人教版八年級數(shù)學上冊知識點總結(jié)歸納

新人教版八年級上冊數(shù)學知識點總結(jié)歸納

第十一章三角形I

第十二章全等三角形

第十三章軸對稱

第十四章整式乘法和因式分解

第十五章分式

第十一章三角形

1、三角形的概念

由不在同意直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。組成三角形的線段叫做三角

形的邊；相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點；相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形

的角。

2、三角形中的主要線段

(1)三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的

角平分線。

(2)在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線。

(3)從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線(簡稱三角

形的高I

3、三角形的穩(wěn)定性

三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。三角形的這個性質(zhì)在生產(chǎn)生活中

應用很廣，需要穩(wěn)定的東西一般都制成三角形的形狀。

4、三角形的特性與表示

三角形有下面三個特性：

(1)三角形有三條線段

(2)三條線段不在同一直線上三角形是封閉圖形

(3)首尾順次相接

三角形用符號表示，頂點是A、B、C的三角形記作"AABC",讀作"三角形ABC"。

5、三角形的分類

三角形按邊的關系分類如下：

不北邊三角形

三角形《底和腰不相幫的等腰三角形

等腰三角形,

X.

等邊三角形、

三角形按角的關系分類如下：

直角六角形(有一個角為直角的三角形)

三角形《銳角三角代(三個角都是銳角的三角形)

斜三角形<

鈍角三角蛇(有一個角為鈍角的三角形)

把邊和角聯(lián)系在一起，我們又有一種特殊的三角形：等腰直角三角形。它是兩條直角邊相等的直角

三角形。

6、三角形的三邊關系定理及推論

(1)三角形三邊關系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。

推論：三角形的兩邊之差小于第三邊。

(2)三角形三邊關系定理及推論的作用：

①判斷三條已知線段能否組成三角形

②當已知兩邊時，可確定第三邊的范圍。

③證明線段不等關系。

7、三角形的內(nèi)角和定理及推論

三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180%

2

推論：

①直角三角形的兩個銳角互余。

②三角形的一個外角等于和它不相鄰的來兩個內(nèi)角的和。

③三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。

注：在同一個三角形中：等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大角。8、三角形的面積

=1x底X高

2

多邊形知識要點梳整」

(定義：由三條或三條以上的線段首位順次連接所組成的封閉圖形叫做多邊形。

凸多邊形’

多邊形分類1：<

凹多邊形、

「正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形

分類2:<叫做正多邊形。

非正多力形：

V

〃1、n邊形的內(nèi)角和等于180°(n-2\

多邊形的定理2、任卒凸形多邊形的外角和等于360。。

3、n也形的對角線條數(shù)等于l/2.n(n-3)

只用一種正多邊形：3、4、6/。'

鑲舉拼成360度的角,

只用一種非正多邊形(全等)：3、4。

3

知識點一：多邊形及有關概為

1、多邊形的定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形

(1)多邊形的一些要素：

邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊.

頂點：每相鄰兩條邊的公共端點叫做多邊形的頂點.

內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角，一個n邊形有n個內(nèi)角。

外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。

(2)在定義中應注意:

①一些線段(多邊形的邊數(shù)是大于等于3的正整數(shù))；

②首尾順次相連，二者缺一不可；

③理解時要特別注意"在同一平面內(nèi)”這個條件，其目的是為了排除幾個點不共面的情況，即空

間多邊形.

2、多邊形的分類：

(1)多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，如果整個多邊形都在

這條直線的同T則，則此多邊形為凸多邊形，反之為凹多邊形(見圖1).本章所講的多邊形都是指凸多

邊形.

凸多邊形凹多邊形

圖1

(2)多邊形通常還以邊數(shù)命名，多邊形有n條邊就叫做n邊形.三角形、四邊形都屬于多邊形，其

中三角形是邊數(shù)最少的多邊形.

4

知識點二：正多邊形國

各個角都相等、各個邊都相等的多邊形叫做正多邊形。如正三角形、正方形、正五邊形等。

正三角形正十二邊形

要點詮釋：閨

各角相等、各邊也相等是正多邊形的必備條件，二者缺一不可.如四條邊都相等的四邊形不一定是

正方形，四個角都相等的四邊形也不一定是正方形，只有滿足四邊都相等且四個角也都相等的四邊形才

是正方形

知識點三：多邊形的對角線由

多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.如圖2,BD為四邊

形ABCD的一條對角線。

要點詮釋：閨

(1)從n邊形一個頂點可以引(n-3)條對角線，將多邊形分成(n-2)個三角形。

n(n~3)

(2)n邊形共有2條對角線。

證明：過一個頂點有n-3條對角線(n23的正整數(shù))，又?.共有n個頂點,

???共有n(n-3)

-^-3)

條對角線，但過兩個不相鄰頂點的對角線重復了一次，，凸n邊形，共有2條對角線。

知識點四：多邊形的內(nèi)角和公式闔

1.公式：?邊形的內(nèi)角和為(君一2).180。5、3)

2.公式的證明：

證法1:在筮邊形內(nèi)任取一點，并把這點與各個頂點連接起來，共構(gòu)成起個三角形，這四個三角形

5

的內(nèi)角和為題180°,再減去一個周角，即得到M邊形的內(nèi)角和為S-2）?180”.

證法2：從抬邊形一個頂點作對角線，可以作S-耳條對角線，并且超邊形被分成5-2〕

個三角形，這（同一2）個三角形內(nèi)角和恰好是雙邊形的內(nèi)角和，等于爐—2）?1°.

證法3:在“邊形的一邊上取一點與各個頂點相連，得（內(nèi)一D個三角形，n邊形內(nèi)角和等于這

（國-1）個三角形的內(nèi)角和減去所取的一點處的一個平角的度數(shù)，

即（理―180°=伊—2）-1￡0-

要點詮釋：國

（1）注意：以上各推導方法體現(xiàn)出將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決的基礎思想。

（2）內(nèi)角和定理的應用：

①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；

②已知多邊形內(nèi)角和，求其邊數(shù)。

知識點五：多邊形的外角和公式在]

1.公式：多邊形的外角和等于360。.

2.多邊形外角和公式的證明：多邊形的每個內(nèi)角和與它相鄰的外角都是鄰補角，所以制邊形的內(nèi)角

和加外角和為“，外角和等于"W2）?]“口=360。

注意：n邊形的外角和恒等于360。，它與邊數(shù)的多少無關。

要點詮釋：國

Q）外角和公式的應用：

①已知外角度數(shù)，求正多邊形邊數(shù)；

②已知正多邊形邊數(shù)，求外角度數(shù).

（2）多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和、外角和的關系：

①n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）180°（n>3,n是正整數(shù)），可見多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)n有關，每增加1

6

條邊，內(nèi)角和增加180%

②多邊形的外角和等于360。，與邊數(shù)的多少無關。

知識點六：鑲嵌的概念和特征閡

1、定義：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，通常把這類問題叫做用多邊形覆

蓋平面(或平面鑲嵌)。這里的多邊形可以形狀相同，也可以形狀不相同。

2、實現(xiàn)鑲嵌的條件：拼接在同一點的各個角的和恰好等于360。；相鄰的多邊形有公共邊。

3、常見的一些正多邊形的鑲嵌問題：

(1)用正多邊形實現(xiàn)鑲嵌的條件:邊長相等；頂點公用；在一個頂點處各正多邊形的內(nèi)角之和為360°。

(2)只用一種正多邊形鑲嵌地面

對于給定的某種正多邊形，怎樣判斷它能否拼成一個平面圖形，且不留一點空隙？解決問題的關

鍵在于正多邊形的內(nèi)角特點。當圍繞一點拼在一起的幾個正多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角

360°時，就能鋪成一個平面圖形。

5一2)180。

事實上，正n邊形的每一個內(nèi)角為總，要求k個正n邊形各有一個內(nèi)角拼于一點，恰

總＞一2)180。2-4

好覆蓋地面，這樣360°=n，由此導出k=園-2=2+照-2,而k是正整數(shù)，

所以n只能取3,4,6。因而，用相同的正多邊形地磚鋪地面，只有正三角形、正方形、正六邊形的地磚

可以用。

注意：任意四邊形的內(nèi)角和都等于360°。所以用一批形狀、大小完全相同但不規(guī)則的四邊形地磚

也可以鋪成無空隙的地板，用任意相同的三角形

也可以鋪滿地面。

(3)用兩種或兩種以上的正多邊形鑲嵌地

面

用兩種或兩種以上邊長相等的正多邊形

(4)(5)(6)

7

組合成平面圖形，關鍵是相關正多邊形"交接處各角之和能否拼成一個周角"的問題。例如，用正三角

形與正方形、正三角形與正六邊形、正三角形與正十二邊形、正四邊形與正八邊形都可以作平面鑲嵌，

見下圖：

又如，用一個正三角形、兩個正方形、一個正六邊形結(jié)合在一起恰好能夠鋪滿地面，因為它們的

交接處各角之和恰好為一個周角360%規(guī)律方法指導

1.內(nèi)角和與邊數(shù)成正比：邊數(shù)增加，內(nèi)角和增加；邊數(shù)減少，內(nèi)角和減少.每增加一條邊，內(nèi)角的

和就增加180°（反過來也成立）,且多邊形的內(nèi)角和必須是180。的整數(shù)倍.

2.多邊形外角和恒等于360°,與邊數(shù)的多少無關.

3.多邊形最多有三個內(nèi)角為銳角，最少沒有銳角（如矩形）；多邊形的外角中最多有三個鈍角，最

少沒有鈍角.

4.在運用多邊形的內(nèi)角和公式與外角的性質(zhì)求值時，常與方程思想相結(jié)合，運用方程思想是解決

本節(jié)問題的常用方法.

5.在解決多邊形的內(nèi)角和問題時，通常轉(zhuǎn)化為與三角形相關的角來解決.三角形是一種基本圖形,

是研究復雜圖形的基礎，同時注意轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學中的應用.

經(jīng)典例題透析

類型一：多邊形內(nèi)角和及外角和定理應用

Cl.一個多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的5倍，它是幾邊形？

總結(jié)升華：本題是多邊形的內(nèi)角和定理和外角和定理的綜合運用.只要設出邊數(shù)”，根據(jù)條件

列出關于m的方程，求出總的值即可，這是一種常用的解題思路.

舉一反三：

【變式1】若一個多邊形的內(nèi)角和與外角和的總度數(shù)為1800°,求這個多邊形的邊數(shù).

【變式2】一個多邊形除了一個內(nèi)角外，其余各內(nèi)角和為2750°,求這個多邊形的內(nèi)角和是多少？

【答案】設這個多邊形的邊數(shù)為“，這個內(nèi)角為必，

8

【變式3】一個多邊形的內(nèi)角和與某一個外角的度數(shù)總和為1350。，求這個多邊形的邊數(shù)。

類型二：多邊形對角線公式的運用

【變式1]一個多邊形共有20條對角線，則多邊形的邊數(shù)是（）.

A.6B.7C.8D.9

【變式2】一個十二邊形有幾條對角線。

曲-3）

總結(jié)升華：對于一個n邊形的對角線的條數(shù)，我們可以總結(jié)出規(guī)律—2一條,牢記這個公式，以

后只要用相應的n的值代入即可求出對角線的條數(shù)，要記住這個公式只有在理解的基礎之上才能記得牢。

類型三：可轉(zhuǎn)化為多邊形內(nèi)角和問題

【變式1】如圖所示,zl+z2+z3+z4+z5+z6=________.A

【變式2】如圖所示，求NA+NB+NC+ND+NE+NF的度/X\數(shù)。

X

類型四：實際應用題

04.如圖，一輛小汽車從P市出發(fā),

ApB

市，再到A市，最后返回P市，這輛小汽車共轉(zhuǎn)了多少度角？

思路點撥：根據(jù)多邊形的外角和定理解決.

舉一反三：

【變式1］如圖所示，小亮從A點出發(fā)前進10m,向右轉(zhuǎn)15°,再前進10m,又向右轉(zhuǎn)15。，，

這樣一直走下去，當他第一次回到出發(fā)點時，一共走了________m.

【變式2】小華從點A出發(fā)向前走10米，向右轉(zhuǎn)36°,然后繼續(xù)向前走10米,再向右轉(zhuǎn)36°,

他以同樣的方法繼續(xù)走下去，他能回到點A嗎？若能，當他走回點A時共走了多少米？若不能，寫出

理由。

【變式3】如圖所示是某廠生產(chǎn)的一塊模板，已知該模板的邊ABllCF,CDIIAE.按規(guī)定AB、

CD的延長線相交成80°角,因交點不在模板上，不便測量.這時師傅告訴徒弟只需測一個角，便知道

AB、CD的延長線的夾角是否合乎規(guī)定，你知道需測哪一個角嗎？說明理由.

思路點撥：本題中將AB、CD延長后會得到一個五邊

形，根據(jù)五邊形內(nèi)角和為540°,又由ABllCF,CDIIAE,

可知NBAE+NAEF+NEFC=360°,從540。中減去80°再減

去360。，剩下NC的度數(shù)為100。，所以只需測NC的度數(shù)即

可，同理還可直接測NA的度數(shù).

總結(jié)升華：本題實際上是多邊形內(nèi)角和的逆運算，關鍵在于正確添加輔助線.

類型五：鑲嵌問題

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.分別畫出用相同邊長的下列正多邊形組合鋪滿地面的設計圖。

(1)正方形和正八邊形；

(2)正三角形和正十二邊形；(3)正三角形、

正方形和正六邊形。

思路點撥：只要在拼接處各多邊形

的內(nèi)角的和能構(gòu)成一個周角，那么這些多邊形就能作平面鑲嵌。

解析：正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形、正十二邊形的每一個內(nèi)角分別是60。、90。、

120。、135。、150%

Q)因為90+2x135=360,所以一個頂點處有1個正方形、2個正八邊形，如圖Q)所示。

(2)因為60+2x150=360,所以一個頂點處有1個正三角形、2個正十二邊形，如圖⑵所

(3)因為60+2x90+120=360,所以一個頂點處有1個正三角形、1個正六邊形和2個正

方形，如圖(3)所示。

總結(jié)升華：用兩種以上邊長相等的正多邊形組合成平面圖形，實質(zhì)上是相關正多邊形"交接

處各角之和能否拼成一個周角"的問題。舉一反三：

【變式1］分別用形狀、大小完全相同的①三角形木板；②四邊形木板；③正五邊形木板；④正

六邊形木板作平面鑲嵌，其中不能鑲嵌成地板的是()A、①B、②C、③D、

④

解析：用同一種多邊形木板鋪地面，只有正三角形、四邊形、正六邊形的木板可以用，不能用正

五邊形木板，故

【變式2】用三塊正多邊形的木板鋪地，拼在一起并相交于一點的各邊完全吻合，其中兩塊木板

的邊數(shù)都是8,則第三塊木板的邊數(shù)應是()

A、4B、5C、6D、8

【答案】A(提示：先算出正八邊形一個內(nèi)角的度數(shù)，再乘以2,然后用360。減去剛才得

11

到的積，便得到第三塊木板一個內(nèi)角的度數(shù)，進而得到第三塊木板的邊數(shù)）

練習

1.多邊形的一個內(nèi)角的外角與其余內(nèi)角的和為600°,求這個多邊形的邊數(shù).

2.n邊形的內(nèi)角和與外角和互比為13:2,求n.

3.五邊形ABCDE的各內(nèi)角都相等，且AE=DE,ADIICB嗎?

4.將五邊形砍去一個角，得到的是怎樣的圖形？

5.四邊形ABCD中，NA+NB=210°,NC=4ND.求：NC或zD的度數(shù).

6.在四邊形ABCD中，AB=AC=AD,zDAC=2zBAC.

求證:zDBC=2zBDC.

12

第十二章全等三角形

一、全等三角形

能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。一個三角形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)可以得到它的全等形。

2、全等三角形有哪些性質(zhì)

(1)：全等三角形的對應邊相等、對應角相等。

(2):全等三角形的周長相等、面積相等。

(3):全等三角形的對應邊上的對應中線、角平分線、高線分別相等。

3、全等三角形的判定

邊邊邊：三邊對應相等的兩個三角形全等(可簡寫成"SSS")

邊角邊:兩邊和它們的夾角對應相等兩個三角形全等(可簡寫成"SAS")

角邊角:兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等(可簡寫成"ASA")

角角邊:兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等(可簡寫成"AAS")

斜邊.直角邊：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等(可簡寫成ML")

4、證明兩個三角形全等的基本思路：

二、角的平分線：

1、(性質(zhì))角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等

2、(判定)角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。

三、學習全等三角形應注意以下幾個問題：

(1)：要正確區(qū)分"對應邊"與"對邊"，"對應角"與"對角"的不同含義；

(2):表示兩個三角形全等時，表示對應頂點的字母要寫在對應的位置上；

(3):"有三個角對應相等"或"有兩邊及其中一邊的對角對應相等"的兩個三角形不一定全等；

(4):時刻注意圖形中的隱含條件，如“公共角"、"公共邊"、"對頂角”

1、全等三角形的概念

能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。

13

能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。兩個三角形全等時，互相重合的頂點叫做對應頂點，

互相重合的邊叫做對應邊，互相重合的角叫做對應角。夾邊就是三角形中相鄰兩角的公共邊，夾角就是

三角形中有公共端點的兩邊所成的角。

2、全等三角形的表示和性質(zhì)

全等用符號0”表示，讀作"全等于"。如AABC當DEF,讀作"三角形ABC全等于三角形DEF"。

注：記兩個全等三角形時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上。

3、三角形全等的判定

三角形全等的判定定理：

(1)邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等(可簡寫成“邊角邊"或"SAS")

(2)角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等(可簡寫成"角邊角"或"ASA")

(3)邊邊邊定理：有三邊對應相等的兩個三角形全等(可簡寫成"邊邊邊"或"SSS"X

直角三角形全等的判定：

對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r，還有HL定理(斜邊、直角邊定理)：有斜邊和一條直角

邊對應相等的兩個直角三角形全等(可簡寫成"斜邊、直角邊"或"HL")

4、全等變換

只改變圖形的位置，二不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換。

全等變換包括一下三種：

(1)平移變換：把圖形沿某條直線平行移動的變換叫做平移變換。

(2)對稱變換：將圖形沿某直線翻折180°,這種變換叫做對稱變換。

(3)旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點旋轉(zhuǎn)一定的角度到另一個位置，這種變換叫做旋轉(zhuǎn)變換。

第十二章軸對稱

一、軸對稱圖形

1.把一個圖形沿著一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠完全重合那么這個圖形就叫做軸對稱圖形。

這條直線就是它的對稱軸。這時我們也說這個圖形關于這條直線(成軸)對稱。

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2.把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能與另一個圖形完全重合，那么就說這兩個圖關于這條直

線對稱。這條直線叫做對稱軸。折疊后重合的點是對應點，叫做對稱點

3、翁林南潁6對稱的區(qū)別與聯(lián)系

3、軸對稱圖形和軸對稱的區(qū)別與聯(lián)系

軸對稱圖形軸對稱

圖形A

)⑴而對稱是才

(1)軸對稱囹形是指(一K兩，卜圖形

區(qū)別具有特殊形狀的圖形;濰道七必須涉及

只對(一個)圖形而言圖形；

(2)對稱軸不一定只有一條(2)只有「司對稱軸.

如果把軸對稱圖形沿對稱軸如果把兩個成軸對稱的圖形

聯(lián)系分成兩部分那么這兩個圖非拼在一起看成一個整體那

就關于這條直線成軸對稱么它就是一個軸對稱圖形

4軸對稱的艙

①關于某直線對稱的兩個圖形是全等形。

②如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。

③軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。

④如果兩個圖形的對應點連線被同條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱。

二、線段的垂直平分線

1.經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫中垂線。

2.線段垂直平分線上的點與這條線段的兩個端點的距離相等

3.與一條線段兩個端點距離相等的點，在線段的垂直平分線上

三、用坐標表示軸對稱小結(jié)：

在平面直角坐標系中，關于x軸對稱的點橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù).關于y軸對稱的點橫坐標互為

相反數(shù)，縱坐標相等.

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點（X,y）關于x軸對稱的點的坐標為.

點（x,y）關于y軸對稱的點的坐標為.

2.三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，這個點到三角形三個頂點的距離相等

四、（等腰三角形）知識點回顧

1.等腰三角形的性質(zhì)

①.等腰三角形的兩個底角相等。（等邊對等角）

②.等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。（三線合一）

2、等腰三角形的判定：

如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等。（等角對等邊）

五、（等邊三角形）知識點回顧

L等邊三角形的性質(zhì)：

等邊三角形的三個角都相等，并且每一個角都等于600。

2、等邊三角形的判定：

①三個角都相等的三角形是等邊三角形。

②有一個角是600的等腰三角形是等邊三角形。

3.在直角三角形中，如果一個銳角等于30。，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。

1、等腰三角形的性質(zhì)

（1）等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：

定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）

推論1:等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的

中線、底邊上的高重合。

推論2:等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于60%

（2）等腰三角形的其他性質(zhì)：

①等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°

②等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角\

16

③等腰三角形的三邊關系：設腰長為a,底邊長為b,則9<a

2

④等腰三角形的三角關系：設頂角為頂角為NA,底角為NB、ZC,則NA=18（T—2NB,zB=z

C=180°-ZA

2

2、等腰三角形的判定

等腰三角形的判定定理及推論：

定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊\這個判

定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等。

推論1:三個角都相等的三角形是等邊三角形

推論2:有一角是60。的等腰三角形是等邊三角形。

推論3:在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。

等腰三角形的性質(zhì)與判定

等腰三角形性質(zhì)等腰三角形判定

中1、等腰三角形底邊上的中線垂直底L兩邊上中線相等的三角形是等腰

線邊，平分頂角；三角形；

2、等腰三角形兩腰上的中線相等，并2、如果一個三角形的一邊中線垂直

且它們的交點與底邊兩端點距離這條邊（平分這個邊的對角），

相等。那么這個三角形是等腰三角形

角L等腰三角形頂角平分線垂直平分底L如果三角形的頂角平分線垂直二二

平邊；這個角的對邊（平分對邊），那

分2、等腰三角形兩底角平分線相等，并么這個三角形是等腰三角形；

線且它們的交點到底邊兩端點的距2、三角形中兩個角的平分線相等，

離相等。那么這個三角形是等腰三角形。

高L等腰三角形底邊上的高平分頂角、1、如果一個三角形一邊上的高平分

線平分底邊；這條邊（平分這條邊的對角），

17

2、等腰三角形兩腰上的高相等，并且那么這個三角形是等腰三角形；

它們的交點和底邊兩端點距離相2、有兩條高相等的三角形是等腰三

等。角形。

角等邊對等角等角對等邊

邊底的一半〈腰長〈周長的一半兩邊相等的三角形是等腰三角形

4、三角形中的中位線

連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。

(1)三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一個新的三角形。

(2)要會區(qū)別三角形中線與中位線。

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。

三角形中位線定理的作用：

位置關系：可以證明兩條直線平行。

數(shù)量關系：可以證明線段的倍分關系。

常用結(jié)論：任一個三角形都有三條中位線，由此有：

結(jié)論1:三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半。

結(jié)論2:三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。

結(jié)論3:三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。

結(jié)論4:三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。

結(jié)論5:三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。

第十四章整式乘除與因式分解

—?回顧知識點

1、主要知識回顧：

曷的運算性質(zhì)：

Sm'Qn=3m+n(m、n為正整數(shù))

18

同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

‘m'=amn（m、n為IES數(shù)）

幕的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

（ab）n=anbn

（n為正整數(shù)）

積的乘方等于各因式乘方的積?

am.an=am_n（awO,m、n都是正整數(shù)，且m>n）

同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.

零指數(shù)幕的概念：

ao=1（arO）

任何一個不等于零的數(shù)的零指數(shù)鬲都等于I.

負指數(shù)熹的概念：

1

a-P=i7（awO,p是正整數(shù)）

任何一個不等于零的數(shù)的-p（p是正整數(shù)）指數(shù)鬲，等于這個數(shù)的p指數(shù)鬲的倒數(shù).

0-P/.P

也可表示為：1111JInJ（m.o,?0,p為正整數(shù)）

單項式的乘法法則：

單項式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)幕分別相乘，作為積的因式；對于只在一個單項式里含有的字母，則連同

它的指數(shù)作為積的一個因式.

單項式與多項式的乘法法則：

單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加.

多項式與多項式的乘法法則：

多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加.

單項式的除法法則：

19

單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)幕分別相除，作為商的因式：對于只在被除式里含有的字母，則連同它的

指數(shù)作為商的一個因式.

多項式除以單項式的法則：

多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加.

2、乘法公式：

①平方差公式：(

a+b)(a-b)=a2-b2

文字語言敘述：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差.

②完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2=a2-2ab+b2

文字語言敘述：兩個數(shù)的和(或差)的平方等于這兩個數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個數(shù)的積的

2倍.

3、因式分解：

因式分解的定義.

把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解.

掌握其定義應注意以下幾點：

(1)分解對象是多項式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺一不

可；

(2)因式分解必須是恒等變形；

(3)因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止.

弄清因式分解與整式乘法的內(nèi)在的關系.

因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的

形式.

二、熟練掌握因式分解的常用方法.

1、提公因式法

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(1)掌握提公因式法的概念；

(2)提公因式法的關鍵是找出公因式，公因式的構(gòu)成一般情況下有三部分：①系數(shù)一各項系數(shù)的

最大公約數(shù)；②字母—各項含有的相同字母；③指數(shù)——相同字母的最低次數(shù)；

(3)提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式.需注意的

是，提取完公因式后，另一個因式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)一致，這一點可用來檢驗是否漏項.

(4)注意點：①提取公因式后各因式應該是最簡形式，即分解到"底"；②如果多項式的第一項的

系數(shù)是負的，一般要提出"-"號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)是正的.

2、公式法

運用公式法分解因式的實質(zhì)是把整式中的乘法公式反過來使用；

常用的公式：

①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)

②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2

32-2ab+b2=(a-b)2

3.十字相乘法

第十五章分式

知識點一：分式的定義

A

一般地，如果A,B表示兩個整數(shù)，并且B中含有字母，那么式子可叫做分式，A為分子，B為分母。

知識點二：與分式有關的條件

①分式有意義：分母不為0(B/。)

②分式無意義：分母為0(B=0)

③分式值為0：分子為0且分母不為0(I)

21

JA>。fA<0

[5>0]B<0

④分式值為正或大于o：分子分母同號（I或I）

A>0jA<0

B<0]B>0

⑤分式值為負或小于o：分子分母異號（i或〔）

⑥分式值為1:分子分母值相等（A=B）

⑦分式值為-1：分子分母值互為相反數(shù)（A+B=0）

知識點三：分式的基本性質(zhì)

分式的分子和分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變。

A_A*CAA+C

字母表示：BB*C,BB+C，其中A、B、C是整式，C—

拓展：分式的符號法則：分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變，即

A—A—AA

下一二^一~ET~胃

注意：在應用分式的基本性質(zhì)時，要注意C*0這個限制條件和隱含條件BwO。

知識點四：分式的約分

定義：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分。

步驟：把分式分子分母因式分解，然后約去分子與分母的公因。

注意：①分式的分子與分母為單項式時可直接約分，約去分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)，然后約去分子

分母相同因式的最｛氐次幕。

②分子分母若為多項式，約分時先對分子分母進行因式分解，再約分。

知識點四：最簡分式的定義

一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫做最簡分式。

知識點五：分式的通分

①分式的通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì),把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母分式,

22

叫做分式的通分。

②分式的通分最主要的步驟是最簡公分母的確定。

最簡公分母的定義：取各分母所有因式的最高次幕的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母。

確定最簡公分母的一般步驟：

I取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；

n單獨出現(xiàn)的字母（或含有字母的式子）的鬲的因式連同它的指數(shù)作為一個因式；

m相同字母（或含有字母的式子）的鬲的因式取指數(shù)最大的。

IV保證凡出現(xiàn)的字母（或含有字母的式子）為底的黑的因式都要取。

注意：分式的分母為多項式時，一般應先因式分解。

知識點六分式的四則運算與分式的乘方

①分式的乘除法法則：

分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。式子表示為：

ac_a*c

bdb*d

分式除以分式：把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。式子表示為

acada*d

—?—=—?一二----

bdbcb^c

②分式的乘方：把分子、分母分別乘方。式子

IbJbn

③分式的加減法則：

同分母分式加減法：分母不變，把分子相加減。式子表示為

aba±b

——±—=-----

CCC

異分母分式加減法：先通分，化為同分母的分式，然后再加減。式子表示為

a,cad±be

—±—=-------

bdbd

整式與分式加減法：可以把整式當作一個整數(shù)，整式前