金陵中學(xué)2022-2023學(xué)年第一學(xué)期期末考試(高二數(shù)學(xué))含解析

金陵中學(xué)2022-2023學(xué)年第一學(xué)期期末考試

高二數(shù)學(xué)試卷

注意事項

考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求

1.本試卷共4頁，包含單項選擇題（第1題?第8題）、多項選擇題（第9題?第12題）

填空題（第13題?第16題）、解答題（第17題?第22題）四部分。本試卷滿分150分，

考試時間為120分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，請將答題卡上交。

2.考生在作答時必須使用0.5毫米的黑色墨水簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其它位

置作答一律無效。

一'單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.

1.已知直線/i：ax+2y=0與直線/2:2x+（2a+2>+1=0垂直，則實數(shù)a的值為

A.-2B.-2C.1D.1或一2

3

2.已知圓錐的軸截面是斜邊為23的直角三角形，則該圓錐的體積為

A.&B.笠8兀C.5D.3貼兀

32

3.已知人x）=/（2023）lnx—則八2023）=

2

A.0B.-2023C.1D.2023

4.曲線y=lnx-2在x=l處的切線的傾斜角為a,則sin2a的值為

X

A.4B.一4C.3D.

5555

5.已知圓心均在x軸上的兩圓外切，半徑分別為門，尸2（片〈及），若兩圓的一條公切線的方

程為>=也。+3）,則蟲=

4n

A.4B.2C.5D.3

34

1

6.已知點P是拋物線N=2y上的一點，在點尸處的切線恰好過點(0,—1),則點尸到拋物

2

線焦點的距離為

A.1B.1C.3D.2

22

7.已知數(shù)列僅“｝為等差數(shù)列，首項為1,公差為2,數(shù)列｛兒｝為等比數(shù)列，首項為1,公比

為2,設(shè)。“=%，。為數(shù)列｛以｝的前"項和，則當(dāng)4<2023時，"的最大值為

A.8B.9C.10D.1

8.在某次數(shù)學(xué)節(jié)上，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)分別寫下了一個命題:

甲：In3<d31n2；乙：1皿〈一；丙：2而<12；?。?eln2>4/.

所寫為真命題的是

A.甲和丙B.甲和乙C.丙和丁D.甲和丁

二'多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，

有多項符合題目要求，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.全部選對得5分，部分選對

得2分，不選或有選錯的得。分.

9.設(shè)(l+2x)i°=ao+aix+azx2_|--Paiox10,則下列說法正確的是

A.俏=1B.。1+。2+…+aio=3i°-1

C.展開式中二項式系數(shù)最大的項是第5項D.z=9m

10.已知在正四面體/BCD中，E、F、G、77分別是棱48,BC,CD,的中點，則

A.EF//平面ACDB.ACLBD

C.4B_L平面下G//

B

11.公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派把科1（立二1七0.618）稱為黃金數(shù).離心率

22

等于黃金數(shù)的倒數(shù)的雙曲線稱為黃金雙曲線.若黃金雙曲線E:二一/=1（。>0）的左、右頂點

12.已知定義域為R的函數(shù)人x）=x4—x2+°x+l,則

A.存在實數(shù)0,使函數(shù)於）的圖象是軸對稱圖形

B.存在實數(shù)°,使函數(shù)｛x）為單調(diào)函數(shù)

C.對任意實數(shù)a,函數(shù)加）都存在最小值

D.對任意實數(shù)a,函數(shù)次x）都存在兩條過原點的切線

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.

13.某學(xué)校派出5名優(yōu)秀教師去邊遠地區(qū)的4所中學(xué)進行教學(xué)交流，每所中學(xué)至少派1名

教師，則不同的分配方法種數(shù)為.

14.已知橢圓E:二+且=1（°>6>0）的右焦點為尸2,左頂點為4,若￡上的點P滿足PEax

a2b1

軸，sin/B4i尸2=3,則E的離心率為.

5

15.函數(shù)加）=/—N—x—a僅有一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是

16.如下圖所示：一個正三角形被分成四個全等的小正三角形，將其中間小正三角形挖去

如圖(1)；再將剩余的每一個正三角形都分成四個全等的小正三角形，并將中間的小正三角

形挖去，得到圖(2)……如此繼續(xù)下去，設(shè)原正三角形邊長為4,則第5張圖中被挖掉的所有

正三角形面積的和為.

/A噩AA

圖1圖2圖3

四、解答題：本大題共6小題，共70分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要

的文字說明，證明過程或演算步驟.

17.(本小題滿分10分)

已知數(shù)列｛?！埃?，ai,。2,03,…，。6成等差數(shù)列，as，°6,a7,…成等比數(shù)列，ai=-10,

。6=2.

(1)求數(shù)列｛念｝的通項公式；

(2)記數(shù)列｛為｝的前〃項和為S“，若a>0,求"的最小值.

18.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=—lnx(。GR)

x

(1)討論人x)的極值；

(2)求於)在［Le］上的最大值g(a).

e

19.(本小題滿分12分)

已知S.是數(shù)列｛斯｝的前〃項和，且ai=l,數(shù)歹!]｛2｝是公差為1的等差數(shù)列.

Qn2

(1)求數(shù)列｛an｝的通項公式；

(2)記數(shù)列｛23｝的前n項和為T,,,是否存在實數(shù)f使得數(shù)列｛計｝成等差數(shù)列，若存在,

2”

求出實數(shù)/的值；若不存在，說明理由.

20.(本小題滿分12分)

△N8C中，內(nèi)角N,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c,且滿足sinC+cosC=也，(1-

cos/)6=acosB.

(1)判斷△45。的形狀；

(2)若點。在5C上且助=3cZ),點尸與點4在直線5C同側(cè)，SBCLDP,BC=2PD,

求cosZACP.

21.(本小題滿分12分)

設(shè)橢圓E:2+且=l(a>6>0)的左、右焦點分別為尸i(—c,0),F2(C,0),離心率為也，

a2b13

若橢圓E上的點到直線入=且的最小距離為3—3.

C

(1)求橢圓E的方程；

⑵過B作直線交橢圓E于4,3兩點，設(shè)直線/尸2,8尸2與直線/分別交于C，。兩點，線

段的中點分別為M,N,。為坐標(biāo)原點，若M,O,N三點共線，求直線4g的方

程.

22.(本小題滿分12分)

函數(shù)兀v)=ln(x+l)-ax,g(x)=l—e1.

(1)討論函數(shù)｛x)的單調(diào)性；

(2)若｛x)2g(x)在xd[0,+8)上恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

金陵中學(xué)2022-2023學(xué)年第一學(xué)期期末考試

高二數(shù)學(xué)試卷

注意事項

考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求

1.本試卷共4頁，包含單項選擇題(第1題?第8題)、多項選擇題(第9題?第12題)

填空題(第13題?第16題)、解答題(第17題?第22題)四部分。本試卷滿分150分，

考試時間為120分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，請將答題卡上交。

2.考生在作答時必須使用0.5毫米的黑色墨水簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其它位

置作答一律無效。

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.

1.已知直線/i：ax+2y=0與直線/2：2x+(2a+2?+l=0垂直，則實數(shù)a的值為

A.-2B.-2C.1D.1或一2

3

【答案】B

【解析】：直線/i：ax+2y=0與直線/2：2x+(2a+2)y+l=0垂直，：.aX2+2X(2a+2)=0,

求得a=-2，故選:B.

3

2.已知圓錐的軸截面是斜邊為23的直角三角形，則該圓錐的體積為

A.0B.時短C.他無D.3韻兀

32

【答案】C

【解析】因圓錐的軸截面是斜邊為23的直角三角形，則該圓錐的軸截面是等腰直角三角

形，其底面圓半徑為出，高為他，所以該圓錐的體積為憶=1兀乂?3)2義3=貼無，故選:C

3

3.已知人x)=/(2023)lnx—lr2+x,則八2023)=

2

A.0B.-2023C.1D.2023

【答案】B

【解析】求導(dǎo)得八x)=?2"-x+l,所以八2023)=儂-一2023+1,解得八2023)=一

x2023

2023,故選:B

1

4.曲線歹=lnx—2在x=l處的切線的傾斜角為a,則sin2a的值為

X

A.4B.一4c.3D.-3

5555

【答案】c

【解析】依題意，V=l+2,所以tana=l+2=3,所以sin2a=2sina._=_2tana_=3,

xx*211sin2a+cos2a1+tan2a5

故選:C.

5.已知圓心均在X軸上的兩圓外切，半徑分別為心，尸2（門〈尸2）,若兩圓的一條公切線的方

程為＞=也。+3）,則立=

4n

A.4B.2C.￡D.3

34

【答案】B

【解析】方法一：設(shè)圓C1：（X—。）2+歹2=用圓。2：（工一6）2+產(chǎn)=不，n

其中一3＜。＜小兩圓的公切線方程為x—2仍》+3=0,則n=\、

|0+3]=*,力=步+3|=*,兩圓外切，則QG^'2）

11+（2也＞3#+（2五）23

=6—〃=/1+井2="+3+'+3,化簡得b=2〃+3,b+3=2a+6,即井2=2門，?,?在=2,故選:

33n

B

方法二：幾何法

6.已知點尸是拋物線，=29上的一點，在點。處的切線恰好過點（0,-1）,則點尸到拋物

2

線焦點的距離為

A.1B.1C.3D.2

22

【答案】B

【解析】拋物線方程為歹=%2,V=X，設(shè)切點尸坐標(biāo)為（配，次），，切線斜率為左=回，又切

2

=

線過點（0,—1）,.*/°-^2A：o,.*.lxo+l=xo,xo=±l.yo=l.即P（l,1）或尸（一1,1）,拋

22xo2222

物線標(biāo)準(zhǔn)方程為N=2y,2=1,.J點到焦點的距離為1+2=1+1=1.故選:B.

2222

2

7.已知數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列，首項為1,公差為2,數(shù)列也“｝為等比數(shù)列，首項為1,公比

為2,設(shè)C"=°j乙為數(shù)列匕"｝的前〃項和，則當(dāng)7“<2023時，〃的最大值為

A.8B.9C.10D.1

【答案】B

【解析】依題意得:。"=1+2(”-1)=2"—1,b”=2'「i,=2-2"一i—1,則數(shù)列｛以｝

為遞增數(shù)列，其前〃項和7,?=(21-1)+(22-1)+(23-1)+-+(2?-1)

=(2'+22H------卜2")—〃=2(1_2")_〃=2"+1—2—〃,

1-2

當(dāng)〃=9時，T“=1013<2023,當(dāng)“=10時，T“=2036>2023,"的最大值為9,故選:B.

8.在某次數(shù)學(xué)節(jié)上，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)分別寫下了一個命題：

甲：ln3<Y31n2；乙：lnn<\R；丙：2后<12；T：3eln2>4也.

所寫為真命題的是

A.甲和丙B.甲和乙C.丙和丁D.甲和丁

【答案】A

【解析】In3<31n2,21n^3<^31n2,?<也，

32

令心)=匝，次x)在(0,e)上增；(e,+8)上減，.?貝3)</(2),甲正確；

X

lnn<、叵叵近而乙錯.

對于丙，2而<12,'T21n2<lnl2=21nV12,ln2<lnV12>ln4<WH,而4>^12>e,

2V124A/12

?,m4)<4\12),丙正確.

對于丁，3eln2>4y/2,eln8>2*,eln皿>a,叵鹵>嘰，

皿e

而市>e,所以故丁錯；綜上，答案選A.

3

二'多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，

有多項符合題目要求，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.全部選對得5分，部分選對

得2分，不選或有選錯的得。分.

9.設(shè)(1+2工)1。=00+。/+?！?_|---\-a\oxw,則下列說法正確的是

A.B.。1+。2+…+aio=3i°—1

C.展開式中二項式系數(shù)最大的項是第5項D.z=9ai

【答案】ABD

【解析】對于A.令x=0得ao=l,故/正確；

對于B.令x=1得00+01+02+…+aio=3i°,

而由N知:ao=l,因此ai+a2H---Faio=310—1,故B正確；

對于C.因為(1+2x)1。的展開式中二項式系數(shù)最大的項是第6項，故C不正確；

rr122

對于D.因為(1+2x)1°的展開式中，Tr+i=2C[ox,所以7'2=2Ciftr=20x,713=2CIW=180x,

因此ai=20,<22=180,所以02=9ai,故。正確.

10.已知在正四面體ABCD中，E、F、G、X分別是棱/￡BC,CD,4D的中點，則

A.跳7/平面ACDB.AC±BD

C.4B_L平面尸G8D.E、F、G、〃四點共面

【答案】ABD

【解析】把正四面體48c放到正方體里，畫圖為：

對于N項，：￡、/分別為5C的中點，

C.EFHAC,又平面ACD且ERZ平面ACD,

，￡尸//平面/CD,故A正確；

對于B項，從正方體的角度上看易得故B正確.對于D項，；E、

F、G、〃分別是棱48,BC,CD,4D的中點，EF//AC且EFqAC,GHHAC旦GH=1AC,

22

所以EF〃GH,EF=GH,所以四邊形所G〃是平行四邊形，故￡、F、G、〃四點共面，所

以D正確.對于C項，若/2_L平面FG8成立，即48_L平面所G8,

又因為TTEu平面EFG”,所以N3L77E,又因為E、，分別為N8,4D的中點，

所以EH//BD,所以4B_LAD,而△/2D為等邊三角形，與48_LAD矛盾，所以C不正確.故

選:ABD

4

11.公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派把好二!（由二1七0.618）稱為黃金數(shù).離心率

22

等于黃金數(shù)的倒數(shù)的雙曲線稱為黃金雙曲線.若黃金雙曲線屈芷一產(chǎn)=15>0）的左、右頂點

a2

分別為小，A2,虛軸的上端點為叢左焦點為尸，離心率為6,則

A.a2e=lB.AzBFB=0

D.的外接圓的面積為社衛(wèi)兀

C.頂點到漸近線的距離為e

4

【答案】ABD

【解析】由題意知山臼=或土L。2=小—1,???02=4+1,??.層6

a222

=ac=l,A正確.

A2(a,0),5(0,b),F(-c,0),A2B=(<-a,b),FB=(c,b),：.A亦FB

=b2—ac=Q,B正確.

對于C,頂點到漸近線距離1=/1^=曲=4=1,C錯.

\la2+b2cce

對于。，△也必為直角三角形，且/也夕尸=90°,A2F^a+c,

a222

/\AzFB外接球面積S=n-（+（c）=5（?+c+2ac）=；D正確.

244

故選：ABD.

12.已知定義域為R的函數(shù)大；0=/一/+辦+1,則

A.存在實數(shù)0,使函數(shù)人x）的圖象是軸對稱圖形

B.存在實數(shù)°,使函數(shù)人對為單調(diào)函數(shù)

C.對任意實數(shù)a,函數(shù)人x）都存在最小值

D.對任意實數(shù)0,函數(shù)於）都存在兩條過原點的切線

【答案】ACD

5

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.

13.某學(xué)校派出5名優(yōu)秀教師去邊遠地區(qū)的4所中學(xué)進行教學(xué)交流，每所中學(xué)至少派1名

教師，則不同的分配方法種數(shù)為.

【答案】240

14.已知橢圓E:猶+講=1。＞6＞0）的右焦點為尸2,左頂點為4,若E上的點P滿足

軸，sin/E4i尸2=3,則E的離心率為.

5

【答案】~

4

N

【解析】?「sinNHi尸2=3,tanZ7^4iF2=^,.,.tanNB4i尸2=Q=3,即4/+3e—1=0,

54—4

4-

15.函數(shù)人為=%3—x2—X—4僅有一個零點，則實數(shù)4的取值范圍是.

【答案】（-8,—i）u（_L,+°°）

27

【解析】由題意可得:函數(shù)於）=/一/—%—Q,

所以F（x）=3x2—2x—1,令八%）＞0,則x＞l或xV—l,

3

令八%）＜0,則一所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（一8，—1）和（1，+oo）,減區(qū)間為（一1,

333

1）,所以當(dāng)x=-1時函數(shù)有極大值，八一［）=*—Q,

3327

當(dāng)％=1時函數(shù)有極小值，火1）=-Q—1,因為函數(shù)外）=/一工2一工一。僅有一個零點，所以

八-1）=￡—。＜0或火1）=—1＞0,解得或—1.所以實數(shù)。的取值范圍是（一

32727

8,-1）U（A,+8）,故答案為：（一8,-1）U（A,+8）

2727

6

16.如下圖所示：一個正三角形被分成四個全等的小正三角形，將其中間小正三角形挖去

如圖(1);再將剩余的每一個正三角形都分成四個全等的小正三角形，并將中間的小正三角

形挖去，得到圖(2)……如此繼續(xù)下去，設(shè)原正三角形邊長為4,則第5張圖中被挖掉的所有

正三角形面積的和為.

/A矗AA

圖1圖2圖3

【答案】78途

256

【解析】設(shè)第〃次挖去的正三角形個數(shù)為斯，對應(yīng)的每一個正三角形面積為治,

所以第n次挖去的正三角形總面積為an-bn,

由題知,01=1,02=3,…a”=3a“-1，即｛“”｝為等比數(shù)列,公比為3,首項為1,

所以a“=3"-i；

設(shè)原正三角形的面積為S,由于原正三角形邊長為4,故S=1X4X4X/=43.

22

由題知,bi=lS,b2=Lbi,…,b〃=Lbn_i,即｛為｝為等比數(shù)列，公比為L首項為bi=3,

4444

所以〃-I所以斯也=3?(3廠1,

44

由于斯+i?為+1=3,故｛斯也｝為等比數(shù)列，所以｛斯也｝的前〃項和為

an'bn4

3[1—(3)"]「2

T?=4=4^3[1-(3)"],

1-34

4

所以當(dāng)〃=5時，圖中被挖掉的所有正三角形面積的和為T5=4同一再]=鷺旦

4256

故答案為:7813.

256

7

四、解答題：本大題共6小題，共70分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要

的文字說明，證明過程或演算步驟.

17.(本小題滿分10分)

已知數(shù)列｛斯｝中，a\,。2,的，…，46成等差數(shù)列，。5，。6，。7，…成等比數(shù)列，42=-10,

。6=2.

⑴求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

(2)記數(shù)列｛斯｝的前〃項和為若S〃>0,求〃的最小值.

解：(1)當(dāng)時，設(shè)｛劣｝公差為力."=施—42=3,

4

=

an-10+3(〃-2)=3〃-16,..........................2分

而。5=—1,46=2,工〃25時，設(shè)｛為｝公比為g，q=—2,

：.此時an=~1?(_2)〃-5=—(-2)〃-5,4分

.3n—16,

5分

_(—2)"一5,7/^7,

(2)顯然〃>7,

.?.S.=(-13+2>6+—4[1—(2)"-6]=_乂_4+生(_2)"-6=_項+生(_2)，廠6.……8分

21—(—2)3333

A-103+4,(-2)H-6>0,則7為偶數(shù),(一2)〃-6>項，〃一626,心12,

334

：.n的最小值為12.......................10分

8

18.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)於)=^~a_—\wc(a￡R)

x

(1)討論4)的極值；

(2)求加)在［1,e］上的最大值g(a).

e

解：(1)定義域(0,+°°)>f(x)=a~x

①aWO時，八x)<0成立，所以兀0在(0,+8)上遞減，所以兀0無極值；.....2分

②a>0時，當(dāng)x>a時，/(x)<0,當(dāng)0<x<a時，f(x)>0,

所以於)在(0,0)上單增，(°,+8)單減，所以外)的極大值為八a)=—ln〃，無極小值；

............................5分

(2)aWl時，〃)在［1,e］單減，所以加)max=/(l)=2—ea；...............7分

eee

L<a<e時，〃)在［1,a］上單增，［a,e］上遞減，所以")max=/(a)=-1皿；........9分

ee

時，於)在［Le］單增，所以於)max=/(e)=一生..............11分

ee

――,

e

—Ina,-<tz<e

綜上:g(a)=e12分

2~ea9一

■e

【注：每一段都要說明單調(diào)性，不說明扣1分】

9

19.(本小題滿分12分)

已知凡是數(shù)列｛斯｝的前〃項和，且ai=l,數(shù)歹!]｛2｝是公差為1的等差數(shù)列.

Qn2

(1)求數(shù)列｛an｝的通項公式；

(2)記數(shù)列｛23｝的前n項和為T,,,是否存在實數(shù)f使得數(shù)列｛計｝成等差數(shù)列，若存在,

2”

求出實數(shù)/的值；若不存在，說明理由.

解:(1)因為負=1,數(shù)列｛邑｝是公差為1的等差數(shù)列，

a\an2

則叢=]+(〃_..............2分

an22

因此a=〃+1斯,

2

當(dāng)2時，S1=@即_1,則有斯=s〃-S〃_1=但±D斯一生/〃-1,

222

因此(九一1)念=板〃-1,即州=d1,數(shù)列｛眩｝是常數(shù)列，有知=久=1,

nn~\nn1

所以數(shù)列｛飆｝的通項公式斯=〃...............5分

方法二：因為反=1,數(shù)列｛叢｝是公差為1的等差數(shù)列,

a\an2

an22

因此s〃="+i斯,

2

當(dāng)〃三2時，Sn_l=@“_1,則有斯=s〃一斯一

222

因此(九一1)斯=〃?！╛1,即私=斯-1,即=^,

nn—1an-in-1

當(dāng)2時，0_=2,0_=a_,an—n

1。22an_\n-1

所以q_=幾，所以斯=〃，又因為防=1滿足，

a\

所以數(shù)列｛或｝的通項公式an=n.............................5分

【不檢驗幾=1扣1分】

10

(2)由⑴知,2?a?=n-2n,

則7；=1X21+2X22+3X234------P〃X2",

于是得27〃=1X22+2X23+3X24H----FnX2?+1,

兩式相減得：一T“=21+22+23H-----F20—〃X2"+i=2X匕2一〃X2"+i=(l-")2"+i—2,

1-2

因此M=(〃_l)2"+i+2,............................9分

有7+/=注,乃+/=?+/,T3±t=34±t!若數(shù)歹?。荩薄?｝成等差數(shù)列，則2X10+，=出

2244882"42

+34+〃解得,=-2,............................11分

8

當(dāng)t——2時，2=2〃一2,則￡±1二2-Zk二2=[2(〃+1)_2]_(2〃_2)=2,從而數(shù)列｛ZktI｝

2〃2〃+12”2〃

成等差數(shù)列，

所以存在f=-2,使得數(shù)列｛7也｝成等差數(shù)列.............12分

2〃

【注：直接根據(jù)4±=2"-2+拉得t=-2沒有任何證明扣2分】

2〃2n

11

20.(本小題滿分12分)

△/BC中，內(nèi)角/,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c,且滿足sinC+cosC=也，(1-

COS/)6=QCOSB.

(1)判斷△45C的形狀；

(2)若點。在上且&)=3C。，點P與點4在直線3c同側(cè)，_BBCLDP,BC=2PD,

求cosN/C尸.

解:(1)因為sinC+cosC=也，所以/$吊(。+匹)=/，所以sin(C+&)=1.

44

又因為0<C<兀，所以C=2L............................2分

4

在△A8C中，由正弦定理，-=—2二得，4=而必，

siih4sinBbsin5

又因為(1—cosA)b=acosB,所以(1—cos4)sin5=sin24cos5,

所以sinB=sirUcos5+cos^sinS=sin(^+5).

又因為4+5+。=兀，所以sin(^4+5)=sin(7i-C)—sinC,

所以sin5=sinC.............................4分

因為C=四，所以4=%

442

所以△NBC的形狀是等腰直角三角形...............6分

(2)因為△NBC的形狀是等腰直角三角形，

所以不妨設(shè)NC=/B=2也左，BC=4k.

因為BD=3CZ>,BC=2PD,所以C?=左，PD=2k.

在直角△CPD中，tan/PCD=F2=2,............................8分

CD

所以tan/PG4=tan(NPCZ>—/>C8)=tan/PCZ)—tan//C5=2—1=]......................10分

1+tanZPCDtanZACB1+23

因為tan/PG4=sin/PC/=1,sin2ZPC4+cos2ZPC4=1,

cosZPCA3

所以cos/NC尸.............12分

10

12

21.(本小題滿分12分)

設(shè)橢圓￡：W+，=l(a>b>0)的左、右焦點分別為尸i(—c,0),F2(C,0),離心率為也,

6Z2b13

若橢圓E上的點到直線入=且的最小距離為3—3.

(1)求橢圓E的方程；

⑵過B作直線交橢圓E于4,3兩點，設(shè)直線/B，8尸2與直線/分別交于C，。兩點，線

段C￡>的中點分別為M,N,。為坐標(biāo)原點，若M,O,N三點共線，求直線4g的方

程.

a3

解：(1)由題意知.《一a=3—43,

C

t/2=^2_|_c2

?,?橢圓E的方程為^!+V=l.3分

32

(2)設(shè)直線45方程為:工=叼-1,A(x\,y\),5(x2,/)，M(xo,/)，Ng,”)，0)

7=1,

聯(lián)立，32消去x并整理得，(2加2+3)產(chǎn)一4〃沙一4=0,

x=my—1,

2

yo=yi±y2=2m,xo=2m_1=~3；;.〃(T,2m),........................5分

22m2+32m2+32m2+32m2+32m2+3

止方程:尸W(x—l),，C(3,2yi),同理。(3,),...............................7分

Xl—1Xl—1X2—1

.?.jw=yi+V2=乃+>2=2"沙口，2—2。1+0)

xi—