2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)教案新高考專用集合含解析

解密01講：集合

【考點(diǎn)解密】

1.集合與元素

(1)集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無序性.

(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于,用符號(hào)且或色表示.

(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法.

(4)常見數(shù)集的記法

非負(fù)整數(shù)集

集合正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

(或自然數(shù)集)

符號(hào)NN*（或N+）ZQR

2.集合的基本關(guān)系

(D子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合4B,如果集合4中任意一個(gè)元素都是集合8中的元素，就稱集合4為集合8的

子集，記作4U6或524.

(2)真子集：如果集合4U8,但存在元素xG8,且廨4就稱集合/是集合8的真子集，記作48或胡.

(3)相等：若AUB,且比4則4=8.

(4)空集：不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

3.集合的基本運(yùn)算

表示

文字語言集合語言圖形語言記法

運(yùn)

所有屬于集合/或?qū)儆诩?的{x\x^A,

并集AUB

元素組成的集合或而

所有屬于集合/旦屬于集合6的3x^A,

交集

元素組成的集合且XGR

全集〃中不屬于集合｛的所有元

{x|U,

補(bǔ)集素組成的集合稱為集合1相對(duì)于

且超力}U0

全集〃的補(bǔ)集

【方法技巧】

集合基本運(yùn)算的方法技巧:

1

（1）當(dāng)集合是用列舉法表示的數(shù)集時(shí)，可以通過列舉集合的元素進(jìn)行運(yùn)算，也可借助Venn圖運(yùn)算;

（2）當(dāng)集合是用不等式表示時(shí)，可運(yùn)用數(shù)軸求解.對(duì)于端點(diǎn)處的取舍，可以單獨(dú)檢驗(yàn).

集合常與不等式，基本函數(shù)結(jié)合，常見邏輯用語常與立體幾何，三角函數(shù)，數(shù)列，線性規(guī)劃等結(jié)合.

【核心題型】

題型一：元素與集合

1.（2022?安徽省舒城中學(xué)三模（理））已知集合"={川，〃=『,〃€14},其中i為虛數(shù)單位，則下列元素屬于集合M

的是（）

A.（l-i）（l+i）

C.4D.

【答案】B

【分析】計(jì)算出集合M，在利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)各選項(xiàng)中的復(fù)數(shù)，即可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】當(dāng)火€N時(shí)，i〃=l，i*l=i，i*2=i2=_],j4"3=i3=_i，則加=1一1,一口},

(l-i)(l+i)=l+l=2e用，＞■=(If

—=-ieM

0+。(1)2

二飛i)、,+4M(1-i)2=-2igM,

1-i(l-i)(l+i)22

故選:B.

2.（2022?海南?模擬預(yù)測(cè)）已知集合人:忖/勺},集合B={x|xeZ且x+leA},則3=（)

A.{-1,0,1}B.{-2,-1,0}C.{-2,-1,0,1}D.{-2,-1,0,1,2）

【答案】B

【分析】先求出集合A={x|-l#x1},再根據(jù)集合3中x+leA和xeZ,即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)榧?=卜,2川，所以A={X|-1#X1）,

在集合8中，由x+leA,M-l<x+l<l.即—24x40,

又xeZ,所以x=-2,-1,0,即B={-2,-l,0}.

故選:B.

3.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（理））已知集合4={1,姆，B={x|log2x<l},且AcB有2個(gè)子集，則實(shí)數(shù)。的取

值范圍為（）

A.（7,0]B.（0,1）1（1,2]C.[2,+WD.（,⑼[2,一）

2

【答案】D

【分析】解對(duì)數(shù)不等式可求得集合5,由子集個(gè)數(shù)可確定AcB中元素僅有1個(gè)，從而得到a史8,由此得到a的范

圍.

【詳解】由題意得：5={^log2x<l}=（0,2）,

48有2個(gè)子集，AB中的元素個(gè)數(shù)為1個(gè)；

le（AB）,e（AB）,BRagB,.-.a<0^a>2,

即實(shí)數(shù)。的取值范圍為（f,。][2，H.

故選：D.

題型二：集合中元素的特性

4.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)集合A={-2,-1,1,2,3},B={y|y=log2|X|,XGA},則集合B元素的個(gè)數(shù)為

（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根據(jù)集合6的描述，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)列舉出元素即可.

【詳解】當(dāng)》=±2時(shí)，尸1；

當(dāng)》=±1時(shí)，y=0；

當(dāng)x=3時(shí)，y=log,3.

故集合8共有3個(gè)元素.

故選：B.

5.（2021?全國(guó)?高三專題練習(xí)（文））已知集合M=詞”=6+舌+后+產(chǎn)px、y、z為非零實(shí)數(shù)},則知

WIHlzlI孫z|

的子集個(gè)數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.8

【答案】D

【分析】分x，y，z都是正數(shù)，x，y，z都是負(fù)數(shù)，x,y,z中有一個(gè)是正數(shù)，另兩個(gè)是負(fù)數(shù)，％y,z中有兩個(gè)是正數(shù)，另一

個(gè)是負(fù)數(shù)四種情況分別得出必的值，從而求得集合材的元素的個(gè)數(shù)，由此可得出集合材的子集的個(gè)數(shù).

【詳解】因?yàn)榧稀?司機(jī)=/+在+W+P彳，X、八Z為非零實(shí)數(shù)},

w|y|回|孫z]

所以當(dāng)x,y,z都是正數(shù)時(shí)，加=4；

當(dāng)x,y,z都是負(fù)數(shù)時(shí)，團(tuán)=-4；

當(dāng)x，y，z中有一個(gè)是正數(shù)，另兩個(gè)是負(fù)數(shù)時(shí)，a=0,

3

當(dāng)x，y，z中有兩個(gè)是正數(shù)，另一個(gè)是負(fù)數(shù)時(shí)，機(jī)=o,

所以集合M中的元素是3個(gè)，所以用的子集個(gè)數(shù)是8,

故選：D.

6.(2022?河南鄭州?高三階段練習(xí)(理))定義集合運(yùn)算：A*8={z|z=",xeA,yeB},設(shè)4={1,2},B={1,2,3},

則集合A*B的所有元素之和為()

A.16B.18C.14D.8

【答案】A

【分析】由題設(shè)，列舉法寫出集合4*8,根據(jù)所得集合，加總所有元素即可.

【詳解】由題設(shè)知：A*B={1,2,3,4,6},

，所有元素之和1+2+3+4+6=16.

故選：A.

題型三：集合的表示方法

7.(2022?陜西?交大附中模擬)已知N”表示正整數(shù)集合，若集合A={(x,)，)|d+y*21,xeN*,yeN*},則A中

元素的個(gè)數(shù)為()

A.16B.15C.14D.13

【答案】D

【分析】根據(jù)集合描述的幾何意義，列舉出第一象限內(nèi)符合要求的點(diǎn)坐標(biāo)，即可知元素的個(gè)數(shù).

【詳解】由題設(shè)1={(乂刈04而+。4而XGNRGN"},又庖e(4,5),

由⑨，則(4,4)￡4,

由"2+3?=后＞回，則(4,3),(3,4)任A,

由“2+2?=而＜揚(yáng)，則(4,2),(2,4)eA，

同理,(4,1),(1,4),(3,3),(3,2),(2,3),(3,1),(1,3),(2,2),(2,1),(2,1),(1,1)均屬于集合4,

所以第一象限中有13個(gè)點(diǎn)屬于集合A.

故選：D

8.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知集合A={(x,y)層+5wl，xwZ,y￡z],則/中元素的個(gè)數(shù)為()

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【分析】由橢圓的性質(zhì)得-24x42,-近4y4夜，再列舉出集合的元素即得解.

【詳解】解：由橢圓的性質(zhì)得-24x42,-尤4y4夜,

4

又xwZ,ywZ,

所以集合4={(-2,0),(2,0),(T,0),(1,0),(0,1),(0,T),(0,0),(T,1),(TT),0,1),(1,T)}

共有H個(gè)元素.

故選：C

9.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)(理))已知集合A={2,3,4,5,6},8={(x,y)|xeA,yeA},則6中所含元

素的個(gè)數(shù)為()

A.2B.3C.4D.6

【答案】D

【分析】根據(jù)集合B的形式，逐個(gè)驗(yàn)證的值，從而可求出集合B中的元素.

【詳解】y=6時(shí)，x=2,3,4,

y=5時(shí)，x=2,3,

y=4時(shí)，x=2,

y=2,3時(shí)，無滿足條件的x值：故共6個(gè)，

故選：D.

題型四：集合的基本關(guān)系

10.(2022?四川瀘州?一模)已知集合4={0,1,2},3={》€(wěn)7]》2-2犬<0},則()

A.Ac8={l}B.A=BC.AuB=BD.AcB

【答案】A

【分析】求得集合8,再根據(jù)集合的運(yùn)算以及包含關(guān)系，即可判斷和選擇.

【詳解】fi={x€Z|x2-2x<0}={l},又4={0,1,2},

故AcB={l},AwB,A<JB=A,BeA,故A正確，其它選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：A.

11.(2022?湖南?模擬預(yù)測(cè))己知非空集合A={x|/(x)44},3={x"(〃x))Va}M€R,其中/(x)=f—3x+3,

若滿足8勺A,則〃的取值范圍為()

A.[3,+oo)B.(-oo,l]u[3,+oo)C.￡,+8)D.

【答案】A

【分析】可設(shè)A={x|X|根據(jù)題設(shè)條件可得芭，弓滿足的條件，再根據(jù)根分布可求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【詳解】A={x|x2-3x+3<a},

因?yàn)锳非空，故可設(shè)A={x[%則小三為方程/-3x+3-a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

5

設(shè)8(%)=f-3x+3-4，

又8={x|%4/(力4%2}三{幻%<x<x^,

A=9-4(3-a)>0

3

因?yàn)?gA,故所以卜>Q,解得。23.

u~—3a+3—a20

故選:A.

12.(2022?青海?模擬預(yù)測(cè)(理))已知集合4=同3<2"-1<7},B={?|(n+6)(n-3)<0},則(AU3)5AC3)=

()

A.{n|-6<n<3}B.{川">-6}

C.{〃|"€R}D.{32<〃<3}

【答案】A

【分析】解指數(shù)不等式化簡(jiǎn)集合4解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合6,再利用交集、并集的定義結(jié)合性質(zhì)求解作答.

【詳解】解不等式：3<2"-1<7>即4<2"<8,解得：2<n<3,則A={〃|2v〃v3},

解不等式：(?+6)(?-3)<0,解得：—6<〃<3,則8={〃|一6<〃<3},

因(AcB)uAu(AuB),所以(AUB)U(AC3)=AU3={/7|-6<〃<3}.

故選：A

題型五：集合的交并補(bǔ)

13.(2022?貴州貴陽?模擬預(yù)測(cè))已知集合4={x|y=log2(x2+x-6)},B={x|lvx45},則4B=()

A.(-OO(-3)LI(2,+OO)B.[1,5]C.(2,5]D.d,5]

【答案】C

【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域化簡(jiǎn)集合A,再根據(jù)集合交集的定義求解即可.

【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域可得f+x-6>0=x<-3或x>2,

所以A={x[x<-3或x>2},

所以Ac8={x[2<xV5},

故選：C.

14.(2022?重慶市永川北山中學(xué)校模擬預(yù)測(cè))設(shè)夕和0是兩個(gè)集合，定義集合P-Q={x|xeP且x走Q},如果

2

P={x|log2x<l},0={X|X-4X+3<O},那么P-Q=()

A.{x|O<x<l}B.{x|O<x<l)

6

C.{x11<x<2）D.{x|2<x<3）

【答案】B

【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得只由一元二次不等式可得0,根據(jù)題意可得出結(jié)果.

[詳解】VP={x|log2x<l}={x|0<x<2},Q={X|X2_4X+3<0}={X[1<X<3},

...P-e={x|O<x<l}.

故選：B.

15.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知有限集X,Y,定義集合X-y={HxwX,且x拓為，|X|表示集合>中的

元素個(gè)數(shù).若x={1,2,3,4},y={3,4,5},則|（x—y）5y-x）|=（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】利用新定義及并集運(yùn)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】???X={l,2,3,4},y={3,4,5}

Ax-y={i,2},"X={5},

.?.(X-y)5y-X)={l,2,5},

.?.l（x-y）u（y-x）i=3,

故選：A

題型六：Venn圖

16.（2022?吉林?長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）某單位周一、周二、周三開車上班的職工人數(shù)分別是15,12,

9.若這三天中只有一天開車上班的職工人數(shù)是20,則這三天都開車上班的職工人數(shù)的最大值是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為韋恩圖，結(jié)合題意設(shè)出未知量，列出方程，求出答案.

作出韋恩圖,如圖,

a+b+c+x=15

Z?+d+e+x=12a+2b+2c+d+2e+f+3x=36

由題意得,,則有

c+e+/+x=9o4+d+,f=20

a+d+f=20

7

所以2/7+2c+2e+3x=16,即2（b+c+e）+3x=16,

因此要讓x最大，則2（A+c+e）需要最小，

若2e+c+e）=O,則犬=與不滿足題意，

若2（6+c+e）=2,則犬=與不滿足題意，

若2（6+c+e）=4,則x=4滿足題意，

所以這三天都開車上班的職工人數(shù)的最大值是4,

故選:B.

17.（2007?全國(guó)?高考真題（理））如圖，I是全集，加、尸、S是/的3個(gè)子集，則陰影部分所表示的集合是（）

A.（MP）SB.（MP）SC.（M尸）SD.（MP）S

【答案】C

【分析】根據(jù)Venn圖表示的集合運(yùn)算作答.

【詳解】陰影部分在集合"，P的公共部分，但不在集合S內(nèi)，表示為（McP）c^,

故選：C.

18.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代第一部數(shù)學(xué)專著，成于公元1世紀(jì)左右.該書內(nèi)容十分

豐富，全書總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)、秦漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就.某數(shù)學(xué)興趣小組在研究《九章算術(shù)》時(shí)，結(jié)合創(chuàng)新，給出下面問題：

現(xiàn)有100人參加有獎(jiǎng)問答，一共5道題，其中91人答對(duì)第一題，87人答對(duì)第二題，81人答對(duì)第三題，78人答對(duì)第

四題,88人答對(duì)第五題，其中答對(duì)三道題以上（包括三道題）的人可以獲得獎(jiǎng)品，則獲得獎(jiǎng)品的人數(shù)至少為（）

A.70B.75C.80D.85

【答案】B

【分析】由題意求出回答錯(cuò)誤的題共有9+13+19+22+12=75道.而答錯(cuò)3道題及以上的人沒有獎(jiǎng)品，所以最多

會(huì)有75+3=25人沒有獎(jiǎng)品，由此可求得答案.

【詳解】解：由題意知，一共回答了500道題，其中回答錯(cuò)誤的題共有9+13+19+22+12=75道.

由于答對(duì)3道題以上（包括3道題）的人可以獲得獎(jiǎng)品，即答錯(cuò)3道題及以上的人沒有獎(jiǎng)品，

故最多會(huì)有75+3=25人沒有獎(jiǎng)品，故獲得獎(jiǎng)品的人數(shù)至少為75.

故選：B.

題型七：集合新定義

8

19.（2022?四川?模擬預(yù)測(cè)（理））設(shè)S,7是R的兩個(gè)非空子集，如果存在一個(gè)從S到7的函數(shù)y=/（x）滿足：（，）

r={〃x）|x€S}；⑴）對(duì)任意辦,七仁5,當(dāng)王<馬時(shí)，恒有〃為）</（9），那么稱這兩個(gè)集合“保序同構(gòu)”，以下

集合對(duì)不是“保序同構(gòu)”的是（）

A.A=N*,8=NB.A={x|-l<x<3},8={x|x=-8或0cx410}

C.A={x|0<x<l},B=RD.A=Z,3=Q

【答案】D

【分析】利用題目給出的“保序同構(gòu)”的概念，對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)中給出的兩個(gè)集合，利用所學(xué)知識(shí)，找出能夠使兩個(gè)

集合滿足題目所給出的條件的函數(shù)，即B是函數(shù)的值域，且函數(shù)為定義域上的增函數(shù).排除掉是“保序同構(gòu)”的，

即可得到要選擇的答案.

【詳解】解：對(duì)于A=N*,B=N,存在函數(shù)f（x）=x-l,xeN*,滿足：（0B=（/（x）|xeA）；3）對(duì)任意x”x,eA,

當(dāng)與<*2時(shí)，恒有/（王）</（々），所以選項(xiàng)A是“保序同構(gòu)”；

—8,x=—1

對(duì)于A={x|-1效卜3）,B={x|x=-8或0<*,10},存在函數(shù)/（幻=55）.滿足：

122

0）B={/W|xeA）；（"）對(duì)任意不，當(dāng)eA,當(dāng)王<々時(shí)，恒有/（占）<，所以選項(xiàng)B是“保序同構(gòu)”：

TT

對(duì)于A={x[0<x<l},B=R,存在函數(shù)f（x）=tan（7rx-]）,滿足：（i）8={/（x）|xeA}；

（"）對(duì)任意A，x2eA,當(dāng)王<々時(shí)，恒有/（占）</（々），所以選項(xiàng)C是“保序同構(gòu)”；

對(duì)于選項(xiàng)D,A=Z,8=Q,不存在函數(shù)“X）,不是“保序同構(gòu)”，所以選項(xiàng)D不是“保序同構(gòu)”.

故選：D.

20.（2022?浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)1是任意一個(gè)"元實(shí)數(shù)集合,令集合B={“VveA,〃W丫}記集合

8中的元素個(gè)數(shù)為忸|,則（)

A.若〃=6,則IB1mM+|8|m"=24B.若〃=7,則IB1mhi=9

C.若"=8,則|8|皿<2|8|而0D.若〃=9,則181m、=9

【答案】B

【分析】利用=C排除選項(xiàng)D；利用|8京,42〃-4排除選項(xiàng)AC；舉例驗(yàn)證選項(xiàng)B正確.

【詳解】當(dāng)集合4中的元素兩兩互質(zhì)時(shí)，181nm=C：.

所以對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)〃=9時(shí)，|B|2=C：=36w9,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

當(dāng)“26時(shí)，若4=,a"-?}

,其中〃>0,“Hi,有|8|=1+(2〃-5)=2〃-4,^|B|min<2n-4.

9

對(duì)于選項(xiàng)A,|fi|mM=C^=15,|B|min<8,故131nM+423H24.故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)C,181mLC；=28,|8扁412,則181nm>218丘.故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)B,|fi|mi?=9<2x7-4=10,判斷正確

（事實(shí)上，當(dāng)〃=7時(shí)，要使1例最小，OeAleA-leA,記4={0,1,-1,。力,4},其中。,6>0,當(dāng)6=黯時(shí)，

有181而?=9.）

故選：B

21.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)集合X={4，%,。3,4}=N，定義：集合丫=,+%」《,為eX,i,jeN*,iw/},

集合S={x-y|x,yey,xwy},集合T=ek，yey）,分別用|S|,|T|表示集合S,T中元素的個(gè)數(shù)，則下列

結(jié)論可能成立的是（）

A.|S|=6B.|S|=16C.|T|=9D.|7|=16

【答案】D

【分析】對(duì)A、B：不妨設(shè)14al<〃4，可得q+4<4+為<4+4<，+%<%+%，根據(jù)集合V的定義可

得Y中至少有以上5個(gè)元素，不妨設(shè)X[=6+a2,x2=at+a3,x3=a,+a4,x4=a2+a4,x5=a}+a4,則集合S中至少

有7個(gè)元素，排除選項(xiàng)A,若4+%*%+4，則集合N中至多有6個(gè)元素，所以|S|a=C：=15<16,排除選項(xiàng)B；

對(duì)C：對(duì)產(chǎn)為，則，與殳一定成對(duì)出現(xiàn)，根據(jù)集合7的定義可判斷選項(xiàng)C；對(duì)D：WX={1,3,5,7）,則

7={4,6,8,10,12）,根據(jù)集合T的定義可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】解：不妨設(shè)14al<%</<，，則《+%的值為％+%，4+。3，《+%，%+%，%+%,%+%，

顯然，al+a2<al+a,<al+aA<a2+a4<a3+a4,所以集合V中至少有以上5個(gè)元素，

不妨設(shè)±=a,+a2,x2=q+a3,x3=%+a4,x4=a2+aA,x5=%+a4,

則顯然MX?<x,x,<x,x4<XR<x2x5<x3x5<x4x5,則集合S中至少有7個(gè)元素，

所以|S|=6不可能，故排除A選項(xiàng)；

其次，若q+%/4+4,則集合F中至多有6個(gè)元素，則|Sl3=C：=15<16,故排除B項(xiàng)；

對(duì)于集合7,取乂={1,3,5,7},則丫={4,6,8,10,12},此時(shí)丁=,[7>16,

[35235453643252J

故D項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)而言，則?與之一定成對(duì)出現(xiàn)，（土土一1]<0,所以|T|一定是偶數(shù)，故C項(xiàng)錯(cuò)

誤.

10

故選：D.

題型八：集合的綜合問題

22.(2022?貴州貴陽?模擬預(yù)測(cè)(理))已知/(x)=|x+a|+|2x-5l.

(1)當(dāng)。=2時(shí)，求/(x)>9的解集；

⑵若/(x)<2x的解集包含［3,5］,求a的取值范圍.

【答案】(l){x|x<-2或x>4}.

(2)18,0］,

【分析】(1)通過討論x的范圍解不等式.

(2)結(jié)合/(x)42x的解集包含［3,5］來化簡(jiǎn)不等式，進(jìn)而解出不等式，再利用解集包含［3,5］求出a的取值范圍.

—3x+3,x<—2,

【詳解】(1)當(dāng)”=2時(shí),/(%)=<-x+1,-2<x<—,

3x-3,x>~,

2

當(dāng)x<-2時(shí)，不等式為-3x+3>9,解得x<-2,故-2；

當(dāng)-24xv|時(shí)，不等式為-x+7>9,解得x<—2,無解；

當(dāng)x>|時(shí)，不等式為3x-3>9,解得x>4,故x>4,

綜上所述，不等式的解集為{x|x<-2時(shí)>4}.

故答案為：{x|x<-2或r>4}.

(2)

/。)42%的解集包含［3,5］,即|》+。|+|2>5|這令在［3,5］上成立,

即|》+0|+2》一5公工的解集包含［3,5］,即|x+a|W5,解得—5—aWx45—a,

-5—aW3,

由已知可得uu解得02。2-8,

5-a>5,

所以〃的取值范圍為18,0］.

故答案為：［-80］.

23.(2022?吉林?長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/")=*?］：)的定義域?yàn)榧螦,關(guān)于x的不等

式5-2fl+140(a#0)的解集為B.

⑴當(dāng)。=1時(shí),求低A)B.

(2)若xeB是xe4A的充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

11

【答案】（1）（4A）U8={X|X41或x23}.

⑵11，0）（0,（

【分析】⑴由題知A={x|-2<X<3},3={小41},再根據(jù)集合運(yùn)算求解即可；

(2)由題知BuaA,再分。>0時(shí)8=卜|》42-口和。<0時(shí)B={x|xN2-/兩種情況討論求解即可.

(1)

解：要使函數(shù)"x)=1簟(3-：)有意義,則一：>],解得—2<x<3,

V2x+4[2x4-4>0

所以A={x|—2<x<3},所以4A={x|x4-2或x23},

當(dāng)a=l時(shí)，B={x|x<l},

所以(4A)uB={x|E或x23}.

(2)

解：由(1)得人=卜|一2<》<3},QA={x|x4—2或XN3}

因?yàn)閤e8是xeaA的充分條件，則8A,

①當(dāng)〃>0時(shí)，B=h|x<2—?jiǎng)t2-14-2,所以O(shè)vawl；

Ia)a4

②當(dāng)a<0時(shí)，fi=1x|x>2-lja^A,則2-：23,所以一l<a<0；

綜上所述，實(shí)數(shù)0的取值范圍是卜1，。)(0，：.

24.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)f(x)=x2+px+q(p，4eR),定義集合力/={x"(/(x))=x,xeR},集合

E'={x"g))=0,xeR}.

(1)若p=q=o,寫出相應(yīng)的集合0■和E/；

⑵若集合巧={。},求出所有滿足條件的P，。；

⑶若集合號(hào)只含有一個(gè)元素，求證：P>0,q>0.

【答案】(1)0/={0,1},號(hào)={0}

⑵p=l,q=O

⑶證明見解析

12

【分析】(1)由d=x、彳4=0解得X,可得外，Ef.

(2)由/(/(》))一》=0得/+(p+l)x+夕+4+1=0或/+(。-1)了+4=0,然后由4=(p+l)2-4(p+q+l),

2

A2=(P-1)-4<7>A1,方程/(7(x))-x=O只有一個(gè)實(shí)數(shù)解0,得&=0,4<0,轉(zhuǎn)化為V+(p-l)x+g=O有唯一實(shí)

數(shù)解0,可得答案；

(3)由條件,/(/(x))=O有唯一解，得/(x)=O有解，分/(x)=O有唯一解X。、/(x)=O有兩個(gè)解網(wǎng),々(玉<%),結(jié)

合f(x)的圖像和實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)可得答案.

【詳解】⑴fW=x2,/(/(x))=x4,由解得x=O或x=l,由x'=O解得x=O,所以巧={OJ,號(hào)={0}.

(2)由f{f(x))-x=/(/(x))-f(x')+f(x)-x=f2(x')+pf(x)-x2-px+f(x')-x=

(f(x)+x+p+l)(/(x)-x)=(x2+(p+l)x+p+q+l)(x2+(p-l)x+^)=O,

得》2+(°+1口+/7+4+1=()或/+(0-以+4=0,

A=(p+l)2-4(p+q+l)=(p-l)2-4q-4,A,=(p-1)2-4^=(p-1)2-4^>A,,而方程f(/(x))_x=0只有一個(gè)實(shí)

數(shù)解0,所以。=0A<0,

即只需產(chǎn)+(2-1)"4=0有唯一實(shí)數(shù)解0,所以p=l,q=0.

(3)由條件，f(f(x))=O有唯一解，所以f(x)=O有解，

①若/(x)=O有唯一解%,則/(x)=(x-%)2,且/(x)=x。有唯一解，結(jié)合f(x)圖像可知玉>=0,所以f(x)=x2,所

以p=q=O.②若f(x)=O有兩個(gè)解百，v(X<七),

則/(x)=(x-玉)。-七)，且兩個(gè)方程/。)=玉，，。)=七總共只有一個(gè)解，結(jié)合f(x)圖像可知/。)=當(dāng)有唯一解，

所以左<0,%,<0,所以9=%々>。，且f(x)的對(duì)稱軸所以2>0,所以。>。，9>0.

綜上，p>0,<7>0.

【點(diǎn)睛】本題主題考查了二次函數(shù)與二次方程之間的關(guān)系的相互轉(zhuǎn)換，方程根與系數(shù)的應(yīng)用，考查了系數(shù)對(duì)新定義

的理解能力及計(jì)算能力.

【高考必刷】

一、單選題

3

25.(2022?河北?模擬預(yù)測(cè)(理))已知集合4={》€(wěn)2|；—eZ),8={xeZ|x?—x—640},則Au5=()

1-x

A.{2}B.{-2,0,2}

C.{-2,-1,0,1,2,3,4}D.{-3,-2,0,2,4)

【答案】C

13

【分析】先求出集合A,B,再根據(jù)并集的定義求解即可.

【詳解】A={X6Z|-eZ}={-2,0,2,4},

3={xwZ|x2—x-640}={XGZ|-24x43}={-2,-1,0,1,2,3},

.?.AuB={-2,-1,0,123,4},

故選：C.

26.（2022?四川?宜賓市敘州區(qū)第二中學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（理））已知集合4=卜€(wěn)2.+2萬一34。},B={x\x>-\},

則集合4cB的元素個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)題意結(jié)合一元二次不等式求集合4再利用集合的交集運(yùn)算求解.

【詳解】VA={xGZ|x2+2x-3<0}={xeZ|-3<x<l}={-3,-2,-l,0,l},

；.AB={-1,0,1},即集合ACB的元素個(gè)數(shù)為3.

故選：C.

27.（2022?廣東韶關(guān)?一模）設(shè)全集。={-2,-1,0,1,2},集合A={-2,1},B={x|x2-3x+2=0）,則4（Au8）=

（）

A.{0,2}B.{-1,0}C.{1,2}D.{1,0}

【答案】B

【分析】先化簡(jiǎn)集合8,再由并集與補(bǔ)集的定義求解即可

【詳解】由題意,B={X|X2-3X+2=0}={1,2},

又人={-2,1},

所以={-2,1,2},

又。={-2,-1,0,1,2}

所以匹（AB）={-l,0},

故選：B.

28.（2022?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè)）已知全集為R,集合A={-2,0,6,8},B={x|x2-4x-12>0）,則Venn圖中陰影

部分所表示的集合為（）

14

C.{—2,6,8}D.{-2,0,6}

【答案】D

【分析】先確定集合8中的元素，然后根據(jù)Venn圖表示的集合進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】B={x]2-4x-12>0}={x|x<-2或x>6},Q8={x|-24xV6},

Venn圖中陰影部分所表示的集合為A（4功={-2,0,6}.

故選:D.

29.(2022?四川資陽?一模(理))已知全集。={-2,—1,0,1,2,3,4},M={1,2,3},N={xeZ|x2V4},則N)=

()

A.{-2}B.{4}C.{-2,1}D.{-2,4}

【答案】D

【分析】計(jì)算N={T,0,l},MuN={-l,0,l,2,3},再計(jì)算補(bǔ)集得到答案.

【詳解】/V={xeZ|x2<4}={-l,0,l},故A/uN={—1,0,123},故6(M”={-2,4}.

故選：D

二、多選題

30.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）圖中陰影部分用集合符號(hào)可以表示為（）

A.Bn(AuC)B.63c(AuC)

C.3M,(AC)1).(/loB)u(BnC)

【答案】AD

【分析】在陰影部分區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)元素x，分析x與集合A、8、C的關(guān)系，即可得出結(jié)論.

【詳解】在陰影部分區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)元素x,則xeAB或xeBC,

故陰影部分所表示的集合為3c（AuC）或（AcB）u（BcC）.

15

故選：AD.

31.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知集合46均為〃的子集，若Ac8=0,則（)

A.B."AU8

C.Aufi=RD.（瘠A）5RB）=R

【答案】AD

【分析】根據(jù)集合圖逐一判斷即可得到答案

【詳解】如圖所示

根據(jù)圖像可得4g既色故A正確；由于BqaA,故B錯(cuò)誤；AB=R，故C錯(cuò)誤

（猴卜（㈤=?R（ACB）=R

故選：AD

32.（2022?湖南?模擬預(yù)測(cè)）如果一個(gè)無限集中的元素可以按照某種規(guī)律排成一個(gè)序列（或者說，可以對(duì)這個(gè)集

合的元素標(biāo)號(hào)表示為4,%，4,?4）,則稱其為可列集.下列集合屬于可列集的有（）

A.N

B.Z

C.Q

D.R

【答案】ABC

【分析】根據(jù)自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合題中定義逐一判斷即可.

【詳解】令4=0,q=l,-，4=〃（〃eN）即可表示所有自然數(shù)，故集合N可標(biāo)號(hào)表示為4,《,%，/，4???“"，故N為

可列集，同理，Z為可列集，

對(duì)于Q,整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，由于其區(qū)間（9,□）可由可列個(gè)M，〃+l）（〃eZ）區(qū)間組亦故可只討論區(qū)間［0,1）內(nèi)

的情況.

令g=0,當(dāng)分母為1時(shí)，分子只有一一種取值，故記作即=1,同理"21=4，%=:，。32='，」，apq=~>

233p

綜上，集合Q可標(biāo)號(hào)表示為“0,421,"31'。32，'apq>故。為可列集，

有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，所以實(shí)數(shù)不是可列集，

故選：ABC

16

33.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知集合f是由平面向量組成的集合，若對(duì)任意均有

ta+(\-t)bGE,則稱集合《是“凸”的，則下列集合中是“凸”的有().

A.{(x,^)|y>et}B.{(x,y)|y>lnx}

C.{(x,y)|x+2y-l>0}D.{(x,y)|W+y?41}

【答案】ACD

【分析】作出各個(gè)選項(xiàng)表示的平面區(qū)域，根據(jù)給定集合6是“凸”的意義判斷作答.

【詳解】設(shè)。4=〃，OB=b>OC=S+(1T)。，貝IC為線段仍上一點(diǎn),

因此一個(gè)集合￡是“凸”的就是￡表示的平面區(qū)域上任意兩點(diǎn)的連線上的點(diǎn)仍在該區(qū)域內(nèi),

四個(gè)選項(xiàng)所表示的平面區(qū)域如圖中陰影所示：

觀察選項(xiàng)A,B,C,I)所對(duì)圖形知，B不符合題意，ACD符合題意.

故選：ACD

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及符合某個(gè)條件的點(diǎn)構(gòu)成的平面區(qū)域問題，理解不等式變?yōu)閷?duì)應(yīng)等式時(shí)的曲線方程的意義,

再作出方程表示的曲線，作圖時(shí)一定要分清虛實(shí)線、準(zhǔn)確確定區(qū)域.

34.(2022?江蘇?常州市平陵高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試)設(shè)[月表示不大于x的最大整數(shù)，已知集合

M={x|-2<[x]<2},A^={X|X2-5X<0},貝ij()

A.[lg200]=2B.McN={x[0<x<2}

17

C.[Ig2-lg3+lg5]=lD.Mu?V={x|-l<x<5}

【答案】ABD

【分析】由對(duì)數(shù)運(yùn)算可知2<Ig200<3,lg2-lg3+lg5=l-lg3e(0,l),由[x]的定義可知AC正誤；解不等式求得集

合M,N,由交集和并集定義可知BD正誤.

【詳解】對(duì)于A,.100<200<1000,.-.2<lg200<3,/.[1g200]=2,A正確；

對(duì)于C,lg2-lg3+lg5=(lg2+lg5)-Ig3=l-lg3e(O,l),.lg3+lg5]=0,C錯(cuò)誤；

對(duì)于BD,M={X-2<[X]<2}={A|-1MX<2},N={X|0<X<5},

.,.McN={x[0<x<2},MuN={M-14x<5},BD正確.

故選：ABD.

三、填空題

35.（2007?湖北?高考真題（理））設(shè)從6為兩個(gè)集合.下列四個(gè)命題：

①A不包含于8。對(duì)任意xeA,有xeB；

②A不包含于BoAc3=0；

③A不包含于BOB不包含于A;

④A不包含于8。存在xeA,使得

其中真命題的序號(hào)是.（把符合要求的命題序號(hào)都填上）

【答案】④

【分析】根據(jù)集合之間的關(guān)系，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷.

【詳解】對(duì)①：取4={1,2},3={2,3},滿足A不包含于B,但存在2eA,有2eB,故①錯(cuò)；

對(duì)②