長沙市重點中學2023-2024學年數(shù)學高二年級上冊期末調(diào)研試題含解析

長沙市重點中學2023-2024學年數(shù)學高二上期末調(diào)研試題

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.若函數(shù)/（X）=三—x—61nx,則/（尤）單調(diào)增區(qū)間為（）

A.°（2,+co）B.（0,2）

C.（2,+co）D.^0,|^o（2,+cc）

2.已知點A為直線2x+y-10=。上任意一點，。為坐標原點.則以Q4為直徑的圓除過定點（0,0）外還過定點（）

A.（10,0）B.（0,10）

C.（2,4）D.（4,2）

3.將函數(shù)y=/（x）圖象上所有點橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再將所得圖象向右平移:個單位長度，

得到函數(shù)丁=852工的圖象，貝?。?（%）=（）

A.-sin4xB.sinAx

C.-cos4xD.cos4x

4.已知一質(zhì)點的運動方程為s=ln%+3,其中$的單位為米，/的單位為秒，則第1秒末的瞬時速度為。

A.Im/sB.2m/s

7

C.4m/sD.—m/s

2

5.在等差數(shù)列｛4｝中，出+4=8,a5=6,則數(shù)列｛4｝的公差為（）

A.lB.2

C.3D.4

6.我們知道：用平行于圓錐母線的平面（不過頂點）截圓錐，則平面與圓錐側(cè)面的交線是拋物線一部分，如圖，在底

面半徑和高均為2的圓錐中，AB.CZ＞是底面圓。的兩條互相垂直的直徑，E是母線尸5的中點，已知過CZ＞與E的

平面與圓錐側(cè)面的交線是以E為頂點的圓錐曲線的一部分，則該圓錐曲線的焦點到其準線的距離等于（）

p

Ba

2

C.V2D.1

7.是"log2a>log2b”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.已知拋物線y=a/過點。,2）,則拋物線的焦點坐標為。

9.在空間直角坐標系中，若以（0,1,3）,N（2,l,l）,則加=（）

A.（-2,0,2）B.（2,0,-2）

C.（2,2,0）D.（2,2,-l）

1

10.已知函數(shù)八為二/的圖象過點^^），令4=--------------,nGN*.記數(shù)列｛%｝的前"項和為S,,則S=

/(n+l)+/(n)2021

()

A.V2021-1B.V2021

C.V2022D.V2022-1

TT17r

11.已知〃=sin^,b=ln—,c-,執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）

6e6

（開始）~~，輸入。也―>x=a—■/輸出x結(jié)束）

1

A.—B.—1

2

C.-D.1

6

12.在數(shù)列｛%｝中，％=1,%=1+匕0_（〃22）,則％等于

4T

35

A.-B.-

23

82

C.-D.一

53

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在等比數(shù)列｛&｝中4=1，%0=16,則%=

14.已知A,B為x,y正半軸上的動點，S.\AB\=4,。為坐標原點，現(xiàn)以|AB|為邊長在第一象限做正方形ABC。,

則OCOD的最大值為.

Xy2

15.已知橢圓C:、+l（a〉b〉O）交x軸于A,3兩點，點P是橢圓C上異于A,3的任意一點，直線B4,PB

a護

分別交丁軸于點河，N,則為定值廿一片.現(xiàn)將雙曲線與橢圓類比得到一個真命題：若雙曲線

22

?二-乙=1（?>0,?！?）交X軸于A,3兩點，點P是雙曲線C上異于A,3的任意一點，直線24,PB分別

c./甘一

交丁軸于點/，N,則AN-3M為定值

16.如圖所示，在平行六面體A3CD—A4G2中，AG「BR=F,若人尸:元鉆+了池+二明，則

x+y+z=.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知等比數(shù)列｛4,｝的首項4=16,公比4=W，在｛4｝中每相鄰兩項之間都插入3個正數(shù)，使它們和原

數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等比數(shù)列他,｝.

（1）求數(shù)列｛2｝的通項公式；

（2）記數(shù)列｛%｝前"項的乘積為北，試問：北是否有最大值？如果是，請求出此時"以及最大值；若不是，請說明

理由.

18.（12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面為直角梯形，ABCD,AB1AD,上4,底面A5CZ>,E

為BP的中點，AB=2,PA=AD^CD^1

（1）證明：EC//平面物O；

（2）求平面EAC與平面B4c夾角的余弦值

19.（12分）已知橢圓的焦點為耳（—2,0）,鳥（2,0）,且該橢圓過點P（2,-應）

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若橢圓上的點河（飛,為）滿足求先的值

20.（12分）已知復數(shù)z=biSeR）,—^是實數(shù).

1-1

（1）求復數(shù)z；

（2）若復數(shù)（根-z）2-8機在復平面內(nèi)所表示的點在第二象限，求實數(shù)機的取值范圍.

21.（12分）已知函數(shù)/（x）=（av+l）e*（a/0）.

（1）討論“力的單調(diào)性；

（2）若。=2,當x>0時，”尤）2日恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.

22.（10分）已知點P（5,0）和圓UV+V—?―4y+3=0.

（1）求圓C的圓心坐標和半徑；

（2）設。為圓。上的點，求|PQ|的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】求出導函數(shù)/'(X),令/■'(%)>()解不等式即可得答案.

【詳解】解：因為函數(shù)/■(%)=寸—x—61nx,所以=A=6(x〉o),

XX

令/'(尤)>0,得尤>2,所以/(%)的單調(diào)增區(qū)間為(2,+8),

故選：C.

2、D

【解析】設05垂直于直線2x+y-10=。，可知圓恒過垂足6；兩條直線方程聯(lián)立可求得3點坐標.

【詳解】設08垂直于直線2x+y—10=0,垂足為3,則直線08方程為：y=

由圓的性質(zhì)可知：以0A為直徑的圓恒過點B,

2x+y-10=0r=4

由1得：一???以Q4為直徑的圓恒過定點(4,2).

y.x[y=2

故選：D.

3、A

【解析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換，由曠=<：。52%逆向變換即可求解.

【詳解】由已知的函數(shù)y=cos2x逆向變換，

第一步，向左平移;個單位長度，得到y(tǒng)=cos2(x+：J=cos(2x+]]=—sin2x的圖象；

第二步，圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的;，縱坐標不變，得到y(tǒng)=-sin4x的圖象，即y=/(x)的圖象.

故/(%)=—sin4%.

故選：A

4、C

【解析】求出s'=1+3即得解.

t

【詳解】解：由題意得s'=l+3,故質(zhì)點在第1秒末的瞬時速度為1+3=4m/s.

t1

故選：C

5、B

【解析】將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，由此求得q,d.

【詳解】在等差數(shù)列｛?！埃?，設公差為d,

a1+d+q+5d—8Q]=-2

由4+。6=8,%=6,得V…,解得

q+4d=6d=2

故選：B

6、C

【解析】由圓錐的底面半徑和高及E的位置可得0E=及,建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，可得C的坐標，設拋物線

的方程，將C的坐標代入求出拋物線的方程，進而可得焦點到其準線的距離

D

設45,CZ）的交點為。，連接P0,由題意可得產(chǎn)。，面A3,所以由題意08=0尸=0C=2,因為E是母線

尸8的中點，所以。石=夜，由題意建立適當?shù)淖鴺讼?，以為y軸以OE為x軸，E為坐標原點，如圖所示：

可得：C(—g,2),

設拋物線的方程為爐="刈將c點坐標代入可得4=-耳，所以加=-20,,所以拋物線的方程為：/=-2A/2X,

所以焦點坐標為（一日,0）‘準線方程為等'

所以焦點到其準線的距離為J5

故選：c

7、B

【解析】求出log2a>log2〃的等價條件，結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.

【詳解】log2a>log260a>6>。，因“/“a>b〉O"且ua>bnuaa>b>Qn,

因此，“a>6”是“l(fā)og?a>log2b"的必要不充分條件.

故選：B.

8、D

【解析】把點(1,2)代入拋物線方程求出a,再化成標準方程可得解.

【詳解】因為拋物線丁=0好過點。,2),

所以2=a,所以拋物線方程為y=2一,

91

方程化成標準方程為X2=G》,

2

故拋物線的焦點坐標為［0,：］.

故選：D.

9、B

【解析】直接利用空間向量的坐標運算求解.

【詳解】解：因為Af(O,l,3),N(2,l,l),

所以癡=(2,0,—2).

故選：B

10、D

【解析】由已知條件推導出4=標斤-6，〃eN*.由此利用裂項求和法能求出S2021

【詳解】解：由/(4)=2,可得半=2,解得。=彳，則/(尤)=%5.

/.an=-------------------=/1-----7==y/n+1-G，

/("+1)+/(")+l+4n

S2021=V2-1+A/3-V2+V4-V3+...+72022-72021=72022-1

故選：D

【點睛】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)列的“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題

11>B

【解析】計算出。、6的值，執(zhí)行程序框圖中的程序，進而可得出輸出結(jié)果.

TT\]

【詳解】Qa=sin—=—,/?=ln-=-l,則

62e

1]n

執(zhí)行如圖所示的程序，x=—,—1<—成立，則1二―1,1不成立，輸出x的值為-1.

226

故選：B.

12、D

12

【解析】分析：已知〃1逐一求解。2=2,a3=—,a4=3,%=—

12

詳解：已知為逐一求解〃2=2,a3=—,a4=3,a5=—.故選D

點睛：對于含有(-1)〃的數(shù)列，我們看作擺動數(shù)列，往往逐一列舉出來觀察前面有限項的規(guī)律

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、4

【解析】設等比數(shù)列｛4｝的公比為心由題意可知&和與同號，結(jié)合等比中項的性質(zhì)可求得4的值.

【詳解】設等比數(shù)列｛4｝的公比為9,則&=。2r>0,

由等比中項的性質(zhì)可得=。2%)=16,因此，?6=4,

故答案為：4.

【點睛】本題考查等比中項的計算，解題時不要忽略了對應項符號的判斷，考查計算能力，屬于基礎題.

14、32

【解析】建立平面直角坐標系，設出角度和邊長，表達出點坐標，進而表達出0C.0。，利用三角函數(shù)換元，

求出最大值.

兀

【詳解】如圖，過點。作OELx軸于點E,過點C作CFLy軸于點歹，設=00,-),則由三角形

全等可知4CF=e,設。4=m，OB=n,則祥+川=人長=16,則。(m+4cosO,4sin。)，

C(4cos仇〃+4sin。),貝!]＜?C-(?D=4cos6)(m+4cos6,)+4sin(9(n+4sin6,)=16+4mcos0+4/tsin0,令

wt=4cos0,〃=4sin0,貝!|0。-0。=16+16＜：050(：05。+1651]105111。=16+16＜：05(。一0),當cos(。-0)=1

時，取得最大值，最大值為32

15、—b2-a2

【解析】由雙曲線的方程可得A,B的坐標，設P的坐標，代入雙曲線的方程可得P的橫縱坐標的關(guān)系，求出直線AP,

族的方程，令％=0,分別求出"，N的縱坐標，求出AN力加的表達式，整理可得AN出河為定值-4-k

【詳解】由雙曲線的方程可得&—a,0),3(a,0),設P(〃”)，

22

則烏-一勺=1,可得〃2〃2=加2=一〃2b2=/(加2一〃2),

ab2

直線K4的方程為：y=-^—(x+a)9令X=0,貝!|加二/^，可得

m+a機+々m+a

直線M的方程為＞=—J(%-。)，令x=0,可得%=二已，即N(0,二^幺)，

m—am—am—a

na22

?AATn”/~\/na、2n0/(療一/)

..AN?BM=(a,-------)-(-62,-------)=-a——-——-=-a2-----——7^=-a-b,

m—am+am—am—a

故答案為：一一〃2

2222

另解：雙曲線方程化為4=1,只是將A+==1的〃替換為一"，故答案也是只需將〃一片中的〃替換為

a2-b2a2b2

-b2即可.

故答案為：一/72-片.

16、2

【解析】題中幾何體為平行六面體，就要充分利用幾何體的特征進行轉(zhuǎn)化，

一一.---1--—.一.

AF=AB+BBi+B1F=AB+BB1+-耳。，再將轉(zhuǎn)化為AD，以及將A4轉(zhuǎn)化為AB,5耳=朋，總之等式右邊

為AB，AD，的，從而得出犬=y=；，z=l.

【詳解】解：因為AF=AB+BB[+BF=AB+BB[+gBiR

=AB+BB1+AD—A4)

=AB+BB、+-AD--AB

22

^-AB+-AD+AA.,

22

又AF=xAB+AD+zAAi

所以x=y=Q,z=l,

貝!|x+y+z=2.

故答案為：2.

【點睛】要充分利用幾何體的幾何特征，以及將4/=*延+4￡>+244作為轉(zhuǎn)化的目標，從而得解.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

5

17、(1)bn=2'"

(2)當“=4或5時，有最大值1024.

【解析】(1)利用等比數(shù)列通項公式求解即可；

(2)求出數(shù)列｛2｝的前〃項的乘積為利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.

【小問1詳解】

由已知得，數(shù)列也｝首項4=16,b5=a2=16x-^=l,

設數(shù)列也｝的公比為孫，即色=41始-=他)4=L：.%=!

bxb1162

即2=4(%)"T=16x［；1=25，

【小問2詳解】

4

Tn=bcb2-b3-bn=2-^-25T=^+3+2++?-“)

2

=22=22=2212)8，

+10

即當"=4或5時,有最大值2#-1IT=2=1024.

18、(1)證明見解析

⑵—

3

【解析】(1)通過作輔助線，構(gòu)造平行四邊形，在平面協(xié)O找到線并證明CE〃5根據(jù)線面平行的判定定理

即可證明；

(2)建立空間直角坐標系，求出相應點的坐標，進而求得相關(guān)的向量坐標，求出平面EAC與平面MC的法向量，根

據(jù)向量的夾角公式求得答案.

【小問1詳解】

證明：取融的中點F,由E為P5的中點，

則石尸〃AB,EF^-AB,

2

而ABCD,CD^-AB,

2

所以EFCD且EF=CD,則四邊形OWE為平行四邊形，

所以CE〃。人又CEa平面”L。，DFu平面必1。，

所以CE平面R4O

p

【小問2詳解】

VPA±^ABCD,ABYAD,：.AP,AB,AZ)兩兩垂直,

以A為原點，AB，AD>AP向量方向分別為x軸，7軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標系,

各點坐標如下：4(0,0,0),P(0,0,l),C(l,l,0),6(2,0,0),El

設平面APC的法向量為根=(%,y,z),由=(0,0,1),AC=(1,1,0),

AP-m=z=0—,-u,、

有《,取x=l,則y=-1,z=0,即m=(l,—l,0),

AC-m-y-0

設平面EAC的法向量為"=(a,6,c),由AC=(l,l,0),AE=h,0,1L

ACn=a+b=0

有《1，取Q=1,則＞=—1,c=—2,即〃=(1,—1,—2),

AE-n=a+—c=0

2

m-n2_A/|

所以COS（根,M

V2x5/63，

由原圖可知平面EAC與平面E1C夾角為銳角,

所以平面EAC與平面PAC夾角的余弦值為顯

3

x2y2

19、⑴_+=1

84

(2)%=土2

【解析】（1）利用兩點間距離公式求得P到橢圓的左右焦點的距離，然后根據(jù)橢圓的定義得到。的值，結(jié)合c的值,

利用〃川c的平方關(guān)系求得從的值，再結(jié)合焦點位置，寫出橢圓的標準方程

(2)利用向量的數(shù)量積5.兒q=0,求得點加(%,%)滿足的條件，再結(jié)合橢圓的方程，解得先的值

【小問1詳解】

解：設橢圓的長半軸長為“，短半軸長為心半焦距為c,

因為|尸制="2—(―2)『+[(-V2)-0]2=718=372

22

\PF2\=^(2-2)+[(-V2)-0]=V2

所以|P司+|「局=4形=2a,即。=2及，

又因為c=2,所以〃=1—02=4,

又因為橢圓的中心在原點，焦點在X軸上，

22

所以該橢圓的標準方程為二+二=1.

84

【小問2詳解】

解：MF}=(-2-x0,-y0\MF2=(2-x0,-y0)

因為叫所以九生?曬=0,即x：+y：=4,

又甚+花=1,所以'=4,即%=±2.

84

20、(1)z=-3i

(2)(0,9)

7.4-3

【解析】(1)先將Z=歷代入「一化簡，再由其虛部為零可求出匕的值，從而可求出復數(shù)Z,

1-1

[m2-8m-9<0,

(2)先對(加-z)92-8加化簡，再由題意可得<從而可求得結(jié)果

6m>0,

【小問1詳解】

因為z=Z?i,

z+33+bi(3+Z?i)(l+i)3-/?+(Z?+3)i

所以";一"=-；—r=---------=-----------，

1-11-122

z+3

因為二一是實數(shù)，所以占+3=0,解得b=—3.

l-i

故z=-3i.

【小問2詳解】

因為z=—3i,

所以（加一z）2—8m=（m+3i）2-8m=（m2-8m一9）+6mi.

因為復數(shù)-z)2-8m所表示的點在第二象限,

m2-8m-9<0,

所以

6m>0,

解得0<相<9,即實數(shù)機的取值范圍是(。,9).

21、(1)答案見解析;

【解析】⑴求得/'(%)=(依+a+l)e',分?！?、°<。兩種情況討論，分析導數(shù)的符號變化，由此可得出函數(shù)〃龍)

的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間

(2)利用參變量分離法可得出左〈包業(yè)對任意的x>0恒成立，構(gòu)造函數(shù)g(x)=G2￡,其中％>