空間兩直線的位置關系

關于空間兩直線的位置關系教學目的1.會判斷兩條直線的位置關系，學會用圖形語言、符號語言表示三種位置關系.2.理解公理四,并能運用公理四證明線線平行.3掌握空間兩直線的位置關系，掌握異面直線的概念，會用反證法和異面直線的判定定理證明兩直線異面；4.

掌握異面直線所成角的概念及異面直線垂直的概念，能求出一些較特殊的異面直線所成的角第2頁,共43頁，2024年2月25日，星期天復習引入：1、同一平面內(nèi)不重合兩條直線有幾種位置關系？2、在同一平面內(nèi)，同平行于一條直線的兩條直線有什么位置關系？(1)、相交：有且僅有一個公共點。(2)、平行：在同一平面內(nèi)沒有公共點?；ハ嗥叫刑岢鰡栴}：空間中的兩條直線呢？第3頁,共43頁，2024年2月25日，星期天1.空間中兩條直線的位置關系觀察：觀察教室內(nèi)的日光燈管所在直線與黑板的左右兩側所在的直線,想一想:它們相交嗎?平行嗎?共面嗎?觀察上方體的棱所在直線,回答類似的問題.思考：我們把具有上述特征的兩條直線取個怎樣的名字才好呢？第4頁,共43頁，2024年2月25日，星期天異面直線的定義:我們把不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線（skew

lines）。想一想:怎樣通過圖形來表示異面直線?為了表示異面直線a，b不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個平面襯托。如下圖:第5頁,共43頁，2024年2月25日，星期天想一想,做一做：1.已知M、N分別是長方體的棱C1D1與CC1上的點，那么MN與AB所在的直線是異面直線嗎？第6頁,共43頁，2024年2月25日，星期天2.下圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原成正方體，那么AB，CD，EF，GH這四條線段所在直線是異面直線的有幾對？想一想,做一做：HGFEDCBA三對AB與CDAB與GHEF與GH3.第7頁,共43頁，2024年2月25日，星期天空間兩條直線的位置關系有且只有三種平行相交異面位置關系公共點個數(shù)是否共面沒有只有一個沒有共面不共面共面空間中兩條直線的位置關系第8頁,共43頁，2024年2月25日，星期天2.

空間兩平行直線提出問題：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行。在空間中，是否有類似的規(guī)律？平行嗎?中,觀察：如圖2.1.2-5,長方體與那么DD'∥

AA'BB'∥AA'第9頁,共43頁，2024年2月25日，星期天公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。公理4實質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。a∥bc∥ba∥c符號表示：設空間中的三條直線分別為a,b,c,若想一想:空間中,如果兩條直線都與第三條直線垂直,是否也有類似的規(guī)律?第10頁,共43頁，2024年2月25日，星期天例題示范例1：在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點。求證：四邊形EFGH是平行四邊形。分析：欲證EFGH是一個平行四邊形只需證EH∥FG且EH＝FGE，F(xiàn)，G，H分別是各邊中點連結BD,只需證：EH∥BD且EH＝BDFG∥BD且FG＝BDABDEFGHC第11頁,共43頁，2024年2月25日，星期天例題示范例1：在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點。求證：四邊形EFGH是平行四邊形。ABDEFGHC∵EH是△ABD的中位線

∴EH∥BD且EH=BD同理，F(xiàn)G∥BD且FG=BD∴EH∥FG且EH=FG∴EFGH是一個平行四邊形證明：連結BD第12頁,共43頁，2024年2月25日，星期天變式一：

在例2中，如果再加上條件AC=BD，那么四邊形EFGH是什么圖形?

EHFGABCD分析：在例題2的基礎上我們只需要證明平行四邊形的兩條鄰邊相等。菱形第13頁,共43頁，2024年2月25日，星期天變式二：

空間四面體A--BCD中,E,H分別是AB,AD的中點,F,G分別是CB,CD上的點,且，求證:四邊形ABCD為梯形.ABCDEHFG分析：需要證明四邊形ABCD有一組對邊平行，但不相等。第14頁,共43頁，2024年2月25日，星期天3.

等角定理提出問題:在平面上,我們?nèi)菀鬃C明“如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補”。在空間中,結論是否仍然成立呢?觀察思考：如圖,∠ADC與∠A'D'C'、∠ADC與∠A'B'C'的兩邊分別對應平行，這兩組角的大小關系如何？第15頁,共43頁，2024年2月25日，星期天3.

等角定理定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。第16頁,共43頁，2024年2月25日，星期天3.

等角定理定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。定理的推論:如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩條直線所成的銳角(或直角)相等.第17頁,共43頁，2024年2月25日，星期天4.

異面直線所成的角如圖，已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O作直線a'∥a，b'∥b，我們把a'與b'所成的銳角（或直角）叫做異面直線a，b所成的角（或夾角）。為了簡便，點O通常取在兩條異面直線中的一條上，例如，取在直線b上，然后經(jīng)過點O作直線a'∥a，a'

和b所成的銳角（或直角）就是異面直線a與b所成的角。想一想:a'與b'

所成角的大小與點O的位置有關嗎?第18頁,共43頁，2024年2月25日，星期天4.

異面直線所成的角如果兩條異面直線所成的角為直角，就說兩條直線互相垂直，記作a⊥b。第19頁,共43頁，2024年2月25日，星期天5.

異面直線的判定定理異面直線定理：連結平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點的直線是異面直線與是異面直線第20頁,共43頁，2024年2月25日，星期天例題示范例2、如圖，已知正方體ABCD－A'B'C'D'

中。（1）哪些棱所在直線與直線BA'是異面直線？（2）直線BA'

和CC'

的夾角是多少？（3）哪些棱所在的直線與直線AA'

垂直？解：（1）由異面直線的判定方法可知，與直線成異面直線的有直線，第21頁,共43頁，2024年2月25日，星期天例題示范例2、如圖，已知正方體ABCD－A'B'C'D'

中。（1）哪些棱所在直線與直線BA'是異面直線？（2）直線BA'

和CC'

的夾角是多少？（3）哪些棱所在的直線與直線AA'

垂直？解：（2）由可知，

等于異面直線與

的夾角,所以異面直線與的夾角為450。

(3)直線與直線都垂直.第22頁,共43頁，2024年2月25日，星期天【例3】空間四邊形ABCD中，AB＝CD且AB與CD所成的角為30°，E、F分別是BC、AD的中點，求EF與AB所成角的大?。悸贩治觯阂驟F與AB所成的角，可經(jīng)過某一點作兩條直線的平行線，考慮到E、F為中點，故可過E或F作AB的平行線．取AC的中點，平移AB、CD，使已知角和所求的角在一個三角形中求解．第23頁,共43頁，2024年2月25日，星期天解：取AC的中點G，連接EG、FG，則EG∥AB，GF∥CD，且由AB＝CD知EG＝FG，∴∠GEF(或它的補角)為EF與AB所成的角，∠EGF(或它的補角)為AB與CD所成的角．∵AB與CD所成的角為30°，∴∠EGF＝30°或150°.第24頁,共43頁，2024年2月25日，星期天由EG＝FG知△EFG為等腰三角形，當∠EGF＝30°時，∠GEF＝75°；當∠EGF＝150°時，∠GEF＝15°.故EF與AB所成的角為15°或75°.第25頁,共43頁，2024年2月25日，星期天(1)求異面直線所成的角，關鍵是將其中一條直線平移到某個位置使其與另一條直線相交，或將兩條直線同時平移到某個位置，使其相交．平移直線的方法有：①直接平移，②中位線平移，③補形平移．(2)求異面直線所成角的步驟：①作：通過作平行線，得到相交直線；②證：證明相交直線所成的角為異面直線所成的角；③求：通過解三角形，求出該角.

求異面直線的方法第26頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第27頁,共43頁，2024年2月25日，星期天答案：C

第28頁,共43頁，2024年2月25日，星期天【例4】長方形ABCD－A1B1C1D1中，AB＝8，BC＝6，在線段BD，A1C1上各有一點P，Q，在PQ上有一點M，且PM＝MQ，則M點的軌跡圖形的面積為________．創(chuàng)新題型第29頁,共43頁，2024年2月25日，星期天答案：24

第30頁,共43頁，2024年2月25日，星期天變式遷移4

在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線 (

)A．不存在B．有且只有兩條C．有且只有三條D．有無數(shù)條第31頁,共43頁，2024年2月25日，星期天解析：本小題主要考查立體幾何中空間直線相交問題，考查學生的空間想象能力．在EF上任意取一點M，直線A1D1與M確定一個平面，這個平面與CD有且僅有1個交點N，當M取不同的位置就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點N，而直線MN與這3條異面直線都有交點的．如下圖：答案：D第32頁,共43頁，2024年2月25日，星期天1．刻畫平面性質(zhì)的三個公理是研究空間圖形進行邏輯推理的基礎，三個公理是立體幾何作圖的依據(jù)，通過作圖(特別是截面圖)的訓練，可加深對公理的掌握與理解．其中確定平面的公理2是將立體幾何問題轉化為平面幾何問題的依據(jù)．規(guī)律總結第33頁,共43頁，2024年2月25日，星期天2．注意文字語言、數(shù)學圖形語言和符號語言的相互轉化與應用，能夠從集合的角度闡述點、線、面之間的聯(lián)系，證明共點、共線或共面問題常用歸一法，如多線共點問題，先證明兩條直線交于一點，再證其余直線都經(jīng)過這點．3．異面直線是立體幾何的重點和難點之一，對其定義要理解準確，有關異面直線的論證，經(jīng)常要用反證法；異面直線所成的角，常通過平移，使兩異面直線移到同一個平面的位置上來求．第34頁,共43頁，2024年2月25日，星期天4．平面幾何中有些概念和性質(zhì)，推廣到空間不一定正確．如：“過直線外一點只能作一條直線與已知直線垂直”“同垂直于一條直線的兩條直線平行”等在空間就不正確．而有些命題推廣到空間還是正確的，如平行線的傳遞性及關于兩角相等的定理等．所以將空間圖形問題類比平面圖形問題是本章復習的重要方法，如(1)公理4是平面內(nèi)平行傳遞性的推廣；(2)等角定理是由平面圖形推廣到空間圖形；(3)從直線與直線、直線與平面的位置關系，類比聯(lián)想平面與平面的位置關系；(4)兩個平面互相垂直與兩條直線互相垂直概念的類比．第35頁,共43頁，2024年2月25日，星期天練一練,鞏固新知：P48頁練習1,2題。例3:

如圖，是平面外的一點分別是的重心，求證：。證明：連結分別交

于,連結,∵G,H分別是⊿ABC,⊿ACD的重心,∴M,N分別是BC,CD的中點,∴MN//BD,又∵

∴

GH//MN,由公理4知GH//BD.

第36頁,共43頁，2024年2月25日，星期天練習反饋：1.判斷:（1）平行于同一直線的兩條直線平行.（）（2）垂直于同一直線的兩條直線平行.（

）（3）過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行

.

（）（4）與已知直線平行且距離等于定長的直線只有兩條.

（）（5）若一個角的兩邊分別與另一個角的兩邊平行，那么這兩個角相等（）（6）若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等.

（

）

√×√√××第37頁,共43頁，2024年2月25日，星期天練習反饋：2．選擇題

（1）“a，b是異面直線”是指

①

a∩b=Φ,且a不平行于b；②

aì平面a，bì平面b且a∩b=Φ③

a

ì平面a，b

平面a

④

不存在平面a，能使a

ìa且b

ìa成立上述結論中，正確的是 （

）（A）①②（B）①③（C）①④（D）③④（2）長方體的一條對角線與長方體的棱所組成的異面直線有 （

）

（A）2對（B）3對 （C）6對 （D）12對CC第38頁,共43頁，2024年2月25日，星期天（3）兩條直線a,b分別和異面直線c,d都相交，則直線a，b的位置關系是（

）

（A）一定是異面直線 （B）一定是相交直線

（C）可能是平行直線 （D）可能是異面直線，也可能是相交直線 （4）一條直線和兩條異面直線中的一條平行,則它和另一條的位置關系是(

)（A）平行 （B）相交 （C）異面 （D）相交或異面3．兩條直線互相垂直，它們一定相交嗎？

答：不一定，還可能異面．