離散型隨機(jī)變量及其分布列

關(guān)于離散型隨機(jī)變量及其分布列問題1：1）拋擲一個骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)可以用數(shù)字1,2,3,4,5,6來表示.——可以用數(shù)字1和0分別表示正面向上和反面向上.2）還可以用其他的數(shù)字表示這兩個試驗(yàn)結(jié)果嗎?3）任何隨機(jī)試驗(yàn)的所有結(jié)果都可以用數(shù)字表示嗎?

可以,只要建立一個從試驗(yàn)結(jié)果到實(shí)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系,就可以使每一個試驗(yàn)結(jié)果都用一個確定的數(shù)字表示.——該變量的值隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化.4)在這個對應(yīng)關(guān)系下,變量的值和試驗(yàn)結(jié)果有什么關(guān)系？也即，試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個變量表示.那么擲一枚硬幣的結(jié)果是否也可用數(shù)字表示呢?第2頁,共37頁，2024年2月25日，星期天如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可用一個變量來表示,而這個變量是隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化的，稱這個變量為隨機(jī)變量.隨機(jī)變量常用字母：X，Y，ξ，η等表示.1.隨機(jī)變量的概念：2.隨機(jī)變量的表示：問題2：隨機(jī)變量與函數(shù)有什么聯(lián)系和區(qū)別?共同點(diǎn)：

隨機(jī)變量把試驗(yàn)的結(jié)果映為實(shí)數(shù)，函數(shù)把實(shí)數(shù)映為實(shí)數(shù)；

試驗(yàn)結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)與函數(shù)的值域；3.所有隨機(jī)變量的取值范圍的集合叫做隨機(jī)變量的值域.隨機(jī)變量和函數(shù)都是一種映射；區(qū)別: 聯(lián)系：第3頁,共37頁，2024年2月25日，星期天

將一顆均勻骰子擲兩次，不能作為隨機(jī)變量的是（）A、兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和B、兩次擲出的最大點(diǎn)數(shù)C、第一次減去第二次的點(diǎn)數(shù)差D、拋擲的次數(shù)D例1：第4頁,共37頁，2024年2月25日，星期天例2.在含有10件次品的100件產(chǎn)品中,任取4件,可能含有的次品件數(shù)X1)X的取值為多少?它的值域?yàn)槎嗌?2)｛X=0｝,｛X=4｝,｛X<3｝各表示什么?3)“抽出3件以上次品”如何表示?解:｛0,1,2,3,4｝.0,1,2,3,4“抽出0件次品”“抽出4件次品”“抽出3件以下次品”｛X>3｝2)｛X=0｝表示:

｛X=4｝表示:

｛X<3｝表示:3)“抽出3件以上次品”:1)X的取值:X的值域:第5頁,共37頁，2024年2月25日，星期天1)離散型隨機(jī)變量：對于隨機(jī)變量可能取的值，如果可以一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．2)連續(xù)型隨機(jī)變量:

隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的隨機(jī)變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.4.隨機(jī)變量的分類：第6頁,共37頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)二

1.①某座大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)為X；

②某無線尋呼臺一天內(nèi)收到尋呼的次數(shù)為X；

③一天之內(nèi)的溫度為X；

④某市一年內(nèi)的下雨次數(shù)X.以上問題中的X是離散型隨機(jī)變量的是（ ）A、①②③④ B、①②④C、①③④ D、②③④B第7頁,共37頁，2024年2月25日，星期天（1）電燈泡的壽命X是離散型隨變量嗎？思考（2）如果規(guī)定壽命在1500小時以上的燈泡為一等品，壽命在1000到1500小時之間的為二等品，壽命在1000小時以下的為不合格品。如果我們關(guān)心燈泡是否為合格品，應(yīng)如何定義隨機(jī)變量？如果我們關(guān)心燈泡是否為一等品或二等品，又如何定義隨機(jī)變量？第8頁,共37頁，2024年2月25日，星期天問題3：拋擲一枚骰子，所得的點(diǎn)數(shù)ξ有哪些值？ξ取每個值的概率是多少？126543列成表的形式解：ξ的取值有1,2,3,4,5,6第9頁,共37頁，2024年2月25日，星期天5.離散型隨機(jī)變量的分布列設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為

x1，x2，…，xn，X取每一個值xi(i=1,2,…n)的概率P(X=xi)=pi，則稱表Xx1x2…xi…pp1p2…pi…為隨機(jī)變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列.也可用等式P(X=xi)=pi，i=1,2,…,n表示X的分布列.或圖像(如課本P47圖2.1-2)表示.6.離散型隨機(jī)變量的表示第10頁,共37頁，2024年2月25日，星期天6.概率分布還經(jīng)常用圖象來表示.O12345678p0.10.2（1）離散型隨機(jī)變量的分布列完全描述了由這個隨機(jī)變量所刻畫的隨機(jī)現(xiàn)象。（2）函數(shù)可以用解析式、表格或圖象表示，離散型隨機(jī)變量可以用分布列、等式或圖象來表示。可以看出的取值范圍是{1,2,3,4,5,6}，它取每一個值的概率都是。第11頁,共37頁，2024年2月25日，星期天7.離散型隨機(jī)變量的分布列兩個性質(zhì)：(1)pi≥0,i=1,2,3,…n(2)p1+p2+…+pn=1x1234p1/31/6a1/6練習(xí)：若隨機(jī)變量X的概率分布如下,則表中a的值為1/3第12頁,共37頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)1.隨機(jī)變量ξ的分布列為解:(1)由離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)有ξ-10123p0.16a/10a2a/50.3（1）求常數(shù)a;（2）求P(1<ξ<4)(2)P(1<ξ<4)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.12+0.3=0.42解得a=-0.9(舍)或a=0.6第13頁,共37頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)2:已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下：-2-13210(1)求P(ξ>0);(2)求隨機(jī)變量η1=ξ/2的分布列；(3)求隨機(jī)變量η2=ξ2的分布列.第14頁,共37頁，2024年2月25日，星期天例：在擲一枚圖釘?shù)碾S機(jī)試驗(yàn)中,令如果針尖向上的概率為p,試寫出隨機(jī)變量X的分布列解:根據(jù)分布列的性質(zhì),針尖向下的概率是(1—p)，于是，隨機(jī)變量X的分布列是：X01P1—pp第15頁,共37頁，2024年2月25日，星期天1.兩點(diǎn)分布列（最簡單的類型之一）第16頁,共37頁，2024年2月25日，星期天

又例：拋一枚硬幣，記ξ=0表示反面向上，ξ=1表示正面向上.求ξ的分布列.ξ01p0.50.5第17頁,共37頁，2024年2月25日，星期天例：籃球比賽中每次罰球命中得1分,不中得0分,已知某運(yùn)動員罰球命中的概率為0.7,求他一次罰球得分的分布列.解:設(shè)他一次罰球得分為X,則X的分布列為X10p0.70.3第18頁,共37頁，2024年2月25日，星期天

注：兩點(diǎn)分布是最簡單的一種分布,任何一個只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象,比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等,都屬于兩點(diǎn)分布.練習(xí)：袋中裝有8個紅球和2個白球，現(xiàn)任取兩球，記ξ=1表示全是紅球，ξ=0表示取到的兩球有白球，求ξ的分布列第19頁,共37頁，2024年2月25日，星期天第二課時：復(fù)習(xí)引入：

如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個變量來表示，（或隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量），那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量．

隨機(jī)變量常用希臘字母X、Y、ξ、η等表示。1.隨機(jī)變量

2、隨機(jī)變量的分類：（1）取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量。（2）如果隨機(jī)變量可能取的值是某個區(qū)間的一切值，這樣的隨機(jī)變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.第20頁,共37頁，2024年2月25日，星期天

注3：若是隨機(jī)變量，則（其中a、b是常數(shù)）也是隨機(jī)變量．注1：隨機(jī)變量分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。注2：某些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果不具備數(shù)量性質(zhì)，但仍可以用數(shù)量來表示它。3.離散型隨機(jī)變量的分布列設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為

x1，x2，…，xn，X取每一個值xi(i=1,2,…n)的概率P(X=xi)=pi，則稱表Xx1x2…xi…pp1p2…pi…為隨機(jī)變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列.第21頁,共37頁，2024年2月25日，星期天4、求離散型隨機(jī)變量ξ分布列的解題步驟為：(1)判斷隨機(jī)變量ξ的取值；(2)說明ξ取各值的意義(即表示什么事件)并求出取該值的概率，如果取各值的意義基本相似，則可只說明第一個值，后面的值同理即可；(3)列表寫出ξ的分布列.

☆求分布列重在過程，必須有文字說明和詳細(xì)過程，切忌只有數(shù)、式或表！第22頁,共37頁，2024年2月25日，星期天[思路探索]已知隨機(jī)變量X的分布列，根據(jù)分布列的性質(zhì)確定a及相應(yīng)區(qū)間的概率．例1：第23頁,共37頁，2024年2月25日，星期天解由題意，所給分布列為XPa2a3a4a5a第24頁,共37頁，2024年2月25日，星期天例2：袋中裝有編號為1～6的同樣大小的6個球，現(xiàn)從袋中隨機(jī)取3個球，設(shè)ξ表示取出3個球中的最大號碼，求ξ的分布列．[思路探索]確定隨機(jī)變量ξ的所有可能取值，分別求出ξ取各值的概率．超幾何分布第25頁,共37頁，2024年2月25日，星期天ξ3456P第26頁,共37頁，2024年2月25日，星期天在一次購物抽獎活動中，假設(shè)10張獎券中有一等獎獎券1張，可獲價(jià)值50元的獎品，有二等獎獎券3張，每張可獲價(jià)值10元的獎品；其余6張沒有獎品．(1)顧客甲從10張獎券中任意抽取1張，求中獎次數(shù)X的分布列；(2)顧客乙從10張獎券中任意抽取2張，①求顧客乙中獎的概率；②設(shè)顧客乙獲得的獎品總價(jià)值Y元，求Y的分布列．超幾何分布【例3】第27頁,共37頁，2024年2月25日，星期天X01P第28頁,共37頁，2024年2月25日，星期天Y010205060P(12分)第29頁,共37頁，2024年2月25日，星期天【題后反思】解決超幾何分布問題的兩個關(guān)鍵點(diǎn)(1)超幾何分布是概率分布的一種形式，一定要注意公式中字母的范圍及其意義，解決問題時可以直接利用公式求解，但不能機(jī)械地記憶．(2)超幾何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，從而求出X的分布列．第30頁,共37頁，2024年2月25日，星期天

備注:一般地，離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和。ξ45678910p0.020.040.060.090.280.290.22(1)P(ξ≥7)=P(ξ=7)+P(ξ=8)+P(ξ=9)+P(ξ=10)=0.88(2)P(ξ≥6)=P(ξ=6)+P(ξ≥7)=0.94(3)P(ξ<4)=0練習(xí)：某一射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下：（1）求此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)≥7”的概率（2）求此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)≥6”的概率（3）求此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)＜4”的概率解:第31頁,共37頁，2024年2月25日，星期天1、若離散型隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ01P9a2－a3－8a求常數(shù)a及相應(yīng)的分布列．ξ01P第32頁,共37頁，2024年2月25日，星期天2、已知隨機(jī)變量X只能取三個值x1，x2，x3，其概率值依次成等差數(shù)列，求公差d的取值范圍．解設(shè)分布列為Xx1x2x3Pa－daa＋d第33頁,共37頁，2024年2月25日，星期天1、連續(xù)拋擲兩個骰子，得到的點(diǎn)數(shù)之和為X，則X取哪些值？X的分布列是什么？2、從集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集中，等可能地取出一個．記所取出的