2022-2023學(xué)年江西省某學(xué)校高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年江西省某學(xué)校高二(下)期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.已知函數(shù)f(x)=χ2+7,當(dāng)自變量X由1變到1.1時(shí)，f(x)的平均變化率為()

A.1B,1.1C.2D.2.1

2.若/；二0/必立=一2，則y'(t)=()

?x

A.1B.2C.-1D.-2

3.已知P為函數(shù)/(X)=3/+%圖象上一點(diǎn)，則曲線y=∕(χ)在點(diǎn)P處的切線的傾斜角的最小

值為()

A.7B.≡C.≡D.0

4??O

4.函數(shù)f(x)=9的大致圖象是()

5.己知等差數(shù)列｛c?｝的前n項(xiàng)和Sn=Ma1，且＜?是由利以的等比中項(xiàng)，則k=()

A.39B.40C.41D.42

6.若函數(shù)/(x)=zn/nx+1在區(qū)間(g,+8)上單調(diào)遞減，則m的取值范圍是()

A.(-∞,-l]B.(-∞,0]C.[2,+∞)D.(-8,3]

7.已知f(τ)是定義在R上的奇函數(shù)，/(x)的導(dǎo)函數(shù)為/'(%),若/'(%)≥CoST恒成立，則/(x)≥

sin%的解集為()

A.[-τr,+∞)B.[π,+∞)C.[T5r,+8)D.[O,+∞)

8.在一個(gè)5x5宮格中，有如圖所示的初始數(shù)陣，若從中任意選擇H(I≤n≤25,neN)個(gè)宮

格，將其相應(yīng)的數(shù)變?yōu)橄喾磾?shù)，得出新的數(shù)陣，則新的數(shù)陣中的所有數(shù)字的和所能取到的最

小非負(fù)整數(shù)為()

12345

678910

1112131415

1617181920

2122232425

A.1B.2C.24D.25

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.已知函數(shù)人工)的導(dǎo)函數(shù)/'(X)的大致圖象如圖所示，則下列結(jié)

論正確的是()

A./(x)在(-4,一1)上單調(diào)遞增

B.曲線y=f(x)在％=3處的切線的斜率為0

C.f(x)有1個(gè)極大值點(diǎn)

D.f(x)有2個(gè)極小值點(diǎn)

10.過(guò)點(diǎn)P（∣,∣）且與曲線y=∕（x）=：相切的直線方程為（）

A.6x+4y—15=0B.3x+y-6=0

C.%+3y—6=0D.4x+6y—15=0

11.已知等比數(shù)列｛冊(cè)｝的公比為q（q>O）,前幾項(xiàng)積為%，若丁3>丁2>丁4,則（）

A.α1>0B.0Vq<1C.T5>1D.T6>1

12.若不等式）α+b-αebτ≥0恒成立，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則2的值可能為（）

a

A.e-1B.e~2C.-e-1D.-e-2

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.己知函數(shù)f(x)=χ6+/，(1),則f(l)=.

14.一輛列車沿直線軌道前進(jìn)，從剎車開(kāi)始到停車這段時(shí)間內(nèi)，測(cè)得剎車后t秒內(nèi)列車前進(jìn)

的距離為S=27mt-0.45t2米，若列車剎車后30秒車停下來(lái)，則剎車過(guò)程中列車前進(jìn)了

米.

15.已知數(shù)列｛α71｝滿足2即+2+即=3c?+ι,a1=l,a2=5,記AQI,c?),B(n,9),。為坐

標(biāo)原點(diǎn)，則AOZB面積的最大值為.

16.已知函數(shù)/(x)=αx+cosx,%∈[0,7r]存在兩個(gè)極值點(diǎn)X1,X2>且久】<小，貝IJa的取值

范圍為,f(%l)-∕(X2)的取值范圍為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(l)y=sin(2πx+1)；

χ2

(2)y=研

18.(本小題12.0分)

己知函數(shù)/(X)=Zx3-3ax2+l(α∈Λ).

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若/(x)在(0,+8)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求a的值.

19.(本小題12.0分)

,a

己知數(shù)列｛an｝,｛bzl｝痛足%=瓦=1,CL∏^n=n+2^n+l1

(1)若｛aj是等比數(shù)列，且9,3a2,的成等差數(shù)列，求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若｛an｝是公差為2的等差數(shù)列，證明：b1+b2+b3+-+bn<l.

20.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=配…的最小值為一去.

(1)求a的值；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=((X)-X-Inx,求g(x)的最值.

21.(本小題12.0分)

如圖，一個(gè)倉(cāng)庫(kù)由上部屋頂和下部主體兩部分組成，上部屋頂?shù)男螤顬檎睦忮FP-ABCD,

ACCiBD=0,下部主體的形狀為正四棱柱力BCD-&BICIDr已知上部屋頂?shù)脑靸r(jià)與屋頂面積

成正比，比例系數(shù)為k(k>0),下部主體的造價(jià)與高度成正比，比例系數(shù)為4k.欲建造一個(gè)上、

下總高度為12,AB=6的倉(cāng)庫(kù),現(xiàn)存兩個(gè)求總造價(jià)小的方案：

(1)設(shè)Po=X,將總造價(jià)W表示為X的函數(shù)；

(2)設(shè)屋頂側(cè)面與底面所成的二面角為0,將總造價(jià)加表示為9的函數(shù).

請(qǐng)從上述兩個(gè)方案中任選一個(gè)，求出總造價(jià)W的最小值.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/'(x)=X-，HX-?α有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x2?

(1)求ɑ的取值范圍；

(2)若</1%2恒成立，求入的取值范圍.

答案和解析

I.【答案】。

【解析】解：由題意得f(x)="+7,?21y=/(1,1)-/(1)=1.12-I2=0.21,

故”=學(xué)學(xué)誓=2.1,

?x1.1—1

即當(dāng)自變量X由1變至IJLl時(shí)，/(X)的平均變化率為2.1.

故選：D.

根據(jù)平均變化率的意義直接計(jì)算可得答案.

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：Δx→0小+2空尸然)=—2,

?x

則2[?)=—2,解得f'(t)=-L

故選：C.

根據(jù)已知條件，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解.

本題主要考查極限及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：因?yàn)?'(X)=/+121,即曲線y=/(X)在點(diǎn)P處的切線的斜率k≥1,

所以傾斜角αe層,方，即傾斜角的最小值為

故選:A.

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切線的斜率即為/'(X)的范圍，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可求解.

本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線的斜率的求法，是基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：當(dāng)x<0時(shí)，/(χ)=≤<0,故8,。錯(cuò)誤；

又∕,(x)=當(dāng)0<x<l時(shí)，∕,(x)<0,當(dāng)x〉l時(shí)，∕,(x)>0,

故X>0時(shí)的圖象是先下降后上升，故A錯(cuò)誤，C正確.

故選：C.

利用久<O時(shí)，/(x)<0,可判斷B,D：利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷X>0時(shí)圖像變化情況，可判斷4c.

本題主要考查函數(shù)圖象的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：由題意等差數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和Sn=n2%,

22

故n≥2時(shí)，αjl=S71—Sn-I-na1—(n—l)α1-(2n—l)α1,

,

..a5=901,

又c?是由利<?的等比中項(xiàng)，即磅=al<?,且k≥2,

則(9αι)2=αι?(2k-l)%,

又內(nèi)≠0,則2k-1=81,

.?.k=41.

故選：C.

根據(jù)數(shù)列的遞推式可得n≥2時(shí)，αrι=(2n-1)%,由此結(jié)合是由利以的等比中項(xiàng)，可列出W=

a1ak,求出H即可得出答案.

本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔

題.

6.【答案】B

【解析】解：由題意得尸(X)=T-妥=亨?,

：/(X)在?,+8)上單調(diào)遞減，

???/'(無(wú))≤0在G，+8)上恒成立，

mx-1≤。在(g,+8)上恒成立，

當(dāng)Tn=O時(shí)，一1≤0恒成立，滿足題意；

當(dāng)m≠0時(shí)，顯然n?vθ,

?,?函數(shù)y=mx-1在停,+8)上是減函數(shù)，

??m-1≤0,解得τn≤3,則n?<0；

綜上所述，的取值范圍為(-8,0].

故選：B.

由題意得f'(%)=T一點(diǎn)=亨?,根據(jù)f⑶在專+8)上單調(diào)遞減，可得mx-1≤。在專+8)上恒

成立，則τn<O,函數(shù)y=Tnx-1在弓,+8)上是減函數(shù)，故gm-l≤0,求解即可得出答案.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔

題.

7.【答案】D

【解析】解：令函數(shù)g(x)=f(x)—sinx,則g'(x)=f'(x)-cosx,

因?yàn)?'(X)>COSX,

所以g'(%)≥0,則g(%)是增函數(shù)，

因?yàn)?(%)是奇函數(shù)，

所以/(0)=0,g(0)=/(0)-SinO=0,

所以g(x)≥0的解集為［0,+8),即f(χ)≥S出X的解集為［0,+8).

故選：D.

令函數(shù)g(x)=f(x)-sinx,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)g(x)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.

本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】4

【解析】解：根據(jù)題意，如

12345

數(shù)表所示，將圖中數(shù)據(jù)加粗

的部分對(duì)應(yīng)的數(shù)變?yōu)槠湎?78910

反數(shù)，1112131415

其中初始數(shù)陣中所有數(shù)字

1617IS1920

的和為(1+25)X25=325,

2122232425

數(shù)陣中紅線圈住部分?jǐn)?shù)字

的和為12+13+14+17+18+19+22+23+24=162,

將數(shù)陣中紅線圈住部分?jǐn)?shù)字變?yōu)橄喾磾?shù)后的新數(shù)陣的數(shù)字之和為(325-162)+(-162)=1,

因?yàn)?25是奇數(shù)，所以無(wú)論怎樣變化，新數(shù)陣的和都不可能為0,

所以新數(shù)陣中所有數(shù)字的和能取到的最小非負(fù)整數(shù)為1.

故選:A.

根據(jù)題意，求得初始數(shù)陣中所有數(shù)字的和為325,再求出紅線圈住部分?jǐn)?shù)字的和為162,結(jié)合題意

求得新數(shù)陣的數(shù)字之和，即可得答案.

本題考查合情推理的應(yīng)用，涉及等差數(shù)列的求和，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】BC

【解析】解：由導(dǎo)函數(shù)((X)的大致圖象可知，在(一4,-1)上:(X)先負(fù)后正，

故f(x)在(-4,-I)上不單調(diào)，A錯(cuò)誤；

由圖象可知-(3)=0,故曲線y=∕(x)在》=3處的切線的斜率為0,8正確；

由圖象可知從左至右，f'(x)先正后負(fù)再非負(fù)，其中最后部分僅在X=3時(shí)，f'(x)=0,

故函數(shù)是先遞增后遞減再遞增，即/Q)有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，C正確，D錯(cuò)誤.

故選：BC.

結(jié)合尸(X)的圖象，根據(jù)/'(X)的正負(fù)，判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)情況，一一判斷各選項(xiàng)，即可得答案.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

10.【答案】BC

【解析】解：設(shè)切點(diǎn)為(Xo,分,因?yàn)閥=l所以V=-當(dāng)故切線方程為y-9=一§0-a),

x

0XXΛ0XQ

又因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)P(5,力所以E-E=-焉G-Xo),整理得/-4x0+3=0,解得Xo=3或Xo=1,

當(dāng)%o=3時(shí)，切線方程為y—1?=—5(%—3),即％+3y—6=0,

當(dāng)&=1,切線方程為y-1),即3x+y-6=0.

故選：BC.

設(shè)出切點(diǎn)(與,/)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線方程為y-V=-親X-X0),再利用條件得到方

程詔-4&+3=0,從而求出殉，進(jìn)而可求出切線方程.

本題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)切線，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】ABC

【解析】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列｛%l｝的公比為q>0,T3>T2>T4,

72==ɑlQ>0,

αα

則。3=%>1，34=,V1，即的>1>a3a4f

?

所以。3=Qlq2>1?。4V丁V1,

03

所以內(nèi)>0,O<q=^<l,故A正確，B正確；

所以"=a1?a2-a3?a4?a5=af>I9

,,aα,αα,a3

T6=α1-a2ɑ?4,s6=(34)<1?故C正確，。錯(cuò)誤.

故選：ABC.

結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及下標(biāo)和性質(zhì)一一分析即可.

本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

12.【答案】ABD

【解析】解：因?yàn)槲镼+b—aeb~1≥0,所以mQ+e—elnaeb~1≥0,則Ina+e≥elna+b~1.

令/(%)=e%—%—1,則/(%)=e”—1.當(dāng)％∈(―8,0)時(shí)?，∕,(x)<0,/(%)單調(diào)遞減；

當(dāng)％∈(0,+8)時(shí)，f(%)>O,f(%)單調(diào)遞增,

故/(x)≥f(O)=0,即e*≥X+1,

從而∕nQ+bτ≥ZΠQ+b,當(dāng)且僅當(dāng)"α+b-1=O時(shí)，等號(hào)成立.

又In(I+b≥lna+b~1,所以仇Q+b=1,則b=1—Ina,所以e=1~lna,

eaa

令g(χ)=上誓，則g'Q)=土當(dāng)也=等.

當(dāng)％∈(0,/)時(shí)，g，(X)<O,g(%)單調(diào)遞減；

當(dāng)X∈(β2,÷∞)ff't,g?x)>0,9(%)單調(diào)遞增.故g(%)min=.g(?2)=S~2,

且當(dāng)X->O時(shí)，g(x)→+∞.

故選：ABD.

將不等式變形為"Q+b≥emα+bτ,然后由指數(shù)切線不等式得b=l-仇口,再構(gòu)造函數(shù)g(%)=

H竺求出其最小值即可求解.

X

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，不等式恒成立問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

13.【答案】7

【解析】解：由函數(shù)f(x)=/+/(1)可得函數(shù)r(x)=6x≡,

：.f'(l)=6,

故/(x)=x6+6,

故/(1)=7.

故答案為：7.

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可求得尸(1),即可求得答案.

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】405

【解析】解：由題意得S'(t)=27m-0.9t,BPv(t)=27m-0.9t,

故令。(30)=27m—0.9×30=0,m=1,

故S(30)=27×30-0.45X302=405(米)，

故答案為：405.

求S=27mt-0.45t2的導(dǎo)數(shù)，即得速度憂勺表達(dá)式，令以30)=0即可求得m的值，即可求得答案.

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】4

【解析】解：因?yàn)?即+2+即=3即+1，所以2即+2-2c?+ι=αn+ι-αn,

即Q∏+2-an+l=2(αn+l—an)9

因?yàn)間-%=4,所以｛an+ι-Qn｝是以4為首項(xiàng)9為公比的等比數(shù)列，

ι

所以0rι+ι-Qn=4?Cyτ,由累加法得：

n2

所以Qn=Q1+(a2—QI)+…+(α∏—QTI-I)=1÷4÷4×-÷???÷4×(―)-

l-(hn-1

=1÷4×-21=9-24-n

1-1

2

因?yàn)?4f>0,所以時(shí)=9-24-n<9,

SXQABMBl?n=?(9-9+24^n)?n=n-23~n

令函數(shù)f(n)=n?23~n,則f(n+1)—f(n)=(n+1)?22~n—n-23~n=(1—n)-22~n.

當(dāng)n≥l時(shí),/(n+l)-∕(n)≤0,而f(l)=f(2),所以/"6)在［2,+8)上單調(diào)遞減.

f(∏)max=/(1)=/(2)=4,故404B面積的最大值為4.

故答案為：4.

先由遞推公式推出｛%l+ι-an｝為等比數(shù)列，求出其通項(xiàng)公式，用累加法求出｛an｝的通項(xiàng)公式，再

列出關(guān)于4OAB面積的函數(shù)式，求出其最值即可.

本題主要考查數(shù)列遞推式，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

16.【答案】((U)(0,2)

【解析】解：???f(x)=Qx+cosx,X∈［0,π］,

???f'［x}=a-SinX,?.?f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)X1，X2>且與<冷，

∕,(x)=a-sinx=0在［0,τr］上有2個(gè)不相等的實(shí)根，

???y=α和y=SinX在［0,兀］上有2個(gè)不同的交點(diǎn)，

.?.0<α<1,即α∈(0,1)；

當(dāng)0≤X≤兀時(shí)，函數(shù)y=SinX的圖像關(guān)于直線X=5寸稱，

π

.?.x1+X2=>即SinXl=sinx2=a,

■■/(x1)—f(x2)=axι+cosx1—ax2—cosx2=2x1sinx1+2cosx1—πsinx1,

令g(x)=2xsinx+2Cosx—πsinx,x∈(0,,

則g'(x)=(2%—n')cosx<0>

g(x)在(0。)上單調(diào)遞減,

所以O(shè)=弱)<5(x)<g(0)=2,

.?./(X1)-f(W)的取值范圍為(0,2).

故答案為：(0,1)；(0,2).

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=α和y=Sinx在［0,兀］上有2個(gè)不同的交點(diǎn)，求出ɑ的范圍即可;

求出/Si)-/(犯)的解析式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出其取值范圍即可.

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

17.【答案】解：(1)因?yàn)閥=sin(2τrx+9,

所以y'=2πcos(2πx÷》

2

(2)因?yàn)閥=Q

Q2)"W(仇Xyd_2ax-評(píng)_

所以y=2xlnx-x

(Znx)2(Znx)2(Znx)2

【解析】(1)根據(jù)簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算可得；

(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可得.

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(l)∕,(x)=6X2—Gax=6x(x—a),

當(dāng)α>O時(shí),f'(x)>0,得X>α或X<0,f'(x)<0,得0<x<a,

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一8,0)和(a,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,a)；

當(dāng)a<0時(shí)，∕,(x)>0,得X>0或％<a,f'(x)<0,得a<x<0,

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一8,a)和(O,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(a,0)；

當(dāng)a=O時(shí)，/'(X)=6/2O恒成立，函數(shù)在(-8,+8)單調(diào)遞增.

綜上可知，當(dāng)a>O時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一8,0)和(a,+8),單調(diào)遞減區(qū)間是(O,a)；

當(dāng)a<O時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-8,a)和(0,+8),單調(diào)遞減區(qū)間是(a,0)；

當(dāng)a=O時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一8,+8),無(wú)減區(qū)間.

(2)由條件可知,/(O)=1,

由(1)可知，當(dāng)a>O時(shí)，若函數(shù)在(0,+8)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

則/(a)=2a3—3a3+1=0,解得：a=1,

當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)在(0,+8)單調(diào)遞增，所以無(wú)零點(diǎn)，

所以a=1.

【解析】(1)首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的大小關(guān)系，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性；

(2)根據(jù)(1)的單調(diào)性的結(jié)果，并結(jié)合/(0)=1,從而列式求a的值.

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是中檔題.

19.【答案】解：(1)設(shè)｛a"的公比為q，由于9,3a2,的成等差數(shù)列，

故6(?=a3+9，

而%=1,

故q2—6q+9=0,

解得q=3,

由anbjl=即+2%+1,得鏟=W?=1=3'

即｛匕｝是等比數(shù)列,且瓦=1,

故bn=(j)n^1:

(2)證明：｛an｝是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,

故Qn=2n-1,αn+2=2n+3,

α_2幾一1

由a,得智1yl

α∏b∏=n+2^n+lα∏+2-2n+3,

?.ι2,n—32H—52π—731

?r×2^T×2^3×-×7×5×1

3__3(1_1

(2n+l)(2n-l)^2?n-l^2n+l

i?hl+h2+63+???+6n=∣(l-∣+∣-j+∣-i+???+2?T-2?τ)

3〃1\,3

=2(1一而？<于

1

【解析】(1)設(shè)｛afl｝的公比為q，由題意列式求得q，再結(jié)合已知可得雛=J,即可求得答案；

DnV

1

(2)由已知求得｛ajl｝的通項(xiàng)公式，可得生=∣??利用累乘法求得垢的表達(dá)式，再用裂項(xiàng)求和法證

明結(jié)論.

本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法以及數(shù)列的求和，考查裂項(xiàng)項(xiàng)相消法的運(yùn)用，考查邏輯推理能力和

運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镽,

∕,(x)=(x+l)ex^a,令f'(x)=。得X=-1,

X∈(-∞,-l)Hj,∕,(x)<0,/0)單調(diào)遞減，

X6(—1,+8)時(shí),[(X)>0,/(x)單調(diào)遞增,

所以f(x)mbι=/(T)=~e~1~a=-5，解得a=1.

故所求a的值為1.

(2)令九(X)=ex~1—x(x∈R),

h,(x)=ex~1—1,令h'(%)=0得X=1,

j∈(-8,l)時(shí),h,(x)<0,九(%)單調(diào)遞減，

%∈(l,+8)時(shí)，hr(x)>0,九(%)單調(diào)遞增,

所以九(X)Tnin=h(I)=O無(wú)最大值，

x1x+lnx1y

所以g(%)=f(x)—X—Inx=xe~—(%+lnx)=e~—(%+lnχ)=Il(X+lnx)9

而函數(shù)y=x+∕nx單調(diào)遞增，且yeR,

由上可知g(x)有最小值為0,當(dāng)且僅當(dāng)X+Inx=1即X=1時(shí)取得最小值，無(wú)最大值.

【解析】(1)用導(dǎo)數(shù)求出/(x)的單調(diào)性即可知/㈤麗=/(-1)=-e-ι-α=-夜,從而可求α的值；

x1

(2)構(gòu)造函數(shù)∕ι(x)=e~-x(x∈R)可得∕ι(x)WIm=?i(l)=。，無(wú)最大值，而g(x)=h(x+，nx)即

可得9。)的最值.

本題主要靠利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)①由題意可知力C=√62+62=6/7，OC=3√^2,

則PC=√PO2+OC2=√X2+18,

取BC的中點(diǎn)E,連接OE、PE,

因?yàn)镻B=PC,E為BC的中點(diǎn)，^PE1BC,

所以PE=√PC2-CE2=√/+9,

所以SAPBC=^BC-PE=^×6×√X2+9=3√%2+9,

故上部屋頂造價(jià)為k×4×3√X2+9=12fc√%2+9>

因?yàn)锳Al=I2-X,所以下部主體造價(jià)為4k(12-x),

故總造價(jià)為Iy=12∕c√%2+9+4fc(12-x),x∈(0,12);

②如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為E,連接PE,OE,則。E=3,

由于尸。_L平面4BCD,OEU平面ABCD,則有P。1OE,

因?yàn)镻B=PC,E為BC的中點(diǎn)，貝IJPEJ.BC,

因?yàn)锳BlBC,。、E分別為AC、BC的中點(diǎn)，則0E//AB,則OEI8C,

在RtAPOE中，由二面角的定義可知4PE。=0,則有P0=3tcm0,PE=三,

所以上部屋頂面積為S=4S"BC=4X：BCXPE=懸,下部主體的高度為無(wú)=12-3tanθ,

所以倉(cāng)庫(kù)的總造價(jià)為W=S?k+九?4k=12k?(篡券)+48k,其中?！?0,今；

(2)選擇①：總造價(jià)為y=4k(3√%2+9÷12—x),x∈(0,12)，

令g(%)=3V%2+9+12-%,則“(%)=

當(dāng)?<x<12時(shí)，g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)0<%<學(xué)時(shí)，g'Q)<O,g(x)單調(diào)遞減,

故當(dāng)X=I時(shí)，g（x）取得最小值，最小值為g（苧）=6C+12,

所以總造價(jià)取最小值為4/c?g（1）=（24√-2+48）∕c;

選擇②：設(shè)f（0）=蕓券（0＜。＜/所以（（。）=嚼"，

令［（8）=0,得Sine=",

令。＜&＜?,sinx=?則COSXo=

403?

則當(dāng)0＜8＜Xo時(shí)，［（。）＜0,汽。）單調(diào)遞減；當(dāng)與＜。＜、時(shí)，尸（。）＞0,/（0）單調(diào)遞增；

所以當(dāng)O=Xo時(shí)，/（0）有最小值，

此時(shí)總造價(jià)取最小值為12k（與警）+48fc=（24＜7+48）k.

COSXQ

【解析】（1）①求出SAPBC得出上部屋頂造價(jià)，由441=12-%得出下部主體造價(jià)，進(jìn)而得出總造

價(jià)；②由二面角的定義結(jié)合直角三角形的邊角關(guān)系得出總造價(jià)；

（2）選擇①：令g（χ）=3√/+9+12-X,利用導(dǎo)數(shù)得出總造價(jià)的最小值；選擇②：令/（。）=

上萼（0＜θ＜^,由導(dǎo)數(shù)得出總造價(jià)的最小值.

COSσZ

本題主要考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬于中檔題.

22.【答案】解:(1)由f