專題06 分式及應(yīng)用的核心知識(shí)點(diǎn)精講（解析版）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（全國(guó)通用）

專題06分式及應(yīng)用的核心知識(shí)點(diǎn)精講1.了解分式、分式方程的概念，進(jìn)一步發(fā)展符號(hào)感．2．熟練掌握分式的基本性質(zhì)，會(huì)進(jìn)行分式的約分、通分和加減乘除四則運(yùn)算，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力與代數(shù)恒等變形能力．3．能解決一些與分式有關(guān)的實(shí)際問題，具有一定的分析問題、解決問題的能力和應(yīng)用意識(shí)．【題型1：分式方程及其解法】【典例1】（2023?涼山州）解方程：＝．【答案】x＝2．【解答】解：去分母得：x（x﹣1）＝2，去括號(hào)得：x2﹣x＝2，移項(xiàng)得：x2﹣x﹣2＝0，∴（x﹣2）（x+1）＝0，∴x＝2或x＝﹣1，將x＝2代入原方程，原方程左右相等，∴x＝2是原方程的解．將x＝﹣1代入，使分母為0，∴x＝﹣1是原方程的增根，∴原方程的解為：x＝21．（2023?山西）解方程：．【答案】x＝．【解答】解：由題意得最簡(jiǎn)公分母為2（x﹣1），∴原方程可化為：2+2x﹣2＝3．∴x＝．檢驗(yàn)：把x＝代入2（x﹣1）＝1≠0，且原方程左邊＝右邊．∴原方程的解為x＝．2．（2023?陜西）解方程：．【答案】x＝﹣．【解答】解：原方程兩邊同乘x（x+5）去分母得：2x2﹣x（x+5）＝（x+5）2，去括號(hào)得：2x2﹣x2﹣5x＝x2+10x+25，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：﹣15x＝25，解得：x＝﹣，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝﹣是分式方程的解，故原方程的解為：x＝﹣．3．（2022?眉山）解方程：＝．【答案】x＝4．【解答】解：＝，方程兩邊同乘（x﹣1）（2x+1）得：2x+1＝3（x﹣1），解這個(gè)整式方程得：x＝4，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝4時(shí)，（x﹣1）（2x+1）≠0，∴x＝4是原方程的解．4．（2022?西寧）解方程：﹣＝0．【答案】x＝7．【解答】解：方程兩邊同乘以x（x+1）（x﹣1）得：4（x﹣1）﹣3（x+1）＝0．去括號(hào)得：4x﹣4﹣3x﹣3＝0，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：x＝7．檢驗(yàn)：當(dāng)x＝7時(shí)，x（x+1）（x﹣1）≠0，∴x＝7是原方程的根．∴x＝7．【題型2：分式方程的應(yīng)用】 【典例2】（2023?通遼）某搬運(yùn)公司計(jì)劃購(gòu)買A，B兩種型號(hào)的機(jī)器搬運(yùn)貨物，每臺(tái)A型機(jī)器比每臺(tái)B型機(jī)器每天少搬運(yùn)10噸貨物，且每臺(tái)A型機(jī)器搬運(yùn)450噸貨物與每臺(tái)B型機(jī)器搬運(yùn)500噸貨物所需天數(shù)相同．（1）求每臺(tái)A型機(jī)器，B型機(jī)器每天分別搬運(yùn)貨物多少噸？（2）每臺(tái)A型機(jī)器售價(jià)1.5萬元，每臺(tái)B型機(jī)器售價(jià)2萬元，該公司計(jì)劃采購(gòu)兩種型號(hào)機(jī)器共30臺(tái)，滿足每天搬運(yùn)貨物不低于2880噸，購(gòu)買金額不超過55萬元，請(qǐng)幫助公司求出最省錢的采購(gòu)方案．【答案】（1）每臺(tái)A型機(jī)器每天搬運(yùn)貨物90噸，每臺(tái)B型機(jī)器每天搬運(yùn)貨物100噸；（2）購(gòu)買A型機(jī)器12臺(tái)，B型機(jī)器18臺(tái)時(shí)，購(gòu)買總金額最低是54萬元．【解答】解：（1）設(shè)每臺(tái)A型機(jī)器每天搬運(yùn)貨物x噸，則每臺(tái)B型機(jī)器每天搬運(yùn)貨物（x+10）噸，由題意得：，解得：x＝90，當(dāng)x＝90時(shí)，x（x+10）≠0，∴x＝90是分式方程的根，∴x+10＝90+10＝100，答：每臺(tái)A型機(jī)器每天搬運(yùn)貨物90噸，每臺(tái)B型機(jī)器每天搬運(yùn)貨物100噸；（2）設(shè)購(gòu)買A型機(jī)器m臺(tái)，購(gòu)買總金額為w萬元，由題意得：，解得：10≤m≤12，w＝1.5m+2（30﹣m）＝﹣0.5m+60；∵﹣0.5＜0，∴w隨m的增大而減小，∴當(dāng)m＝12時(shí)，w最小，此時(shí)w＝﹣0.5×12+60＝54，∴購(gòu)買A型機(jī)器12臺(tái)，B型機(jī)器18臺(tái)時(shí)，購(gòu)買總金額最低是54萬元．1．（2023?長(zhǎng)春）隨著中國(guó)網(wǎng)民規(guī)模突破10億，博物館美育不斷向線上拓展．敦煌研究院順勢(shì)推出數(shù)字敦煌文化大使“伽瑤”，受到廣大敦煌文化愛好者的好評(píng)．某工廠計(jì)劃制作3000個(gè)“伽瑤”玩偶擺件，為了盡快完成任務(wù)，實(shí)際平均每天完成的數(shù)量是原計(jì)劃的1.5倍，結(jié)果提前5天完成任務(wù)，問原計(jì)劃平均每天制作多少個(gè)擺件？【答案】200個(gè)擺件．【解答】解：設(shè)原計(jì)劃平均每天制作x個(gè)擺件，根據(jù)題意，得，解得x＝200，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝200是原方程的根，且符合題意，答：原計(jì)劃平均每天制作200個(gè)擺件．2．（2023?寧夏）“人間煙火味，最撫凡人心”，地?cái)偨?jīng)濟(jì)、小店經(jīng)濟(jì)是就業(yè)崗位的重要來源．某經(jīng)營(yíng)者購(gòu)進(jìn)了A型和B型兩種玩具，已知用520元購(gòu)進(jìn)A型玩具的數(shù)量比用175元購(gòu)進(jìn)B型玩具的數(shù)量多30個(gè)，且A型玩具單價(jià)是B型玩具單價(jià)的1.6倍．（1）求兩種型號(hào)玩具的單價(jià)各是多少元？根據(jù)題意，甲、乙兩名同學(xué)分別列出如下方程：甲：＝+30，解得x＝5，經(jīng)檢驗(yàn)x＝5是原方程的解．乙：＝1.6×，解得x＝65，經(jīng)檢驗(yàn)x＝65是原方程的解．則甲所列方程中的x表示B型玩具的單價(jià)，乙所列方程中的x表示A型玩具的數(shù)量（2）該經(jīng)營(yíng)者準(zhǔn)備用1350元以原單價(jià)再次購(gòu)進(jìn)這兩種型號(hào)的玩具共200個(gè)，則最多可購(gòu)進(jìn)A型玩具多少個(gè)？【答案】（1）B型玩具的單價(jià)；A型玩具的數(shù)量；（2）116個(gè)．【解答】解：（1）根據(jù)所列方程即可知，甲所列方程中的x表示B型玩具的單價(jià)；乙所列方程中的x表示A型玩具的數(shù)量；故答案為：B型玩具的單價(jià)；A型玩具的數(shù)量；（2）設(shè)可購(gòu)進(jìn)A型玩具a個(gè)，則B型玩具（200﹣a）個(gè)，根據(jù)題意得：8a+5（200﹣a）≤1350，a≤116，∴整數(shù)a最大值是116，答：最多可購(gòu)進(jìn)A型玩具116個(gè)3．（2023?黑龍江）2023年5月30日上午9點(diǎn)31分，神舟十六號(hào)載人飛船在酒泉發(fā)射中心發(fā)射升空．某中學(xué)組織畢業(yè)班的同學(xué)到當(dāng)?shù)仉娨暸_(tái)演播大廳觀看現(xiàn)場(chǎng)直播，學(xué)校準(zhǔn)備為同學(xué)們購(gòu)進(jìn)A，B兩款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元購(gòu)進(jìn)A款和用400元購(gòu)進(jìn)B款的文化衫的數(shù)量相同．（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？（2）已知畢業(yè)班的同學(xué)一共有300人，學(xué)校計(jì)劃用不多于14800元，不少于14750元購(gòu)買文化衫，求有幾種購(gòu)買方案？（3）在實(shí)際購(gòu)買時(shí)，由于數(shù)量較多，商家讓利銷售，A款七折優(yōu)惠，B款每件讓利m元，采購(gòu)人員發(fā)現(xiàn)（2）中的所有購(gòu)買方案所需資金恰好相同，試求m值．【答案】（1）A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；（2）共有6種購(gòu)買方案；（3）m＝5．【解答】解：（1）設(shè)B款文化衫每件x元，則A款文化衫每件（x+10）元，根據(jù)題意得：＝，解得：x＝40，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝40是所列方程的解，且符合題意，∴x+10＝40+10＝50．答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；（2）設(shè)購(gòu)買y件A款文化衫，則購(gòu)買（300﹣y）件B款文化衫，根據(jù)題意得：，解得：275≤y≤280，又∵y為正整數(shù)，∴y可以為275，276，277，278，279，280，∴共有6種購(gòu)買方案；（3）設(shè)購(gòu)買300件兩款文化衫所需總費(fèi)用為w元，則w＝50×0.7y+（40﹣m）（300﹣y）＝（m﹣5）y+300（40﹣m），∵（2）中的所有購(gòu)買方案所需資金恰好相同，∴w的值與y值無關(guān)，∴m﹣5＝0，∴m＝5．答：m的值為5．4．（2023?瀘州）端午節(jié)是中國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日，人們有吃粽子的習(xí)俗．今年端午節(jié)來臨之際，某商場(chǎng)預(yù)測(cè)A粽子能夠暢銷．根據(jù)預(yù)測(cè)，每千克A粽子節(jié)前的進(jìn)價(jià)比節(jié)后多2元，節(jié)前用240元購(gòu)進(jìn)A粽子的數(shù)量比節(jié)后用相同金額購(gòu)進(jìn)的數(shù)量少4千克．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）該商場(chǎng)節(jié)后每千克A粽子的進(jìn)價(jià)是多少元？（2）如果該商場(chǎng)在節(jié)前和節(jié)后共購(gòu)進(jìn)A粽子400千克，且總費(fèi)用不超過4600元，并按照節(jié)前每千克20元，節(jié)后每千克16元全部售出，那么該商場(chǎng)節(jié)前購(gòu)進(jìn)多少千克A粽子獲得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【答案】（1）10元；（2）該商場(chǎng)節(jié)前購(gòu)進(jìn)300千克A粽子獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是3000元．【解答】解：（1）設(shè)該商場(chǎng)節(jié)后每千克A粽子的進(jìn)價(jià)為x元，根據(jù)題意，得，解得x＝10或x＝﹣12（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，x＝10是原分式方程的根，且符合題意，答：該商場(chǎng)節(jié)后每千克A粽子的進(jìn)價(jià)是10元；（2）設(shè)該商場(chǎng)節(jié)前購(gòu)進(jìn)m千克A粽子，總利潤(rùn)為w元，根據(jù)題意，得12m+10（400﹣m）≤4600，解得m≤300，w＝（20﹣12）m+（16﹣10）（400﹣m）＝2m+2400，∵2＞0，∴w隨著m增大而增大，當(dāng)m＝300時(shí)，w取得最大值，最大利潤(rùn)為2×300+2400＝3000（元），答：該商場(chǎng)節(jié)前購(gòu)進(jìn)300千克A粽子獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是3000元．【題型3：與分式方程的解有關(guān)的問題】【典例3】（2023?黑龍江）已知關(guān)于x的分式方程+1＝的解是非負(fù)數(shù)．則m的取值范圍是（）A．m≤2 B．m≥2 C．m≤2且m≠﹣2 D．m＜2且m≠﹣2【答案】C【解答】解：分式方程去分母得：m+x﹣2＝﹣x，解得：x＝，由分式方程的解是非負(fù)數(shù)，得到≥0，且﹣2≠0，解得：m≤2且m≠﹣2，故選：C1．（2023?齊齊哈爾）如果關(guān)于x的分式方程的解是負(fù)數(shù)，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．m＜﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1且m≠﹣2【答案】D【解答】解：將分式方程兩邊同乘（x+1），去分母可得：2x﹣m＝x+1，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：x＝m+1，∵原分式方程的解是負(fù)數(shù)，∴m+1＜0，且m+1+1≠0，解得：m＜﹣1且m≠﹣2，故選：D．2．（2023?淄博）已知x＝1是方程的解，那么實(shí)數(shù)m的值為（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【答案】B【解答】解：將x＝1代入方程，得：﹣＝3，解得：m＝2．故選：B．3．（2023?巴中）關(guān)于x的分式方程+＝3有增根，則m＝﹣1．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：方程兩邊同乘（x﹣2）得：x+m﹣1＝3（x﹣2），由題意得：x＝2是該整式方程的解，∴2+m﹣1＝0，解得：m＝﹣1，故答案為：﹣1．1．（2023秋?樂亭縣期中）解方程去分母，兩邊同乘（x﹣1）后的式子為（）A．1﹣2＝﹣3x B．1﹣2（x﹣1）＝﹣3x C．1﹣2（1﹣x）＝﹣3x D．1﹣2（x﹣1）＝3x【答案】B【解答】解：解方程去分母，兩邊同乘（x﹣1）后的式子為：1﹣2（x﹣1）＝﹣3x，故選：B．2．（2023秋?株洲期中）分式方程的解是（）A．x＝﹣9 B．x＝﹣6 C．x＝5 D．x＝﹣2【答案】A【解答】解：原方程去分母得：7（x+3）＝2（2x﹣3），去括號(hào)得：7x+21＝4x﹣6，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：3x＝﹣27，系數(shù)化為1得：x＝﹣9，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝﹣9是分式方程的解，故選：A．3．（2022秋?朔城區(qū)期末）若關(guān)于x的分式方程無解，則n＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．【答案】A【解答】解：，去分母，得x+x+2＝n﹣1，合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1，得，由題意可知，分式方程的增根為x＝﹣2，即有，解得n＝﹣1．故選：A．4．（2023秋?冷水灘區(qū)校級(jí)期中）2023年5月12日是我國(guó)第15個(gè)全國(guó)防災(zāi)減災(zāi)日，我校組織八年級(jí)部分同學(xué)進(jìn)行了兩次地震應(yīng)急演練，在優(yōu)化撤離方案后，第二次平均每秒撤離的人數(shù)比第一次的多15，結(jié)果2000名同學(xué)全部撤離的時(shí)間比第一次節(jié)省了240秒，若設(shè)第一次平均每秒撤離x人，則x滿足的方程為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：由題意得：＝+240，故選：A．5．（2022秋?天河區(qū)校級(jí)期末）已知關(guān)于x的方程有增根，則a的值為（）A．4 B．5 C．6 D．﹣5【答案】D【解答】解：∵方程有增根，∴x﹣5＝0，∴x＝5，，x＝3（x﹣5）﹣a，x＝3x﹣15﹣a，把x＝5代入整式方程解得a＝﹣5，故選：D．6．（2024?遼寧模擬）解分式方程時(shí)，將方程兩邊都乘同一個(gè)整式．得到一個(gè)一元一次方程，這個(gè)整式是（）A．x B．x﹣1 C．x（x+1） D．x（x﹣1）【答案】D【解答】解：將兩邊同時(shí)乘以x（x﹣1）即可得到一個(gè)一元一次方程，故選：D．7．（2022秋?五常市期末）若關(guān)于x的方程無解，則m的值為0或4．【答案】0或4．【解答】解：，2（2x+1）＝mx，4x+2＝mx，（4﹣m）x＝﹣2，∵方程無解，可分為以下兩種情況：①分式方程沒有意義時(shí)，x＝0或﹣，此時(shí)m＝0，②整式不成立時(shí)，4﹣m＝0，∴m＝4，故答案為：0或4．8．（2023秋?新田縣期中）甲，乙，丙三管齊開，12分鐘可以注滿全池，乙，丙，丁三管齊開，15分鐘可注滿全池．甲，丁兩管齊開，20分鐘注滿全池，如果是四管齊開，需要10分鐘可以注滿全池．【答案】10．【解答】解：設(shè)分別打開甲，乙，丙，丁四個(gè)進(jìn)水管，注滿全池所用的時(shí)間分別為a分鐘，b分鐘，c分鐘，d分鐘．根據(jù)題意得：，三式相加得：2（）＝，∴＝，則四管齊開，需要10分鐘可以注滿全池．故答案為：10．9．（2023秋?岱岳區(qū)期中）解方程：（1）；（2）．【答案】（1）x＝2；（2）無解．【解答】解：（1）去分母得：2x+1＝5x﹣5，解得：x＝2，經(jīng)檢驗(yàn)x＝2是分式方程的解；（2）去分母得：16+x2﹣4＝x2+4x+4，解得：x＝2，經(jīng)檢驗(yàn)x＝2是增根，分式方程無解．10．（2023秋?平南縣期中）今年杭州亞運(yùn)會(huì)期間，某商店用3000元購(gòu)進(jìn)一批亞運(yùn)會(huì)吉祥物，很快售完，第二次購(gòu)進(jìn)時(shí)，每個(gè)吉祥物的進(jìn)價(jià)提高了20%，同樣用3000元購(gòu)進(jìn)的數(shù)量比第一次少了10個(gè)．（1）求第一次購(gòu)進(jìn)的每個(gè)吉祥物的進(jìn)價(jià)為多少元？（2）若兩次購(gòu)進(jìn)的吉祥物售價(jià)均為96元，且全部售出，則該商店兩次購(gòu)進(jìn)吉祥物的總利潤(rùn)為多少元？【答案】（1）50元；（2）1700元．【解答】解：（1）設(shè)第一次每個(gè)的進(jìn)價(jià)為x元，則第二次進(jìn)價(jià)為（1+20%）x，根據(jù)題意得：，解得：x＝50，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝50是方程的解，且符合題意，答：第一次購(gòu)進(jìn)的每個(gè)吉祥物的進(jìn)價(jià)為50元；（2）70×（）﹣3000×2＝1700（元），答：該商店兩次購(gòu)進(jìn)吉祥物的總利潤(rùn)為1700元．11．（2023秋?南縣期中）《非機(jī)動(dòng)車管理辦法》規(guī)定：電動(dòng)自行車駕駛?cè)撕统俗藛T應(yīng)該戴安全頭盔．某商店用1600元購(gòu)進(jìn)一批電動(dòng)車頭盔，銷售發(fā)現(xiàn)供不應(yīng)求，于是，又用5400元再購(gòu)進(jìn)一批頭盔，第二批頭盔的數(shù)量是第一批的3倍，但單價(jià)比第一批貴10元．第一批頭盔進(jìn)貨單價(jià)多少元？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)第一批頭盔進(jìn)貨單價(jià)為x元，則第二批頭盔進(jìn)貨單價(jià)為（x+10）元，根據(jù)題意得：＝3×，解得：x＝80，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝80是所列方程的解，且符合題意．答：第一批頭盔進(jìn)貨單價(jià)為80元．12．（2023秋?興賓區(qū)期中）某公司接到制作15000件冰墩墩的訂單，為了盡快完成任務(wù)，該公司實(shí)際每天制作冰墩墩的件數(shù)是原計(jì)劃每天制作件數(shù)的1.5倍，結(jié)果提前10天完成任務(wù)．（1）求原計(jì)劃每天制作多少件冰墩墩？（2）該公司原計(jì)劃每天支付給工人的總工資是1000元，實(shí)際每天支付給工人的總工資比原計(jì)劃增長(zhǎng)了20%，完成任務(wù)后，該公司實(shí)際支付的工資與原計(jì)劃相比多還是少？多或者少的具體數(shù)額是多少？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)原計(jì)劃每天制作x件冰墩墩，則實(shí)際每天制作1.5x件冰墩墩，根據(jù)題意得：﹣＝10，解得：x＝500，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝500是所列方程的解，且符合題意．答：原計(jì)劃每天制作500件冰墩墩；（2）完成任務(wù)后，該公司原計(jì)劃支付的工資總額為1000×＝1000×30＝30000（元）；該公司實(shí)際支付的工資總額為1000×（1+20%）×＝1200×20＝24000（元）．∵24000＜30000，30000﹣24000＝6000（元），∴公司實(shí)際支付的工資比原計(jì)劃少了，少了6000元．答：該公司實(shí)際比原計(jì)劃少支付工資6000元．1．（2023秋?大渡口區(qū)校級(jí)期中）若關(guān)于x的方程有正整數(shù)解，且關(guān)于x的不等式組有且只有3個(gè)整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)a的和為﹣4．【答案】﹣4．【解答】解：方程的解為x＝，根據(jù)題意，得，解得a＜1，a為奇數(shù)且a≠﹣5．∵不等式的解集為﹣5≤x＜，且只有3個(gè)整數(shù)解，∴﹣3＜≤﹣2，解得﹣7＜a≤1．綜上：﹣7＜a＜1，a為奇數(shù)且a≠﹣5，∴a＝﹣3，﹣1．∵﹣3﹣1＝﹣4，∴符合條件的所有整數(shù)a的和為﹣4故答案為：﹣4．2．（2023秋?祁陽(yáng)縣期中）a為何值時(shí)，關(guān)于x的方程+＝無解？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由原方程得：2（x+2）+ax＝3（x﹣2），整理得：（a﹣1）x＝﹣10，（i）當(dāng)a﹣1＝0，即a＝1時(shí)，原方程無解；（ii）當(dāng)a﹣1≠0，原方程有增根x＝±2，當(dāng)x＝2時(shí)，2（a﹣1）＝﹣10，即a＝﹣4；當(dāng)x＝﹣2時(shí)，﹣2（a﹣1）＝﹣10，即a＝6，即當(dāng)a＝1，﹣4或6時(shí)原方程無解．（1）1﹣＝（2）﹣＝．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）去分母得：x2﹣25﹣x﹣5＝x2﹣5x，解得：x＝，經(jīng)檢驗(yàn)x＝是分式方程的解；（2）去分母得：3x+3﹣2x+2＝1，解得：x＝﹣4，經(jīng)檢驗(yàn)x＝﹣4是分式方程的解．3．（2023?新化縣模擬）某工廠對(duì)零件進(jìn)行檢測(cè)，引進(jìn)了檢測(cè)機(jī)器．已知一臺(tái)檢測(cè)機(jī)的工作效率相當(dāng)于一名檢測(cè)員的20倍．若用這臺(tái)檢測(cè)機(jī)檢測(cè)900個(gè)零件要比15名檢測(cè)員檢測(cè)這些零件少3小時(shí)．（1）求一臺(tái)零件檢測(cè)機(jī)每小時(shí)檢測(cè)零件多少個(gè)？（2）現(xiàn)有一項(xiàng)零件檢測(cè)任務(wù)，要求不超過7小時(shí)檢測(cè)完成3450個(gè)零件．該廠調(diào)配了2臺(tái)檢測(cè)機(jī)和30名檢測(cè)員，工作3小時(shí)后又調(diào)配了一些檢測(cè)機(jī)進(jìn)行支援，則該廠至少再調(diào)配幾臺(tái)檢測(cè)機(jī)才能完成任務(wù)？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)一名檢測(cè)員每小時(shí)檢測(cè)零件x個(gè)，由題意得：﹣＝3，解得：x＝5，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝5是分式方程的解，20x＝20×5＝100，答：一臺(tái)零件檢測(cè)機(jī)每小時(shí)檢測(cè)零件100個(gè)；（2）設(shè)該廠再調(diào)配a臺(tái)檢測(cè)機(jī)才能完成任務(wù)，由題意得：（2×100+30×5）×7+100a×（7﹣3）≥3450，解得：a≥2.5，∵a為正整數(shù)，∴a的最小值為3，答：該廠至少再調(diào)配3臺(tái)檢測(cè)機(jī)才能完成任務(wù)．4．（2022秋?代縣期末）為緩解忻州至太原段的交通壓力，促進(jìn)兩市經(jīng)濟(jì)發(fā)展．山西省委決定修建“太忻大道”，現(xiàn)“太忻大道”正在建設(shè)中．甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)計(jì)劃參與一項(xiàng)工程建設(shè)，甲隊(duì)單獨(dú)施工30天完成該項(xiàng)工程的，這時(shí)乙隊(duì)加入，兩隊(duì)還需同時(shí)施工15天，才能完成該項(xiàng)工程．（1）若乙隊(duì)單獨(dú)施工，需要多少天才能完成該項(xiàng)工程？（2）若甲隊(duì)參與該項(xiàng)工程施工的時(shí)間不超過36天，則乙隊(duì)至少施工多少天才能完成該項(xiàng)工程？【答案】（1）乙隊(duì)單獨(dú)施工，需要30天才能完成該項(xiàng)工程；（2）乙隊(duì)至少施工18天才能完成該項(xiàng)工程．【解答】解：（1）設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)施工，需要x天才能完成該項(xiàng)工程，∵甲隊(duì)單獨(dú)施工30天完成該項(xiàng)工程的，∴甲隊(duì)單獨(dú)施工90天完成該項(xiàng)工程，根據(jù)題意可得：+15（+）＝1，解得：x＝30，檢驗(yàn)得：x＝30是原方程的根，答：乙隊(duì)單獨(dú)施工，需要30天才能完成該項(xiàng)工程；（2）設(shè)乙隊(duì)參與施工y天才能完成該項(xiàng)工程，根據(jù)題意可得：×36+y×≥1，解得：y≥18，答：乙隊(duì)至少施工18天才能完成該項(xiàng)工程．5.（2023?興慶區(qū)校級(jí)模擬）寧夏中寧縣素有“枸杞之鄉(xiāng)”的美譽(yù)，某商場(chǎng)從中寧縣枸杞批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種不同價(jià)位的枸杞，甲種枸杞共用了2000元，乙種枸杞共用了2400元．已知乙種枸杞每千克進(jìn)價(jià)比甲種枸杞每千克進(jìn)價(jià)多8元，且購(gòu)進(jìn)的甲、乙兩種枸杞的數(shù)量相同．（1）求甲、乙兩種枸杞每千克的進(jìn)價(jià)．（2）該商場(chǎng)將購(gòu)進(jìn)的甲、乙兩種枸杞進(jìn)行銷售，甲種枸杞的銷售單價(jià)為60元，乙種枸杞的銷售單價(jià)為88元．銷售過程中發(fā)現(xiàn)甲種枸杞銷量不好，商場(chǎng)決定：甲種枸杞銷售一定數(shù)量后按原銷售單價(jià)的七折銷售；乙種枸杞銷售單價(jià)不變，要使兩種枸杞全部售完共獲利不少于2460元，問甲種枸杞按原銷售單價(jià)至少銷售多少千克？【答案】（1）甲種商品的每件進(jìn)價(jià)為40元，乙種商品的每件進(jìn)價(jià)為48元；（2）20件．【解答】解：（1）設(shè)甲種商品的每件進(jìn)價(jià)為x元，則乙種商品的每件進(jìn)價(jià)為（x+8）元．根據(jù)題意，得，＝，解得x＝40．經(jīng)檢驗(yàn)，x＝40是原方程的解．答：甲種商品的每件進(jìn)價(jià)為40元，乙種商品的每件進(jìn)價(jià)為48元；（2）甲乙兩種商品的銷售量為＝50．設(shè)甲種商品按原銷售單價(jià)銷售a件，則，（60﹣40）a+（60×0.7﹣40）（50﹣a）+（88﹣48）×50≥2460，解得a≥20．答：甲種商品按原銷售單價(jià)至少銷售20件．6．（2022?南崗區(qū)校級(jí)一模）某中學(xué)為了創(chuàng)建書香校園，去年購(gòu)買了一批圖書．其中故事書的單價(jià)比文學(xué)書的單價(jià)多4元，用1200元購(gòu)買的故事書與用800元購(gòu)買的文學(xué)書數(shù)量相等．（1）求去年購(gòu)買的文學(xué)書和故事書的單價(jià)各是多少元？（2）若今年文學(xué)書的單價(jià)比去年提高了25%，故事書的單價(jià)與去年相同，這所中學(xué)今年計(jì)劃再購(gòu)買文學(xué)書和故事書共200本，且購(gòu)買文學(xué)書和故事書的總費(fèi)用不超過2120元，這所中學(xué)今年至少要購(gòu)買多少本文學(xué)書？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)去年文學(xué)書單價(jià)為x元，則故事書單價(jià)為（x+4）元，根據(jù)題意得：，解得：x＝8，經(jīng)檢驗(yàn)x＝8是原方程的解，當(dāng)x＝8時(shí)x+4＝12，答：去年文學(xué)書單價(jià)為8元，則故事書單價(jià)為12元．（2）設(shè)這所學(xué)校今年購(gòu)買y本文學(xué)書，根據(jù)題意得．8×（1+25%）y+12（200﹣y）≤2120，y≥140，∴y最小值是140；答：這所中學(xué)今年至少要購(gòu)買140本文學(xué)書．7．（2022春?大觀區(qū)校級(jí)期末）已知，關(guān)于x的分式方程＝1．（1）當(dāng)a＝2，b＝1時(shí)，求分式方程的解；（2）當(dāng)a＝1時(shí)，求b為何值時(shí)分式方程＝1無解；（3）若a＝3b，且a、b為正整數(shù)，當(dāng)分式方程＝1的解為整數(shù)時(shí)，求b的值．【答案】（1）x＝；（2）或b＝5；（3）b可取3、29、55、185這四個(gè)數(shù)．【解答】解：（1）把a(bǔ)＝2，b＝1代入分式方程中，得，方程兩邊同時(shí)乘以（2x+3）（x﹣5），2（x﹣5）﹣（1﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），2x2+3x﹣13＝2x2﹣7x﹣15，10x＝﹣2，x＝，檢驗(yàn)：把x＝代入（2x+3）（x﹣5）≠0，所以原分式方程的解是x＝．答：分式方程的解是x＝．（2）把a(bǔ)＝1代入分式方程得，方程兩邊同時(shí)乘以（2x+3）（x﹣5），（x﹣5）﹣（b﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），x﹣5+2x2+3x﹣2bx﹣3b＝2x2﹣7x﹣15，（11﹣2b）x＝3b﹣10，①當(dāng)11﹣2b＝0時(shí)，即，方程無解；②當(dāng)11﹣2b≠0時(shí)，，時(shí)，分式方程無解，即，b不存在；x＝5時(shí)，分式方程無解，即，b＝5．綜上所述，或b＝5時(shí)，分式方程無解．（3）把a(bǔ)＝3b代入分式方程中，得：方程兩邊同時(shí)乘以（2x+3）（x﹣5），3b（x﹣5）+（x﹣b）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），整理得：（10+b）x＝18b﹣15，∴，∵，且b為正整數(shù)，x為整數(shù)，∴10+b必為195的因數(shù)，10+b≥11，∵195＝3×5×13，∴195的因數(shù)有1、3、5、13、15、39、65、195，但1、3、5小于11，不合題意，故10+b可以取13、15、39、65、195這五個(gè)數(shù)．對(duì)應(yīng)地，方程的解x為3、5、13、15、17，由于x＝5為分式方程的增根，故應(yīng)舍去．對(duì)應(yīng)地，b只可以取3、29、55、185，所以滿足條件的b可取3、29、55、185這四個(gè)數(shù)．8．（2022春?寧波期末）我們把形如x+＝a+b（a，b不為零），且兩個(gè)解分別為x1＝a，x2＝b的方程稱為“十字分式方程”．例如x+＝4為十字分式方程，可化為x+＝1+3，∴x1＝1，x2＝3．再如x+＝﹣6為十字分式方程，可化為x+＝（﹣2）+（﹣4），∴x1＝﹣2，x2＝﹣4．應(yīng)用上面的結(jié)論解答下列問題：（1）若x+＝﹣5為十字分式方程，則x1＝﹣2，x2＝﹣3．（2）若十字分式方程x﹣＝﹣2的兩個(gè)解分別為x1＝m，x2＝n，求的值．（3）若關(guān)于x的十字分式方程x﹣＝﹣k﹣1的兩個(gè)解分別為x1，x2（k＞0，x1＞x2），求的值．【答案】（1）﹣2：﹣3（2）﹣（3）﹣【解答】解：（1）x+＝﹣5可化為x+＝（﹣2）+（﹣3），∴x1＝﹣2，x2＝﹣3．（2）由已知得mn＝﹣5，m+n＝﹣2，∴+＝＝＝＝﹣．（3）原方程變?yōu)閤﹣2﹣＝﹣k﹣3，∴x﹣2+＝k+（﹣2k﹣3）∴x1﹣2＝k，x2﹣2＝﹣2k﹣3，∴＝＝﹣．1．（2023?海南）分式方程＝1的解是（）A．x＝6 B．x＝﹣6 C．x＝5 D．x＝﹣5【答案】A【解答】解：去分母，得1＝x﹣5，移項(xiàng)，得﹣x＝﹣5﹣1，合并同類項(xiàng)，得﹣x＝﹣6，系數(shù)化為1，得x＝6，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝6是原方程的解，∴方程的解是x＝6．故選：A．2．（2023?大連）解方程去分母，兩邊同乘（x﹣1）后的式子為（）A．1+3＝3x（1﹣x） B．1+3（x﹣1）＝﹣3x C．x﹣1+3＝﹣3x D．1+3（x﹣1）＝3x【答案】B【解答】解：分式方程的兩側(cè)同乘（x﹣1）得：1﹣3（x﹣1）＝﹣3x．故選：B．3．（2023?淄博）為貫徹落實(shí)習(xí)近平總書記關(guān)于黃河流域生態(tài)保護(hù)和高質(zhì)量發(fā)展的重要講話精神，某學(xué)校組織初一、初二兩個(gè)年級(jí)學(xué)生到黃河岸邊開展植樹造林活動(dòng)．已知初一植樹900棵與初二植樹1200棵所用的時(shí)間相同，兩個(gè)年級(jí)平均每小時(shí)共植樹350棵．求初一年級(jí)平均每小時(shí)植樹多少棵？設(shè)初一年級(jí)平均每小時(shí)植樹x棵，則下面所列方程中正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：設(shè)初一年級(jí)平均每小時(shí)植樹x棵，根據(jù)題意可得：，故選：D．5．（2023?日照）若關(guān)于x的方程﹣2＝的解為正數(shù)，則m的取值范圍是（）A．m＞﹣ B