2023年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編：集合、邏輯用語、函數(shù)、初等函數(shù)

2023年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編：集合、邏輯用語'函數(shù)、初等函數(shù)

一、填空題

1.(2023.全國甲卷)若/(%)=(%-1尸+Q%+sin(%+殳)為偶函數(shù)，則。=.

2.(2023?全國甲卷)若y=(x—1)2+Q%+sin(%+分為偶函數(shù)，則。=.

3.(2023?天津卷)若函數(shù)"%)=Q/一2%一氏2一q%+1|有且僅有兩個零點，貝Ija的取值范圍

為.

4.(2023?全國乙卷)設(shè)aw(0,1),若函數(shù)/(%)=亦+(1+a尸在(0,+8)上單調(diào)遞增，則a的取值范

圍是.

(2%v>Q

5.(2023?上海卷)已知/(%)=',則/(%)的值域是______________;

I1,x<0

6.(2023?新高考國卷)已知函數(shù)f(x)=cos3xT?>0)在區(qū)間［0,2兀］有且僅有3個零點，則3的取值范圍

是.

二、選擇題

7.(2023?全國甲卷)設(shè)全集U={1,2,3,4,5},集合M={L4},N={2,5}，則NUQM=

()

A.［2,3,5)B.［1,3,4)

C.{1,2,4,5}D.{2,3,4,5)

8.(2023?全國甲卷)設(shè)集合4=(x\x=3k+l,kEZ},B={x\x=3k+2,keZ］，U為整數(shù)集，

Cu(AUB)=()

A.{%|x=3k,kCZ}B.(x\x=3k-l,k&Z)

C.{x\x=3k-2,k&Z}D.0

9.(2023.全國甲卷)已知函數(shù)/(x)=e-(xT)2.記。=/(孝)，b=〃苧)，c=鳴),則()

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

10.(2023?全國甲卷)“siMa+sin??=1"是"sina+cosS=0”的()

A.充分條件但不是必要條件

B.必要條件但不是充分條件

C.充要條件

D.既不是充分條件也不是必要條件

IL(2023?天津卷)已知集合^={1,2,3,4,5},A={1,3},B={1,2,4}.則QBU4=)

A.[1,3,5}B.[1,3}

C.{1,2,4)D.{1,2,4,5}

12.(2023?天津卷)=盧是9+b2=2ab”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

13.(2023?天津卷)若a=L01°，5,b=l.Ol06,c=0,605,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c

14.（2023?天津卷）函數(shù)/（%）的圖象如下圖所示,則/的解析式可能為（)

5sinx

B.

久2+1

「50+er)5cosx

D.

7+2x2+l

15.（2023?全國乙卷）設(shè)集合U=R,集合M=[x\x<1},N=[x\—1<x<2},則{x|x>2}=()

A.Q(MUN)B.NUC(/Mc.Q(MnN)D.MUQN

xex

16.（2023?全國乙卷）已知f(%)=是偶函數(shù)，則a=（）

eax-l

A.-2B.-1C.1D.2

17.（2023?全國乙卷）函數(shù)/（x）=x3+ax+2存在3個零點，貝！Ja的取值范圍是（

A.(—oo,-2)B.(—oo,-3)C.(—4,—1)D.(一3,0)

18.（2023?全國乙卷）設(shè)全集U={0,1,2,4,6,8}，集合M={0,4,6},N={0,1,6},則MU

QN=()

A.{0,2,4,6,8}B.[0,1,4,6,8}

c.[1,2,4,6,8}D.U

19.(2023?上海卷)在平面上，若曲線「具有如下性質(zhì)：存在點M,使得對于任意點PCT,都有使

得|PM|?|QM|=1.則稱這條曲線為“自相關(guān)曲線”.判斷下列兩個命題的真假().

(1)所有橢圓都是“自相關(guān)曲線”.(2)存在雙曲線是“自相關(guān)曲線”.

A.(1)假命題；(2)真命題B.(1)真命題；(2)假命題

C.(1)真命題；(2)真命題D.(1)假命題；(2)假命題

20.(2023?上海卷)已知P={1,2},Q={2,3}，若用={xIxeP月.x任Q},則"=()

A.{1}B.{2}C.{1,2}D.[1,2,3)

21.(2023?新高考13卷)設(shè)集合A={0,-a],B=[1,a-2,2a-2},若AUB,則a=()

A.2B.1C.1D.-1

22.(2023?新高考回卷)若f(x)=(x+a)ln弟1為偶函數(shù)，則a=()

A.-1B.0C.1D.-1

23.(2023?新高考回卷)已知集合乂={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6>0},貝UMCN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2)

C.{-2}D.{2}

24.(2023?新高考回卷)設(shè)函數(shù)/Q)=2工(>。)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是()

A.(-00,-2]B.[-2,0)C.(0,2]D.[2,+8)

25.(2023?新高考回卷)噪聲污染問題越來越受到重視，用聲壓級來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級”=

20X1g常，其中常數(shù)p0(p0>0)是聽覺下限間值，p是實際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級：

聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB

燃油汽車1060?90

混合動力汽車1050?60

電動汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為P],p2,p3,則

()

A.p1>p2B.p2>10p3C.p3=100p0D.Pi<100p2

26.(2023?新高考回卷)已知函數(shù)f(x)的定義域為R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),貝I」()

A.f(0)=0B.f(l)=0

c.f(x)是偶函數(shù)D.x=0為f(x)的極小值點

三、解答題

27.(2023?全國甲卷)己知/(x)=ax—,%G(0,芻

(1)若a=8,討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若/(x)<sin2x恒成立，求a的取值范圍.

28.(2023?全國甲卷)已知/(%)=2枚一a|—a,a>0.

(1)解不等式f(x)<x

(2)若y=/(%)與坐標(biāo)軸圍成的面積為2,求a.

29.(2023?上海卷)函數(shù)/(%)=x2+(^^L)x+c(a,0€R)

(1)當(dāng)a=0是，是否存在實數(shù)c,使得/(%)為奇函數(shù)；

(2)函數(shù)/(%)的圖像過點(1,3).且/(x)的圖像與x軸負(fù)半軸有兩個交點，求實數(shù)a的取值范圍.

30.(2023?新高考回卷)已知函數(shù)/(%)=。(婕+a)—%.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng)a>0時，/(%)>21na+1.

答案解析部分

L【答案】2

【知識點】偶函數(shù)

【解析】【解答】/(x)=(%-I)2+ax+sin(x+：)=/+1+(a_2)x+cosx>

'-y=cos%為偶函數(shù)

為使/(x)為偶函數(shù)，只需???y=/+1+(a-2)x為偶函數(shù)，

■?a—2=0,即a=2

故答案為：2

【分析】先利用誘導(dǎo)公式化簡sin(尤+5)，由三角函數(shù)部分為偶函數(shù)，故只需二次函數(shù)部分為偶函數(shù)，從

而得出a的值。

2.【答案】2

【知識點】偶函數(shù)

【解析】【解答】?-,/(x)=(x—I)2+ax+sin(x+另=+1+(。-2)x+cosx,

,.,y=cosx為偶函數(shù)

為使/O)為偶函數(shù)，只需丫y=%2+1+(a-2)x為偶函數(shù)，

???a-2=0,即Q=2

故答案為：2

【分析】先利用誘導(dǎo)公式化簡sin(x+方)，由三角函數(shù)部分為偶函數(shù)，故只需二次函數(shù)部分為偶函數(shù)，從

而得出a的值。

3.【答案】(一8,0)U(0,1)U(1,+00)

【知識點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

【解析】【解答】令f(x)=ax2-2x-\x2-ax+1|=0,

①當(dāng)％2—a%+1>0時，

EPax2-2%-(x2-ax+1)=0,整理得[(a—l)x-l](x+1)=0,

a)若％=—1是函數(shù)零點，則(—1)2—QX(-1)+120,解得QZ—2；

b)若a=1,此時%2一%+i=(%一；f+,之o,即方程Ra-l)x-l](x+1)=0只有一個解x=?l,

c)若Q。1,方程整理得力i=^,x2=—1

i)此時若％=白是函數(shù)零點，貝I」(右)2—QX(白)+1之0,解得Q42；

ii)若，f=-1,即a=0,且/+1>0成立，此時方程為重根，

a—1

同理②當(dāng)一Q%+1<o時，

即QM-2%+(%2-ax+1)=0,整理得［(a+l)x-l］(x-1)=0,

a)若％=1是函數(shù)零點，則1?一a+lvO,解得a>2；

b)若Q=-1,此時％2+%+i=(%+$2o,與一a%+1vo矛盾，

c)若a?！?,方程整理得%2=1

i)此時若％=是函數(shù)零點，則(―7產(chǎn)—aX(^^)+1V0,解得a<—2；

Q+1'a+17%+17

ii)若一=1,即a=0,則%2+1>0與%2—ax+1<0矛盾，

a+1

綜上，

(1)當(dāng)aV—2時，此時％=士使得%2一。%+1<0成立，是函數(shù)零點；%=工使得%2一。%+1之()也是

Q+1a—1

函數(shù)零點，

即當(dāng)a<-2時，函數(shù)零點分別是上，

Q+1a—1

(2)當(dāng)一2Wa<0,0<a<1,1<aW2時，函數(shù)零點分別是-1,工；

a—1

(3)當(dāng)a=0時，函數(shù)零點是工(-1),此時不滿足題意，舍去；

(4)當(dāng)a=1時、函數(shù)零點分別是-1,此時不滿足題意，舍去；

(5)當(dāng)a>2時，函數(shù)零點分別是1,-1；

當(dāng)函數(shù)/(%)=ax2-2%-|x2-ax+1|有且僅有兩個零點時，；

故答案填：(一8,0)U(0,1)U(1,4-00)

［分析］令/(%)=0將零點轉(zhuǎn)化成方程根問題，不妨先分類好一ax+120與好一〃+1<0去絕對值

得到含參一元二次方程，對根的情況分析且檢驗是否滿足分類前提得出零點存在時參數(shù)a的取值，對以

上參數(shù)a分類整理即可得出答案.

4.【答案】［與1,1)

【知識點】函數(shù)恒成立問題；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

【解析】【解答】???函數(shù)f(x)=談+(1+a尸在(0,+8)上單調(diào)遞增，

，/'(工)=(lna)ax+ln(l+a)(l+a)x>0在(0,+8)上恒成立,

令9(%)=(lna)ax+ln(l+a)(l+a尸,故只需證9(%)而n>°

則g'(X)=(lna)2ax4-[ln(l+a)]2(l+a)x>0,

則g(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且g(x)7nm>g(0)=Ina+ln(l+a)

Ina+ln(l+a)>0,

即Ina>—ln(l+Q),

Aema>e-in(i+a)(即a2擊，解得a2二1卡或aw二1于5，

又W(0,1)

；.ae母，1)，

故答案為：［與1,1)

【分析】結(jié)合題意求導(dǎo)將問題轉(zhuǎn)化成導(dǎo)函數(shù)大于0恒成立問題，重新構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析計算該函數(shù)的

最小值大于0即得答案.

5.【答案】口，+oo)

【知識點】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；分段函數(shù)的應(yīng)用

【解析】【解答】當(dāng)x>0,2,>2°,即X>0,2、>1,

故/(x)21,即［1,+00)

故答案為：［1,+00)

【分析】由指數(shù)函數(shù)易得x>0的值域，結(jié)合xWO可得分段函數(shù)值域.

6.【答案】［2,3)

【知識點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系；函數(shù)y=Acos(3x+(t>)的圖象與性質(zhì)

【解析】【解答】令f(x)=cos(ox-l=0,則coswx=1,故該函數(shù)的交點可視作函數(shù)y=cos(ox與y=l的在

［0,2可的交點

xG［0,2兀］,則3xe［0,2a)n］

結(jié)合余弦函數(shù)可知此時4兀<2na)<6兀

二4兀42兀3<6兀，解得&)C［2,3).

故答案為：［2,3)

【分析】可將函數(shù)零點轉(zhuǎn)換為余弦型函數(shù)與y=l的交點即得答案。

7.【答案】A

【知識點】并集及其運算；補集及其運算

【解析】【解答】???G/M={2,3,5},NUQM={2,3,5}

故選：A

【分析】先計算補集QM，再求并集NUQM即得答案.

8.【答案】A

【知識點】交、并、補集的混合運算

【解析】【解答】由已知4={%|x=3k+1,keZ},B=[x\x=3k+2,keZ}分析可知A為被3除

余1整數(shù)的集合，B為被3除余2整數(shù)的集合，

故當(dāng)全集為整數(shù)，此時Q（AUB）為3的整數(shù)倍，即{%|%=3鼠kEZ）.

故選：A.

【分析】由分析可將描述法表示的集合轉(zhuǎn)化成被3整除問題，進(jìn)而分析此時用整數(shù)集補力UB的結(jié)果.

9.【答案】A

【知識點】奇函數(shù)與偶函數(shù)的性質(zhì)；指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

2

【解析】【解答】f（2—x）=e-Q-xT）2=e-（x-i）=/（%）,

■■y（x）關(guān)于％=i對稱，

又...y=靖在R單調(diào)遞增，y=一（％一1）2在（一8,1）單調(diào)遞增，在（1,+8）單調(diào)遞減，

由復(fù)合函數(shù)可知/（尤）在（一8,1）單調(diào)遞增，在（1,+8）單調(diào)遞減，

由/（%）關(guān)于久=1對稱得/（孚）=/卜—萼）

V（V2+V6）2<16<（V3+A/6）2.

由/（%）在（一8,1）單調(diào)遞增得a<c<b

故選：A

【分析】對二次函數(shù)對稱性分析得出復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，利用對稱性將c轉(zhuǎn)化與a、b同一單調(diào)性，從而

利用單調(diào)性比較函數(shù)值大小。

10.【答案】B

【知識點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系

【解析】【解答】若sin2a+sin2/?=1,

Vsin2/7+cos2/?=1,

此時sin2a=cos2/?,即sina=±cos/?,

/.當(dāng)sina=±cos^,此時sina+cos0=0不一定成立，充分性不成立；

反之,當(dāng)sina+cos/?=0,sin2a=cos2^3,此時siMa+siM/?=1,必要性成立；

故選：B.

【分析】利用同角三角基本關(guān)系可將sin2a+sin2^=l化簡，結(jié)合條件的判斷可得出答案.

11.【答案】A

【知識點】并集及其運算；補集及其運算

【解析】【解答】=口，2,3,4,5},A={1,3},B={1,2,4).

：.CuB=[3,5),

：.CuB\JA=[1,3,5卜

故選：A.

【分析】結(jié)合補集和并集對有限集運算.

12.【答案】B

【知識點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷

【解析】【解答】由a2=廬oa=±b，a2+b2=2aboa=b，

故由a?+M=2ab可以推出a?=b2>

.,.V=房”是+b2=2ab”的必要不充分條件.

故選：B.

【分析】根據(jù)已知條件化簡結(jié)合條件的判斷即得答案.

13.【答案】D

【知識點】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點；幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【解析】【解答】由指數(shù)函數(shù)y=1.0仔在R上單調(diào)遞增，

故1.01口6>1.O105>1.01°,即b>a>1,

由累函數(shù)y=”5在[0,+8)上單調(diào)遞增，

故0.6口5<1。-5,即C<1,

/.b>a>c,

故選：D.

【分析】由a、b同一底數(shù)結(jié)構(gòu)可利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小，結(jié)合特殊值1即可得出答案.

14.【答案】D

【知識點】奇函數(shù)；偶函數(shù)；基本不等式

【解析】【解答】根據(jù)圖象可知該函數(shù)為偶函數(shù)，

5(e~x-ex}

對A,；/=-/(%),故該函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意，錯誤；

(-X)2+2

對B,/(f)="咚？=一/("),故該函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意，錯誤；

(一x)+1

對C,/⑺=5(e；+ef)5x2產(chǎn)廠二以故此函數(shù)函數(shù)值均為正數(shù)，不符合題意，錯誤；

八]X2+2X2+2X2+2

故選：D.

【分析】由函數(shù)結(jié)合奇偶性判斷可排除A、B,對C得特殊結(jié)構(gòu)利用基本不等式得出函數(shù)值為大于0可

排除，從而得出答案D.

15.【答案】A

【知識點】交、并、補集的混合運算

【解析】【解答】根據(jù)題意

對A,M(JN={x\x<2},則Cu(MuN)={x|x22},符合題意，

對B,CUM={x\x>1},則NUQM={久|久>一1},不符合題意，

對C,MQN={x\-1<x<1),WJCy(MCl/V)=[x\x>1<-1],不符合題意，

對D,CUN=[x\x>2sj(x<-1],則MUCpN={%|x<1或r22},不符合題意，

故選：A.

【分析】由交、并、補集的定義及運算，逐項判斷可得答案.

16.【答案】D

【知識點】偶函數(shù)；函數(shù)的奇偶性

【解析】【解答】???/(%)=凝耳是偶函數(shù),

/(%)-/(-x)=點;-點]；-=，叱刃=0恒成立，

V%不恒為0,

:.ex—e(aT)x=0,解得a=2.

當(dāng)a=2時定義域為％*0關(guān)于原點對稱，又滿足/(X)—/(—%)=0,/./(x)為偶函數(shù)。

故選：D

【分析】根據(jù)偶函數(shù)定義進(jìn)行計算，再驗證。

17.【答案】B

【知識點】函數(shù)的零點

【解析】【解答】由題意得/'(%)=3/+a

???/(%)=x3+ax+2有三個零點，

???f(x)有極大值和極小值且異號，[a<0.

令/'(x)=0,解得x2=

+2-—ba—F2j<0?解得a<-3

???f(%1),f(x23

故選：B

【分析】fM=x3+ax+2有三個零點轉(zhuǎn)化為/(x)的極大值和極小值異號，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為((%)=0有兩

個根且豐%2>/Ui)1/(%2)<Oo

18.【答案】A

【知識點】并集及其運算；補集及其運算

【解析】【解答】由題意可得CuN={2,4,8),MUCVN={0,2,4,6,8)

故選：A

【分析】根據(jù)題意先計算QN,再計算MUG/N。

19.【答案】(1)B

【知識點】命題的真假判斷與應(yīng)用；圓錐曲線的綜合

【解析】【解答】①在橢圓中，如圖，若存在點M,使得對于任意點Per,都有QC『使得|PM|?

\QM\=1.

不妨先以點M在x軸上分析，在M點從橢圓左頂點往x負(fù)半軸移動時，必然存在|MA|-\MB\=1,

以此M點為假設(shè)存在的點，?.?P、Q均在橢圓上，且|M4|W|MP|W|MB|,|MA|W|MQ|W|MB|,故對

于任意點Per,都有Qe「使得|PM|?|QM|=1.

由特殊到一般，由橢圓圖形取值為封閉圖形，即確定點M的位置后，其最小值與最大值是有限值，故

對任意的情形依然存在且符合題意；

故所有的橢圓都是“自相關(guān)曲線”為真命題.

②同理，由確定點M位置后，結(jié)合雙曲線圖形特點，其最小值總是有限值，而最大值是無限的，所以不

存在雙曲線是“自相關(guān)曲線”.

【分析】根據(jù)圓錐曲線圖形特點及取值分析判斷可得答案.

20.【答案】A

【知識點】元素與集合的關(guān)系

【解析】【解答】'.'P={1,2},Q={2,3}，若用={x|xCP且％任Q}

.,.只有元素1CP,1CQ復(fù)合集合M,

故選：A

【分析】由元素和集合的關(guān)系得出符合條件的集合M.

21.【答案】B

【知識點】子集與真子集；集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題

【解析】【解答】-：AQB,

.?.當(dāng)a-2=0時，a=2,則4={0,-2},B={1,0,2},不符合題意；

當(dāng)2a-2=0時，a=l,則4={0,-1},B={1,-1,0),符合題意。

故選：B

【分析】根據(jù)AUB,分別討論a—2=0或2a—2=0的情況。

22.【答案】B

【知識點】偶函數(shù)

【解析】【解答】根據(jù)題意易得函數(shù)定義域為舞|>0,即xe(—8,+8)關(guān)于原點對稱

???/(%)為偶函數(shù)，

??.則有/⑴=/(—1)，即(a+l)ln/=(a—l)ln3,解得a=0。

檢驗：當(dāng)a=。時，有f(-x)=-xln==xln為3=f(x),

a=0時/(%)為偶函數(shù)。

故選：B

【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)在定義域范疇內(nèi)代值/(I)=/(-1)即得答案。

23.【答案】C

【知識點】交集及其運算；一元二次方程的解集

【解析】【解答】%一6》0,(x—3)(%+2)》0,》3或c《—2,即2={x/x>3或c《

一2},則MCN={-2}。故選C

【分析】利用一元二次不等求解集合N,進(jìn)而求集合M與N的交集。

24.【答案】D

【知識點】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

【解析】【解答】???/(%)=2丫為增函數(shù)，令g(x)=x(x-a)

由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，若/(%)=2%(%-。)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減

只需gQ)=%(%-a)=x2-Q%在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減

由二次函數(shù)易得g(x)在(-8,另為減函數(shù)，在0,+8)為增函數(shù)，

所以/(X)=2屹-。)在(一8,分為減函數(shù)，在(1,+8)為增函數(shù)，

故掾》1,

即a>2.

故選：D

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，分別分析外函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=2工的單調(diào)性和內(nèi)函數(shù)二次函數(shù)y=x(x-

a)單調(diào)性即得答案。

25.【答案】A,C,D

【知識點】對數(shù)的性質(zhì)與運算法則；指、對數(shù)不等式的解法

【解析】【解答】由y=3是增函數(shù)，故”也是增函數(shù)，由表格可知，LP1e[60,90],LP2G

[50,60],LP3=40

L.e[60,90],即60W20xlgMw90,則3W國空第

“II」PQPON

同理可得三.黑，3,仞A=2

zPoPo

A:由對數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，..11》乙2，，P1》P2,故A正確；

B：臉=，謂=噴-臉「1、嚙嚙=2,...8嚙W1,二國噴W10,即

Po

P2w10p3,故B錯誤；

C：嚙=2,則，=102=100即「3=。00口0,故c正確；

El

D：噴=磁=噴-嘀-3<lg^<l，；.0<lg^<2,Al<^<

Po

100,即PlWIOOP2，故D正確.

故選：ACD

【分析】由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，逐項解答判斷即得答案。

26.【答案】A,B,C

【知識點】函數(shù)的奇偶性；抽象函數(shù)及其應(yīng)用

【解析】【解答】A：令牙=產(chǎn)=0,則/'(0)=0+。=0,故A正確

B:令x=y=l,則/'(1)=f(l)+f(l),即/"(1)=0，故B正確

C：令x=-l,y=1,則/'(-x)=f(x)/，⑴，結(jié)合B可得，f(-x)=f(x)

???f(x)為偶函數(shù)，C正確

D：由f(xy尸y2f(x)+x2f(y),等式兩邊同除產(chǎn)后，則等=等+3鐵，

由函數(shù)結(jié)構(gòu)結(jié)合對數(shù)運算構(gòu)造函數(shù)形式，可令睜=ln|x|,即/(x)=/ln|x|(%00)

*

當(dāng)x=0時，即f(0)=0,即函數(shù)/(%)=。)，易得/(X)=%2］川R在(0,+8)上單調(diào)遞增

當(dāng)0<x<1時,x2ln|2|<0</(0),故此函數(shù)不連續(xù)，即x=0不是f(x)的極小值點

【分析】由抽象函數(shù)結(jié)合賦值法逐項可判斷ABC,根據(jù)抽象函數(shù)結(jié)構(gòu)可構(gòu)造符合條件的具體函數(shù)再進(jìn)

行單調(diào)性與值域分析即可判斷Do

27.【答案】⑴解：當(dāng)"8,即?)=8%一瑞，xe(。，芻,

422

mil,，，、ocosx+3sinxcosx_8cos4%+2cos2%—3_(2COS2%—1)(4COS2%+3)_cos2%(4cos2c+3)

則/⑺=8-----------占最-----

cos4%COS4XCOS4X

令((%)=。，即cos2%=0,解得％=p

令廣(x)>0,即cos2x>0,解得0V%V

令/'(X)<。,即cos2%<0,解得與<x<

???/(%)在(0,分上單調(diào)遞增,在妗，分上單調(diào)遞減

7F

(2)令g(%)=/(%)—sin2%,x6(0,力

?/T\\c,/、.2cos2%—3c/roV、.o.2cos2%—3

??g(。)=0，9(%)=aH----cos4------2(2coszx-1)=a+2—4Acos2xH------，

...必然存在g(x)在(0,x0)x0e(0,舒單調(diào)遞減，

.?.g'(0)<0,即g'(0)=a-3<0,解得a<3,

檢驗，當(dāng)a<3時，/(x)<sin2x是否恒成立，

令t=cos2x(t6(0,1))

2r—?

=a+2—4tH----~~，

2r—a

令/i(t)=a+2—4tH—必

?一4±3—2t+62(t—l)(2t^+2t+3)

??九⑷=----m------=--------------m-----------

當(dāng)ovtv1時，九'(t)>o,

在te(0,1)單調(diào)遞增，

<%(l)max=a—3<0,即g'(t)<0,

.,.g(x)在xe(0,0單調(diào)遞減，故此時/(x)<sin2：dll成立；

綜上所述:a<3.

【知識點】函數(shù)恒成立問題；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

【解析】【分析】(1)將a=代入原函數(shù)，求導(dǎo)結(jié)合同角三角函數(shù)間的關(guān)系及變換消元轉(zhuǎn)化成關(guān)于cosx的函

數(shù)表達(dá)式，結(jié)合因式分解對其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)性分析即可得出/(%)的單調(diào)性；

(2)令g(x)=f(x)-sin2x,注意到g(0)=0結(jié)合函數(shù)變化易分析g'(0)<0,從而縮小a的分析范圍，在

a<3時，結(jié)合整體換元簡化式子結(jié)構(gòu)并對g'(x)再求導(dǎo)分析此時函數(shù)極值范圍得出其正負(fù)性，進(jìn)而得出

g(x)的函數(shù)單調(diào)性繼而得出答案.

28.【答案】(1)依題意/(%)去絕對值得

門、.(a-2x,x<a

f[x)=2Ql|x-a\-a=<

{2x—3a,x>a

①當(dāng)?shù)?a時，由/(%)V%,即a—2x<xf解得x>*Va>0,?，.此時

②當(dāng)%>a時，由f(x)V%,BP2x—3a<%,解得x<3a,Va>0,「?此時a<xv3a

綜上/(x)<%的解集是％e,3a)；

(2)令/?(%)=(),解得久=*或當(dāng)，

當(dāng)％=a時/(a)=-a,

此時0.<a〈當(dāng)，且—a<0,故其函數(shù)圖象大致為

??.2怎,0）,8（當(dāng),0）,C（a,-a）,D（0,a）

22

?1?SMBC+SAAOD=^\AB\?\yc\+|x\0A\■\0D\=1a+|a=2,解得a=2跖

【知識點】分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法；含絕對值不等式的解法

【解析】【分析】(1)根據(jù)％<a和x>a分段去絕對值求解不等式；

(2)結(jié)合a>0分析畫出草圖利用面積建立等量關(guān)系求出a.

29.【答案】(1)當(dāng)a=0時，此時/(%)=?停+c,

.?./(X)的定義域為X。0,

?、%2-x+c-x2+x-C

??/(-%)=_久=-------，

若此時f(x)為奇函數(shù)，則/(x)+f(—x)=§=2：#0，

即/(%)*-/(-%).故不存在實數(shù)c使得/(%)為奇函數(shù).

(2)由函數(shù)/(%)的圖像過點(1,3)，,3=l+(：；；)+c,解得c=l,

令f(x)=0,則"+(^^)*+1=0，則%2+(3a+1)%4-1=0(%。-a)

：f(x)的圖像與x軸負(fù)半軸有兩個交點

方程/+(3a+l)x+1=0在x軸負(fù)半軸有兩個解.

(△=(3a+if-4>0

?*-j+%2=—3。—1<0，解得a>

(打?％2=1>0

又?：x豐一a,此時/一(3Q+1)Q+1H0,解得a。-1

綜上所述：a的取值范圍為+8)

【知識點】奇函數(shù)；一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【分析】⑴由奇函數(shù)定義先得出定義域，計算/(%)+/(-%)是否為0即可判斷；

(2)有函數(shù)交點分析轉(zhuǎn)化成方程根的分析問題，即分析分子二次函數(shù)部分的根分布情況及考慮分母不為0

情況即得答案.

30.【答案】(1)當(dāng)a=0時，此時/?(>)=一％單調(diào)遞減；

當(dāng)Q<0時，/(x)=a[ex+a)-x=aex-x+a2.此時y=aex(a<0)與y=—%均單調(diào)遞減，所以

/(%)單調(diào)遞減；

當(dāng)Q>0時，/'(%)=aex-1,令/'(%)=0則％=In，

.?.當(dāng)xe(-8,ln1)時，f(x)<0,/(%)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(lnj,+8)時，f(x)>0,/(x)單調(diào)遞增。

綜上所述：當(dāng)a40時，/(%)單調(diào)遞減;

當(dāng)Q>0時，，當(dāng)工€(-8，ln/),/(x)單調(diào)遞減；當(dāng)％€(ln(,+8),/(%)單調(diào)遞增。

(2)要證當(dāng)。>0時，f(%)>21na+/只需證/(切而九>21na+怖，

2

由(1)知/(第)7n譏=f(ln,)=1+M+Ina,即證1+a+Ina>21na+

=當(dāng)。>0時，/一比。-；Ao恒成立，

令g(a)=a2—Ina—；，則只需證。(。)抽譏>

^(a)=2a-1.易知g'(a)單調(diào)遞增,且［窗=0,

所以當(dāng)ae(0,電)時，g'(a)<0,此時g(a)單調(diào)遞減；

當(dāng)+00)時，g'(a)>0,此時g(a)單調(diào)遞增。

所以"JI)=1+ln2-1=ln2>0.

\/min

綜上所述，當(dāng)a>0時，/(x)>21na4-1

【知識點】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性：函數(shù)在某點取得極值的條件

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意，分類討論a的常規(guī)正負(fù)三種分類情形，結(jié)合基本函數(shù)單調(diào)性與求導(dǎo)分析

即得答案。

(2)將條件轉(zhuǎn)化為恒成立問題，求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性得出極值。

試題分析部分

1、試卷總體分布分析

總分：92分

客觀題（占比）42.0(45.7%)

分值分布

主觀題（占比）50.0(54.3%)

客觀題（占比）21(70.0%)

題量分布

主觀題（占比）9(30.0%)

2、試卷題量分布分析

大題題型題目量（占比）分值（占比）

選擇題20(66.7%)40.0(43.5%)

填空題6(20.0%)12.0(13.0%)

解答題4(13.3%)40.0(43.5%)

3、試卷難度結(jié)構(gòu)分析

序號難易度占比

1普通(50.0%)

2容易(30.0%)

3困難(20.0%)

4、試卷知識點分析

序號知識點（認(rèn)知水平）分值（占比）對應(yīng)題號

1補集及其運算6.0(6.5%)7,11,18

2一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系10.0(10.9%)29

3奇函數(shù)12.0(13.0%)14,29

4塞函數(shù)的圖象與性質(zhì)2.0(2.2%)13

5集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題2.0(2.2%)21

6復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性2.0(2.2%)24

7指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)