中考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)與經(jīng)典題型練習(xí) 全等三角形中的一線三垂直模型(解析版)

專題03全等三角形中的一線三垂直模型

【模型展示】

特點(diǎn)【已知】如圖,

【證明】由ZBAD+ZABD=90o,ZCBE+ZABD=90o=ZCBE=NBAD,

4BAD=ZCBE

同理NABD=NBCE,在ZVtBO和ABCE中,,AB=BC

ZABD=ZBCE

^ABD=^BCE.

結(jié)論AABD=ΔJBCE,DE=AD+CE.

【模型證明】

【結(jié)論一】

解決方

案在AABC中，ZACB=90o,AC=BC,直線MN經(jīng)過點(diǎn)C,且AD_LMN于D,

BE_LMN于E,則有以下結(jié)論成立：

Φ?ADC^?CEB:②DE=AD+BE

【證明】：

①證明：?'ADLDE,BELDE,

：.ZADC=ZBEC=90o,

"：NACB=90。，

ΛZACD+ZBCE=90o,ZDAC+ZACD=90o,

.?.NDAC=NBCE,

'NCDA=/BEC

?ΔADcCEB中,ZDAC=ZECB

AC=BC

：.XADgXCEB（AAS）.

②證明：由（1）知：ZADgXCEB,

：.AD=CE,CD=BE,

?"DC+CE=DE,

.'.DE=AD+BE.

【結(jié)論二】（其他形狀一線三垂直）

①DE=AD-BE

【題型演練】

一、單選題

1.一天課間，頑皮的小明同學(xué)拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心將三角板掉到兩根柱

子之間，如圖所示，這一幕恰巧被數(shù)學(xué)老師看見了，于是有了下面這道題：如果每塊磚的厚

度α=8cm,則OE的長為()

A

DCE

A.40cmB.48cmC.56cmD.64cm

【答案】C

【詳解】由等腰直角三角形的性質(zhì)可得NAC3=90。，AC=CB,因此可以考慮證明AACO

和ACBE全等，可以證明拉E的長為7塊磚的厚度的和.

【分析】解：由題意得NAoC=NCE8=/AC3=90。，AC=CB,

：.乙ACO=90。-/BCE=ZCBE,

在△4。。和4CBEφ,

NADC=NCEB

NACD=ZCBE,

AC=CB

：.ΛACD^ACBE(AAS),

：?CD=BE=3a,AD=CE=4a,

：.DE=CD+CE=3α+44=7〃，

?.?α=8cm,

7。=56cm,

JDE=56Cm,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角

形的性質(zhì)與判定條件.

2.如圖，點(diǎn)尸，。分別是/ABC邊A4,BC上的點(diǎn)，月.8D=4,ZABC=60°.連結(jié)PO,

以Po為邊，在尸。的右側(cè)作等邊AOPE,連結(jié)BE,則ABOE的面積為（）

【答案】A

【分析】要求^。￡的面積，想到過點(diǎn)E作EF_LBC,垂足為F,因?yàn)轭}目已知ZABC=60°,

想到把ZABC放在直角三角形中，所以過點(diǎn)。作_LBA,垂足為G,利用勾股定理求出。G

的長，最后證明AGPD三ΔFDE即可解答.

【詳解】解：過點(diǎn)E作所_LBC,垂足為尸,過點(diǎn)。作DGL8A,垂足為G,

.-.ZBDG=30°,

.-.BG=-BD=I,

2

:.GD=>JBD2-BG2=2√3，

ΔW)E是等邊三角形，

.?.ZPDE=60°,PD=DE,

:.NPDB+ZEDF=I800-NPDE=120°,

ZABC=60。，

.?.ZPDB+ZBPD=180o-ZABC=120°,

.-.ZBPD=ZEDF,

ZPGD=ZDFE=90°,

ΔGPD≡ΔFDE(A4S),

:.GD=EF=2^3，

.?.?βz宏的面積，

=?×4×26,

2

=4G,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形、勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目的

已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線.

3.如圖，AC=CEfNACE=90。，ABLBDfEDLBD,AB=6cmfDE=2cm,則5。等于

()

【答案】B

【分析】根據(jù)題意證明"3C∕aCDE即可得出結(jié)論.

【詳解】解：VABlBDfEDlBDf

o

/.ZABC=ZCDE=90f

o

YZACE=90f

o

：.ZACB+ZDCE=90f

o

?/ZACB+ZBAC=90t

???ZBAC=ZDCEf

在4ABC和aCDE中，

NABC=NCDE=90。

NBAC=ZDCE

AC=CE

；.ABC^CDE(AAS),

.β.AB=CD=6cm,BC=DE=2cm,

：.βZ)=βC+CD=2+6=8cm,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理以及性質(zhì)定

理是解本題的關(guān)鍵.

二、填空題

4.如圖，已知ABC是等腰直角三角形，NACB=90。，AQLOE于點(diǎn)。，BE上DE于點(diǎn)E,

且點(diǎn)C在。E上，若AO=5,BE=S,則力E的長為.

【答案】13

【分析】先根據(jù)ADj_DE,BELDE,/AOC=/CEB=90。，則NDAC+/。CA=90。，ΔABC

是等腰直角三角形，NACB=90。,可得AC=C8,推出NoAC=/EC8,即可證明4DACSECB

得至IJCE=AD=5,CD=BE=S,由此求解即可.

【詳解】解：'：AD1.DE,BELDE,

24QC=NCE8=90°,

.?ZDAC+ZDCA=90o,

?.,△ABC是等腰直角三角形，NACB=90。,

ΛZDCΛ+ZBCE=90o,AC=CB

?NDAC=NECB,

：ADAC妾∕?ECB(AAS),

J.CE=AD=5,CD=BE=8,

.,.DE=CD+CE=13,

故答案為：13.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，垂線的定義，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練

掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件.

5.如圖所示，ASC中，AB=AC,ZBAC^=90o.直線/經(jīng)過點(diǎn)A,過點(diǎn)B作8EL/于點(diǎn)E,

過點(diǎn)C作C/，/于點(diǎn)凡若BE=2,CF=5,貝IJEE=.

【答案】7

【分析】根據(jù)全等三角形來實(shí)現(xiàn)相等線段之間的關(guān)系，從而進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案:

【詳解】解：:BE，/,CFJJ,

：.ZAEB=ZCM=90o.

.?ZEAB+ZEBA=9Q0.

又?.?∕B4C=90°,

.?.Z￡AB+ZCAF=90°.

：.ΛEBA=ΛCAF.

在4AEB?ΔCFA中

VZAEB=ZCFA,AEBA=ΛCAF,AB=AC,

Λ?Λfβ^?CM.

：.AE=CF,BE=AF.

.,.AE+AF=BE+CF.

：.EF=BE+CF.

-：BE=2,CF=5,

EF=2+5=】；

故答案為：7.

【點(diǎn)睛】本題考查J'全等三角形的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的

知識(shí)，正確的證明三角形全等.

三、解答題

6.已知：如圖，AB±BD,EDLBD,C是80上的一點(diǎn)，AC_LCE',AB=CD,求證：BC=

DE.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)直角三角形全等的判定方法，ASA即可判定三角形全等.

【詳解】證明：'：ABLBD,ED±BD,ACLLCE（已知）

.?.∕ACE=N8=/0=90。（垂直的意義）

VZBCA+ZDCE+ZzlCE=180°（平角的意義）

/ACE=90°（已證）

.*.N8C4+NOCE=90。（等式性質(zhì)）

?.?∕8CA+NA+∕8=18（Γ（三角形內(nèi)角和等于180°）

/8=90°（已證）

ΛZBCA+ZA=90°（等式性質(zhì)）

：.ZDCE=ZA(同角的余角相等)

在^ABC?ΔCDE中，

ZA=NDCE

?AB=CD,

ZB=ZD

Λ?ΛBC^?CDE(ASA)

.?BC=DE(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；熟練掌握三角形全等的判定定理是解題的關(guān)

鍵.

7.在AABC中，乙4CB=90。，AC=BC,直線MN經(jīng)過點(diǎn)C,且4DJ_MN于C,BELMN于

E.

(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：

②DE=AD+BE;

(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，AD=5,BE=2,求線段OE的長.

【答案】(1)①證明見解析；②證明見解析；

⑵r>E=3

【分析】(1)①由已知可知，ADLMN,BELMN,得到NADC=/CEB=90。，再根據(jù)三角

形內(nèi)角和與平角性質(zhì)，得到NC4D=NBCE,即可證明ZXADC冬ZXCEB(AAS)；②根據(jù)

ΛADC^ΛCEB,得到AD=CE,DC=BE,即可證明OE=4f>+8E.

(2)由已知可知，AZ)_LMMBELMN,得到NAf)C=NCEB=90°,再根據(jù)

^CAD+ZACD=90o.NAa)+NBCE=90°,得到NC4D=∕BCE,可證明AWg△(?￡?,

得到CE=AO,CD=BE,即可求出。E長.

(1)

①證明：'：ADVMN,BELMN,ZAC8=90°

/.ZADC=ZCEB=ZACB=90°,

,.?ZG4￡>+ZADC+ZACD=180°,

ZACD+ZACB+ZBCε=180o,

.,./CAD=/BCE,

在AADC和ACEB中，

ZCAD=ZBCE

<ΛADC=/CEB,

AC=BC

：.∕?ADC^ΛCEB(AAS);

②證明：??ΛADC^Δ,CEB,

ΛAD=CE9DC=BE,

：.DE=CE+DC=AD+BE；

(2)

證明：VAD±MMBEtMN,

：.ZADC=/CEB=90°,

：.NaLD+NACD=90。，

'.'ZAcB=90。，

：?ZACD+ZBCE=90°

：.ZCAD=ZBCEf

在AADC和ACEB中，

ZCAD=ZBCE

<ZADC=ZCEBT

AC=BC

△ADCqACEB(AAS),

ΛCE=AD=5fCD=BE=2,

：.DE=CE-CD=5—2=3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知準(zhǔn)確找到符合全等的條件是解

題關(guān)鍵.

8.(1)課本習(xí)題回放："如圖①，ZACB=90。，AC=BC9ADlCE9BELCEi垂足分

別為。，E,A￡>=2.5cm,DE=1.7cm.求的長、請(qǐng)直接寫出此題答案：BE的長為

(2)探索證明：如圖②，點(diǎn)、B,。在NM4N的邊AA/、AN上，AB=ACf點(diǎn)E,F在ZMAN

內(nèi)部的射線Ao上，且NBED=NCFD=ZBAC.求證：ΔABE^ΔC4F.

(3)拓展應(yīng)用：如圖③，在AABC中，AB=ACfAB>8C.點(diǎn)。在邊8C上，CD=2BD,

點(diǎn)、E、尸在線段A。上，N8￡。=NCFz>=N84C.若ΔA8C的面積為15,則AAb與ASDE

的面積之和為.(直接填寫結(jié)果，不需要寫解答過程)

【答案】⑴0&5；(2)見解析(3)5

【分析】(1)利用A4S定理證明△CEB絲ZXAQC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可；

(2)由條件可得∕8E4=NAFC,N4=NABE,根據(jù)AAS可證明△A8E絲Z?C4F;

(3)先證明AABE也4C4F,得到AAb與Δβ∕)E的面積之和為△A3。的面積，再根據(jù)

Cr)=28D故可求解.

【詳解】解：(1),JBELCE,ADLCE,

：.ZE^ZADC=90o,

：.ZEBC-?-ΛBCE=90o.

'：ZBCE+ZACD=Wo,

?NEBC=NDCA.

NE=ZADC

在小CEBΔADC中，，NEBC=ZDCA

BC=AC

：.?CEB^?ADCCAAS),

：.BE=DC,CE=AD=2.5cm.

?：DC=CE-DE,DE=IIcm,

ΛDC=2.5-1.7=0.8cw,

ΛBE=O.8CTO

故答案為：0.8。”；

(2)證明：VZ1=Z2,

：.ΛBEA=AAFC.

VZl=ZABE+Z3,∕3+N4=Nft4C,Zl=ZBAC,

.,.ZβAC=ZABE+Z3,

：.Z4=ZABE.

VZAEB=ZAFC,/ABE=24,AB=AC,

.".∕?ABE^ΛCAF(.AAS).

M

(3)??ZBED=ZCFD=ZBAC

：.ZABE+ZBAE=ZFAC+ZBAE=ZFAC+ZACF

：.ZABE=ZCAF,NBAE=NACF

XAB=AC

Λ?ABE^?CAF,

??SABE=SCAF

：.MCF與ABDE的面積之和等于MBE與ABDE的面積之和，即為△ABD的面積,

VCD=2BD,ZkABO與AACD的高相同

則S-BO=?S"BC=5

故MCF與ABDE的面枳之和為5

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的判

定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

9.問題背景：（1）如圖①，已知ABC中，ΛBAC=90o,AB=AC,直線,"經(jīng)過點(diǎn)A,BDl

直線，“，CEj_直線機(jī)，垂足分別為點(diǎn)Q,E,易證：DE=+.

(2)拓展延伸：如圖②，將(1)中的條件改為：在，ABC中，AB=AC,D,A,E三點(diǎn)

都在直線〃?上，并且有NBA4=NAEC=N3AC,請(qǐng)求出OE,BD,CE三條線段的數(shù)量關(guān)

系，并證明.

(3)實(shí)際應(yīng)用：如圖③，在ZXACB中，ZACB=90o,ACBC,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)

A的坐標(biāo)為(Y,3),請(qǐng)直接寫出B點(diǎn)的坐標(biāo).

【答'案［I)BD；CE；證明見詳解；(2)DE=BD+CE；證明見詳解；(3)點(diǎn)8的坐標(biāo)為8(1,4).

【分析】⑴根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得到AE=BZ),AD^CE,結(jié)合圖形解答即可；

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、平角的定義證明&%>=∕C4E,證明AΛBIRC4E,根據(jù)

全等三角形的性質(zhì)得到AE=BZ)，AD=CE,結(jié)合圖形解答即可；

(3)根據(jù)AAEgCKB,得到b=AE=3,BF=CE=OE-OC=,根據(jù)坐標(biāo)與圖形性

質(zhì)解答即可.

【詳解】(1)證明：VBDLm.CElm,

：.ZAz)8=NCEA=90。，

,/ZBAC=90°,

ABAD+ZCAE^90°,

'：ΛBAD+ZABD=90°,

：.NCAE=ZABD,

在,ADB和CEA中

'NABD=NCAE

-ZADB=ZCEA,

AB^CA

.ADB^.CEA,

ΛAE=BD,AD=CE,

?.DE=AE+AD=BD+CE,

即：DE=BD+CE,

故答案為：BD；CE；

(2)解：數(shù)量關(guān)系：DE=BD+CE,

證明：在JIBZ)中，ZABD=↑80o-ZAE>B-ZBAD,

'：ZCAE=180°-ΛBAC-ZBAD,ΛBDA=ZAEC,

：.ZABD=ZCAE,

在工ABD和。E中，

ZABD=ZCAE

"ZBDA=ZAEC

AB=CA

,ABD^ΔCAE,

.?.AE=BD,AD=CE,

：.DE=AD+AE=BD+CE:

(3)解：如圖，作Af_LX軸于E,BFLX軸于F,

由(1)可知，AEC咨CFB,

b=AE=3,BF=CE=OE-OC=4,

：.OF=CF-OC=X,

???點(diǎn)8的坐標(biāo)為8(1,4).

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握全等三角形的判定

定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，在［ΛBC中，AB=BC.

(1)如圖①所示，直線MV/過點(diǎn)8,AMj于點(diǎn)M,CNlMN于點(diǎn)、N,且

ZABC=90。.求證：MN=AM+CN.

(2)如圖②所示，直線MN過點(diǎn)8,A/交MN于點(diǎn)M,CN交MN干點(diǎn)、N,且

ZAMB=ZABC=/BNC,則MV=AM+CTV是否成立？請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)見解析；(2)MN=AM+CN仍然成立，理由見解析

【分析】(1)首先根據(jù)同角的余角相等得到NBAV=NCBN,然后證明

ΛAMB=ΛBNC(AAS)f然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到AM=BN,BM=CN,然后

通過線段之間的轉(zhuǎn)化即可證明MN=AM+CN；

(2)首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∕M4B=NCBN,然后證明ZXAMB=AδNC(A45),

根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到MN=MB+BN,最后通過線段之間的轉(zhuǎn)化即可證明

MN=AM+CN.

【詳解】證明：(1)???AMJLMN,CNlMN,

???ZAMB=ZBNC=90。,

/.ZABM+NBAM=90°,

???NABC=90。，

MABM2CBN90?,

：.4BAM=/CBN、

在，AMB和BNC中,

NAMB=ABNC

<ZBAM=NCBN,

AB=BC

：.AAMBWABNC(AAS),

.,.AM=BN,BM=CN,

?：BN+MB=MN,

：.MN=AM+CN；

(2)MN=AM+CN仍獨(dú)成立,理由如下：

,.?ZAMB+ΛMAB+ZABM=ZABM+ZABC+ΛCBN=?S0o,

?：ZAMB=ZABCf

：.AMAB=ACBN,

在,AAfB和BNC中,

/AMB=NBNC

,ZBAM=NCBN,

AB=BC

：.AAMB=ABNC(AAS),

/.AM=BN,NC=MB,

?：MN=MB+BN,

：.MN=AM+CN.

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，同角的與相等，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí),

解題的關(guān)鍵是根據(jù)同角的余角相等或三角形內(nèi)角和定理得到NKW=NCBN.

11.在直線，"上依次取互不重合的三個(gè)點(diǎn)Q,A,E,在直線機(jī)上方有AB=AC,且滿足/8D4

—ZAEC-Z,BAC-a.

(1)如圖1,當(dāng)α=90。時(shí)，猜想線段OE,BD,CE之間的數(shù)量關(guān)系是；

(2)如圖2,當(dāng)OVaVI80時(shí)，問題(1)中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若

不成立，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴。E=M+CE.

(2)。E=8。+CE仍然成立，證明見解析

【分析】(1)由NBZM=NBAC=/AEC=90。得到EAC=N8AO+/OR4=90。，

進(jìn)而得到/。B4=NEAC,然后結(jié)合AB=AC得證△DBA^ΛEAC,最后得到DE=BD+CE,?

(2)由∕BZM=∕8AC=∕AEC=a得到/BAD+/EAC=NBAD+/。&4=180。-a,進(jìn)而

得到NE>8A=NE4C,然后結(jié)合AB=AC得證△OBAgzXEAC,最后得到〃E=8D+CE.

(1)

解：DE=BD+CE,理由如下，

?/NBDA=ZBAC=NAEC=90。，

，NBAD+NEAC=ZBAD+ZDBA=90o,

：.ΛDBA=AEAC,

VAB=AC,

Λ?DBA^?E4C(AAS),

：.AD=CE,BD=AE,

：.DE=AD+AE=BD+CE,

故答案為：DE=BD+CE.

(2)

DE=BD+CE仍然成立,理由如下，

,.?ZBDA=ZBAC=ZAEC=a,

.*.ZBAD+ZEAC=NBAQ+NQBA=180°-α,

ΛZDBA=ZEAC,

"：AB=AC,

Λ?DBA^?E4C(A45),

ΛBD=AE,AD=CE,

：.DE=AD+AE=BD+CE;

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，解題

的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì).

12.如圖，ZABC=90,E4,AB于點(diǎn)A,點(diǎn)O在直線48上，AD=BC,AF=BD.

An~~NF

(1)如圖1,若點(diǎn)。在線段AB上，判斷。尸與QC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；

(2)如圖2,若點(diǎn)。在線段AB的延長線上，其他條件不變，試判斷(1)中結(jié)論是否成立，

并說明理由.

【答案】(I)DF=DC,DFlDCi理由見解析

(2)成立，理由見解析

【分析】(1)先證△AOF/△8CZλWDF=DC,ZADF=ΛBCD,再證∕FΔ>C=90。即可得垂

直；

(2)先證AACF絲△8C￡>,WDF=DC,ZADF=ZBCD,再證/FCC=90。即可得垂直.

(1)

解：VZABC=90,FAlAB,

.?.ZABC=ZDAF=^，

AF=BD

在AAOF與4BCD中-ZDAF=ZABC,

AD=BC

；.△AO產(chǎn)gABCD,

DF=DC,ZADF=ZBCD,

；NBDC+NBCD=90°,

/.ZBDC+ZADF=90o,

ΛZFDC=90o,BPDFlDC.

(2)

,.?ZABC=90,FA±AB,

?^DBC=^DAF=90，

AF=BD

在&AQF與aBCD中,/DAF=ZDBCf

AD=BC

???△A。尸也△BCD,

：.DF=DC,ZADF=ZBCDf

,.?ZBDC+ZBCD=90o,

ΛZβDC+ZΛDF=90o,

.,.ZFDC=90o,BPDFLDC.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是能判斷哪兩個(gè)三角形全等.

Q

13.(1)如圖1,已知：在AABC中，ZBAC=W,AB=ACf直線歷經(jīng)過點(diǎn)A,3O_L直線丑

CEL直線處垂足分別為點(diǎn)。、E.證明：DE=BD+CE?

(2)如圖2,將(1)中的條件改為：在448C中，AB=AC9D、A、E三點(diǎn)都在直線加上，

并且.有N3QA=NAEC=N3AC=α,其中。為任意鈍角，請(qǐng)問結(jié)論。E=8。+CE是否成立？如

成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)見解析；(2)成立，見解析

【分析】(1)根據(jù)AAS可證明△AOBgACEA,可得4E=8Q,AD=CE,可得DE=BD+CE.

(2)由已知條件可知/840+/0^=18()0-2,ZDβA+ZBAD=180o-a,可得

NDBA=/CAE,結(jié)合條件可證明△AO6<Z?CEA,同(1)可得出結(jié)論.

【詳解】(1)如圖1,???6￡>_L直線加，CE，直線機(jī)，

ΛZBZ)A=ZCE4=90o,

TNBA090。，

.β.ZBAD+ZCAE=90o

?/NBAO+∕A8Q=90°,

：.ZCAE=ZABDf

在△河。8和4CEA中，

ZBDA=ZCEA

<ZCAE=ZABD

AB=AC

：.?ΛDB^?CEA(AAS),

：?AE=BD,AD=CEf

：.DE=AE+AD=BD+CE↑

?：NBDA=NBAC=a,

.?.ZDBA^ZBAD=ZBAD+ZCAE=↑80°-a,

.'.ZDBA=ZCAE9

在△4。8和4CE4中，

NBDA=NCEA

<ZCAE=ZABD

AB=AC

.,.?ADβ^ΔCEΛ(AAS),

IAE=BD,AD=CE,

：.DE=AE+AD=BD+CE;

【點(diǎn)睛】本題主要考查「全等三角形的判定和性質(zhì)，由條件證明三角形全等得到BD=AE

CE=A。是解題的關(guān)鍵.

14.在直線m上依次取互不重合的三個(gè)點(diǎn)。,AE,在直線〃?上方有A5=AC,且滿足

ZBDA=ZAEC=ZBAC=a.

(1)如圖1,當(dāng)α=90。時(shí)，猜想線段DE,BRCE之間的數(shù)量關(guān)系是；

(2)如圖2,當(dāng)O<α<18O。時(shí)，問題(1)中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若

不成立，請(qǐng)說明理由；

(3)應(yīng)用：如圖3,在一ABC中，ZBAC是鈍角，AB=AC,

ZBAD<ZCAE,NBDA=AAEC=ZBAC,直線加與Ce的延長線交于點(diǎn)F,若BC=3FB,

ABC的面積是12,求一所。與..ACE的面積之和.

【答案】(I)OE=BZHCE

(2)DE=8D+CE仍然成立，理由見解析

(3)Δ&?￡>與AACE的面積之和為4

【分析】(1)由NBZM=∕BAC=NAEC=90。得到NB4Q+∕E4C=N8AO+NOBA=90。，

進(jìn)而得到∕O84=∕EAC,然后結(jié)合AB=AC得證ADBA^?EAC,最后得到DE=BD+CE,

(2)由/8。A=NRAC=NAEC=α得到NBAD+NE4C=NBAE)+NO84=180。-α,進(jìn)而

得到/08A=NE4C,然后結(jié)合AB=AC得證△08A絲Z?E4C,最后得到CE=Bo+CE；

(3)由NBA?！?C4E,NBDA=NAEC=NBAC,得出Ne4E=NA8D,由AAS證得

ΛADB^/XCAE,得出S△480=S△CEA,再由不同底等高的兩個(gè)三角形的面積之比等于底

的比，得出5?A8F即可得出結(jié)果.

(1)

解：DE=BD+CE,理由如下，

,.?ZBDA=ZBAC=ZAEC=90°,

：.ZBAD+ZEAC^ZBAD+ZDBA=90o,

.?.NDBA=NEAC,

"：AB=AC,

.'.?DBA^∕^EAC(AAS),

.?AD=CE,BD=AE,

：.DE=AD+AE=BD+CE,

故答案為：DE=BD+CE.

(2)

OE=Bo+CE仍然成立，理由如下，

β

.?NBDA=NBAC=ZAEC=af

：.ZBAD+ZEAC=NBA。+NOBA=180。-α,

：.ADBA=AEAC,

VAB=AC,

Λ?DB4^?EΛC(AAS),

：.BD=AE,AD=CE,

：.DE=AD+AE=BD+CE；

(3)

解：NBADCNCAE,NBDA=NAEC=NBAC,

：.ZCAE=ZABD9

在△48。和4CAE中，

ZABD=ZCAE

<ZBDA=ZCEA,

AB=AC

：.?ΛθD^?CAE(AAS),

ΛS?ABD=SRCAE,

設(shè)^ABC的底邊8C上的高為A,則4A8尸的底邊8尸上的高為〃，

ISAABC=TBC?h=12,SAABF=GBF6,

?：BC=3BF,

ΛS?ABF=4,

VS?ABF=SABDF+SAABD=SAFBD+S>ACE=49

：.AFBD與AACE的面積之和為4.

【點(diǎn)睛】本題考查J'全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，解題的

關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì).

15.在4?C中，NACB=90。，AC=BCf直線MN經(jīng)過點(diǎn)C且AO,MN于。，BELMN

于E,

⑴當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證:

①，ADCgACEB；

②DE=AD+BE；

(2)當(dāng)直線MN燒點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：DE=AD—BE；

(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問。E、AD.BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫

出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明.

【答案】(1)①證明見解析；②證明見解析

(2)證明見解析

(3)DE=BE-AD(或者對(duì)其恒等變形得到AL)=BE-DE,BE=AD+DE),證明見解析

【分析】(1)①根據(jù)AD_LMN,BELMN,ZAC8=90。，得出Nc4。=NBCE,再根據(jù)A45

即可判定ΔADC=ACE8;②根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可得出CE=4D,CD=BE,

進(jìn)而得到DE=CE+CD=AD+BE-.

(2)先根據(jù)ADLMN,BEJ_MN,得到NADC=NCE8=ZACB=90°,進(jìn)而得出ZCAD=ZBCE,

再根據(jù)A4S即可判定Δ4DC=ACEB,進(jìn)而得到CE=AD,CD=BE,最后得出

DE=CE-CD=AD-BEi

(3)運(yùn)用(2)中的方法即可得出DE,AD,BE之間的等量關(guān)系是：￡)E=BE-AD或恒

等變形的其他形式.

(1)

解：①?.A￡>_LMV,BEVMN,

:.ZADC=ZACB=90°=NCEB,

.?.ZC4D+ZACD=90o,ZBCE+ZACD=90°,

.?.ZCAD=ZBCE,

■在MDC和ACEB'I',

ZCAD=ZBCE

<NADC=ZCEfi

AC=BC

.?.ΔADC=ACEB(AAS)；

②ΔAZJC≥ΔCEB,

CE=AD,CD=BE,

.?.DE=CE+CD=AD+BE-.

(2)

證明：ADVMN,BElMN,

:.ZADC=NCEB=ZACB=90°,

..NCAD=NBCE,

在MDC和?CEB中，

ZCAD=NBCE

<ZADC=NCEB

AC=BC

.?.AADC=ACEB(AAS);

.?CE=AD,CD=BE,

.?.DE=CE-CD=AD-BE；

(3)

證明：當(dāng)MN旋轉(zhuǎn)到題圖(3)的位置時(shí)，AD,DE,8￡所滿足的等量關(guān)系是：DE=BE-AD

或AD=BE+DE或BE=AD+DE.

理由如下：ADlMN,BE工MN,

:,ZADC=^CEB=ZACB=90°,

：.NCAD=/BCE,

：在AADC和ACEB中，

ZCAD=NBCE

<ZADC=/CEB

AC=BC

.?.AADC三ACEB(AAS),

CE=AD,CD=BE,

..DE=CD-CE=BE-AD(或者對(duì)其恒等變形得到AQ=郎+?！昊?"=A。+。石).

【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)

注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，同角的余角相等，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)線段的和差關(guān)系

進(jìn)行推導(dǎo)，得出結(jié)論.

16.(1)如圖1,在AABC中，ZBAC=90o,AB=AC,直線，"經(jīng)過點(diǎn)A,直線機(jī)，

CE，直線機(jī)，垂足分別為點(diǎn)。、E.求證：AABO絲Z?CAE;

(2)如圖2,將(1)中的條件改為：在AABC中，AB=AC,D、4、E三點(diǎn)都在直線加上，

并且有N8D4=/AEC=NBAC=α,其中a為任意銳角或鈍角.請(qǐng)問結(jié)論△ABO絲Z?C4E

是否成立？如成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.

(3)拓展應(yīng)用：如圖3,D,E是。，A,E三點(diǎn)所在直線山上的兩動(dòng)點(diǎn)(D,A,E三點(diǎn)互

不重合)，點(diǎn)F為NBAC平分線上的一點(diǎn)，且AABF和AAC/均為等邊三角形，連接8。，

CE,若N8D4=/AEC=/BAC,求證：△QEF是等邊三角形.

【答案】(1)見詳解；(2)成立，理由見詳解；(3)見詳解

【分析】(1)根據(jù)直線加，CEL直線機(jī)得NBzM=NeE4=90°,而NR4C=90°,根

據(jù)等角的余角相等得NC4E=NABD，然后根據(jù)“A45”可判斷ΔAPB^ΔCE4:

(2)利用NBOA=NBAC=α,則Nf)β4+NBA。=ZfiW+/CAE=180。-α,得出

ΛCAE=ZABD,然后問題可求證；

(3)由題意易得BF=AF=AB=AC,ZABF=NBAF=NE4C=60°,由(1)(2)易證ΔAD8當(dāng)ACEA,

則有AE=BD,然后可得ΛFBD=AFAE，進(jìn)而可證ΔDBF=AEAF?最后問題可得證.

【詳解】(1)證明：直線相，CE，直線加，

:.ZBDA=ZCEA=90o,

ZSAC=90o,

ZBAD+ZCAE=90°,

ZBAD+ZABD=90o,

.'.ZCAE=ZABD,

在AAPB和ACE4中，

NABD=NCAE

<ZBDA=ZCEA,

AB=AC

.?.ΔΛD始ACEA(AAS);

解：(2)成立，理由如下：

ZBDA=/BAC=a,

.?./DBA+ΛBAD=ZBAD+ZCAE=180o-6Z,

.?.ΛCAE=ZABD,

在ΔAΩB和ΔCE4中，

ZABD=ZCAE

<ZBDA=ZCEA,

AB=AC

.?ΛADB^Δ,CEA(AAS).

(3)證明：???Z?48尸和△AC尸均為等邊三角形，

/.BF=AF=AB=AC,ZABF=ΛBAF=ΛFAC=ωo,

ZBDA=ZAEC=NBAC=I20°,

JZDBA+ZBΛD=ZBAD+ZCAE=180°-120°f

NCAE=ZABD,

...ΔADB^ΔCEA(AAS),

JAE=BD,

??NFBD=ZFBA+ZABD,ZFAE=ZE4C+ZCAE,

.??NFBD=NFAE,

?,.ΔDBF^ΔE4F(SAS),

：,FD=FE,NBFD=ZAFE,

.?.ZBFA=NBFD+/DFA=ZAFE+ZDFA=NDFE=60o,

...△OFE是等邊三角形.

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等

三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

17.已知AABC中，NACB=90。，AC=BC.BE、AD分別與過點(diǎn)C的直線垂直，且垂足分別

為。，E.

學(xué)習(xí)完第十二章后，張老師首先讓同學(xué)們完成問題1：如圖1,若AD=2?5cvn,DE=I.7cm,

求BE的長；然后，張老師又提出問題2：將圖1中的直線CE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到AABC的外部，

BE、AO與直線CE的垂直關(guān)系不變，如圖2,猜想4。、DE,BE三者的數(shù)量關(guān)系，并給予

證明.

【分析】如圖1,由“AAS'可證AACDgACBE,可得AD=CE=2.5。"，BE=CD,由線