高一數(shù)學(xué)-必修一復(fù)習(xí)資料

第一章

§1.1集合

1.關(guān)于集合的元素的特征

(1)確定性(組成元素不確定的如：我國的小河流)

(2)互異性

(3)無序性

集合相等：構(gòu)成兩個(gè)集合的元素完全一樣

(1)若集合A中的元素與集合B中的元素完全相同則稱集合A等于集合B,記作

A=B.

(2)A=3,8=AoA=8

例：已知A={l,l+d,l+2d},B={1,q,q2},若A=B,求的，d,q的值。

解：d=—q=一：

2.元素與集合的關(guān)系；

(1)如果a是集合A的元素，就說a屬于(belongto)A,記作a@A

(2)如果a不是集合A的元素，就說a不屬于(notbelongto)A,記

作agA

子集與真子集：如果集合A中的每一個(gè)元素都是集合B中的元素，那么集合

A叫做集合B的子集，記作ARB或3衛(wèi)A.

若集合P中存在元素不是集合Q的元素，那么P不包含于Q,或Q不包含

P.記作

PUQ

若集合A是集合B的子集，且B中至少有一個(gè)元素不屬于A,那么集合A叫

做集合B的真子集.Au8或3nA.

子集與真子集的性質(zhì)：傳遞性：若Ac3,B匚C,則

空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真導(dǎo)集.

3.常用數(shù)集及其記法

非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)，記作N

正整數(shù)集，記作N*或N+；

整數(shù)集，記作Z

有理數(shù)集，記作Q

實(shí)數(shù)集，記作R

4.集合的表示方法

(1)列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)。

如：{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2},???；

(2)描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號位內(nèi)。

具體方法：在大括號內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號及取值(或

變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共

同特征。

2

如口『3〉2),依,川產(chǎn)1劃，值角三觥},?1?；

(3)自然黯麟法:小于10糊商E憾毓糠合。((2,4,0))

%L(1,3,5,7,魏艦斯露力法拓?2、用物舉法表示

集倒邛川1。＜8}

料(1)由I集合!Ha,b,c忡的三忻獨(dú)械某一三般的三條逐

股此三角形一好是()

A直角三觸B觸三翩C就三翩D等虹翻

5臬合同的基本運(yùn)#

并集(U)：速觸牖鼾集合盛鼾齡B的施毓糠合,成

為集合A與B的并兔記作AUB,肌

嫖(n)：一嬲,由鼾集合A且鼾集合B的牖瀛毓的

黔稱為A與B般集,記作AflB,Q：

神工巾“肌必韋噩蝦：

5、改A=kH*2},B=(x|Kx<3}^AUB.

6、集鈿邛|/Z},8二側(cè)?”},軀ns二

7、改總x［加+川p2-4q>0},A={l,3,5,7,91,8=(1,4,7,10),且

XflA=0,XOB=X,琳p、q；

8、己「集合Ha+2,(a+1)2,a+3a+3},IIGA,假教a的信

9、改案合A={x|f-5x+6=0),B=(ximx+l=0},AUB=A,求實(shí)教m雌如成

的集合。

10、集合A陽卜2K2,xGR},B=My=YTG&h11cl(AflB)等

于()

A.RB.{x|x￡R,xWO}C.{0)D,0(空胤

lh己燉,b)cA,且A為{a,b,c,d,捕真子集,嵋足霜糠合A

m0

12、Mf(x)=lg(2x-3)的定義域腺合Y,由費(fèi)g(x)=Ri定

\X-l

始為集合N,茄⑴集合kN；(2)集合mflNJUN

13、改集合國川mKU,B=k|f-5x+4冽，若AO%般教a

的取豌國是0

§1.2函數(shù)

函數(shù)概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對

于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，

那么就稱f：A-B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)。

記作：y=f(x),xGA.

其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)

的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x?A}叫做函數(shù)的值域.

構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域

區(qū)間：(1)、開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；(2)、無窮區(qū)間；區(qū)間的數(shù)

軸表示

例1：已知函數(shù)f(x)=Jx+3+—1—,求函數(shù)的定義域。

x+2

例2：設(shè)一個(gè)矩形周長為80,其中一邊長為x,求它的面積關(guān)于x的函數(shù)的解析

式，并寫出定義域。

函數(shù)的定義域小結(jié)：

(1)如果f(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R.

(2)如果f(x)是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實(shí)數(shù)的集

合

(3)如果f(x)是二次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等

于零的實(shí)數(shù)的集合.

(4)如果f(x)是由幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)定義域是使各部

分式子都有意義的實(shí)數(shù)集合.(即求各集合的交集)

(5)滿足實(shí)際問題有意義.

例3：下列函數(shù)中哪個(gè)與函數(shù)y=x相等？

(1)y=(v'x)2;(2)y=(\ix3);

,—v-2

(3)y=y[x^;(4)y=—

x

練習(xí)：1.求下列函數(shù)的定義域

⑴丫士十《11

(2)丫=乂,國9

J1T

(3)已知f(x)的定義域?yàn)?求函數(shù)F(x)=f(1—x)+f(i)的

定義域。

2.已知A={1,2,3,k},B={4,7,a,a2+3a},aGN*,x@A,yGB,f：x一

y=3x+l是從定義域A到值域B的一個(gè)函數(shù)，求a,k,A,B。

解：a=2,k=5,A={1,2,3,5},B={4,7,16,10}

5

映射：一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對應(yīng)法則了,

使對于集合A中的任意一個(gè)元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng),

那么就稱對應(yīng)/：A-B為從集合A到集合B的一個(gè)映射.

記作“/：A-B”

說明：

(1)這兩個(gè)集合有先后順序，A到B的映射與B到A的映射是截然不同的，其

中了表示具體的對應(yīng)法則，可以用多種形式表述.

(2)“都有唯一”包含兩層意思：一是必有一個(gè)；二是只有一個(gè)，也就是說有

且只有一個(gè)的意思.

例：1.已知A={x,y},B={a,b,c},從集合A到集合B的所有不同的映射有()

個(gè)。

2.已知A={x,y},B={a,b,c},從集合B到集合A的所有不同的映射有()

個(gè)。

函數(shù)的表示方法：解析法、列表法、圖像法

練習(xí)：1.已知f(x—2)=2x2—9x+13,求f(x)---配湊法

答案：f(x)=2x2-x+3

2

2.已知f(v區(qū)+1)=x+2vx?求f(x+1),f(x)——換元法

答案：f(x+1)=X2+2X,(X》0)；f(x2)=x-L(xW—1或x2l)

3.已知f(x)是一次函數(shù)，且有(x)]=9x+8,求f(x)--待定系數(shù)法

答案：f(x)=3x+2或f(x)=-3x-4

4.設(shè)f(x)滿足關(guān)系式f(x)+2f(-)=3x,求f(x)--消元法

X

答案：f(x)=-—x,x￡{x|x￡R,xWO}

x

6.已知xWO,函數(shù)f(x)滿足f(x—二)=X2+A,則f(x)的表達(dá)式為()

Xx2

A.f(x)=x+-B.f(x)=X2+2C.f(x)=x2D.f(x)=(x—i)2

XX

7.已知函數(shù)f(x)4Z3，-，那么f⑸的值為()

A.32B.16C.8D.64

8.若函數(shù)f(2x+l)x2-2x,則f(3)=()

9.已知函數(shù)f(x)則f(1)+f(2)+fG)+f(3)+f(1)+

14-r223

f(4)+f(工)的值為o

4

10.已知f(-+1)=lgx,求f(x)

11.已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+l,求f(x)

12.定義在(一1,1)內(nèi)的函數(shù)f(x)滿足：2f(x)—f(—x)=lg(x+1),

求函數(shù)f(x)的解析式.

6

§1.3函數(shù)的基本性質(zhì)

增函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果對于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)

間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量％,X2,當(dāng)xKx?時(shí)，都有f(xj<f(x2),那么就說f(x)

在區(qū)間D上是增函數(shù)。

注意：

(1)函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；

(2)必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量Xi,X2；當(dāng)x《X2時(shí)，總有f(x)〈f區(qū)).

減函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果對于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)

間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x“x”當(dāng)x《X2時(shí)，都有f(xj>f(x。，那么就說f(x)

在區(qū)間D上是減函數(shù)。

函數(shù)的單調(diào)性定義：

如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這

一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。

例1：物理學(xué)中的玻意耳定律P=2(k為正常數(shù))告訴我們，對于一定量的氣體,

V

當(dāng)其體積V減少時(shí)，壓強(qiáng)P將增大。試用函數(shù)的單調(diào)性證明之。(設(shè)％>V2>0)

判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟：

利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：

①任取Xi，X2GD,且X《X2；

②作差f(xj—f(xD;

③變形(通常是因式分解和配方)；

④定號(即判斷差f(xj—f(X2)的正負(fù))；

⑤下結(jié)論(即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性).

練習(xí)：

1、用函數(shù)單調(diào)性的定義證明f(x)=X+NE(、2，+°°)上是增函數(shù)。

X

2、若3*—5,成立,則()

A、x+y>0B、x+y<0C、x+y》OD、x+yWO

3、函數(shù)yWogf/z(4+3x-x2)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(—8,3)B.邑+8)c.(-1,3)D.4)

2222

4.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,2)上為增函數(shù)的是()

A.y=—x+1B.y=y/xC.y=x2—4x+5D.y=-

5.函數(shù)f(x)=-J—(xER)的值域是()

A.(0,1)B,(0,1]C.[0,1)D.[0,1]

6.已知函數(shù)f(x)ax2+2ax+l,x￡[—3,2]的最大值為4,求其最小值.

7

函數(shù)的奇偶性和周期性：

函數(shù)的奇偶性定義：

1.偶函數(shù)：

一般地，對于函數(shù)/(X)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)X,都有/(-x)=/(x),那么/(X)

就叫做偶函數(shù).(學(xué)生活動)依照偶函數(shù)的定義給出奇函數(shù)的定義.

2.奇函數(shù):

一般地，對于函數(shù)/(X)的定義域的任意一個(gè)X,都有/(-X)=-/(x),那么/(X)

就叫做奇函數(shù).

注意：

①函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性

質(zhì)；

②由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對于定義域

內(nèi)的任意一個(gè)X,則-X也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對

稱).

3.具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征：

偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.

練習(xí)：

1.已知函數(shù)f(x)是定義在(一8,4-00)上的偶函數(shù)，當(dāng)X?(—8,0)時(shí),

f(x)=x—x4,則當(dāng)xG(0,+°°)時(shí)，f(x)=

2.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù).且在[0,+8)上為增函數(shù)，若

f(a)(2),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是：

3.函數(shù)f(x)對任意實(shí)數(shù)x滿足條件f(x+2),若f(1)=-5,則

f(X)

f(f(5))=

第二章基本初等函數(shù)

§2.1指數(shù)函數(shù)

一、指數(shù)和指數(shù)幕的運(yùn)算

1、n次方根的含義

一般地，若x"=a，則x叫做a的n次方根，其中n>1,且nwN*

2、n次方根的寫法

美丁海,[〃為奇數(shù)，。的〃次方根有一個(gè)，為窈

a為正數(shù):1一

〔〃為偶數(shù)，。的〃次方根有兩個(gè)，為士而

斗，石將/〃為奇數(shù)，a的〃次方根只有一個(gè)，為窈

〃為偶數(shù)，a的〃次方根不存在.

零的n次方根為零，記為皿=0

8

小結(jié)：正數(shù)的偶次方根有兩個(gè)，并且互為相反數(shù)；負(fù)數(shù)沒有偶次方根；零的任何次方根

為零。

【例1】寫出下列數(shù)的n次方根

(1)16的四次方根；(2)-27的五次方根；(3)9的六次方根

解：(1)土灑=±2

(2)_也7

(3)±6/9=±3/3

3、n次方根的性質(zhì)

歸納：n次方根的運(yùn)算性質(zhì)為

(1)(&)"=a

(2)n為奇數(shù)，底=a

n為偶數(shù)，^J7=\a\=［a，a-Q

-a,a<0

【例2］求下列各式的值

(1)(1)Q)?-10y(3)玳3-?？?4)J(a-b￥(a>b)

解：⑴玳-8)3=-8;

(2)7^i3f=|-iq=10；

(3)y(3*=3一九|=兀-3；

(4)=^i-b\=a-b.

［隨堂練習(xí)］

1.求出下列各式的值

⑴而歹(2對(3”(D(3)］(3」-33(a>l)

解：(1)，2>=-2；(2)=3a-3

(3)私3a—3尸=3?！?|=3a-3

【例3】：求值：

(1)J5+2、后+<7-473-,6-4、/1;

(2)273XVT5XV12

分析：(1)題需把各項(xiàng)被開方數(shù)變?yōu)橥耆椒叫问剑缓笤倮酶竭\(yùn)算性質(zhì)；

解：

9

(1乂5+2?+77-473-y!6-4。

22

=7(V3)+2V''3?V2+(72)+亞-2x2招+(4--百-2x2、叵+陋丫

=J((&+偽)2+"(2一揚(yáng)2_42—@2

=14+⑸+12-51-12-⑸

=x/3+v'2+2-^-(2-<12)

=2、/1

注意：此題開方后先帶E絕對值，然后根據(jù)正負(fù)去掉絕對值符號。

(2)273xVL5xV12

=2xjWx，X滓^

=2x療瓦

=2X6|33-1L-22-3

V22

=2x3=6

［隨堂練習(xí)］

2.若JQ2—2Q+1=Q-1,求〃的取值范圍。

解：。21

3?計(jì)算^7+玳3—2)4_玳2—/)3

解：-9+/

第一R

1、分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

規(guī)定：(1)、正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)鬲的意義為：

m

an=qam(a〉O,m,neN*)

正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義與負(fù)整數(shù)幕的意義相同.

m［

即：?"=—(?>O,m,?eiV*)

an

(2),0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)鬲等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)鬲無意義.

2、分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)

整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)，對于分?jǐn)?shù)指數(shù)幕同樣適用，即：

(1)ar-as=ar+s(〃>。，八seQ)

(2)(ar)s=ars(a>。，八s￡Q)

(3)(aby=arbr(a>Qb>0,reQ)

10

3、無理指數(shù)幕

思考：若。>0,P是一個(gè)無理數(shù)，則4。該如何理解？

自主學(xué)習(xí)：學(xué)生閱讀教材第62頁中的相關(guān)內(nèi)容

歸納得出：。的不足近似值，從由小于。的方向逼近一，戶的過剩近似值從大于

0的方向逼近虎。所以，當(dāng)也不足近似值從小于&的方向逼近時(shí)，5衣的近似值

從小于5"的方向逼近5戶.

當(dāng)F的過剩似值從大于F的方向逼近"時(shí)，5"的近似值從大于5度的方向逼近

51,(如課本圖所示)所以，5#是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).

總結(jié)：一般來說，無理數(shù)指數(shù)幕M(a〉0，0是一個(gè)無理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，有理數(shù)

指數(shù)幕的性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)幕.這樣幕的性質(zhì)就推廣到了實(shí)數(shù)范圍

ar-as=ar+\a>Q,r&R,seR)

(arX=ars(a>Q,r&R,s&R)

(a-b)'=arbr(a〉0,rwR)

練習(xí)：

［輕松過關(guān)］

1、下列式子中計(jì)算正確的是(D)

A。)=%24BG)=X，CX3?x2=x6J=9a4

2下列式子中計(jì)算正確的有(A)

(1)aJ_J=J-a；(2)ylyl^/a=a"(3)+b~^=a+a1

A0B1C2D3

3、(/2>.(/2)3的值是(B)

A2B2'?€272D8

4、下列說法正確的是(C)

A5應(yīng)無意義B5"〉25C5141<5^<5142D5^<5

5、用計(jì)算器算10Q-101414=0.0128;(保留4個(gè)有效數(shù)字)

1

6、已知小+°F=3，則a+cT=7;

7、計(jì)算尸(加薩戶:91002的值

111

解：原式=戶10T

［適度拓展］

3

8、化簡：jQ+e-)-4+jG_0-3)+4(e=2.718)

11

3

解：原式二/一0—3|+/+4=26

9.已知Q+Q-1=3,求JQ3+〃-3的值

解原式二3J2，提不：a3+a~3=(a+a~1\a2-a-a~x)

［綜合提高］

10.已知：a=2j7,b=5F,

34

求—必_上的值

「3_14￡三

骨歹-6ak+9廬公+3官

33_1432

22

解:由a^b--6a^b~+9b~=-3b~)，

3532

又l<a<b,：.a~<。<3於，從而得i<3必，

310310

..原式二於一9廬b9/b2

23-3r―5-3r

3b3-a~bla~+3Z?^3/?W-Q”/+3分

310

(a5-9b~)b2

103=_62=_(5、Q)2=_50.

9b~-a~

二、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

定義：一般地，函數(shù)y=優(yōu)（。>0且a。1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的

當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)的圖象為：

12

圖象特征函數(shù)性質(zhì)

a>10<a<1a>10<a<1

向X軸正負(fù)方向無限延伸函數(shù)的定義域?yàn)镽

圖象關(guān)于原點(diǎn)和y軸不對稱非奇非偶函數(shù)

函數(shù)圖象都在X軸上方函數(shù)的值域?yàn)镽+

函數(shù)圖象都過定點(diǎn)(0,1)a°=l

自左向右，自左向右，

增函數(shù)減函數(shù)

圖象逐漸上升圖象逐漸下降

在第一象限內(nèi)的圖在第一象限內(nèi)的圖

x>0,ax>1x>0,ax<1

象縱坐標(biāo)都大于1象縱坐標(biāo)都小于1

在第二象限內(nèi)的圖在第二象限內(nèi)的圖

x<0,ax<1x<0ax>1

象縱坐標(biāo)都小于1象縱坐標(biāo)都大于1f

利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：

(工)在1㈤上,/(公=優(yōu)(。>0且OH1)值域是"(a)J(b)］或"3),/3)］；

(2)若xw0,則/(x)w1"(x)取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)xeR;

(3)對于指數(shù)函數(shù)/(%)=優(yōu)(。>0且。)，總有/⑴=a;

(4)當(dāng)a>1時(shí)，若/v%，則f(xj</(%2)；

練習(xí)：

1、函數(shù)f(x)=(：廣的定義域和值域分別是多少？xeR,y〉0

2、當(dāng)xe［-LU時(shí)屈數(shù)f(x)=3x—2的值域是多少？(-g，1)

13

§2.2對數(shù)函數(shù)

對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算

對數(shù)：一般地，若優(yōu)=NQ〉0,且。w1),那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記

作x=log“N

a叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù).

2、對數(shù)式與指數(shù)式的互化

在對數(shù)的概念中，要注意：

(1)底數(shù)的限制。＞0,且“1

(2)優(yōu)=N=3N=x

指數(shù)式0對數(shù)式

幕底數(shù)一。一對數(shù)底數(shù)

指數(shù)-X-對數(shù)

幕一N-真數(shù)

恒等式：小”=N

負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)。

Logal=0;logaa=l

兩類對數(shù)：

①以10為底的對數(shù)稱為常用對數(shù),log］。N常記為lgN.

②以無理數(shù)e=Z71828…為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，log,N常記為InN.

例：求下列各式中X的值

2、

x=*2

(1)log64(2)logx8=6(3)IglOO=x(4)-Ine=x

分析：將對數(shù)式化為指數(shù)式，再利用指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)求出x.

_2_2,,_21

解：(1)x=(64)=(43)^=4，=4~~=—

1111_

(2).=8,所以(%6戶=(81=(23戶=21=。

(3)10*=100=102,于是％=2

(4)由一Ine?=無，得一x=lne2,即=e?,所以x=—2

對數(shù)的運(yùn)算

運(yùn)算性質(zhì)：

,果。〉0，且awl,〃〉0,N〉0,那么：

@log“(M?N)=logflM+logflN;

M

2log“獷=log”/-bg〃N；

14

3log。Mn-nlog”M(ne7?).

換底公式

log01=bgJ(tz>0,且awl；c>0,且cwl;Z?>0).

logca

證明：設(shè),所以x因?yàn)閤所以

ax=blogca=logcb,logca=xlogca;

x

X=logca/logca=logcb/logca=logab

換底公式推論

1n

()log,b=—loga^;

m

(2)logab=—^--.

log；,a

對數(shù)函數(shù)的圖象

(i)y=log2x

(2)y=logi%

2

(3)y=iog3%

(4)y=iog]X

3

圖象特征函數(shù)性質(zhì)

a>10<a<1a>10<a<1

函數(shù)圖象都在y軸右側(cè)函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+8）

圖象關(guān)于原點(diǎn)和y軸不對稱非奇非偶函數(shù)

向y軸正負(fù)方向無限延伸函數(shù)的值域?yàn)镽

函數(shù)圖象都過定點(diǎn)（1,1）r=i

自左向右看，自左向右看，

增函數(shù)減函數(shù)

圖象逐漸上升圖象逐漸下降

第一象限的圖象第一象限的圖象

x>1,logx>00<x<1,logx>0

縱坐標(biāo)都大于0縱坐標(biāo)都大于0a

第二象限的圖象第二象限的圖象

0<x<1,logx<0x>1,logq%<。

縱坐標(biāo)都小于0縱坐標(biāo)都小于0a

15

§2.3幕函數(shù)

定義：一般地，形如y=心（％￡R）的函數(shù)稱為鬲孫函數(shù)，其中％是自變量，a是常

數(shù).

1_1

如y=%2,y=爐,y=x-4等都是幕函數(shù)，幕函數(shù)與指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)一樣，都是

基本初等函數(shù).

五種基本黑函數(shù)：

1

3

y=xy=/y=x2y=x-1

-By=x

定義域RRR(X1A：>0}{x1xw0}

奇偶性奇奇奇非奇非偶奇

在第I象限在第I象限在第I象限在第I象限在第I象限在第I象限

單調(diào)增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞減

定點(diǎn)(1.1)(1,1)(1.1)(1.1)(1,1)

幕函數(shù)性質(zhì)：

（1）所有的幕函數(shù)在（0,+8）都有定義，并且圖象都過點(diǎn)（1,1）（原因：P=1）;

（2）X>0時(shí)，幕函數(shù)的圖象都通過原點(diǎn)，并且在［0,+8］上,是增函數(shù)（從左

往右看，函數(shù)圖象逐漸上升）.

特別地，當(dāng)X>1,時(shí)，X￡（0,l）,丁二好的圖象都在,二彳圖象的下方，

形狀向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因嗎？）

當(dāng)Navi時(shí)，XW（0,1）,y=f的圖象都在y=x的圖象上方，形狀向上凸，

a越小，上凸的程度越大（你能說出原因嗎？）

16

(3)av0時(shí)，幕函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù).

在第一家限內(nèi)，當(dāng)x向原點(diǎn)靠近時(shí)，圖象在y軸的右方無限逼近y軸正半軸，當(dāng)x

慢慢地變大時(shí)，圖象在％軸上方并無限逼近x軸的正半軸.

例題：

證明幕函數(shù)="在［0,+8］上是增函數(shù)

證：任取X19X2￡[0,+OO),且巧V42則

/(%)-/(冗2)二內(nèi)-厄

_Xr-x2

五十口

因-%2V。，+J^2>0

所以/(占)</(%2),即/(%)=6在[0,+◎上是增函數(shù).

17

第三章函數(shù)的應(yīng)用

§3.1函數(shù)與方程

零點(diǎn)定義：對于函數(shù)y=/(x)(xeD),把使于(x)=0成立的實(shí)數(shù)X