2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué) 人教A版2019必修第一冊(cè) 同步講義 第11講 函數(shù)的概念與表示4種題型 含解析

第U講函數(shù)的概念與表示4種題型

【考點(diǎn)分析】

考點(diǎn)一：函數(shù)的概念

設(shè)A、B是兩個(gè)非空數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系了,使對(duì)于集合A中的任意

一個(gè)數(shù)X,在集合B中都有唯一確定的數(shù)/(x)和它對(duì)應(yīng)，那么稱(chēng)∕:A→8為從集合A到

集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=∕(χ),x∈A.

其中：X叫做自變量，X的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域

與X的值相對(duì)應(yīng)的/(X)值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合"(X)IX∈4｝叫做函數(shù)的值域.

考點(diǎn)二：函數(shù)的三要素

函數(shù)的三要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系.

同一(相等)函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等.

考點(diǎn)三：函數(shù)的表示方法

①解析法

就是把變量X,y之間的關(guān)系用一個(gè)關(guān)系式y(tǒng)=∕(χ)來(lái)表示，通過(guò)關(guān)系式可以由X的值求

出V的值.

②圖象法

就是把％,y之間的關(guān)系繪制成圖象，圖象上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就是相應(yīng)的變量％,y的值.

③列表法

就是將變量X,y的取值列成表格，由表格直接反映出兩者的關(guān)系.

考點(diǎn)四：分段函數(shù)的概念

若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對(duì)于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通

x,x>O

常叫做分段函數(shù).例如/(χ)=<o,χ=o

-X,Λ<0

【題型目錄】

題型一：函數(shù)的概念

題型二：函數(shù)定義域

題型三：函數(shù)的解析式的求法

題型四：分段函數(shù)

【典型例題】

題型一：函數(shù)的概念

【例1】(2022?寧夏?銀川一中高二期中(文))下列四個(gè)圖形中，不是以X為自變量的函

數(shù)的圖象是()

【答案】C

由函數(shù)定義：定義域內(nèi)的每一個(gè)X都有唯一函數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，

A、B、D選項(xiàng)中的圖象都符合；C項(xiàng)中對(duì)于大于零的X而言，有兩個(gè)不同的函數(shù)值與之對(duì)

應(yīng)，不符合函數(shù)定義.

故選：C

【例2】（2022?湖南?高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)集合M={x∣0≤x≤2},N={y∣O≤y42},那么下

由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?={MO"≤2},

對(duì)于①中，函數(shù)的定義域不是集合"，所以不能構(gòu)成集合〃到集合N的函數(shù)關(guān)系；

對(duì)于②中，函數(shù)的定義域?yàn)榧现涤驗(yàn)榧螻,所以可以構(gòu)成集合M到集合N的函

數(shù)關(guān)系；

對(duì)于③中，函數(shù)的定義域?yàn)榧螹,值域?yàn)榧螻,所以可以構(gòu)成集合M到集合N的函

數(shù)關(guān)系；

對(duì)于④中，根據(jù)函數(shù)的定義，集合M中的元素在集合N中對(duì)應(yīng)兩個(gè)函數(shù)值，不符合函數(shù)的

定義，所以不正確.

故選：C

【例3】（2022?黑龍江?鶴崗一中高一期末）設(shè)集合A={Λ∣0≤X≤2},8={y∣l≤y≤2},若

對(duì)于函數(shù)y=∕（x）,其定義域?yàn)锳,值域?yàn)?,則這個(gè)函數(shù)的圖象可能是（）

【答案】D

對(duì)于A,函數(shù)的定義域?yàn)閇05，不滿(mǎn)足題意，故A不正確；

對(duì)于B,一個(gè)自變量對(duì)應(yīng)多個(gè)，值，不符合函數(shù)的概念，故B不正確;

對(duì)于C,函數(shù)的值域?yàn)閇0,2],不符合題意，故C不正確;

對(duì)于D,函數(shù)的定義域?yàn)閇0,2],值域?yàn)閇1,2],滿(mǎn)足題意，故D正確.

故選：D

【例4】（2022?全國(guó)?高一單元測(cè)試）下列各式為y關(guān)于X的函數(shù)解析式是（）

x-l,x<00,X為有理數(shù)

A.Jy∣—X-(X-3)B.y=IX—2+>/1—xC.y=D.y=

x+l,x≥0Lx為實(shí)數(shù)

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義逐個(gè)分析判斷即可

【詳解】A項(xiàng)，H=X-（x-3）=3,定義域?yàn)镽,定義域內(nèi)每個(gè)值按對(duì)應(yīng)法則不是唯一實(shí)數(shù)

與之對(duì)應(yīng)，所以不是函數(shù)，A項(xiàng)錯(cuò)誤：

/------f?-2≥0

B項(xiàng)，γ=√T≡2+√l≡^,定義域?yàn)?，八，無(wú)解，所以不是函數(shù)，B項(xiàng)錯(cuò)誤；

[l-x≥O

fx—l,x<0

C項(xiàng)，y=、八，定義域?yàn)榉矊?duì)于定義域內(nèi)每一個(gè)值都有唯一實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，所以

[x+1l,x≥0

是函數(shù)，C項(xiàng)正確；

[0,X為有理數(shù)

D項(xiàng),當(dāng)X=I時(shí)，y有兩個(gè)值0,1與之對(duì)應(yīng)，所以不是函數(shù)，D項(xiàng)錯(cuò)

[l,x為實(shí)數(shù)

誤.

故選：C.

【題型專(zhuān)練】

1.（2022.全國(guó).高一）下列圖象中不能作為函數(shù)圖象的是（）

能作為函數(shù)圖象,需滿(mǎn)足：按照?qǐng)D像得出的對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)于自變量X的取值范圍內(nèi)的每一個(gè)

值，按照?qǐng)D像得出的對(duì)應(yīng)關(guān)系，都有唯一的一個(gè)y值和它對(duì)應(yīng)；從圖像直觀(guān)來(lái)看，平行與y

軸的直線(xiàn)與圖像至多有一個(gè)交點(diǎn).則B不能作為函數(shù)圖象.故選B

2.(2022.全國(guó)?高一單元測(cè)試)若函數(shù)y=∕(x)的定義域?yàn)閧x|-3≤X48,XH5},值域?yàn)?/p>

{y∣-l≤y≤2,yxθ},則y=√(x)的圖象可能是()

【答案】B

【分析】利用函數(shù)的定義，數(shù)形結(jié)合即可對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

【詳解】選項(xiàng)A中，當(dāng)尤=8時(shí)，y=0,不符合題意，排除A；選項(xiàng)C中，存在一個(gè)X對(duì)應(yīng)

多個(gè)y值，不是函數(shù)的圖象，排除C；選項(xiàng)D中，X取不到0,不符合題意，排除D.

故選：B.

3.(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))下列圖形能表示函數(shù)y=∕(x)的圖象的是()

【分析】由函數(shù)的定義判斷即可.

【詳解】由函數(shù)的定義：對(duì)于集合A中任意一個(gè)數(shù)X,在集合B中都有唯一確定的數(shù)/(x)和

它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)為A-B從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)可知，只有B選項(xiàng)能表示函數(shù)

y=∕(χ)的圖象.

故選：B

題型二：函數(shù)定義域

1.已知函數(shù)解析式，求定義域

(1)分式型函數(shù)：分母不等于零.

(2)偶次根型函數(shù)：被開(kāi)方數(shù)大于或等于0.

(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R

(4)/(乃=為°的定義域是{為|*≠0}.

【例1】(2022?新疆喀什?高一期末)函數(shù)y=在三中，自變量X的取值范圍是()

X

A.x>2B.x≥2C.x≥2SLX≠0D.x≠0

【答案】B

[X—2≥0?/?_2

由題意知，JxwO，解得1≥2,即函數(shù)y=三上的定義域?yàn)閇2,+∞).

故選：B

【例2】(2022?寧夏?銀川一中高二期中(文))函數(shù)y=岳+工的定義域?yàn)?)

X-I

A.[0,l)B.(1,÷∞)C.(0,1).(1,+?)D.[0,l)(l,÷x))

【答案】D

由題意得；;：0,解得短。且XHL

故選：D

【例3】(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))函數(shù)V=在=5+工的定義域?yàn)?)

x-3

A.y,+∞^jB.(—8,3)U(3,+∞)C.—,3j(3,+∞)D.(3,+∞)

【答案】C

要使函數(shù)y=岳二i+一二有意義，則

x-3

f2x-3≥03

所以｛,C,解得x≥9且XW3,

[x-3≠02

所以函數(shù)y=岳二5+一1的定義域?yàn)樯希?)53,+∞).

x-3|_2)

故選：C.

【例4】(2022?全國(guó)?高一階段練習(xí))函數(shù))，=筆M+(2x-l)°的定義域?yàn)?)

【答案】C

要使函數(shù)y=4±+(2x-l)°有意義，則有，[：>八，解得x<3且x≠[所以其定義域

yJ3-χZx-I≠02

故選：C.

【題型專(zhuān)練】

1.(2022?全國(guó)?高一單元測(cè)試)函數(shù)y=五亙的定義域是()

2x

A.[-3,+∞)B.(0,÷oo)C.(-3,+∞)D.[-3,0)U(O,+∞)

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)定義域的求法求得正確答案.

fx÷3≥0

【詳解】依題意《八nx≥-3且χwθ,

[x≠0

所以函數(shù)y=g亙的定義域是[T0)u(0,y).

故選：D

2.(2022.全國(guó)?高一單元測(cè)試)函數(shù)/(x)=7W-(X-3)°的定義域是()

A.[2,+∞)B.(2,+∞)C.(2,3)∣(3,-H?)D.[3,+∞)

【答案】C

【分析】由分母中根式內(nèi)部的代數(shù)式大于0,。指數(shù)幕的底數(shù)不為0聯(lián)立不等式組求解.

fx-2>0

【詳解】由?Z解得x>2且XN3.

[x-3≠0

函數(shù)F(X)=耳，-(X-3)°的定義域?yàn)?2,3)53,”).

故選：C.

3.(2012.廣東.高考真題(文))函數(shù)八6=Y乎的定義域是.

【答案】[T,0)u(0,+e)

【分析】由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于O且分式的分母不等于O，聯(lián)立不等式組求解X的取

值集合得答案.

fx÷l≥0

【詳解】由C，得x≥T且XW0,

[x≠0

???函數(shù)/(X)=正9的定義域?yàn)閇-l,0)u(0,÷∞):

X

故答案為：［—1,o)u(o,+8).

2.抽象函數(shù)定義域

記住兩句換：①等價(jià)②定義域?qū)來(lái)說(shuō)

【例1】(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)閇0』，值域?yàn)閇L2],那么函

數(shù)/(x+2)的定義域和值域分別是()

A.[0,1].[1,2]B.[2,3],[3,4]C.[-2,-1],[1,2]D.[-1,2],[3,4]

【答案】C

【詳解】令x+2∈[0,l]得x∈[-2,T],即為函數(shù)y=∕(x+2)的定義域，

而將函數(shù)y="x)的圖象向左平移2個(gè)單位即得y=∕(x+2)的圖象，

故其值域不變.

故選：C.

【例2】(2022?貴州畢節(jié)?高一期末)已知函數(shù)/(x+l)的定義域?yàn)閇1,5],則/(2x)的定義域

為()

A.[1,3]B.[1,4JC.[2,5]D.[2,6]

【答案】A

【詳解】：函數(shù)/（x+l）的定義域?yàn)閇1,5],.?.1WXW5,則2≤x+l≤6,

即Ax）的定義域?yàn)閇2,6],由2≤2x≤6,得l≤x≤3,.?.∕（2x）的定義域是口,3],

故選：A

【例3】（2022.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)/（x）的定義域?yàn)閇-1,2],則函數(shù)g（x）=∕'-2）

√x-l

的定義域是（）

A.[1,4]B.（1,4]C.[1,2]D.（1,2]

【答案】B

f（x-2]f-l≤χ-2≤2

由于函數(shù)“X）的定義域?yàn)閇-1,2],對(duì)于函數(shù)g（x）=X∕3,有；C一，解得

√x-l^x-l≠U

l<x≤4.

因此，函數(shù)g（x）="j-2）的定義域是0,4].

√x-l

故選：B.

【例4】（2018?重慶一中高二期末（理））已知函數(shù)“X）的定義域?yàn)椋?,+⑹，則函數(shù)

/（x+l）

y=?/LL1的定義域是（）

V—X—3x+4

A.（-?,?）B.[-1,∣]C.[-1,1）D.（-1,1]

【答案】A

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/（X）的定義域是（°什8）,所以

x÷l>0x>-1

〈?=>5?=>—1<x<1

—X—3x+4>0x~+3x—4<0

【例5】（2019?全國(guó)）若函數(shù)/（2x—1）的定義域?yàn)閇0,2],且函數(shù)/（一產(chǎn)+以—1）的定義

域?yàn)閇0,〃?],則實(shí)數(shù)加的取值范圍是.

答案：2≤m≤4

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/（2尤一1）的定義域是[0,2],所以0≤χ≤2,所以一l≤2x-1≤3,所

以函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇-1，3],函數(shù)/（-χ2+4χ-1）的定義域?yàn)閇0,〃?],相當(dāng)于當(dāng)

%€[0,加]時(shí)，，=一/+4]—1的值域?yàn)閇-1,3],由/=——+4%一1的圖象可得m的取值

范圍是為2≤m<4

【題型專(zhuān)練】

1.（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)/（x+D的定義域?yàn)椋ㄒ?,0）,則/（2x-l）的定義域?yàn)?/p>

()

A.(-1,0)B.(-2,0)C.(0,1)D.(一；,。)

【答案】C

【分析】由題設(shè)函數(shù)的定義域，應(yīng)用換元法求出/⑺的定義域，進(jìn)而求/(2x-l)的定義域即

可.

【詳解】由題設(shè)，若t=x+l,則fe(-l,l),

.?.對(duì)于/(2x-l)有2x-le(-l,l),故其定義域?yàn)?0,1).

故選：C

2.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0』)，若c∈(θ,;),則函數(shù)

g(x)=/(x+c)+/(x—c)的定義域?yàn)?)

A.(一GI-C)B.(GI-C)C.(I-CC)D.(c,,l÷c,)

【答案】B

fθ<x+c<1

【分析】由已知函數(shù)的定義域有八,即可求復(fù)合函數(shù)的定義域.

[0<x-c<1l

…fθ<x+c<l{-c<x<?-cΛ

【詳解】由題意得：,即，又c∈O=,

[n0<x-c<1l[c<x<l1÷cV2)

c<x<l-c.

故選：B

3.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題)己知/(χ2-l)的定義域?yàn)椴?6],則"x)的定義域

為()

A.[-2,2]B.[0,2]C.[-1,2]D.[-√3,√3]

【答案】C

【分析】由-√5≤x≤√5求出χ27的范圍，然后可得答案.

【詳解】因?yàn)?(χ2-l)的定義域?yàn)閇-√J,6],所以-√5≤χ≤6,所以τvχ2-iv2,所以/(x)

的定義域?yàn)閇T,2]?

故選：C

4.(2019重慶市巴蜀中學(xué)高一上期中)已知函數(shù)y=∕(x)的定義域?yàn)閇―8,1],則函數(shù)

(X)=的定義域是()

')x+2

A.(―∞,-2)U(—2,3]B.[―8,—2)U(—2,1]C.——,—2^U(-2,0]D.——,—2

【答案】C

【分析】解不等式-8融x+l1和χ+2w()即得解.

Q

【詳解】解：由題意得：T融+11,解得-滑0,

由X+2WO解得XW-2,

-9"

故函數(shù)的定義域是--,-2)u(-2,0.

故選：C

5.(2022?全國(guó)?高一單元測(cè)試)已知函數(shù)/(x+l)的定義域?yàn)?-1,1),則f(k∣)的定義域?yàn)?)

A.(-2,2)B.(-2,0)(0,2)

C.(-l,0)U(0,l)D.卜；，。]

【答案】B

【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域的求法求得正確答案.

【詳解】依題意函數(shù)/(χ+l)的定義域?yàn)?一小)，

-l<x<l=>0<x+l<2,

所以0<W<2,

解得-2<X<0或0VX<2,

所以f(IM)的定義域?yàn)?-2,0)一(0,2).

故選：B

6.(2021?江西?贛州市贛縣第三中學(xué)高一階段練習(xí))若函數(shù)/(x+l)的定義域?yàn)閇T,15],則函

￡1的定義域?yàn)?

數(shù)g(x)=)

√x-l

A.[1,4]B.(1,4]C.[1,14]D.(1,14]

【答案】B

【分析】首先根據(jù)函數(shù)/(x+l)的定義域求出函數(shù)y=∕(χ)的定義域，然后再列出

g(X)=有意義時(shí)X所滿(mǎn)足的條件，從而可求出函數(shù)g(x)=生2的定義域.

√x-l√x-l

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x+l)的定義域?yàn)閇7,15],所以—l≤x≤15,所以04x+l≤16,

所以函數(shù)y="x)的定義域?yàn)閇0,16],

所以要使函數(shù)g(x)=[l1有意義，需滿(mǎn)足，0≤√≤16”

，解得l<x≤4,

x-l>0

所以函數(shù)g(x)=4&］的定義域?yàn)?1,4］.

√x-l

故選：B.

3給定義域求參數(shù)____________

【例1】若函數(shù)/(x)=Jznri+wιx+l的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)W的取值范圍是()

(A)O</W<4(B)O≤/n≤4(C)∕w>4(D)O<m≤4

【答案】B

【詳解】由題意知〃1/+mχ+l≥O在X￡R上恒成立

當(dāng)=O時(shí)，mχ2+mx+?=1>0?恒成立，滿(mǎn)足題意

m>0

當(dāng)〃2w0時(shí)，則<2/八，解得0<m≤4

N=m-4m≤0

綜上可知實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是0≤m≤4

【例2】已知函數(shù)/(幻=-^-------的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.

mx~+4∕nx+3

3

【答案】0≤m<-

4

【詳解】由題意知〃+4g+3WO在兀￡R上恒成立

當(dāng)〃2=0時(shí)，Am;?+4mx+3=3≠O，恒成立，滿(mǎn)足題意

當(dāng)WWo時(shí)，YYVC+4〃優(yōu)+3≠O在X∈R上恒成立，等價(jià)于如2+4mx+3=0在x∈R上

3

恒成立無(wú)實(shí)數(shù)根，則△=16根2一12〃2<0，解得0<根<:

4

3

綜上可知實(shí)數(shù)m的取值范圍是O<m<-

4

【題型專(zhuān)練】

1.(2022?福建?廈門(mén)一中高一期中)函數(shù)AX)=I,'的定義域是R,則實(shí)數(shù)〃的取

?∣ax~+3αx+l

值范圍為.

【答案】Oq)

［分析］由題知不等式0√+30r+l>O恒成立，進(jìn)而分α=O和αWO兩種情況討論求解即可.

【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)/(x)的定義域是R.

所以不等式以2+36+1>0恒成立.

所以，當(dāng)α=0時(shí)?，不等式等價(jià)于1>0,顯然恒成立:

a>0a>04

當(dāng)αwOB?,則有Δ<O'即944〃<。,解得0<"鼠

綜上，實(shí)數(shù)”的取值范圍為θ[]

故答案為：

題型三：函數(shù)的解析式的求法

1.待定系數(shù)法求函數(shù)解析式

【例1】(2021?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考)已知F(X)是二次函數(shù)且f(0)=2,/(Λ-+1)-∕(X)=Λ-1,求

/U)；

13

【答案】f(x)=-x2--x+2

【詳解】設(shè)/(X)=ax1+bx+c(α≠0),由題意可知/(θ)=c=2,

/(x+1)=?(x+1)2+?(x+l)+c=tzx2+2ax+a+bx+b+c

所以f(x+l)-f(x)=2ax+a+b=x-1

1

12a=lα=E/、123

有待定系數(shù)可知《,,,解得《2所以/⑴=2一=%+2

a+b=—1b~?22

.^^2

【例2】若/(x)是一次函數(shù)，/"(X)]=4x—1且，則/(X)=

【答案】/(Λ)=2X-?∕(X)=-2%+1

【詳解】設(shè)/(x)=RX+M左≠0),由題意可知

/(/(九))=f[kx+b)=k[kx+b)+b=k2x+kb+b=4-x-?

/d=4卜=2化=—2

有待定系數(shù)可知《，解得1或者〈,,,

kh+b^-1∣∕7=^^5[人=]

所以/(》)=21-；或者/(%)=—2》+1

【題型專(zhuān)練】

1.(2022?全國(guó)?高一單元測(cè)試)一次函數(shù)F(X)滿(mǎn)足:I(F(X))=4x+3,則F(X)的解析式可以

是()

A.f(?)=2x÷1B.f(?)=1—2x

C.f(?)—2x—3D.f(x)=—2x—3

【答案】AD

【分析】根據(jù)待定系數(shù)法，設(shè)出/(X)="+"(攵W()),可得/(/(x))=Nh+與+b=4x+3,

再根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等即可求出.

【詳解】?/(?)=kx+b{Jc≠0),則/(/(x))=Z(fcr+b)+b=%2χ+Z?+匕=4x+3,所以

Λ24?k=?2f?=_2

以=Z解得/1或L即/(x)=2x+l或"x)=-2x-3.

kb+b=3S=IS=-3

故選：AD.

2.(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))已知/(x)是二次函數(shù).且"x+l)+"x-l)=2χ2一4x.則

〃X)=------------

【答案】X2-2x-I

'2a=2

【分析】設(shè)〃力=加+區(qū)+c(a?()),化簡(jiǎn)整理對(duì)應(yīng)系數(shù)得到?26=-4,解方程組即可求

2a÷2c,=0

出結(jié)果.

【詳解】ιScf(x)=ax2+hx+c(a≠0),

則/(x+l)=1(x+l)2+?(x÷l)+c=0r2+{2a-?-b)x+a+b+c,

/(x-l)=6z(x-l)~÷?(X-1)+C-=6ZX2+(-2α+6)x+α-力+C,

所以/(x+l)+/(x-l)=2f4X2+2Zzx÷2rz÷2c,X∕(x÷l)÷/(x-l)=2x2-4x,

2a=2a=↑

因此?2b=-4,解得小=-2,所以/(x)=f-2x-l,

2a+2c=0c=-l

故答案為：X2-2x-l-

3.(2021.全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí))已知〃x)是一次函數(shù)，且滿(mǎn)足3∕(x+l)-2∕(x-l)=2x+17,

求〃X)=.

【答案】2x+l

【分析】設(shè)/(X)=奴+6(aw0),根據(jù)已知條件列方程，由對(duì)應(yīng)系數(shù)相等求出。和6的值即

可求解.

【詳解】因?yàn)?(x)是一次函數(shù)，設(shè)/(%)=奴+8("0),

因?yàn)?∕(x+l)-2∕(x-l)=2x+17,

所以3[α(x+l)+b]-2[α(x-l)+匕]=2x+17,

整理可得aχ+5α+Z?=2x+17,

a=2[a=2

所以可得I—

5a+h=∏

所以/(x)=2x+7,

故答案為：2x+7.

4.(2021?全國(guó)?高一單元測(cè)試)己知二次函數(shù)/(x)滿(mǎn)足F(O)=2,/(X)-Z(X-I)=2x+l,則

函數(shù)/(χ2+1)的最小值為.

【答案】5.

【分析】根據(jù)/(x)為二次函數(shù)可設(shè)/(x)=d+?r+c("O),由/(0)=2可得c=2,再根據(jù)

/(X)-ZU-D=2x+l,比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)即可求出α,b,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到函

數(shù)〃/+1)的最小值.

【詳解】f(x)為二次函數(shù)，，可設(shè)/(x)=aχ2+?r+c(α≠0),，/(O)=C=2,

因?yàn)?(x)-∕(x-l)=2x+l,ax1+bx+c-a{x-?)2-?(x-l)-c=2Λ+1,

(2a=2[a=?

即以式一4+6=2》+1,,《,,,解得c,,/(X)=X2+2x+2,令r=f+],則f≥1,

[?-α=1[b=2

函數(shù)f(∕+l)即為/(f)="+2f+2=Q+l)2+l./⑺的圖象開(kāi)口向上，圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直

線(xiàn)t=一1,⑺在[1,+8)上單調(diào)遞增，.?.Ar%.=/⑴=5,即〃/+1)的最小值為5.

故答案為：5.

5.(2022?江蘇?高一)(1)已知AX)是一次函數(shù)，且"/"(x))=4x—l,求f(x)；

(2)己知/(χ)是二次函數(shù)，且滿(mǎn)足/(O)=1,.f(x+1)-/(X)=2x,求/(χ).

【答案】(I)/(x)=2x-g或/(x)=-2x+l:(2)/(x)=x2-x+l.

【分析】(D設(shè)/(x)=or+伙α≠0),代入/(/(X)),整理，得恒等式,求出即可;

(2)設(shè)/(x)=OX2+?x+c(α≠0),代入條件，求出0,6,c即可

【詳解】(1)設(shè)/(x)=ox+b(αwθ),

則?(/(?))=于(cιx+b)=a{ax+b)+b=a2x+ab+b

因?yàn)?(/(x))=4x-l,所以。2%+。/?+匕=4工一1

a=2

a2=4解得L1或a=-2

所以

ub+b=-1b-——h=?

3

所以/(x)=2x-；或/(X)=-2x+1

(2)設(shè)/(x)=αγ2+bχ+c(4≠0)

由/(0)=1,得C=I

由/(x+l)-∕(x)=2x

得Q(X+if+h(x+?)+i-ax2-bx-?=2x

整理，得24v+Q+b=2x

2a=2a=1

所以布=。所以

h=-?

所以/(χ)=Y-χ+l

2.換元法求函數(shù)解析式

【例1】(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))已知?jiǎng)t函數(shù)/(x)的解析式是()

Y

A?/(x)=γ?x≠T)B./(X)=-----(X≠T且XWO)

1+x

C.f(X)=D?/(X)=1+X

【答案】B

【分析】根據(jù)換元法求解析式即可.

【詳解】解：由題知XNo且XH-1,令f=2,則X=I(r≠0?∕≠-l),

Xt

./⑺=_L=J_

■,*1f+1(∕≠-1且twθ),

1H—

Y

f(x)=-----(x≠-1且x≠0).

7%+1

故選：B.

【例2】(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))設(shè)函數(shù)/(力=敘-5,g(2x+I)=F(x),則函數(shù)g(x)的

解析式是()

A.g(x)=2x+lB.g(x)=2x-l

C.g(x)=2x+5D.g(x)=2x-7

【答案】D

【分析】用配湊法求解析式.

【詳解】Vg(2x+l)=4x-5=2(2x+l)-7,Λg(x)=2x-7.

故選：D.

【例3】(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)f(M)=魯，則/U)的解析式為()

?rOr

a?f(x)=jT7(XWT)b?/(力=-777("T)

c?/(x)=7?(x~ι)d?/(x)=-J^("T)

【答案】A

【分析】令？=E，則x=g,代入已知解析式可得/(f)的表達(dá)式，再將，換成X即可求

解.

【詳解】令'=E'則X=呂

(f≠-l),

故選：A.

【例4】(2021?江蘇?高一單元測(cè)試)已知函數(shù)/(工--,1

x+F，則/().

X

797

B.4C.-D.

236

【答案】A

【分析】求出函數(shù)的解析式，然后求解函數(shù)值即可.

【詳解】函數(shù)/

/2λ4

/I+222

所以I-=-=-

“x)=d+2,K3√99

故選：A.

【例5】(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)f(4+2)=x+2√7+2,則"x)的最小值是

()

A.-1B.2C.ID.0

【答案】B

【分析】利用換元法求出函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)求最值即可.

【詳解】令石+2=r,則t≥2,且x=(r-2)2,

所以/(。=(/_2/+2(/_2)+2=/_2，+2,(f≥2)

所以/(x)=x2-2x+2=(x-l)2+l(x≥2),

當(dāng)工=2時(shí)，/(%,=/(2)=2.

故選：B

【題型專(zhuān)練】

1.(2022.山東?德州市第一中學(xué)高二階段練習(xí))若函數(shù)/(2x+l)=V-2x,則/(3)等于()

A.-1B.0C.1D.3

【答案】A

【分析】換元法求出函數(shù)的解析式，代入計(jì)算即可求出結(jié)果.

【詳解】令2x+l=f,得X=號(hào)，所以∕Q)=(qlJ-2XF=；產(chǎn)—∣f+j,

135

從而/(3)=:><32-；*3+:=-1.

424

故選：A.

2.(2021?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí))己知f(4+l)=x+26,則/(X)=()

A.x2-l(x≥0)B.√x+l(x>l)C.x2-l(x≥l)D.√x-l(x≥0)

【答案】C

【分析】令f=G+l,f≥L利用換元法求函數(shù)解析式.

【詳解】令r=4+1,r≥1，貝|］尸=(6+ιJ=x+2√^+ι,

由/(4+l)=x+24得，/(r)=r-l,r>ι,

2

B∣J/(x)=X-I1χ>ι.

故選：C.

3.(2021.全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí))已知/(x+l)=x-5,則/(/(O))=()

A.-9B.-10C.-11D.-12

【答案】D

【分析】根據(jù)/(x+l)=x-5,利用整體思想求出“X)的解析式，求得“0),從而即求出

/(/(θ))?

【詳解】解：因?yàn)?'(x+l)=x-5=(x+l)-6,

所以/(x)=x—6,

/(0)=-6,

所以f("0))=/(-6)=72.

故選：D.

4.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知/(HI)=f-2x+3,則/(3)=()

A.6B.3C.IlD.10

【答案】C

【解析】利用拼湊法求他〃x)解析式，即可得出所求.

【詳解】/(∣X-1∣)=X2-2X+3=(X-1)2+2=∣X-1∣2+2,

.?./(x)=X2+2,

.?.∕(3)=32+2=ll.

故選：C.

5.(2021?浙江省桐鄉(xiāng)市高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí))已知數(shù)f(x+l)=(x-l)2,則/(χ)的解析式

為()

A.f(x)=X2B./(χ)=(χ-2)2C./(χ)=√-lD./(Λ)=(X+1)2

【答案】B

【解析】首先換元，設(shè)x+l=f=x=f-1,再代入求函數(shù)的解析式.

【詳解】設(shè)x+l=f,貝IJX=f-l,

則/⑺=(-)2=(-2)2,gp∕(x)=(x-2)2.

故選：B

6.(2021?全國(guó)?高一單元測(cè)試)若函數(shù)d/;)=',則/(X)=.

1—r

【答案】司…

I-Y2

【分析】利用換兀法，令'=*r*r∣,再用'表示'代入原函數(shù)即可得小).

【詳解】令"舊1一X=k2T則…，

2?-t

.*.X=故/⑺=—;一]

t+?r+1

"(χ)=M,(χ≠τ)?

1—X

故答案為：----(XH-1).

1+x

7.(2021?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí))已知“2x+l)=3x-2且/(α)=4,則α的值為.

【答案】5

【分析】利用換元法求得函數(shù)的解析式/(x)=]3x-7],根據(jù)/(α)=4,列出方程，即可求

解.

【詳解】設(shè)f=2x+l,則X=中,

2

≠_14737

因?yàn)?(2x+l)=3x-2,所以f")=3x/=即/(x)=]%-；,

37

又因?yàn)?(α)=4,可得;α-1=4,解得α=5.

故答案為：5.

3.賦值法

【例1】(2021?吉林高一期末)已知函數(shù)/(X)對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)χ,y,滿(mǎn)足

/(孫)=∕(x)+∕(y),且"3)=1，則/(27)=()

A.OB.1C.2D.3

【答案】D

【詳解】令x=y=3,則原式變?yōu)?⑼=/(3)+/(3)=2

令X=3,y=9,則原式變?yōu)?(27)=/(3)+/(9)=3

［例2］函數(shù)/(x)不恒為零，且滿(mǎn)足/(x+y)+∕(x-y)=/(X)/(y),若/(2)=0,

則/(0)+/(4)+/(6)=

A.0B.-2C.2D.4

【答案】A

【詳解】令x=y=0,則原式變?yōu)?(o)+∕(o)=∕(o)∕(o)=>2∕(o)=r(o),

所以/(0)=0或者/(0)=2,當(dāng)/(0)=0時(shí)，令y=0得到/(χ)+/(X)=/(χ)∕(0)=0,

所以/(x)=0,不滿(mǎn)足題意舍去，所以/(0)=2

令x=y=2,可得/(4)+/(0)=/(2)^2)=0,所以/⑷=一/(0)=-2

令x=4,y=2,可得/⑹+/⑵=/(4)/⑵=0,所以/⑹=一/⑵=0

所以/(0)+/(4)+/(6)=0

【例3】已知〃x)是R上的函數(shù)，/(0)=1,并且對(duì)任意的實(shí)數(shù)X,y都有

"x—y)=〃x)—y(2χ-y+ι),求函數(shù)/(χ)的解析式.

【答案】/(x)=x2+x+l.

【詳解】令y=x,則/(x-y)=/(O)=/(x)-x(2x-x+l)=l,

0/(Λ)=X2+X+1.

【題型專(zhuān)練】

1.(2022全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))若f(x)滿(mǎn)足/(αb)=f(α)+∕S),且f(2)=p,f(3)=g,則

/(72)=()

A.P+qB.3>p+2qC.2p+3>qD.p2+q'

【答案】B

【分析】賦值法求解函數(shù)值.

【詳解】令α=b=2得:/(4)=2/(2),令α=4,b=2得:/(8)=/(4)+/(2)=3/(2),

令a=6=3得：f(9)"(3)+∕(3)=243),

所以/(72)=/(8X9)=/(8)+/(9)=3/⑵+2/(3)=3p+2g

故選：B

2.(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))已知α,beN'J(α+b)"⑷"3J⑴=2,貝IJ

42)*3)/(2013)/(2OI4)

-------1-F∏1-------------

?(?)/(2)-------/(2012)/(2013)-----------------------

【答案】4026

【分析】先求得卷jy=2,然后求的正確答案.

【詳解】由題意,知f(α+毋=∕(α)f知),

令α=b=l,得/⑵=TW(I)=I,所以扁=2,

令4=2,b=l,得/(3)=/(2)/(1)=8,所以鬻=2,

由此猜測(cè)懸JJ=2(xN2,xeN?),

只需令α=x-l,6=l,所以/(x)=f(x-1+1)=f(x-1)/(1)=2f(x-1),

所以N?=2(x≥2,xeN),

所以歿+歿+…+3+@巴=2+2+…+2=4026

/(D/(2)/(2012)/(2013)

故答案為：4026

4.方程組法求函數(shù)解析式

[例1](2022?黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末)己知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,+8),且

/(A-)-2∕^√^=-1

則/(X)=()

?2

A.~?fx+—>B.一?fxH—(x>

33v

C.>∕x+l(x>0)D.7x-l(x>0)

【答案】B

【分析】在原等式中把X與1互換后用解方程組的方法求得了(X).

X

【詳解】V∕(x)-2∕^√^=-l,φχ>0,

"Cd-②

①②聯(lián)立方程組可解得f(χ)=|&+；(Λ>0).

故選:B.

【例2】(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知/(x)滿(mǎn)足/(幻-2f(-x)=2x-l,則()

A./(3)=3B./⑶=一3

C./(x)+/(-X)=2D./(x)+∕(-x)=-2

【答案】AC

【解析】由/(x)-2f(-x)=2x-l,∏TW∕(-^)-2∕(x)=-2x-l,解方程組求出/(x),結(jié)合

選項(xiàng)逐一判斷即可.

【詳解】-f(x)-2f(-x)=2x-l,

Λ∕(-X)-2∕(Λ)=-2x-l化簡(jiǎn)得2∕(-Λ)-4∕(x)=-4x-2

?

兩式相加得-3〃力=-2x-3,解得"x)=(x+l

故/(3)=3,A正確，B錯(cuò)誤；

2

又f(-x)=-]X+l,則/(X)+/(-幻=2,C正確，D錯(cuò)誤；

故選：AC

【題型專(zhuān)練】

1.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))若3"x)+2∕(J=4x,則/(X)=.

【答案】

55x

【分析】將X用工代替又可得一個(gè)等式，將兩個(gè)等式聯(lián)立解方程即可得出結(jié)果.

X

【詳解】由3∕(x)+2∕(J=4x①，

將X用§代替得3/(曰+2/(力=：②，

由①②得/(X)=容-白

I?γQ

故答案為：--——.

55x

2.(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))設(shè)函數(shù)"行是RTR的函數(shù)，滿(mǎn)足對(duì)一切x∈R,都有

/(x)÷V(2-x)=2,則/(x)的解析式為/(x)=.

【答案】＜τ≡ρχ"

l,x=l

【分析】由/(x)+M7(2T)=2,得“2-x)+(2-x)“x)=2,利用方程組思想可求得“X),

再求得/⑴得值，即可得出答案.

【詳解】解:由/(x)+4(2r)=2,得/(2τ)+(2-x)∕(x)=2,

r)

將〃x)和〃2-力看成兩個(gè)未知數(shù)，可解得y(χ)=F(χwi),

I-X

當(dāng)X=I時(shí)，f(2-l)+(2-l)∕(l)=2,解得/(1)=1,

綜上，/(X)=I-X'5

l,x=1.

--,χ≠1

故答案為：T-X.

l,x=1

3?(2022?全國(guó).高三專(zhuān)題練習(xí))已知3∕(x)+5∕(J=:+l,則函數(shù)於)的解析式為.

a51

【答案】f(χ}=--+-χ+-

JL8x88

【解析】以:代替X得出3∕g)+5"x)=2x+l,與已知等式