2024年廣東省中山市紀雅學校中考數(shù)學一模試卷

第1頁（共1頁）2024年廣東省中山市紀雅學校中考數(shù)學一模試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）與2024互為相反數(shù)是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．2．（3分）據(jù)統(tǒng)計，2023年“五一”假期國內旅游出游約274000000人次．274000000這個數(shù)用科學記數(shù)法表示為（）A．0.274×108 B．2.74×107 C．2.74×108 D．27.4×1073．（3分）下列運算正確的是（）A．4a2﹣a2＝3 B．（a2）3＝a5 C．a(chǎn)3?a6＝a9 D．（2a2）2＝4a24．（3分）下列因式分解正確的是（）A．x2﹣x＝x（x+1） B．a(chǎn)2﹣3a﹣4＝a（a﹣3）﹣4 C．a(chǎn)2+b2﹣2ab＝（a+b）2 D．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）5．（3分）已知關于x的方程的解是x＝1，則a的值為（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣26．（3分）數(shù)據(jù)2，4，8，5，3，5，5，4的眾數(shù)、中位數(shù)分別為（）A．4.5、5 B．5、4.5 C．5、4 D．5、57．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，若∠BAC＝36°（）A．36° B．45° C．54° D．72°8．（3分）如圖，△ABC的內切圓⊙O與AB，BC，E，F(xiàn)，連接OE，OF，AC＝3，BC＝4（）A．2﹣π B．4﹣π C．4﹣π D．1﹣π9．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，H為AB上一點，過點C作CG∥AB，若AC＝8，AB＝6（）A．24 B．22 C．20 D．1810．（3分）如圖，一段拋物線y＝﹣x2+6x（0≤x≤6），記為拋物線C1，它與x軸交于點O、A1；將拋物線C1繞點A1旋轉180°得拋物線C2，交x軸于點A2；將拋物線C2繞點A2旋轉180°得拋物線C3，交x軸于點A3…如此進行下去，得到一條“波浪線”，若點M（2024，m），則m的值為（）A．﹣6 B．6 C．﹣8 D．8二、填空題（共5小題，滿分20分，每小題4分）11．（4分）函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是．12．（4分）已知點P1（a，3）和P2（4，b）關于y軸對稱，則（a+b）2019的值為．13．（4分）如圖，以點O為位似中心，將△ABC縮小后得到△A′B′C′，則△A′B′C′與△ABC的面積比為．14．（4分）關于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有實數(shù)根α、β，且α2+β2＝17，則m的值是．15．（4分）如圖①，△ABC中，∠ABC＝45°，點D在AH上，且DH＝CH，得到△EHF（點B，D分別與點E，F(xiàn)對應），連接AE．如圖②，（F不與C重合），若BC＝4，tan∠ACH＝3．三、解答題（一）（共4小題，滿分24分，每小題6分）16．（6分）計算：．17．（6分）先化簡，再求值（1﹣）÷，其中a＝﹣2．18．（6分）鄉(xiāng)村振興，交通先行．近年以來，某市高質量推進“四好”農(nóng)村公路建設，在修建600米后，由于采用新的修建技術，結果共用15天完成了全部任務，求原來每天修建道路多少米．19．（6分）如圖，一架無人機在空中A處測得某校旗桿頂部B的仰角為30°，底部C的俯角為60°，求該校的旗桿高為多少米．（結果保留根號）四、解答題（二）（共3小題，滿分24分，每小題8分）20．（8分）隨著疫情形勢穩(wěn)定向好，“復工復產(chǎn)”成為主旋律．某生產(chǎn)無人機公司統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，公司今年2月份生產(chǎn)A型無人機2000架（1）求該公司生產(chǎn)A型無人機每月產(chǎn)量的平均增長率；（2）該公司還生產(chǎn)B型無人機，已知生產(chǎn)1架A型無人機的成本是200元，生產(chǎn)1架B型無人機的成本是300元，其中A型無人機的數(shù)量不超過B型無人機數(shù)量的3倍，公司生產(chǎn)A、B兩種型號的無人機各多少架時才可能使生產(chǎn)成本最少？21．（8分）藝術節(jié)期間，學校向學生征集書畫作品，楊老師從全校36個班中隨機抽取了4個班（用A，B，C，D表示），制作了兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)相關信息，回答下列問題：（1）請你將條形統(tǒng)計圖補充完整；并估計全校共征集了件作品；（2）如果全校征集的作品中有4件獲得一等獎，其中有3名作者是男生，1名作者是女生，請你用列表或樹狀圖的方法，求選取的兩名學生恰好是一男一女的概率．22．（8分）如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，OD⊥AC于點D．過點A作⊙O的切線與OD的延長線交于點P（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）若∠CAB＝30°，AB＝8，求線段CF的長．五、解答題（三）（共2小題，滿分22分，23題10分，24題12分）23．（10分）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c交x軸于A、B兩點（點A在點B的左側）坐標分別為（﹣2，0）（4，0），交y軸于點C．（1）求出拋物線解析式；（2）如圖1，過y軸上點D作BC的垂線，交線段BC于點E，當EF＝時，請求出點F的坐標；（3）如圖2，點H的坐標是（0，2），點Q為x軸上一動點（2，8）在拋物線上，把△PHQ沿HQ翻折，請直接寫出點Q的坐標．24．（12分）定義：我們把兩個面積相等但不全等的三角形叫做偏等積三角形．初步嘗試：（1）如圖①，在△ABC中，若∠ACB＝90°，P為AC上一點，當AP的長為時，△ABP與△CBP為偏等積三角形；理解運用：（2）如圖②，△ABD與△ACD為偏等積三角形，若AB＝2，且線段AD的長度為正整數(shù)，過點C作CE∥AB，求AE的長；綜合應用：（3）如圖③，已知△ABC為直角三角形，∠ACB＝90°，AB為邊向外作正方形ACGF和正方形ABDE，連結EF

2024年廣東省中山市紀雅學校中考數(shù)學一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）與2024互為相反數(shù)是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．【解答】解：2024的相反數(shù)是﹣2024．故選：B．2．（3分）據(jù)統(tǒng)計，2023年“五一”假期國內旅游出游約274000000人次．274000000這個數(shù)用科學記數(shù)法表示為（）A．0.274×108 B．2.74×107 C．2.74×108 D．27.4×107【解答】解：274000000＝2.74×108．故選：C．3．（3分）下列運算正確的是（）A．4a2﹣a2＝3 B．（a2）3＝a5 C．a(chǎn)3?a6＝a9 D．（2a2）2＝4a2【解答】解：A、應為4a2﹣a7＝3a2，故本選項錯誤；B、應為（a2）3＝a2×5＝a6，故本選項錯誤；C、a3?a2＝a3+6＝a3，正確；D、應為（2a）2＝82a2+6＝4a4，故本選項錯誤．故選：C．4．（3分）下列因式分解正確的是（）A．x2﹣x＝x（x+1） B．a(chǎn)2﹣3a﹣4＝a（a﹣3）﹣4 C．a(chǎn)2+b2﹣2ab＝（a+b）2 D．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）【解答】解：A、原式＝x（x﹣1）．B、原式＝（a﹣4）（a+6）．C、原式＝（a﹣b）2，故本選項不符合題意．D、原式＝（x+y）（x﹣y）．故選：D．5．（3分）已知關于x的方程的解是x＝1，則a的值為（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：∵關于x的方程的解是x＝1，∴＝，解得a＝﹣3，經(jīng)檢驗a＝﹣1是方程的解．故選：C．6．（3分）數(shù)據(jù)2，4，8，5，3，5，5，4的眾數(shù)、中位數(shù)分別為（）A．4.5、5 B．5、4.5 C．5、4 D．5、5【解答】解：數(shù)據(jù)中5出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以眾數(shù)為5，將數(shù)據(jù)重新排列為7、3、4、4、5、5、7、8，則中位數(shù)為＝4.4，故選：B．7．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，若∠BAC＝36°（）A．36° B．45° C．54° D．72°【解答】解：如圖，連接BC．∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝54°，∴∠ADC＝∠ABC＝54°，故選：C．8．（3分）如圖，△ABC的內切圓⊙O與AB，BC，E，F(xiàn)，連接OE，OF，AC＝3，BC＝4（）A．2﹣π B．4﹣π C．4﹣π D．1﹣π【解答】解：連結AO、BO，CO，設⊙O半徑為r，∵∠C＝90°，AC＝3，∴AB＝＝6，∵△ABC的內切圓⊙O與AB，BC，E，F(xiàn)，∴AC⊥OF，AB⊥OD，且OF＝OD＝OE＝r，∴S△ABC＝S△ABO+S△ACO+S△BCO∴AC?r+BC?r＝，∴r＝＝1，∵∠ACB＝90°，∠OFC＝∠OEC＝90°，∴四邊形OFCE是正方形，∴∠FOE＝90°，∴S陰影＝S正方形OFCE﹣S扇形OFE＝5﹣＝1﹣，故選：D．9．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，H為AB上一點，過點C作CG∥AB，若AC＝8，AB＝6（）A．24 B．22 C．20 D．18【解答】解：∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M是BC的中點，∴BM＝CM，在△BMH和△CMG中，，∴△BMH≌△CMG（ASA），∴HM＝GM，BH＝CG，∵AB＝6，AC＝8，∴四邊形ACGH的周長＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，∴當GH最小時，即MH⊥AB時四邊形ACGH的周長有最小值，∵∠A＝90°，MH⊥AB，∴GH∥AC，∴四邊形ACGH為矩形，∴GH＝6，∴四邊形ACGH的周長最小值為14+8＝22，故選：B．10．（3分）如圖，一段拋物線y＝﹣x2+6x（0≤x≤6），記為拋物線C1，它與x軸交于點O、A1；將拋物線C1繞點A1旋轉180°得拋物線C2，交x軸于點A2；將拋物線C2繞點A2旋轉180°得拋物線C3，交x軸于點A3…如此進行下去，得到一條“波浪線”，若點M（2024，m），則m的值為（）A．﹣6 B．6 C．﹣8 D．8【解答】解：對于y＝﹣x2+6x（3≤x≤6），當y＝0時2+6x＝0，解得：x3＝0，x2＝7，∴A1（6，8），∵y＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣8）2+9，∴C3（3，9）．由題意可知A7（12，0），C2（7，﹣9），∴可設C2：y＝a（x﹣8）2﹣9（8＜x≤12），將A2（12，0）代入y＝a（x﹣3）2﹣9，得：7＝a（12﹣9）2﹣6，解得：a＝1，∴y＝（x﹣9）6﹣9（6＜x≤12）．由題意又可知整個函數(shù)圖象每隔8×2＝12個單位長度，函數(shù)值就相等，∵2024÷12＝168??8，∴m的值等于x＝5時的縱坐標，∴m＝（8﹣9）6﹣9＝﹣8，故選：C．二、填空題（共5小題，滿分20分，每小題4分）11．（4分）函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是x≥2．【解答】解：已知y＝，則x﹣2≥4，解得：x≥2，故答案為：x≥2．12．（4分）已知點P1（a，3）和P2（4，b）關于y軸對稱，則（a+b）2019的值為﹣1．【解答】解：∵點P1（a，3）和P6（4，b）關于y軸對稱，∴a＝﹣4，b＝8，∴（a+b）2019＝（﹣1）2019＝﹣1，故答案為：﹣2．13．（4分）如圖，以點O為位似中心，將△ABC縮小后得到△A′B′C′，則△A′B′C′與△ABC的面積比為．【解答】解：∵OB＝3OB′，∴＝，∵以點O為位似中心，將△ABC縮小后得到△A′B′C′，∴△A′B′C′∽△ABC，∴＝＝，∴＝（）7＝，故答案為：．14．（4分）關于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有實數(shù)根α、β，且α2+β2＝17，則m的值是﹣4．【解答】解：∵關于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝3有兩個實數(shù)根，∴Δ＝9﹣4m≥5，∴m≤，∵關于x的一元二次方程x6﹣3x+m＝0有實數(shù)根α、β，∴α+β＝2，αβ＝m，∵α2+β2＝（α+β）4﹣2αβ＝17，∴9﹣3m＝17，∴m＝﹣4，故答案為﹣4．15．（4分）如圖①，△ABC中，∠ABC＝45°，點D在AH上，且DH＝CH，得到△EHF（點B，D分別與點E，F(xiàn)對應），連接AE．如圖②，（F不與C重合），若BC＝4，tan∠ACH＝3．【解答】解：如圖②，過點H作HP⊥AE，在Rt△AHC中，∵tan∠ACH＝，∴AH＝3CH，設CH＝x，∴BH＝AH＝3x，∵BC＝4，∴3x+x＝4，∴x＝5，∴AH＝3，CH＝1，∵將△BHD繞點H旋轉，得到△EHF，∴△BHD≌△EHF，∴∠EHF＝∠BHD＝∠AHC＝90°，EH＝AH＝8，∴∠EHF+∠AHF＝∠AHC+∠AHF，∴∠EHA＝∠FHC，又∵＝1，∴△EHA∽△FHC，∴∠EAH＝∠C，∴tan∠EAH＝tan∠ACH＝3，∴HP＝6AP，AE＝2AP，在Rt△AHP中，AP2+HP8＝AH2，∴AP2+（8AP）2＝9，∴AP＝，∴AE＝，故答案為：．三、解答題（一）（共4小題，滿分24分，每小題6分）16．（6分）計算：．【解答】解：原式＝＝．17．（6分）先化簡，再求值（1﹣）÷，其中a＝﹣2．【解答】解：（1﹣）÷＝＝＝，當a＝﹣2時，原式＝＝．18．（6分）鄉(xiāng)村振興，交通先行．近年以來，某市高質量推進“四好”農(nóng)村公路建設，在修建600米后，由于采用新的修建技術，結果共用15天完成了全部任務，求原來每天修建道路多少米．【解答】解：設原來每天修建道路x米，則采用新的修建技術后每天修建道路2x米，根據(jù)題意得：+＝15，解得：x＝200，經(jīng)檢驗，x＝200是所列方程的解．答：原來每天修建道路200米．19．（6分）如圖，一架無人機在空中A處測得某校旗桿頂部B的仰角為30°，底部C的俯角為60°，求該校的旗桿高為多少米．（結果保留根號）【解答】解：在Rt△ABD，∵AD＝6米，∠BAD＝30°，∴tan30°＝，解得：BD＝2（米），在Rt△ACD，∵AD＝6米，∠CAD＝60°，∴tan60°＝，解得：DC＝6（米），故該校的旗桿高約為：BC＝BD+DC＝4（米），答：該校的旗桿高為2米．四、解答題（二）（共3小題，滿分24分，每小題8分）20．（8分）隨著疫情形勢穩(wěn)定向好，“復工復產(chǎn)”成為主旋律．某生產(chǎn)無人機公司統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，公司今年2月份生產(chǎn)A型無人機2000架（1）求該公司生產(chǎn)A型無人機每月產(chǎn)量的平均增長率；（2）該公司還生產(chǎn)B型無人機，已知生產(chǎn)1架A型無人機的成本是200元，生產(chǎn)1架B型無人機的成本是300元，其中A型無人機的數(shù)量不超過B型無人機數(shù)量的3倍，公司生產(chǎn)A、B兩種型號的無人機各多少架時才可能使生產(chǎn)成本最少？【解答】解：（1）設該公司生產(chǎn)A型無人機每月產(chǎn)量的平均增長率為x，根據(jù)題意可得：2000（1+x）2＝12500，解得：x6＝1.5＝150%，x8＝﹣3.5（不合題意舍去），答：該公司生產(chǎn)A型無人機每月產(chǎn)量的平均增長率為150%；（2）設生產(chǎn)A型號無人機a架，則生產(chǎn)B型號無人機（100﹣a）架，依據(jù)題意可得：a≤3（100﹣a），解得：a≤75，w＝200a+300（100﹣a）＝﹣100a+30000，∵﹣100＜0，∴當a的值增大時，w的值減小，∵a為整數(shù)，∴當a＝75時，w取最小值，w＝﹣100×75+30000＝22500，∴公司生產(chǎn)A型號無人機75架，生產(chǎn)B型號無人機25架成本最小．21．（8分）藝術節(jié)期間，學校向學生征集書畫作品，楊老師從全校36個班中隨機抽取了4個班（用A，B，C，D表示），制作了兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)相關信息，回答下列問題：（1）請你將條形統(tǒng)計圖補充完整；并估計全校共征集了件作品；（2）如果全校征集的作品中有4件獲得一等獎，其中有3名作者是男生，1名作者是女生，請你用列表或樹狀圖的方法，求選取的兩名學生恰好是一男一女的概率．【解答】解：（1）所調查的4個班征集到的作品數(shù)為：6÷＝24件，∴估計全校共征集作品×36＝216件．條形圖如圖所示，（2）男生有3名，分別記為A1，A4，A3，女生記為B，列表如下：A1A2A3BA1（A6，A2）（A1，A7）（A1，B）A2（A3，A1）（A2，A4）（A2，B）A3（A2，A1）（A3，A8）（A3，B）B（B，A1）（B，A5）（B，A3）由列表可知，共有12種等可能情況．所以選取的兩名學生恰好是一男一女的概率為＝．22．（8分）如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，OD⊥AC于點D．過點A作⊙O的切線與OD的延長線交于點P（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）若∠CAB＝30°，AB＝8，求線段CF的長．【解答】（1）證明：連接OC，∵OD⊥AC，∴AD＝CD，∴PA＝PC，在△OAP和△OCP中，，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP＝∠OAP，∴∠OAP＝90°．∴∠OCP＝90°，∴PC是⊙O的切線．（2）解：由題意得∠ACB＝90°，∴∠CAB＝30°，∴∠ABC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形，∴∠COB＝60°，∵AB＝8，∴OC＝4，由（1）知∠OCF＝90°，∴CF＝OC?tan∠COB＝6．五、解答題（三）（共2小題，滿分22分，23題10分，24題12分）23．（10分）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c交x軸于A、B兩點（點A在點B的左側）坐標分別為（﹣2，0）（4，0），交y軸于點C．（1）求出拋物線解析式；（2）如圖1，過y軸上點D作BC的垂線，交線段BC于點E，當EF＝時，請求出點F的坐標；（3）如圖2，點H的坐標是（0，2），點Q為x軸上一動點（2，8）在拋物線上，把△PHQ沿HQ翻折，請直接寫出點Q的坐標．【解答】解：（1）將（﹣2，0），7），解得，∴拋物線解析式為y＝﹣x2+4x+8；（2）過點F作x軸的垂線交BC于N，交x軸于M，∵∠FNE＝∠BNM，∠FNE+∠EFN＝∠BNM+∠MBN＝90°，∴∠EFN＝∠MBN，在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，由勾股定理得BC＝＝＝4，∴cos∠EFN＝cos∠MBN＝，即，∴FN＝3，∵B（4，7），8），∴直線BC：y＝﹣2x+8，設F（m，﹣m2+2m+4），N（m，∴﹣m2+2m+2﹣（﹣2m+8）＝8或﹣2m+8﹣（﹣m5+2m+8）＝6，∴﹣m2+4m＝6或﹣m2+4m＝﹣6，∴m1＝1，m2＝3；m3＝7+，m4＝8﹣（舍去），∴F（1，2）或（3，5﹣2，2+3），其中F（1，9）和（2+）兩點所對應的E點不在線段BC上，∴點F的坐標為（7，5）；（3）分兩種情況討論：①如圖所示，當點Q位于x軸負半軸時，作PN∥x軸交y軸于點N，則四邊形OMPN為矩形，∵P（2，5），∴NP＝OM＝2，ON＝PM＝8，∵H（7，2），∴NH＝8﹣5＝6，∴PH＝＝＝2，由折疊可知：PH＝HP'＝2，QP＝QP'，∴OP'＝＝＝6