高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)《數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入》講義

數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

自主梳理

1.數(shù)系的擴(kuò)充

數(shù)系擴(kuò)充的脈絡(luò)是：--,用集合符號(hào)表示為U

￡，實(shí)際上前者是后者的真子集.

自然數(shù)系有理數(shù)系實(shí)數(shù)系NQR

2.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

(1)復(fù)數(shù)的概念

形如。+歷伍，匕CR)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中“，人分別是它的和.

實(shí)部虛部

'實(shí)數(shù)S=o)

復(fù)數(shù)a+b\\(20)

〔虛數(shù)空"純虛數(shù)5=0)

(2)復(fù)數(shù)相等：a+/?i=c+5=(a,b,c,R).

a=c,b=d

(3)共貌復(fù)數(shù)：a+bi與c+"i共貌c(a,b,c,dCR)."為z的共輒復(fù)數(shù)。

a=c,b=-d

3.復(fù)數(shù)的幾何意義

(1)建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面，叫做復(fù)平面.叫做實(shí)軸，叫做虛軸.實(shí)

軸上的點(diǎn)表示；,虛軸上的點(diǎn)(除原點(diǎn)外)都表示；各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示

x軸y軸實(shí)數(shù)純虛數(shù)非純虛數(shù)

(2)復(fù)數(shù)z=a+歷-一一對(duì)應(yīng)一復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)(a,6GR).-一對(duì)應(yīng).平面

向量蒞________

(3)復(fù)數(shù)的模

向量龍的模r叫做復(fù)數(shù)2=〃+府的模，記作或,即|z|=|a+Z?i|=.

\z\\a+h\\y]a2+h2

4.復(fù)數(shù)的運(yùn)算

⑴復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則

設(shè)zi=a+hi,Z2=c+di(。，b,c,d￡R),則

①加法：zi+z2=(。+bi)+(c+di)=；

②減法：Z]—Z2=(〃+bi)—(c+di)=；

③乘法：z「Z2=(a+bi),(c+di)=；

④除法：”=?="然T

Z2c+dl(c+dl)(c-1/1)

=(c+M#0)?

①(a+c)+(b+mi②(a-c)+(/?-d)\?(ac—bd)+(ad-\-bc)\3+)

⑵復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律

復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對(duì)任何Zl、Z2、Z3ec,有Z|+Z2=,

(zi+z2)+z3=.

Z2+Z\Z|+(Z2+Z3)

5.進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算時(shí)，熟記以下結(jié)果有助于簡化運(yùn)算過程

(1)(a±bi)2=a2±2abi-b^a2-b2±2abi,3+歷)(0一歷)=層+戶

(2)i4/,=l,i4,,+l=i,i4w+2=-l,i4w+3=-i,in+iw+1+iw+2+iw+3=0(neN)

）1+i1-i

（3）（l+i）29=2i,（l-i）2=-2i,=i,幣=T

復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算類似于實(shí)數(shù)中的多項(xiàng)式的加減運(yùn)算（合并同類項(xiàng)），復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算是復(fù)數(shù)運(yùn)

算的難點(diǎn)，在乘法運(yùn)算中要注意i的嘉的性質(zhì)，區(qū)分3+4）2=巒+2“萬一〃與（〃+32=/+

2而十廿；在除法運(yùn)算中，關(guān)鍵是“分母實(shí)數(shù)化”（分子、分母同乘以分母的共鞄復(fù)數(shù)），此時(shí)

要注意區(qū)分（。+4）（。一歷）=巒+/與（a+b>（a—6）=。2—〃

失誤與防范

兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小.z2<0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有可能成立，例如：當(dāng)z=3i時(shí)Z2=-9<0.

自我檢測(cè)

F+i'+i'

1.復(fù)數(shù)FT]-等于（）

；；

A.D.+i

[2+13+產(chǎn)一l—i+l—i(一i)(l+i)l-i1」.

C【I=--=1^=(1-i)(l+i)="2-=2-2,]

2.復(fù)數(shù)z=l+i,三為z的共輾復(fù)數(shù)，則z三一z—1等于()

A.-2iB.-iC.iD.2i

B[Vz=1+i,/.z=1-i,/.z-z=|Z|2=2,

/.z-z—z-1=2—（1+i）-1=-i.]

3.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足i（z+l）=—3+2i（i為虛數(shù)單位），則z的實(shí)部是.

解析設(shè)z=〃+力i（〃、0￡R）,由i（z+1）=-3+2i,

得一b+（a+l）i=-3+2i,1=2,.\a=\.

4.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足士=2—i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為

Z十1

5.已知復(fù)數(shù)z滿足1=1—2i,則復(fù)數(shù)z=_「|+]i,

題型一復(fù)數(shù)的分類

例1已知復(fù)數(shù)+（分+2/〃-3）i,當(dāng)〃?為何值時(shí)，（l）zGR；（2）z是純虛

數(shù)；（3）z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面第二象限；（4）z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線工+了+3=0上.

11.解（1）當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí)，則有切2+2”?-3=0且m-IWO

得加=—3,故當(dāng)m=-3時(shí)，z￡R.

〃?（6一2）

楊一1一解得m=O,或巾=2.

（m2+2m~3^0.

二當(dāng)m=0或〃?=2時(shí)，z為純虛數(shù).

（3）當(dāng)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面第二象限時(shí)，則有，，，"一1

7M2+2/H—3>0

解得m<—3或故當(dāng)相<—3或1<m<2時(shí)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第二象限.

（4）當(dāng)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x+y+3=0上時(shí)，

則有）+（,"2+2m-3）+3=0,

m—1j

得吟尹=0,解得片?；颉?4.

當(dāng)m=0或，〃=一1斗6時(shí)，點(diǎn)Z在直線x+y+3=0上.

點(diǎn)評(píng)：（1）本題考查復(fù)數(shù)集中各數(shù)集的分類，題中給出的復(fù)數(shù)采用的是標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式，

否則應(yīng)先化為代數(shù)形式，再依據(jù)概念求解.

（2）判定復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，僅注重虛部等于0是不夠的，還需考慮它的實(shí)部是否有意義.

TYT-IT1-6

變式訓(xùn)練1當(dāng)實(shí)數(shù)機(jī)為何值時(shí)，z=------7—+（^2+5/n+6）i,（1）為實(shí)數(shù)；（2）為虛數(shù)；（3）

十3

為純虛數(shù)；（4）復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的第二象限.

解得加=-1.

解（1）若z為實(shí)數(shù)，

/n2+5n?+6=0

則「一c，解得m=-2.

欣+3W0

加2+5m+6W0

（2）若z為虛數(shù)，則，，解得加#—2且mW—3.

/??2+5/n+6#:0

（3）若z為純.虛數(shù)，則「小一m―6,解得旭=3.

〃?+3°

（4）若z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,

<0m<—3或一2<m<3

則^+5-/.;?<—3或一

tn<-3或加>-2

/?Z2+5/H+6>0

題型二復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算

例2計(jì)算：.

（2+2i）4

⑴（1—病5；

也+小i

小一gi'

_16（l+i）4_16（2庁

解（1）原式

一（1一小i＞（l-巾i）一（一2-2巾iRl-小i）

______—64____________-16______-4

l+V3i.

4（1+V5i）2（l—小i）—（1+小i）X4—1+小廠

Q）原式=髄晉+［（咅XH=i+（尋‘口+心

=i+i4X251+1=i+i=2i.

~（l+i）2l（A+小i）（小+小i）

（3）方法一原式=12」十（木）2+（派）2

_F+#+2i+3i_q^__

1+i.

方法二（技巧解法）

席式_「&±4+（也+于i）i—i6+（*+小十一_I+i

原式一L2『+（小—正說―1+-1+1-

上2+2/2、[門垃1+iHYi—1

(4)原式=三｛引?期二號(hào)"陽=丁.1=—]+i.

點(diǎn)評(píng)：復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算主要有加、減、乘、除及求低次方根.除法實(shí)際上是分母實(shí)數(shù)

化的過程.運(yùn)算結(jié)果在解題中的應(yīng)用，運(yùn)算的最后結(jié)果化為。+歷(a,b6R)的形式.

要記住一些常用的結(jié)果，如i、一!+坐i的有關(guān)性質(zhì)等可簡化運(yùn)算步驟提髙運(yùn)算速度.

變式訓(xùn)練2(l)i是虛數(shù)單位，表表扌等于()

A.iB.-iC.1D.-1

(2)已知復(fù)數(shù)z=(1綜：2,T是Z的共輾復(fù)數(shù)，則Z

(3)復(fù)數(shù)i+J；的值是一一16.

題型三復(fù)數(shù)的幾何意義

例3如圖所示，平行四邊形0A8C,頂點(diǎn)。，A,C分別表示0,3+2i,—2+4i,試求:

(1)45所表示的復(fù)數(shù)，反?所表示的復(fù)數(shù)；

(2)對(duì)角線a所表示的復(fù)數(shù)；

⑶求B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).

解(1)石=一須，二/所表示的復(fù)數(shù)為-3-2i.

?：BC^AO,二花所表示的復(fù)數(shù)為一3-2i.

(2)乙=豆一32,.,.須所表示的復(fù)數(shù)為

(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.

(3)7)B=OA+1\B=OA+OC,

...而表示的復(fù)數(shù)為(3+2i)+(—2+4i)=l+6i,即8點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為l+6i.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量及向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，要求某個(gè)向量對(duì)應(yīng)的復(fù)

數(shù)，只要找出所求向量的始點(diǎn)和終點(diǎn)，或者用向量相等直接給出結(jié)論即可.

在復(fù)數(shù)的幾何意義中，加法和減法對(duì)應(yīng)向量的三角形法則的方向是應(yīng)注意的問題，平移往往

和加法、減法相結(jié)合.

變式訓(xùn)練3

(1)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)6+5i,-2+3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B.若C為線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C

對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()

A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i

復(fù)數(shù)6+5i對(duì)應(yīng)4點(diǎn)的坐標(biāo)為(6,5),—2+3i對(duì)應(yīng)8點(diǎn)的坐標(biāo)為(一2,3).由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知

C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4),...點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2+4i.

(2)復(fù)數(shù)zi=3+4i,Z2=0,Z3=c+(2c—6)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C,若NBAC

是鈍角，則實(shí)數(shù)c的取值范圍為.

解析在復(fù)平面內(nèi)三點(diǎn)坐標(biāo)分別為4(3,4),6(0,0),C(c,2c-6),

由/8AC是鈍角得油??。?且&A、C不共線，

由(一3,-4)-(c-3,2c-10)<0,解得c淵,

其中當(dāng)c=9時(shí)，AC=(6⑻=—2彳方，三點(diǎn)共線，故cW9.

c>普且cW9

(3)已知復(fù)數(shù)2=》+力且以一2|=小，則的最大值為_小.

妙解］由上一2|=小可得，|z—2卩=。-2)2+尸3.設(shè)卜&,即得直線方程為心一y=0,

.,.圓(X-2)2+)，2=3的圓心(2,0)到直線辰一尸0的距離"=-/第=〈小.解得AGL小,?。?

"+1

即得三的最大值為小.

題型四用待定系數(shù)法解決復(fù)數(shù)問題

例4(1)已知x,y為共施復(fù)數(shù),且(x+y)?-3xyi=4—6i,求x,y.

(2)己知關(guān)于x的方程f+(H7+2i)x+2+2i=0(,〃GR)有實(shí)數(shù)根，求m.

解設(shè)x=a+bi(a,Z?￡R),則y=a—Z?i,x+y—2a,xy—a2+b2,

代入原式,得(2a)2—3(o2+Z>2)i=4—6i,

故所求復(fù)數(shù)為

x=l+i[x=l—i[A-=—l+ifx=-1—i

,或

i

點(diǎn)評(píng)復(fù)數(shù)問題的實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問題的最基本也是最重要的方法,其依據(jù)是復(fù)數(shù)相等的

充要條件.利用復(fù)數(shù)相等a+6i=c+"i列方程時(shí)，注意a,b,c,dGR的前提條件.應(yīng)用

復(fù)數(shù)的實(shí)數(shù)化策略可解決求復(fù)系數(shù)方程的實(shí)數(shù)解、求復(fù)平面上動(dòng)點(diǎn)的軌跡等問題。對(duì)于復(fù)系

數(shù)(系數(shù)不全為實(shí)數(shù))的一元二次方程的求解，判別式不再成立.因此解此類方程的解，一般

都是將實(shí)根代入方程，用復(fù)數(shù)相等的條件進(jìn)行求解.

變式訓(xùn)練4(1)若2=35。+1而仇則使z2=T的。值可能是()

解析：z2=cos20—sin2^+isin20=cos29+isin29,

兀

當(dāng)8=2時(shí),z2=cosn+isinn=—1.

(2)已知|z|-z=l-2i,求復(fù)數(shù)z.

解設(shè)z=〃+/?i(a、0￡R),則二層+序——2i.

由兩復(fù)數(shù)相等的充要條件得

解得卜=爹3

^y]a2+b2-a=1,-

[一6=一2,所以所求復(fù)數(shù)為2

厶=2,

一、選擇題

2+i_

1.若復(fù)數(shù)z=E，則復(fù)數(shù)z等于（）

33

A.-pB.pC.-iD.i

2.若復(fù)數(shù)鬻（“GR,i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)”的值為（）

A.2B.4C.-6D.6

3.對(duì)任意復(fù)數(shù)z=x+yi（x,y￡R）,i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）

A.\z-z\=2yB.z2=x2+y2

C.\z-~\^2xD.|z|W|x|+|y|

4.復(fù)數(shù)zi=a+2i,Z2=-2+i,如果Z|v|z2|,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

A.一\<a<\B.a>\C.ci>QD.a<—1或。>1

5.若，W號(hào)，竽），則復(fù)數(shù)（cos9+sin9）+（sinJ-cos6）i在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

B[由三角函數(shù)線知識(shí)得當(dāng)g苧，季時(shí)，

sin0+cos0<0,sincos0>0,故選B.]

6.下面四個(gè)命題：

①0比一i大；

②兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)其和為實(shí)數(shù)；

③x+yi=l+i的充要條件為x=y=l；

④如果讓實(shí)數(shù)a與ai對(duì)應(yīng)，那么實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集一一對(duì)應(yīng).

其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

A[（1）中實(shí)數(shù)與虛數(shù)不能比較大??；

（2）兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共朝復(fù)數(shù)時(shí)其和為實(shí)數(shù)，但兩個(gè)復(fù)數(shù)的和為實(shí)數(shù)時(shí)這兩個(gè)復(fù)數(shù)不一定是共

鞄復(fù)數(shù)；

（3）x+yi=l+i的充要條件為x=y=l是錯(cuò)誤的，因?yàn)闆]有標(biāo)明x,y是否是實(shí)數(shù)；

（4）當(dāng)a=0時(shí)，沒有純虛數(shù)和它對(duì)應(yīng).]

7.在復(fù)平面內(nèi)，向量蒜對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是2+i,向量芯對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是一l-3i,則向量之對(duì)

應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）

A.l-2iB.-l+2iC.3+4iD.-3~4i

二、填空題

8.已知復(fù)數(shù)z與（z+2）2-8i均是純虛數(shù)，貝Uz=-2i

9.若復(fù)數(shù)zi="+2i,Z2=l+bi,a,bCR,且zi+z?與z「Z2均為純虛數(shù)，則型=

22

86

-十-

55

10.己知復(fù)數(shù)z1=m+2i,Z2=3—4i,若差為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)根=______.

Z2

釧士匚zim+2i(,w+2i)(3+4i)

=

解析rZ73a—一"41--------文23-----

3n?-8+(6+4m)iU宀丄丄3

=----------5--------^是實(shí)數(shù)，..6+4w=0,故，”=一2.

11.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z(2-3i)=6+4i(i為虛數(shù)單位)，則z的模為_2.

i+z,

12.已知zi=2+i,Z2=l—3i,則復(fù)數(shù)—的虛部為____.

Z]

i+z2i+1-3i(1—2i)(2—i)

解析W=』-=-5=一|，

故虛部為一1.

13.已知復(fù)數(shù)zi=-l+2i,Z2=l—i,Z3=3-2i,它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C.若太=

xOA+yOB,貝1Jx+y的值是_5.

14.復(fù)數(shù)z=x+yi(x,ydR)滿足|z-l|=x,則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(x,y)的軌跡方程為.

解析由|z-l|=x得|。-1)+)川=》，

故(x—1)2+/=*,x20,整理得產(chǎn)=2%—1.

三、解答題

15.已知復(fù)數(shù)zi滿足⑵-2)(l+i)=l—i(i為虛數(shù)單位),復(fù)數(shù)Z2的虛部為2,且“Z2是實(shí)數(shù),

求Z2.

解(zi-2)(l+i)=l—i=zi=2—i.(4分)

設(shè)Z2=