重難點(diǎn)6-3 立體幾何外接球與內(nèi)切球問題（12題型+滿分技巧+限時(shí)檢測(cè)）-2024年高考數(shù)學(xué)【熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)】專練（新高考專用）含解析

重難點(diǎn)6-3立體幾何外接球與內(nèi)切球問題（12題型+滿分技巧+限時(shí)檢測(cè)）-2024年高考數(shù)學(xué)【熱點(diǎn)·重點(diǎn)·難點(diǎn)】專練（新高考專用）重難點(diǎn)6-3立體幾何外接球與內(nèi)切球問題有關(guān)多面體外接球和內(nèi)切球的問題，是立體幾何的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是高考的熱門考點(diǎn)，要求學(xué)生具有較強(qiáng)的空間想象能力和準(zhǔn)確的計(jì)算能力。新高考考查一般出現(xiàn)在選擇題與填空題，難度中上?！绢}型1正方體與長方體的外接球】滿分技巧1、長方體的外接球：長方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2、正方體的外接球：正方體的棱長為a，外接球半徑為R，則長方體的外接球正方體的外接球【例1】（2022·吉林長春·高三長春十一高?？茧A段練習(xí)）若一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上，則該正方體表面積與球表面積的比值是（）A．B．C．D．【變式1-1】（2024·四川·高三校聯(lián)考期末）在長方體中，，側(cè)面的面積為6，與底面所成角的正切值為，則該長方體外接球的表面積為．【變式1-2】（2024·四川成都·高三石室中學(xué)?？计谀┮阎L方體在球的內(nèi)部，球心在平面上，若球的半徑為，，則該長方體體積的最大值是（）A．4B．8C．12D．18【變式1-3】（2023·甘肅·統(tǒng)考一模）在長方體中，底面為正方形，，其外接球的體積為，則此長方體的表面積為（）A．34B．64C．D．【題型2正棱錐的外接球】滿分技巧正棱錐的外接球：正棱錐頂點(diǎn)在底面的投影為底面多邊形的外心，球心在高線上。（1）正三棱錐：設(shè)正三棱錐的棱長a，外接球的半徑.（2）正四棱錐：設(shè)正四棱錐的棱長為a，外接球半徑【例2】（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考一模）已知正三棱錐的側(cè)棱，，兩兩垂直，且，以為球心的球與底面相切，則該球的半徑為（）A．B．C．D．【變式2-1】（2024·浙江紹興·高三統(tǒng)考期末）小張同學(xué)將一塊棱長為的正方體形狀橡皮泥重新捏成一個(gè)正四面體（過程中橡皮泥無損失），則該四面體外接球的體積為（）A．B．C．D．【變式2-2】（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱錐的底面邊長為，側(cè)棱與底面所成的角為，頂點(diǎn)S，A，B，C，D在球O的球面上，則球O的表面積為.【變式2-3】（2023·重慶·高三西南大學(xué)附中?？计谥校┱睦忮F的高為3，體積為32，則其外接球的表面積為（）A．B．C．D．【題型3能補(bǔ)形為長方體的外接球】滿分技巧1、墻角模型找三條兩兩垂直的線段，直接用公式，即，求出【補(bǔ)充】圖1為陽馬，圖2和圖4為鱉臑2、對(duì)棱相等：對(duì)棱相等指四面體的三組對(duì)棱分別對(duì)應(yīng)相等，這三組對(duì)棱構(gòu)成長方體的三組對(duì)面的對(duì)角線?！纠?】（2023·江蘇徐州·高三沛縣湖西中學(xué)學(xué)業(yè)考試）在三棱錐中，三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直，且，若三棱錐的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球的表面上，則該球的體積是（）A．B．C．D．【變式3-1】（2022·河南·高三校聯(lián)考專題練習(xí)）已知三棱錐中，平面，若，，，，則三棱錐的外接球表面積為（）A．B．C．D．【變式3-2】（2024·云南德宏·高三統(tǒng)考期末）在三棱錐中，，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A．B．C．D．【變式3-3】（2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）在平行四邊形中，已知，將沿翻折得四面體．作一平面分別與交于點(diǎn)．若四邊形是邊長為的正方形，則四面體外接球的表面積為（）A．B．C．D．【題型4直棱柱漢堡模型的外接球】滿分技巧直棱柱的外接球：直棱柱的外接球球形是上下底面三角形外心的連線的中點(diǎn)1、補(bǔ)形：補(bǔ)成長方體，若各個(gè)頂點(diǎn)在長方體的頂點(diǎn)上，則外接球與長方體相同2、作圖：構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理例如：直三棱柱內(nèi)接與一球（棱柱的上下底面為直角三角形）此類題為上面題的特殊情況，解法更簡單，AH的長即為底面三角形斜邊的一般，勾股定理：，則注意：對(duì)于側(cè)棱垂直于的棱錐可考慮補(bǔ)形為直棱柱后再求外接球?！纠?】（2023·天津東麗·高三天津市第一百中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在直三棱柱中，，，，，該直三棱柱的外接球表面積為（）A．B．C．D．【變式4-1】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高三揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)開學(xué)考試）已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正三棱柱的高為2，這個(gè)球的體積為，則這個(gè)正三棱柱的體積為（）A．B．C．6D．4【變式4-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，底面的邊長為，與底面所成角的大小為，且，則該正四棱柱的外接球表面積為（）A．B．C．D．【變式4-3】（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某燈籠廠的員工用一條長度為的木條設(shè)計(jì)了一個(gè)正六棱柱型的燈籠框架（木條無剩余），則當(dāng)正六棱柱的外接球的表面積取最小值時(shí)，該正六棱柱的側(cè)面積為（）A．B．C．D．【題型5棱錐垂面模型的外接球】滿分技巧如圖，平面，求外接球半徑．第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑，連接，則必過球心；第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，；第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：=1\*GB3①；=2\*GB3②．【例5】（2024·浙江溫州·溫州中學(xué)?？家荒＃┤忮F中，平面，為等邊三角形，且，，則該三棱錐外接球的表面積為（）A．B．C．D．【變式5-1】（2024·河南南陽·高三統(tǒng)考期末）在三棱錐中，，，，則當(dāng)該三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為（）A．B．C．D．【變式5-2】（2023·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·高三期末）已知都在球的球面上，且平面．則該球的體積為．【變式5-3】（2024·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測(cè)）已知三棱錐中，，．若的中點(diǎn)分別為，且滿足．當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球體積是（）A．B．C．D．【題型6棱錐切瓜模型的外接球】滿分技巧對(duì)于平面⊥平面，（為小圓直徑）、第一步：由圖知球心必為的外心，即在大圓面上，先求小圓面直徑的長；第二步：在中，可根據(jù)正弦定理，解出【例6】（2024·廣東·惠州一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知三棱錐，是以為斜邊的直角三角形，為邊長是2的等邊三角形，且平面平面，則三棱錐外接球的表面積為（）A．B．C．D．【變式6-1】（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐中，底面為邊長為3的正方形，側(cè)面底面，且為等邊三角形，則該四棱錐外接球的表面積為（）A．B．C．D．【變式6-2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，與都是邊長為4的正三角形，且平面平面BCD，則該三棱錐外接球的表面積為．【變式6-3】（2024·云南楚雄·彝族自治州民族中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，平面平面，底面是邊長為3的正三角形，，若該三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)均在球上，且該三棱錐的體積為，則球的半徑為.【題型7共斜邊拼接模型的外接球】滿分技巧如圖，在四面體中，，，此四面體可以看成是由兩個(gè)共斜邊的直角三角形拼接而形成的，為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型”命名之．設(shè)點(diǎn)為公共斜邊的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結(jié)論可知，，即點(diǎn)到，，，四點(diǎn)的距離相等，故點(diǎn)就是四面體外接球的球心，公共的斜邊就是外接球的一條直徑．【例7】（2023·貴州六盤水·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四面體中，，，則四面體外接球的表面積為（）A．B．C．D．【變式7-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）三棱錐中，平面平面，，，，則三棱錐的外接球的半徑為【變式7-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在矩形中，，沿將矩形折成一個(gè)直二面角，則四面體的外接球的體積為（）A．B．C．D．【變式7-3】（2023·四川德陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知矩形ABCD的面積為8，當(dāng)矩形ABCD周長最小時(shí)，沿對(duì)角線AC把折起，則三棱錐D-ABC的外接球表面積等于（）A．B．C．D．不確定的實(shí)數(shù)【題型8二面角模型的外接球】滿分技巧兩個(gè)全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊第一步：先畫出如圖所示的圖形，將畫在小圓上，找出和的外心和；第二步：過和分別作平面和平面的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為球心，連接；第三步：解，算出，在中，勾股定理：注：易知四點(diǎn)共面且四點(diǎn)共圓，證略.【例8】（2024·廣東湛江·高三統(tǒng)考期末）已知是邊長為8的正三角形，是的中點(diǎn)，沿將折起使得二面角為，則三棱錐外接球的表面積為（）A．B．C．D．【變式8-1】（2024·山東德州·高三統(tǒng)考期末）在三棱錐中，是以為斜邊的等腰直角三角形，是邊長為2的正三角形，二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積為（）A．B．C．D．【變式8-2】（2024·廣東廣州·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在三棱錐中，，，，二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積為（）A．B．C．D．【變式8-3】（2022·河南·高三校聯(lián)考期末）在邊長為1的菱形中，將沿折起，使二面角的平面角等于，連接，得到三棱錐，則此三棱錐外接球的表面積為.

【題型9棱錐的內(nèi)切球問題】滿分技巧三棱錐是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑（最優(yōu)法）方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和相等第一步：先畫出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積；第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為，建立等式：第三步：解出【例9】（2022·福建·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正三棱錐中，側(cè)面與底面所成角的正切值為，，這個(gè)三棱錐的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為（）A．B．C．D．【變式9-1】（2023·陜西西安·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正四棱錐內(nèi)切球的半徑為，且，則正四棱錐的體積是（）A．B．C．D．【變式9-2】（2023·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）已知正四棱錐的體積為，則該正四棱錐內(nèi)切球表面積的最大值為（）A．B．C．D．【變式9-3】（2024·四川內(nèi)江·高三威遠(yuǎn)中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在三棱錐中，兩兩互相垂直，，當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，該三棱錐的內(nèi)切球半徑為.【題型10圓柱與圓錐的切接問題】滿分技巧1、圓錐的內(nèi)切球：圓錐的軸截面為等腰三角形，等腰三角形的內(nèi)切圓為內(nèi)切球的大圓，內(nèi)切圓的半徑即為內(nèi)切球的半徑，設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，則S?PAB=1所以R=2、圓柱的內(nèi)切球：不是所有的圓柱獨(dú)有內(nèi)切球，只有當(dāng)圓柱的高h(yuǎn)與圓柱的底面半徑r滿足h=2r，即圓柱的軸截面為正方形時(shí)，才有內(nèi)切球，此時(shí)內(nèi)切球的半徑為圓柱的底面半徑r.3、求圓柱與圓錐的外接球的方法主要通過軸截面來解決?！纠?0】（2022·北京昌平·高三昌平一中?？茧A段練習(xí)）古希臘阿基米德被稱為“數(shù)學(xué)之神”.在他的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱里內(nèi)切著一個(gè)球，這個(gè)球的直徑恰好等于圓柱的高，則球的表面積與圓柱的表面積的比值為（）A．B．C．D．【變式10-1】（2024·山西運(yùn)城·統(tǒng)考一模）已知圓錐的高為，其頂點(diǎn)和底面圓周都在直徑為的球面上，則圓錐的體積為.【變式10-2】（2024·陜西安康·陜西省安康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知底面半徑為2的圓錐的側(cè)面積為，則該圓錐的外接球的表面積為（）A．B．C．D．【變式10-3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓錐的底面半徑為2，高為，則該圓錐內(nèi)切球的體積為．【題型11圓臺(tái)與棱臺(tái)的切接問題】滿分技巧球內(nèi)接圓臺(tái)，棱臺(tái)：，其中分別為圓臺(tái)的上底面、下底面、高．基本規(guī)律：正棱臺(tái)外接球，以棱軸截面為主【例11】（2024·廣東深圳·統(tǒng)考一模）已知某圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為，且，若半徑為2的球與圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面均相切，則該圓臺(tái)的體積為（）A．B．C．D．【變式11-1】（2024·河北·高三校聯(lián)考期末）（多選）已知圓臺(tái)上?下底面半徑分別為1，2，且上下底面圓周均在半徑為的球的球面上，則該圓臺(tái)的體積可能為（）A．B．C．D．【變式11-2】（2023·江蘇·高三海安高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若一個(gè)小球與一個(gè)四棱臺(tái)的每個(gè)面都相切，設(shè)四棱臺(tái)的上、下底面積分別為，，側(cè)面積為S，則（）A．B．C．D．【變式11-3】（2024·山東濟(jì)南·高三濟(jì)南一中校聯(lián)考開學(xué)考試）在正三棱臺(tái)中，、，直線與底面所成的角為，則該三棱臺(tái)的體積為，該三棱臺(tái)的外接球的表面積為.【題型12球與球的相切問題】【例12】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知有大、小兩個(gè)球外切．若大球與某正四面體的所有棱都相切，小球與該正四面體的三條側(cè)棱都相切，記大球與小球的半徑分別為，則．【變式12-1】（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）空間中有四個(gè)球（記作球，球，球，球），它們的半徑分別是，，，（且），每個(gè)球都與其余三個(gè)球外切，另有一個(gè)半徑為的小球（記作球與這四個(gè)球都外切，若四面體的體積為，則四面體的外接球的表面積為．【變式12-2】（2023·山東濟(jì)南·高三省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）棱長為2的正四面體內(nèi)切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個(gè)小球，則這些小球的最大半徑為（）A．B．C．D．【變式12-3】（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)?？级＃┤缃裰袊蛔u(yù)為基建狂魔，可謂是逢山開路，遇水架橋.公路里程?高鐵里程雙雙都是世界第一.建設(shè)過程中研制出用于基建的大型龍門吊?平衡盾構(gòu)機(jī)等國之重器更是世界領(lǐng)先.如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球?yàn)檎拿骟w的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個(gè)面均相切，最小球與中等球和正四面體三個(gè)面均相切，已知正四面體棱長為，則模型中九個(gè)球的表面積和為（）A．B．C．D．（建議用時(shí)：60分鐘）1．（2024·重慶長壽·高三統(tǒng)考期末）將棱長為2的正方體木塊做成一個(gè)體積最大的球，則這個(gè)球的表面積為（）A．B．C．D．2．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）在直三棱柱中，，側(cè)面的面積為，則直三棱柱外接球的表面積的最小值為（）A．B．C．D．3．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑.若三棱錐為鱉臑，平面，，，三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為（）A．B．C．D．4．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知正四面體的內(nèi)切球半徑為1，則外接球半徑為（）A．B．C．2D．35．（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若正四棱錐體積為，內(nèi)接于球O，且底面過球心O，則該四棱錐內(nèi)切球的半徑為（）A．B．4C．D．6．（2024·重慶·高三統(tǒng)考期末）將一副三角板排接成平而四邊形ABCD（如圖），，將其沿BD折起，使得而ABD⊥面BCD．若三棱錐A-BCD的頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為（）A．B．C．D．7．（2024·福建福州·高三長樂第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在三棱錐中，側(cè)棱，則其外接球的表面積是（）A．B．C．D．8．（2023·河北石家莊·高三石家莊市第二十七中學(xué)校考階段練習(xí)）某廚房用品“升”可看作是一棱臺(tái)其上底面、下底面均為正方形，且，外接球的表面積為，則該“升”的體積為（）A．448B．或448C．或224D．或4489．（2023·廣西柳州·高三柳州高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)封閉的圓臺(tái)容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）的上底面半徑為2，下底面半徑為12，母線與底面所成的角為.在圓臺(tái)容器內(nèi)放置一個(gè)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)的正方體，則此正方體棱長的最大值是（）A．B．8C．D．1010．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）將平面內(nèi)等邊與等腰直角（其中為斜邊），沿公共邊折疊成直二面角，若，且點(diǎn)在同一球的球面上，則球的表面積為.11．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）在正三棱臺(tái)中，，，側(cè)棱與底面ABC所成角的正切值為．若該三棱臺(tái)存在內(nèi)切球，則此正三棱臺(tái)的體積為．12．（2023·山東泰安·高三新泰市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）在三棱錐中，是等邊三角形，，平面平面，若該三棱錐的外接球表面積為，則.13．（2024·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）已知菱形的邊長為2，且，將沿直線翻折為，記的中點(diǎn)為，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，三棱錐的外接球表面積為.14．（2024·廣東廣州·華南師大附中校考二模）在三棱錐中，側(cè)面底面是等腰直角三角形，且斜邊，，則三棱錐的外接球的表面積為．15．（2023·江蘇·高三白蒲高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，若圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為且，則此圓臺(tái)的內(nèi)切球(與圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面都相切的球叫圓臺(tái)的內(nèi)切球)的表面積為.重難點(diǎn)6-3立體幾何外接球與內(nèi)切球問題有關(guān)多面體外接球和內(nèi)切球的問題，是立體幾何的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是高考的熱門考點(diǎn)，要求學(xué)生具有較強(qiáng)的空間想象能力和準(zhǔn)確的計(jì)算能力。新高考考查一般出現(xiàn)在選擇題與填空題，難度中上。【題型1正方體與長方體的外接球】滿分技巧1、長方體的外接球：長方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2、正方體的外接球：正方體的棱長為a，外接球半徑為R，則長方體的外接球正方體的外接球【例1】（2022·吉林長春·高三長春十一高?？茧A段練習(xí)）若一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上，則該正方體表面積與球表面積的比值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)正方體的邊長為，則正方體的體對(duì)角線，則正方體的表面積為，球的表面積為，所以該正方體表面積與球表面積的比值是，故選:B.【變式1-1】（2024·四川·高三校聯(lián)考期末）在長方體中，，側(cè)面的面積為6，與底面所成角的正切值為，則該長方體外接球的表面積為．【答案】【解析】在長方體中，因?yàn)閭?cè)面的面積為6，所以，因?yàn)榕c底面所成角的正切值為，所以，結(jié)合，可得，所以該長方體外接球的半徑為，表面積．【變式1-2】（2024·四川成都·高三石室中學(xué)?？计谀┮阎L方體在球的內(nèi)部，球心在平面上，若球的半徑為，，則該長方體體積的最大值是（）A．4B．8C．12D．18【答案】A【解析】設(shè)長方體的高為h，設(shè)a，則，所以，若要長方體體積最大，則平面內(nèi)接與長方體，所以得，即得，所以長方體的體積為，設(shè)，其中，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極大值，亦即最大值，則.因此該長方體的體積的最大值為.故選：A【變式1-3】（2023·甘肅·統(tǒng)考一模）在長方體中，底面為正方形，，其外接球的體積為，則此長方體的表面積為（）A．34B．64C．D．【答案】B【解析】設(shè)外接球的半徑為，因?yàn)橥饨忧虻捏w積為，所以，所以.設(shè)底面正方形邊長為，因?yàn)殚L方體外接球的球心在體對(duì)角線中點(diǎn)，球直徑為長方體體對(duì)角線，所以，所以，所以長方體的表面積為，故選：B【題型2正棱錐的外接球】滿分技巧正棱錐的外接球：正棱錐頂點(diǎn)在底面的投影為底面多邊形的外心，球心在高線上。（1）正三棱錐：設(shè)正三棱錐的棱長a，外接球的半徑.（2）正四棱錐：設(shè)正四棱錐的棱長為a，外接球半徑【例2】（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考一模）已知正三棱錐的側(cè)棱，，兩兩垂直，且，以為球心的球與底面相切，則該球的半徑為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)球的半徑為，由題可知，，所以，解得．故選：.【變式2-1】（2024·浙江紹興·高三統(tǒng)考期末）小張同學(xué)將一塊棱長為的正方體形狀橡皮泥重新捏成一個(gè)正四面體（過程中橡皮泥無損失），則該四面體外接球的體積為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)正四面體的棱長為a，由題意可得，正方體的體積即為正四面體的體積，設(shè)正四面體如圖，F(xiàn)為為底面的中心，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)在上，O為正四面體外接球的球心，則為四面體的高，O在上，則，則，即得，所以，又設(shè)正四面體外接球的半徑R，則，即，即得，故外接球體積為，故選：C．【變式2-2】（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱錐的底面邊長為，側(cè)棱與底面所成的角為，頂點(diǎn)S，A，B，C，D在球O的球面上，則球O的表面積為.【答案】【解析】如圖，在正四棱錐中，連接，交于點(diǎn)，連接，則平面，為側(cè)棱與底面所成的角，所以.所以，所以頂點(diǎn)S，A，B，C，D在以為球心，3為半徑的球面上，即點(diǎn)O與重合，所以球O的表面積為.【變式2-3】（2023·重慶·高三西南大學(xué)附中?？计谥校┱睦忮F的高為3，體積為32，則其外接球的表面積為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令正四棱錐的底面棱長為，根據(jù)題意可得，解得.設(shè)是正四棱錐的高，是正四棱錐的外接球的球心，則在上（或的延長線上），則有，設(shè)球的半徑為，因此，顯然（或者），在正方形中，，由勾股定理可知：，因此該四棱錐的外接球的表面積為.故選：C【題型3能補(bǔ)形為長方體的外接球】滿分技巧1、墻角模型找三條兩兩垂直的線段，直接用公式，即，求出【補(bǔ)充】圖1為陽馬，圖2和圖4為鱉臑2、對(duì)棱相等：對(duì)棱相等指四面體的三組對(duì)棱分別對(duì)應(yīng)相等，這三組對(duì)棱構(gòu)成長方體的三組對(duì)面的對(duì)角線。【例3】（2023·江蘇徐州·高三沛縣湖西中學(xué)學(xué)業(yè)考試）在三棱錐中，三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直，且，若三棱錐的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球的表面上，則該球的體積是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直，補(bǔ)全三棱錐，則三棱錐的外接球的半徑，所以該球的體積是，故選：A【變式3-1】（2022·河南·高三校聯(lián)考專題練習(xí)）已知三棱錐中，平面，若，，，，則三棱錐的外接球表面積為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如圖，在中，由余弦定理，得，即，則，故，又而平面，將三棱錐置于一個(gè)長方體中，可知三棱錐的外接球半徑，則外接球表面積，故選:D．【變式3-2】（2024·云南德宏·高三統(tǒng)考期末）在三棱錐中，，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如圖，將三棱錐轉(zhuǎn)化為長方體，可知三棱錐的外接球即為長方體的外接球，則，可得，則外接球的半徑，所以三棱錐的外接球的表面積為.故選：C.【變式3-3】（2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）在平行四邊形中，已知，將沿翻折得四面體．作一平面分別與交于點(diǎn)．若四邊形是邊長為的正方形，則四面體外接球的表面積為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)闉檎叫危瑒t且，又面，面，所以面，又因?yàn)槊婷?，所以，同理可知，所以，且均為各邊的中點(diǎn)，所以，因?yàn)樗倪呅问沁呴L為的正方形，所以，首先求對(duì)棱四面體的外接球的半徑，將其放在長方體內(nèi)，如圖所示：，所以四面體外接球的半徑為，所以四面體外接球的表面積為.故選：A.【題型4直棱柱漢堡模型的外接球】滿分技巧直棱柱的外接球：直棱柱的外接球球形是上下底面三角形外心的連線的中點(diǎn)1、補(bǔ)形：補(bǔ)成長方體，若各個(gè)頂點(diǎn)在長方體的頂點(diǎn)上，則外接球與長方體相同2、作圖：構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理例如：直三棱柱內(nèi)接與一球（棱柱的上下底面為直角三角形）此類題為上面題的特殊情況，解法更簡單，AH的長即為底面三角形斜邊的一般，勾股定理：，則注意：對(duì)于側(cè)棱垂直于的棱錐可考慮補(bǔ)形為直棱柱后再求外接球?！纠?】（2023·天津東麗·高三天津市第一百中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在直三棱柱中，，，，，該直三棱柱的外接球表面積為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在中，由余弦定理可得，設(shè)外接圓半徑為r，再由正弦定理，因?yàn)槿庵侵比庵?，設(shè)外接球半徑為R，所以，所以外接球表面積為，故選：C【變式4-1】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高三揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)開學(xué)考試）已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正三棱柱的高為2，這個(gè)球的體積為，則這個(gè)正三棱柱的體積為（）A．B．C．6D．4【答案】B【解析】設(shè)球的半徑為，則，又正三棱柱的高為，設(shè)底面正三角形的外接圓半徑為，，故，解得，由正弦定理得底面等邊三角形的邊長為，則這個(gè)正三棱柱的體積為.故選：B.【變式4-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，底面的邊長為，與底面所成角的大小為，且，則該正四棱柱的外接球表面積為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的側(cè)棱D1D⊥底面ABCD，∴∠D1BD為直線BD1與底面ABCD所成的角，∴tan∠D1BD＝，∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD的邊長為，∴BD＝，∴正四棱柱的高h(yuǎn)＝×＝∴正四棱柱的外接球半徑為R＝∴正四棱柱的外接球表面積為S＝4πR2＝．故選：D．【變式4-3】（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某燈籠廠的員工用一條長度為的木條設(shè)計(jì)了一個(gè)正六棱柱型的燈籠框架（木條無剩余），則當(dāng)正六棱柱的外接球的表面積取最小值時(shí)，該正六棱柱的側(cè)面積為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)正六棱柱的底面邊長為，側(cè)棱長為，所有的棱長之和為，即，則，設(shè)正六棱柱的外接球半徑為，底面外接圓的半徑為，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，此時(shí)，取得最小值，即正六棱柱的外接球的表面積取最小值，所以正六棱柱的側(cè)面積為.故選：C.【題型5棱錐垂面模型的外接球】滿分技巧如圖，平面，求外接球半徑．第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑，連接，則必過球心；第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，；第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：=1\*GB3①；=2\*GB3②．【例5】（2024·浙江溫州·溫州中學(xué)校考一模）三棱錐中，平面，為等邊三角形，且，，則該三棱錐外接球的表面積為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如圖，點(diǎn)為外接圓的圓心，過點(diǎn)作平面的垂線，點(diǎn)為的中點(diǎn)，過點(diǎn)作線段的垂線，所作兩條垂線交于點(diǎn)，則點(diǎn)為三棱錐外接球的球心，因?yàn)槠矫?，且為等邊三角形，，所以四邊形為矩形，，，所以，即三棱錐外接球的半徑，則該三棱錐外接球的表面積為.故選：B【變式5-1】（2024·河南南陽·高三統(tǒng)考期末）在三棱錐中，，，，則當(dāng)該三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn)到底面的距離為，則，要使該三棱錐的體積最大時(shí),則需達(dá)到最大值，即,即,面，所以的斜邊的中點(diǎn)為外接圓圓心，因?yàn)?，，所?如圖所示，易得四邊形為矩形，所以，令棱錐外接球半徑為R，設(shè)，則即，解得，所以,解得，所以該三棱錐的外接球表面積為.故選：C.【變式5-2】（2023·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·高三期末）已知都在球的球面上，且平面．則該球的體積為．【答案】【解析】如圖設(shè)外接圓的圓心為，連接取中點(diǎn)為，連接，則平面，因?yàn)?，所以，所以四邊形為矩形，所以，在中，，由正弦定理得，所以球O的半徑，所以.【變式5-3】（2024·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測(cè)）已知三棱錐中，，．若的中點(diǎn)分別為，且滿足．當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球體積是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】取線段中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，則，又面，所以面，又面，所以，又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)分別為，所以，又因?yàn)椋?，又面，所以面，又，?dāng)，即時(shí)三棱錐的體積最大，故此時(shí)三條線兩兩垂直，其外接球半徑為，外接球體積為.故選：B.【題型6棱錐切瓜模型的外接球】滿分技巧對(duì)于平面⊥平面，（為小圓直徑）、第一步：由圖知球心必為的外心，即在大圓面上，先求小圓面直徑的長；第二步：在中，可根據(jù)正弦定理，解出【例6】（2024·廣東·惠州一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知三棱錐，是以為斜邊的直角三角形，為邊長是2的等邊三角形，且平面平面，則三棱錐外接球的表面積為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】直角三角形外接圓的圓心是斜邊的中點(diǎn)，過該點(diǎn)作一條垂直于平面的直線．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以所作直線在平面內(nèi)，且經(jīng)過等邊三角形的中心，所以等邊三角形的中心就是三棱錐外接球的球心，所以外接圓的半徑也是三棱錐外接球的半徑．由正弦定理知，(是的外接圓的半徑)，即，所以，于是三棱錐外接球的半徑為，故三棱錐外接球的表面積為．故選：A．【變式6-1】（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐中，底面為邊長為3的正方形，側(cè)面底面，且為等邊三角形，則該四棱錐外接球的表面積為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如圖，在四棱錐中，取側(cè)面和底面正方形的外接圓的圓心分別為，分別過作兩個(gè)平面的垂線交于點(diǎn)，則由外接球的性質(zhì)知，點(diǎn)即為該球的球心，連接并延長，交教AB于E,則E線段的中點(diǎn)，連接，則四邊形為矩形.在等邊中，可得，則，即，在正方形中，因?yàn)?，可得，在中，，即，所以四棱錐外接球的表面積為.故選：B.【變式6-2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，與都是邊長為4的正三角形，且平面平面BCD，則該三棱錐外接球的表面積為．【答案】【解析】取AB，CD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，連接EF，AF，BF，如圖所示由題意知，，，易知三棱錐的外接球球心O在線段EF上，所以，設(shè)外接球的半徑為R，連接OA，OC，則有，所以，，所以，又，則，，所以該三棱錐外接球的表面積為．【變式6-3】（2024·云南楚雄·彝族自治州民族中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，平面平面，底面是邊長為3的正三角形，，若該三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)均在球上，且該三棱錐的體積為，則球的半徑為.【答案】【解析】連接點(diǎn)與中點(diǎn)，由，故，由平面平面，平面平面，平面，故平面，故是三棱錐的高，則，即，取底面外接圓圓心，連接，則有平面，連接、、、，令球的半徑為，，，則有，即，即，故，即.【題型7共斜邊拼接模型的外接球】滿分技巧如圖，在四面體中，，，此四面體可以看成是由兩個(gè)共斜邊的直角三角形拼接而形成的，為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型”命名之．設(shè)點(diǎn)為公共斜邊的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結(jié)論可知，，即點(diǎn)到，，，四點(diǎn)的距離相等，故點(diǎn)就是四面體外接球的球心，公共的斜邊就是外接球的一條直徑．【例7】（2023·貴州六盤水·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四面體中，，，則四面體外接球的表面積為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題設(shè)，若是中點(diǎn)，又，故，所以是四面體外接球的球心，且半徑為，所以外接球的表面積為.故選：B【變式7-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）三棱錐中，平面平面，，，，則三棱錐的外接球的半徑為【答案】1【解析】因?yàn)?，，故是公共的斜邊，的中點(diǎn)是球心，球半徑為．【變式7-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在矩形中，，沿將矩形折成一個(gè)直二面角，則四面體的外接球的體積為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如圖，設(shè)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為，則由矩形對(duì)角線互相平分，可知．∴點(diǎn)到四面體的四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即點(diǎn)為四面體的外接球的球心，∴外接球的半徑，則．故選：C.【變式7-3】（2023·四川德陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知矩形ABCD的面積為8，當(dāng)矩形ABCD周長最小時(shí)，沿對(duì)角線AC把折起，則三棱錐D-ABC的外接球表面積等于（）A．B．C．D．不確定的實(shí)數(shù)【答案】B【解析】設(shè)矩形的邊長分別為、，則，所以矩形周長，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，矩形周長最小時(shí)，，，，因?yàn)橥饨忧虻陌霃剑饨忧虮砻娣e．故選：B．【題型8二面角模型的外接球】滿分技巧兩個(gè)全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊第一步：先畫出如圖所示的圖形，將畫在小圓上，找出和的外心和；第二步：過和分別作平面和平面的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為球心，連接；第三步：解，算出，在中，勾股定理：注：易知四點(diǎn)共面且四點(diǎn)共圓，證略.【例8】（2024·廣東湛江·高三統(tǒng)考期末）已知是邊長為8的正三角形，是的中點(diǎn)，沿將折起使得二面角為，則三棱錐外接球的表面積為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在三棱錐中，平面，由二面角為，，得是正三角形，令其外接圓圓心為，則，令三棱錐外接球的球心為，球半徑為，則平面，即有，顯然球心在線段的中垂面上，令線段的中垂面交于，則，顯然，于是，四邊形是平行四邊形，且是矩形，而，因此，所以三棱錐外接球的表面積.故選：C【變式8-1】（2024·山東德州·高三統(tǒng)考期末）在三棱錐中，是以為斜邊的等腰直角三角形，是邊長為2的正三角形，二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，由題意，，所以，所以為二面角的平面角，所以，因?yàn)槭且詾樾边叺牡妊苯侨切?，且，所以，為外接圓的圓心，又是邊長為2的等邊三角形，所以，過點(diǎn)作與平面垂直的直線，則球心在該直線上，設(shè)球的半徑為，連接，可得，在中，，利用余弦定理可得，所以，解得，所以外接球的表面積為.故選：A.【變式8-2】（2024·廣東廣州·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在三棱錐中，，，，二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如圖，因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋詾榈冗吶切?，所?取的中點(diǎn)D，連接和，則為二面角的平面角，即.因?yàn)闉橹苯侨切?，所以D為的外心.設(shè)的外心為，過點(diǎn)D作平面的垂線，過點(diǎn)作平面的垂線，則交點(diǎn)為球心，連接，.設(shè)三棱錐外接球的半徑為R.在中，，由已知得，在中，由余弦定理得，即，解得，故三棱錐外接球的表面積為.故選：C.【變式8-3】（2022·河南·高三校聯(lián)考期末）在邊長為1的菱形中，將沿折起，使二面角的平面角等于，連接，得到三棱錐，則此三棱錐外接球的表面積為.

【答案】【解析】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榱庑?，所以即為二面角的平面角，因?yàn)?，所以和均為正三角形，取靠近的三等分點(diǎn)，取靠近的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)作平面，過點(diǎn)作平面，交于點(diǎn)，則為三棱錐外接球的球心，連接，由對(duì)稱性知，則，，因?yàn)?，所以，所以外接球的半徑，所以外接球的表面積為.【題型9棱錐的內(nèi)切球問題】滿分技巧三棱錐是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑（最優(yōu)法）方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和相等第一步：先畫出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積；第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為，建立等式：第三步：解出【例9】（2022·福建·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正三棱錐中，側(cè)面與底面所成角的正切值為，，這個(gè)三棱錐的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)槿忮F為正三棱錐，底面邊長為6，且側(cè)面與底面所成角的正切值為，所以可得正三棱錐的高，側(cè)面的高；設(shè)正三棱錐底面中心為，其外接球的半徑為，內(nèi)切球半徑為，則有，也即，解得：，正三棱錐的體積，也即，解得：，所以，故選：B.【變式9-1】（2023·陜西西安·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正四棱錐內(nèi)切球的半徑為，且，則正四棱錐的體積是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】在正四棱錐中，連接，，，連，則平面，設(shè)，則，由等體積法可得，故，解得，故故選：D．【變式9-2】（2023·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）已知正四棱錐的體積為，則該正四棱錐內(nèi)切球表面積的最大值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如圖，在正四棱錐中，M、N分別是線段的中點(diǎn)，該正四棱錐內(nèi)切球的大圓是的內(nèi)切圓．圓心為E．設(shè)，則圓E的半徑．．于是，正四棱錐的體積為，即有，所以，此時(shí)，該正四棱錐內(nèi)切球的表面積．，即．當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故．故選：A．【變式9-3】（2024·四川內(nèi)江·高三威遠(yuǎn)中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在三棱錐中，兩兩互相垂直，，當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，該三棱錐的內(nèi)切球半徑為.【答案】【解析】設(shè)，則，由題意知兩兩互相垂直，可得三棱錐的體積為，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取到最大值，此時(shí)三棱錐的體積取得最大值，設(shè)此時(shí)三棱錐的內(nèi)切球的半徑為r，則，則，則即，解得.【題型10圓柱與圓錐的切接問題】滿分技巧1、圓錐的內(nèi)切球：圓錐的軸截面為等腰三角形，等腰三角形的內(nèi)切圓為內(nèi)切球的大圓，內(nèi)切圓的半徑即為內(nèi)切球的半徑，設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，則S?PAB=1所以R=2、圓柱的內(nèi)切球：不是所有的圓柱獨(dú)有內(nèi)切球，只有當(dāng)圓柱的高h(yuǎn)與圓柱的底面半徑r滿足h=2r，即圓柱的軸截面為正方形時(shí)，才有內(nèi)切球，此時(shí)內(nèi)切球的半徑為圓柱的底面半徑r.3、求圓柱與圓錐的外接球的方法主要通過軸截面來解決?！纠?0】（2022·北京昌平·高三昌平一中?？茧A段練習(xí)）古希臘阿基米德被稱為“數(shù)學(xué)之神”.在他的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱里內(nèi)切著一個(gè)球，這個(gè)球的直徑恰好等于圓柱的高，則球的表面積與圓柱的表面積的比值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)球半徑為，則圓柱底面半徑為，圓柱的高為，則，所以，故選：B.【變式10-1】（2024·山西運(yùn)城·統(tǒng)考一模）已知圓錐的高為，其頂點(diǎn)和底面圓周都在直徑為的球面上，則圓錐的體積為.【答案】【解析】取圓錐的軸截面如圖所示：設(shè)圓錐的外接球?yàn)榍?，易知，且，，則，故圓錐的底面半徑為，因此，該圓錐的體積為.【變式10-2】（2024·陜西安康·陜西省安康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知底面半徑為2的圓錐的側(cè)面積為，則該圓錐的外接球的表面積為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如圖，設(shè)圓錐的母線長為，由圓錐的側(cè)面積公式，得，解得，所以圓錐的高為．設(shè)圓錐的外接球半徑為，則在中，由勾股定理，，解得，所以該圓錐的外接球的表面積為．故選：D．【變式10-3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓錐的底面半徑為2，高為，則該圓錐內(nèi)切球的體積為．【答案】【解析】如圖所示，圓錐與內(nèi)切球的軸截面圖，設(shè)點(diǎn)O為球心，內(nèi)切球的半徑為，為切點(diǎn)，則，因?yàn)閳A錐的底面半徑為2，高為，可得，且，在中，可得，即，解得，所以該圓錐內(nèi)切球的體積．【題型11圓臺(tái)與棱臺(tái)的切接問題】滿分技巧球內(nèi)接圓臺(tái)，棱臺(tái)：，其中分別為圓臺(tái)的上底面、下底面、高．基本規(guī)律：正棱臺(tái)外接球，以棱軸截面為主【例11】（2024·廣東深圳·統(tǒng)考一模）已知某圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為，且，若半徑為2的球與圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面均相切，則該圓臺(tái)的體積為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如圖，設(shè)圓臺(tái)上、下底面圓心分別為，則圓臺(tái)內(nèi)切球的球心O一定在的中點(diǎn)處，設(shè)球O與母線切于M點(diǎn)，所以，所以，所以與全等，所以，同理，所以，過A作，垂足為G，則，，所以，所以，所以，所以，所以該圓臺(tái)的體積為.故選：C【變式11-1】（2024·河北·高三校聯(lián)考期末）（多選）已知圓臺(tái)上?下底面半徑分別為1，2，且上下底面圓周均在半徑為的球的球面上，則該圓臺(tái)的體積可能為（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】設(shè)圓臺(tái)外接球球心為，球心到上，下底面的距離為，則，解得，同理可得，若位于上下底面之間，則圓臺(tái)的高為，此時(shí)圓臺(tái)體積為，若位于下底面下方，則圓臺(tái)的高為，此時(shí)圓臺(tái)體積為.故選：AC．【變式11-2】（2023·江蘇·高三海安高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若一個(gè)小球與一個(gè)四棱臺(tái)的每個(gè)面都相切，設(shè)四棱臺(tái)的上、下底面積分別為，，側(cè)面積為S，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)小球半徑為R，因?yàn)橐粋€(gè)小球與一個(gè)四棱臺(tái)的每個(gè)面都相切，所以四棱臺(tái)的體積等于以球心為頂點(diǎn)，以四棱臺(tái)的上、下底面和四個(gè)側(cè)面為底面的六個(gè)四棱錐的體積之和，其高都是球的半徑R，且棱臺(tái)的高是2R，則四棱臺(tái)的體積為，得，即，故選：C【變式11-3】（2024·山東濟(jì)南·高三濟(jì)南一中校聯(lián)考開學(xué)考試）在正三棱臺(tái)中，、，直線與底面所成的角為，則該三棱臺(tái)的體積為，該三棱臺(tái)的外接球的表面積為.【答案】；【解析】記分別是的中心，過作交于點(diǎn)，如圖，則由正三棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征可知底面，所以底面，所以為側(cè)棱與底面所成角的平面角，故，在中，由正弦定理得，即，，在中，，即，，所以在中，，則該三棱臺(tái)的高為，所以該三棱臺(tái)的體積為.連接，則，所以為正三棱臺(tái)的外接球的球心，且外接球的半徑，所以該三棱臺(tái)的外接球的表面積.【題型12球與球的相切問題】【例12】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知有大、小兩個(gè)球外切．若大球與某正四面體的所有棱都相切，小球與該正四面體的三條側(cè)棱都相切，記大球與小球的半徑分別為，則．【答案】【解析】如圖，設(shè)正四面體的棱長為，因?yàn)榇笄蚺c所有的棱都相切，取中點(diǎn)，取底面的中心，記大球的球心為，則在上，，作，易知，所以，因?yàn)樾∏蚺c該正四面體的三條側(cè)棱都相切，記小球球心為，作，則，因?yàn)?，，所以，，，所以，所?【變式12-1】（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）空間中有四個(gè)球（記作球，球，球，球），它們的半徑分別是，，，（且），每個(gè)球都與其余三個(gè)球外切，另有一個(gè)半徑為的小球（記作球與這四個(gè)球都外切，若四面體的體積為，則四面體的外接球的表面積為．【答案】【解析】連接四個(gè)球的球心，，，，得到一個(gè)四面體，如圖所示．由題意可知，，，，設(shè)球的半徑為，則．如圖1，取，的中點(diǎn)分別為，，則球的球心必在上．因?yàn)?，，，由，得①．因?yàn)樗拿骟w的體積為，所以，所以②．聯(lián)立①②可得，兩邊平方，得，整理，得，兩邊平方，得，整理，得，把代入得，可得或（舍），所以，．于是，，，．如圖2，過點(diǎn)作，垂足為，取的外心為，過點(diǎn)作，則四面體的外接球的球心為，連接，設(shè)的外接圓的半徑為，則，解得．設(shè)四面體的外接球的半徑為，則，整理，得，即，解得，所以其外接球的表面積．【變式12-2】（2023·山東濟(jì)南·高三省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）棱長為2的正四面體內(nèi)切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個(gè)小球，則這些小球的最大半徑為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題，當(dāng)球和正四面體的三個(gè)側(cè)面以及內(nèi)切球都相切時(shí)半徑最大，設(shè)內(nèi)切球的球心為，半徑為R，空隙處最大球的球心為，半徑為，為的中心，得平面，為中點(diǎn)，球和球分別和平面相切于，，在底面正三角形中，易求，，，又，由，即得，又，，，，又，可得即，即球的最大半徑為.故選：C.【變式12-3】（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)?？级＃┤缃裰袊蛔u(yù)為基建狂魔，可謂是逢山開路，遇水架橋.公路里程?高鐵里程雙雙都是世界第一.建設(shè)過程中研制出用于基建的大型龍門吊?平衡盾構(gòu)機(jī)等國之重器更是世界領(lǐng)先.如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球?yàn)檎拿骟w的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個(gè)面均相切，最小球與中等球和正四面體三個(gè)面均相切，已知正四面體棱長為，則模型中九個(gè)球的表面積和為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，則，，過點(diǎn)作⊥底面，垂足在上，且，所以，故，點(diǎn)為最大球的球心，連接并延長，交于點(diǎn)，則⊥，設(shè)最大球的半徑為，則，因?yàn)椤?，所以，即，解得，即，則，故設(shè)最小球的球心為，中間球的球心為，則兩球均與直線相切，設(shè)切點(diǎn)分別為，連接，則分別為最小球和中間球的半徑，長度分別設(shè)為，則，則，又，所以，解得，又，故，解得，所以，模型中九個(gè)球的表面積和為.故選：B（建議用時(shí)：60分鐘）1．（2024·重慶長壽·高三統(tǒng)考期末）將棱長為2的正方體木塊做成一個(gè)體積最大的球，則這個(gè)球的表面積為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】將棱長為2的正方體木塊做成一個(gè)體積最大的球,則該球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，故球的半徑為，則球的表面積為.故選：C.2．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）在直三棱柱中，，側(cè)面的面積為，則直三棱柱外接球的表面積的最小值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如圖，設(shè)的外接圓半徑為，直三棱柱外接球的半徑為．由正弦定理，得，所以，又因?yàn)閭?cè)面的面積為，所以，所以，而，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，所以直三棱柱外接圓的表面積的最小值．故選：B．3．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑.若三棱錐為鱉臑，平面，，，三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】將三棱錐補(bǔ)形為長方體，則長方體的外接球即為三棱錐的外接球，如圖，的中點(diǎn)即為外接球的球心，為直徑，由勾股定理得，故半徑為，球的表面積為.故選：B4．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知正四面體的內(nèi)切球半徑為1，則外接球半徑為（）A．B．C．2D．3【答案】D【解析】如圖，為中點(diǎn)，，設(shè)在底面的投影為，為的中心，，設(shè)正四面體棱長為，則，，，正四面體的體積為，正四面體的表面積為，體積為，設(shè)正四面體的內(nèi)切球半徑為，設(shè)為內(nèi)切球的球心，所以，即，則有，即，解可得，因?yàn)檎拿骟w的內(nèi)切球半徑為1，所以，解得：，若四面體的外接球的球心為，則外接球半徑，解得.故選：D.5．（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若正四棱錐體積為，內(nèi)接于球O，且底面過球心O，則該四棱錐內(nèi)切球的半徑為（）A．B．4C．D．【答案】A【解析】因?yàn)檎睦忮F內(nèi)接于球O，且底面過球心O，設(shè)球的半徑為，所以，所以，于是正四棱錐的體積，解得，所以正四棱錐的表面積，設(shè)正四棱錐內(nèi)切球的半徑為，則，解得.故選：A.6．（2024·重慶·高三統(tǒng)考期末）將一副三角板排接成平而四邊形ABCD（如圖），，將其沿BD折起，使得而ABD⊥面BCD．若三棱錐A-BCD的頂點(diǎn)都在