線性空間的定義

關于線性空間的定義6.5

線性子空間一、線性子空間二、生成子空間§6.5線性子空間第2頁,共31頁，2024年2月25日，星期天6.5

線性子空間一、線性子空間

1、線性子空間的定義設V是數域P上的線性空間，集合若W對于V中的兩種運算也構成數域P上的線性空間,則稱W為V的一個線性子空間，簡稱為子空間．注：①線性子空間也是數域P上一線性空間，它也②任一線性子空間的維數不能超過整個空間的有基與維數的概念.

維數.第3頁,共31頁，2024年2月25日，星期天6.5

線性子空間2、線性子空間的判定，若W對于V中兩種運算封閉，即

則W是V的一個子空間．

定理：設V為數域P上的線性空間，集合

推論：V為數域P上的線性空間,

則W是V的子空間第4頁,共31頁，2024年2月25日，星期天6.5

線性子空間∵，∴.

且對，

由數乘運算封閉，有

，即W中元素的負元素就是它在V中的負元素，4）成立．就是V中的零元，3）成立．由于

，規(guī)則1）、2）、5）、6）、7）、8）是顯然成立的．下證3）、4）成立．

由加法封閉，有,即W中的零元

證明：要證明W也為數域P上的線性空間，即證W中的向量滿足線性空間定義中的八條規(guī)則．

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線性子空間

例2設V為所有實函數所成集合構成的線性空間,則R[x]為V的一個子空間．

例3P[x]n是P[x]的的線性子空間．

例1設V為數域P上的線性空間，只含零向量的子集合是V的一個線性子空間，稱之為V的零子空間．線性空間V本身也是V的一個子空間.這兩個子空間有時稱為平凡子空間，而其它的子空間稱為非平凡子空間．

第6頁,共31頁，2024年2月25日，星期天6.5

線性子空間的全部解向量所成集合W對于通常的向量加法和數①(＊)的解空間W的維數＝n－秩(A)，；例4

n元齊次線性方程組

(＊)

注②(＊)的一個基礎解系就是解空間W的一組基.空間，稱W為方程組(＊)的解空間．量乘法構成的線性空間是

n

維向量空間

Pn

的一個子第7頁,共31頁，2024年2月25日，星期天6.5

線性子空間例5判斷Pn的下列子集合哪些是子空間：

解：W1、W3是Pn的子空間，

W2不是Pn的子空間.若為Pn的子空間，求出其維數與一組基.事實上，W1是n元齊次線性方程組的解空間.所以，維W1＝n－1，①的一個基礎解系①第8頁,共31頁，2024年2月25日，星期天6.5

線性子空間就是W1的一組基.而在

W2中任取兩個向量，設則故W2不是Pn的子空間.第9頁,共31頁，2024年2月25日，星期天6.5

線性子空間故，W3為V的一個子空間，且維W3＝n－1，則有

其次，

設下證W3是Pn的子空間.就是W3的一組基.第10頁,共31頁，2024年2月25日，星期天6.5

線性子空間例6設V為數域P上的線性空間，

則W關于V的運算作成V的一個子空間．

即的一切線性組合所成集合.第11頁,共31頁，2024年2月25日，星期天6.5

線性子空間稱為V的由生成的子空間，二、一類重要的子空間

——生成子空間

定義：V為數域P上的線性空間，

則子空間

，記作．稱為的一組生成元.第12頁,共31頁，2024年2月25日，星期天6.5

線性子空間例7在Pn

中，

為Pn的一組基，即Pn

由它的一組基生成.類似地，還有事實上，任一有限維線性空間都可由它的一組基生成.第13頁,共31頁，2024年2月25日，星期天6.5

線性子空間有關結論1、設W為n維線性空間V的任一子空間，是W的一組基，則有2、（定理3）

1）；為線性空間V中的兩組向量，則與等價．

2）生成子空間的維數＝向量組的秩．第14頁,共31頁，2024年2月25日，星期天6.5

線性子空間證：1）若

則對

有，

從而可被線性表出；同理每一個

也可被線性表出.

所以，

與等價．

，

可被線性表出，

從而可被線性表出，即

反之，

與等價．

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線性子空間所以,

同理可得，

故，

由§3定理1，

2）設向量組

的秩＝t，不妨設

為它的一個極大無關組．

因為

與等價，

就是的一組基，

所以，的維數＝t．第16頁,共31頁，2024年2月25日，星期天6.5

線性子空間無關組，則推論：設是線性空間V中不全為零的一組向量，是它的一個極大3、設為P上n維線性空間V的一組基，則的維數＝秩(A).A為P上一個矩陣，若第17頁,共31頁，2024年2月25日，星期天6.5

線性子空間證：設秩(A)＝r，不失一般性，設A的前r列線性無關，并將這r列構成的矩陣記為A1，其余s-r列構成的矩陣記為A2，則A＝(A1,A2)，且秩(A1)＝秩(A)＝r，設即下證線性無關.第18頁,共31頁，2024年2月25日，星期天6.5

線性子空間是V的一組基，又秩(A1)＝r，∴方程組②只有零解，即②線性無關.從而第19頁,共31頁，2024年2月25日，星期天6.5

線性子空間任取將A的第

j

列添在A1的右邊構成的矩陣記為Bj，則則有即設第20頁,共31頁，2024年2月25日，星期天6.5

線性子空間從而有③而秩(Bj)＝r，∴③有非零解，故有不全為零的數故為的極大無關組，所以的維數＝r＝秩(A).線性相關.第21頁,共31頁，2024年2月25日，星期天6.5

線性子空間則向量組與矩陣A的列向量組具有相同線性相關性.所以可對矩陣A作初等行變換化階梯陣來求向量組的一個極大無關組，從而求出生成子空間的維數與一組基.注：由證明過程可知，若為V的一組基，第22頁,共31頁，2024年2月25日，星期天6.5

線性子空間為

V

的一組基．即在

V

中必定可找到

n－m

個向量設W為

n維線性空間

V

的一個

m

維子空間，4、（定理4）為W的一組基，則這組向量必定可擴充，使為

V

的一組基．擴基定理

證明：對n－m作數學歸納法．當n－m＝0時，即

n＝m，定理成立．就是V的一組基.假設當n－m＝k時結論成立.第23頁,共31頁，2024年2月25日，星期天6.5

線性子空間因n－(m＋1)＝(n－m)－1＝(k＋1)－1＝k，下面我們考慮n－m＝k＋1的情形．必定是線性無關的．既然還不是V的一組基，它又是線性無關的，那么在V中必定有一個向量不能被線性表出，把它添加進去，則由定理3，子空間

是m＋1維的．可以擴充為整個空間V的一組基．由歸納原理得證.

由歸納假設，的基第24頁,共31頁，2024年2月25日，星期天6.5

線性子空間它擴充為P4的一組基，其中例8

求的維數與一組基，并把解：對以為列向量的矩陣A作初等行變換第25頁,共31頁，2024年2月25日，星期天6.5

線性子空間由B知，為的一個極大故，維＝3，就是的一組基.無關組.第26頁,共31頁，2024年2月25日，星期天6.5

線性子空間則線性無關，從而為P4的一組基.第27頁,共31頁，2024年2月25日，星期天6.5

線性子空間練習設V為數域P上的線性空間，為V的一組基，且求的一組基，并把它擴充為V的一組基.第28頁,共31頁，2024年2月25日，星期天6.5

線