.50oD.90°

【答案】A

【解析】

。一40°=50°,

50°角的補(bǔ)角是：180o-50o=130o.

故選:A.

2.如果一個(gè)角的補(bǔ)角是150。，那么這個(gè)角的余角的度數(shù)是（）

A.30oB.60°C.90°D.120°

【答案】B

【解析】根據(jù)定義一個(gè)角的補(bǔ)角是150°,

則這個(gè)角是180o-150o=30o,

這個(gè)角的余角是90o-30o=60o.

故選：B.

3.已知Na=37°25',則Na的補(bǔ)角是（)

A.142035,B.152035,C.142o75,D.152075,

【答案】A

【解析】

?.?Nα=37°25'

.?.Na的補(bǔ)角=180°-37°25'=142°35',

故選A.

4.若α=27°25',則α的余角等于()

A.62o25,B.62o35,C.152o25,D.152o35,

【答案】B

【解析】

解：?.?α=27°25',

，α的余角=90。-27。25'=62。35',

故選：B.

5.如圖，直線mb相交于點(diǎn)0,因?yàn)镹l+N2=180。，Z3+Z2=180o,所以N1=N3,這是根據(jù)()

A.同角的余角相等B.等角的余角相等C.同角的補(bǔ)角相等D.等角的補(bǔ)角相等

【答案】C

【解析】

VZl+Z2=180o,N3+/2=180°,

/1與N3都是/2的補(bǔ)角，

.??N1=N3(同角的補(bǔ)角相等).

故選：C.

6.如果∕α和/0互補(bǔ)，且∕α>∕β,則下列表示/。的余角的式子中：①90。-/。；②/a-90。③;(Z

a+Zβ)；④：(Za-Zβ).正確的有()

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】B

【解析】和NB互補(bǔ)，ΛZa+Zβ=180o.90°-Zβ+Zβ=90o,所以①正確；

又Na-90t5+∕β=∕a+∕p-90。=180。-90°=90°,②也正確；

?(Za+Zβ)+Zβ=∣×180o+Zβ=90o+Zβ≠90o,所以③錯(cuò)誤；

?(Za-Zβ)+Zβ=∣(Za+Zβ)=∣×180o=90o,所以④正確.

綜上可知：①②④均正確.

故選B.

7.如果NA的補(bǔ)角與NA的余角互補(bǔ)，那么2NA是()

A.銳角B.直角

C.鈍角D.以上三種都可能

【答案】B

【解析】解：：NA的補(bǔ)角為180"∕A,NA的余角為90。-NA

ΛI(xiàn)80o-ZA+（90o-ZA）=180

2ZA=90O

故答案為B.

8.已用點(diǎn)A、B、C、D、E的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）

A./AOB=130。B.ZAOB≈ZDOEC./DOC與/BOE互補(bǔ)D./AOB與/COD互余

【答案】C

【解析】解：VZAOB=50o,ZDOE=40o,ZDOC=50o,ZBOE=130°,

ΛZDOC+ZBOE=180o;

故選：C.

9.下面說法:①若線段AC=BC,則C是線段AB的中點(diǎn);②兩點(diǎn)之間,直線最短;③延長(zhǎng)直線AB;④若一個(gè)角既

有余角又有補(bǔ)角,則它的補(bǔ)角一定比它的余角大.其中正確的有（）

A.O個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】B

【解析】①如圖，AC=BC,但C不是線段AB的中點(diǎn)，故①不正確：

②兩點(diǎn)之間線段最短，故②不正確；

③直線向兩邊無限延伸，不能延長(zhǎng)，故③不正確；

④一個(gè)角有余角，說明這個(gè)角是銳角，所以它的補(bǔ)角一定比它的余角大，故④正確.

故選B.

10.若ZA+N5=9O°,ZB+ZC=90°,則ZA=NC,理由是.

【答案】同角的余角相等

【解析】

解：若∕A+NB=9(Γ,ZB+ZC=90o,則NA=∕C,其根據(jù)是同角的余角相等.

故答案為：同角的余角相等.

11.如圖，OALOC,OBlOD,垂足都是點(diǎn)0,如果NAOB=I53°,那么NCOD=

【答案】27。

【解析】

VOA±OC,OBlOD,

ΛZAOC=90o,ZBOD=90o,

,.?ZAOB=153o,

/./BOC=153°-/AoC=63°,

二ZCOD=90o-ZBOC=90o-63o=27o.

故答案為：27°.

12.若∕α與互余，且Na=35。，則/p的補(bǔ)角為.

【答案】125°

【解析】’.,Na與/p互余，Za=350,

ΛNβ=90°-35°=55°,

二Zβ的補(bǔ)角為：180o-55o=125o;

故答案為：125。.

13.已知∕A=5(T35',則NA的余角是.

【答案】39o25'

【解析】

ZA的余角為：90o-ZA=90o-50o35,=39o25,

故答案為：39o251.

14.一個(gè)角的補(bǔ)角是它的余角的4倍，則這個(gè)角是度.

【答案】60

【解析】

設(shè)這個(gè)角為X,則它的余角為9(T-X,補(bǔ)角為I8(P-X,

根據(jù)題意得，180。-x=4(90o-χ),

解得x=60o.

故答案為：60.

15.一個(gè)角與它的補(bǔ)角之差是20。,則這個(gè)角的大小是一

【答案】100。

【解析】設(shè)這個(gè)角為α,則它的補(bǔ)角180o-α,

根據(jù)題意得，a-(180o-a)=20°,

解得：a=100o,

故答案為100°.

16.若一個(gè)角比它的補(bǔ)角大36。48，，則這個(gè)角為<

【答案】10824

【解析】36°48'=36.