高考數(shù)學(xué)解析幾何-第01講 曲線與方程

高考數(shù)學(xué)解析幾何專題

第Ol講曲線與方程

知識(shí)與方法

解析幾何主要研究?jī)煞矫娴膬?nèi)容:一是根據(jù)條件求曲線的方程（即軌跡方程），二是根據(jù)曲

線方程,研究曲線的性質(zhì).

1.求軌跡方程

求曲線的軌跡方程是高考命題的熱點(diǎn),其一般步驟為:建（坐標(biāo)系）、設(shè)（動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)）、限（限

制條件,點(diǎn)滿足的條件）、代（坐標(biāo)代入）、化（化簡(jiǎn)整理）,最后檢驗(yàn)軌跡的純粹性與完備性.

即:①建系;②設(shè)點(diǎn);③列式;④化簡(jiǎn);⑤檢驗(yàn).

求軌跡方程的常用方法：

己知曲線類型一一待定系數(shù)法

未知曲線類型一一①定義法:②直接法:③代入法;④交軌法;⑤參數(shù)法.

2.研究曲線的性質(zhì)

主要是圖形形狀、對(duì)稱性、范圍、最值等.

典型例題

【例1】已知點(diǎn)集Λ∕=｛（x,y）∣Jl-VN孫｝,則平面直角坐標(biāo)系中區(qū)域M的

面積是（）

A.1b?3+7C.πd?2+i

【例2】數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C52+y2=ι+∣χ∣y就是其中

之一（如圖）.給出下列三個(gè)結(jié)論：

①曲線C恰好經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；

②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)0;

③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.

其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①C.①②D.①②③

【例3】在數(shù)學(xué)中有這樣形狀的曲線:V+y2=U|+|y|.關(guān)于這種曲線，有以下結(jié)論：

①曲線C恰好經(jīng)過(guò)9個(gè)整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))；

②曲線C上任意兩點(diǎn)之間的距離都不超過(guò)2;

③曲線C所圍成的“花瓣”形狀區(qū)域的面積大于5.

其中正確的結(jié)論有()

A.①③B.②③C.①②D.①②③

【例4】(多選題)雙扭線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布?伯努利用來(lái)描述他所發(fā)

現(xiàn)的曲線.在平面直角坐標(biāo)系xθy中，把到定點(diǎn)K(-a,O),Λ(α,O)距離之積等于a2(a>0)的點(diǎn)

的軌跡稱為雙扭線C.

己知點(diǎn)P(%,%)是雙扭線C上一點(diǎn)，下列說(shuō)法中正確的有()

A.雙扭線C關(guān)于原點(diǎn)O中心對(duì)稱；B.-?∣^o?

C.雙扭線C上滿足IP用=IPEl的點(diǎn)P有兩個(gè)；D.∣POI的最大值為.

【例5】(多選題)在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，P(x,y)為曲線C:Y+4y2=2+2|x|+4|)，|

上一點(diǎn)，則()

A.曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.X∈[―1—?/?,1+yfi]

C.曲線C圍成的區(qū)域面積小于18D.。到點(diǎn)(θ,g)的最近距離為中

【例6】(多選題)數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合，也可以組成世間萬(wàn)物的絢麗畫面.一些優(yōu)美的曲

線是數(shù)學(xué)形象美，對(duì)稱美，和諧美的結(jié)合產(chǎn)物，曲線C：(χ2+∕)3=16χ2y2恰好是四葉玫

瑰線.給出下列結(jié)論正確的是()

A.曲線C經(jīng)過(guò)5個(gè)整點(diǎn)(即橫，縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))

5.曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)。的距離都不超過(guò)2

U曲線C圍成區(qū)域的面積大于4兀

。.方程(x2+y2)3=I6x2y2(xy>0)表示的曲線C在第一象限和第三象限

【例7】(雙空題)曲線C是平面內(nèi)到定點(diǎn)A(IQ)的距離與到定直線X=T的距離之和為

3的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡.則曲線C與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是；又已知點(diǎn)8(α,l)(α為常數(shù))，

那么∣P8∣+IpAl的最小值d(α)=.

【例8】如圖所示,直線4和4相交于點(diǎn)M4，4,點(diǎn)Ne4,以4B端點(diǎn)的曲線段。上

任一點(diǎn)到4的距離與到點(diǎn)N的距離相等，若ΔAMN是銳角三角形,IAM=J萬(wàn),IANI=3且

IBNl=6,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線。的方程.

【例9】已知雙曲線1-V=ι的左、右頂點(diǎn)分別為AM，點(diǎn)Pa,y),OU2,-y)是雙

曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求直線AP與交點(diǎn)的軌跡E的方程.

【例10］如凰設(shè)點(diǎn)A和5為拋物線丁=2px(p>0)上除原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),已知

OALO氏OMLAB,則點(diǎn)M的軌跡方程為()

A.x2+y2-2px=0（原點(diǎn)除外）B.x2+y2-2py=0（原點(diǎn)除外）

C”?+丁+2pχ=0（原點(diǎn)除外）D.χ2+）,2+2py=0（原點(diǎn)除外）

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.如果把一個(gè)平面區(qū)域內(nèi)兩點(diǎn)間的距離的最大值稱為此區(qū)域的直徑，那么曲線

Y+V=2圍成的平面區(qū)域的直徑為（）

A.√32B.3C.2√2D.4

2.由曲線f+y2=2μ∣+23圍成的圖形面積為（）

A.2）+4B.2τr+8C.4τr+4D.4"+8

3.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，曲線（實(shí)線部分）的方程可以是（）

22

A.(?x?-y-1)?(1X+/)=0B.y∣?x?-y-1?(1χ+∕)=0

2222

C.(∣x∣-y-1)7?/1~X+y=0D.y∣?x?-y-1??/1~x+y=0

4.方程∣x-l∣=Jl—(y-l)2所表示的曲線是()

A.一個(gè)圓B.兩個(gè)圓C.半個(gè)圓D,兩個(gè)半圓

5.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程

為（%2+y2）i=x2y2.給出下列四個(gè)結(jié)論：

①曲線C有四條對(duì)稱軸；②曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為;；

③曲線C第一象限上任意一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積最大為：；

O

④四葉草面積小于工.

4

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①②B.①③

6.曲線C為：到兩定點(diǎn)M（_2,0）、*（2,0）距離乘積為常數(shù)W的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡.以下結(jié)論正

確的個(gè)數(shù)為（）

（1）曲線C一定經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；（2）曲線C關(guān)于X軸、y軸對(duì)稱；

（3）ΔMPN的面積不大于8；（4）曲線C在一個(gè)面積為64的矩形范圍內(nèi).

A.lB.2C.3D.4

7.雙曲線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布?伯努利用來(lái)描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線.在平面

直角坐標(biāo)系Xoy中，把到定點(diǎn)耳（-α,0）,瑪（α,0）的距離之積等于/（a>0）的點(diǎn)的軌跡稱

為雙紐線C.

已知點(diǎn)P（Xo,%）是雙紐線C上一點(diǎn)，下列說(shuō)法中正確的有（）

①雙紐線C關(guān)于原點(diǎn)。中心對(duì)稱:

②一］。0J；

③雙紐線C上滿足IP耳HPF21的點(diǎn)P有兩個(gè)；④IPol的最大值為?.

A.①②B.①②④C.②③④D.①③

8.已知點(diǎn)A(-√2,0),B(√i,0),動(dòng)點(diǎn)尸滿足NAPB=6>fi∣PΛ∣?∣Pβ∣?cos2?=1,則點(diǎn)P

2

的軌跡方程為.

9.設(shè)圓C與兩圓(》+石)2+y2=4,(χ-√5)2+y2=4中的一個(gè)內(nèi)切,另一個(gè)外切.求C的

圓心軌跡4的方程.

尤2V2

10.已知橢圓r-==l(4>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是耳(-c,0),F,(c,O),。是橢圓外的動(dòng)

ab'

點(diǎn)，滿足IKQI=2°,點(diǎn)尸是線段百Q(mào)與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段鳥。上，并且滿足

PTTF2=O,?TF2?≠O,求點(diǎn)T的軌跡C的方程.

11.在平面直角坐標(biāo)系XOy中，拋物線y=/上異于坐標(biāo)原點(diǎn)。的兩不同動(dòng)點(diǎn)

4、B滿足AO^80(如圖所示)，求DAo8的重心G(即三角形三條中線的交點(diǎn))的

軌跡方程.

'B

X

參考答案

【例1】已知點(diǎn)集Λ∕=｛（x,y）∣Jl-??Jl人」孫｝,則平面直角坐標(biāo)系中區(qū)域M的

面積是（）

JTTT

A.1B.3+-C.πD.2+-

42

【答案】D

【解析】由題意，當(dāng)平WO時(shí)，只需滿足f≤l,∕≤li

當(dāng)取＞0時(shí)，對(duì)不等式JΠ^?Jly2式D兩側(cè)平方,整理得V+VWl,

綜上可得集合M對(duì)應(yīng)的圖象，如圖所示，

所以其面積為S=2創(chuàng)1+2倉(cāng)田πF=2+]?

【例2】數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：￡+y2=]+|x及就是其中

之一（如圖）.給出下列三個(gè)結(jié)論：

①曲線C恰好經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；

②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)血；

③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.

其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①B.②C.①②D.①②③

【答案】C

【解析】由V+V=l+∣x∣y得，y2-∣x∣y=l-x2,(丫-丹］=?,

A

X2,,g,所以X可為的整數(shù)有0,T,1,從而曲線C：V+y2=1+|Xly恰好經(jīng)過(guò)(0,1),(0,-1),

(1,0),(1,1),(-1,0),(-1,1)六個(gè)整點(diǎn)，結(jié)論①正確.

2

由￡+y?=l+∣χ∣y得，χ+??+-??■,解得Y+；/≤2,所以曲線C上任意一點(diǎn)

到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)垃.結(jié)論②正確.

如圖所示，易知A(O,-1),8(1,0),C(l,l,),D(0,l),

13

四邊形ABCD的面積SMep=^xlx1+1X1=；，很明顯“心形”區(qū)域的面積大于2S.B8,

即“心形”區(qū)域的面積大于3,說(shuō)法③錯(cuò)誤.

【例3】在數(shù)學(xué)中有這樣形狀的曲線=V+y2=∣χ∣+∣y∣.關(guān)于這種曲線，有以下結(jié)論:

①曲線C恰好經(jīng)過(guò)9個(gè)整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))；

②曲線C上任意兩點(diǎn)之間的距離都不超過(guò)2;

③曲線C所圍成的“花瓣”形狀區(qū)域的面積大于5.

其中正確的結(jié)論有()

A.φ(3)B.②③C.①②D.①②③

【答案】A

【解析】

=g,(x>O,y>O)

=g,(x>O,y<O)

=∣,(jc<O,y>O)

??(x<0,y<0)

X=O且y=O

如圖，圖象由四個(gè)圓的部分圖像和原點(diǎn)組成，且四個(gè)圓都可過(guò)原點(diǎn),

y

1+y/2.?+>∕2.1+>/2.I+>/2

①曲線C中，Xe

2'2ye2,2

經(jīng)過(guò)的整點(diǎn)有:(0,0),(1,1),(1,0),(1,T),(-l,1),(—1,0),(T,T),(0,1),(0,T)共9個(gè),命題

①正確；

②如圖，曲線上任意兩點(diǎn)距離范圍為(0,4/?),即兩點(diǎn)距離范圍為(0,20),命題②錯(cuò)誤;

③曲線C所圍成的“花瓣”形狀區(qū)域可看成四個(gè)半圓和一個(gè)正方形組成，設(shè)它的面積

為S,

S=4×-πR2+(2R)2^=4π+2>5,命題(3)正確.

2

故選：A.

【例4】(多選題)雙扭線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布?伯努利用來(lái)描述他所發(fā)

現(xiàn)的曲線.在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，把到定點(diǎn)耳(-4,0),月(4,0)距離之積等于/(4>0)的點(diǎn)

的軌跡稱為雙扭線C.

已知點(diǎn)P(%,%)是雙扭線C上一點(diǎn)，下列說(shuō)法中正確的有()

A.雙扭線C關(guān)于原點(diǎn)O中心對(duì)稱；B.-?∣^o5；

C.雙扭線C上滿足歸aI=IP圖的點(diǎn)P有兩個(gè)；D.∣PO∣的最大值為缶.

【答案】ABD

【解析】對(duì)A,設(shè)動(dòng)點(diǎn)C(x,y),由題意可得C的軌跡方程為

2222

y∣(x-a')+yyj(x+a)+y-2a.

把(x,y)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)(-x,-y)代入軌跡方程，顯然成立；

對(duì)B，因?yàn)镻(%,%),故S△除=*外|**4"="母訃IM.乂

2

?PFt?-?PF2?=a,所以AinN耳空=2α?∣%∣,即∣%KSinN4PE?微,i?-∣≡∣^|.故B

正確；

對(duì)C,若IPKl=IP段，則尸(XO,%)在百鳥的中垂線即y軸上.故此時(shí)XO=O,代入

^x-a)2+y2^x+a)2+y2=2a,可得%=0,即P(0,0),僅有一個(gè)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,因?yàn)?PO耳+NPOg=π,AicosZPOFt+cosZPOF2=0,

222

IOPI+∣OFJ∣∣2-∣P∕<IIOPI+∣O^∣2-?PF(

------------1---+------2-=U

2?OP?-?θFt?2?OP?-?OF2?

因?yàn)閨0用=IO周=α,∣PFj?∣P周=",故2∣OPf+2/=|代「+1PER

即IoPF+2a2=(∣P^∣-∣P∕=ζ∣)2+2∣P^∣-∣P7?∣,所以2|OPF=(IP用-IPKI)2.

又IP周一IP以,恒Ll=2α,當(dāng)且僅當(dāng)P,F1,居共線時(shí)取等號(hào).

故2∣OP∣2=(∣P周-∣Pg∣)2,,(24)2,即IoPI2,,2/,解得IOP其，故D正確.故選：

ABD.

【例5】（多選題）在平面直角坐標(biāo)系Xay中，P（X,y）為曲線C:f+4y2=2+2∣x∣M∣y∣

上一點(diǎn)，則（）

A.曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.x∈[-l-√3,I+√3]

C.曲線C圍成的區(qū)域面積小于18D.P到點(diǎn)（0,；）的最近距離為日

【答案】ACD

【解析】當(dāng)x>O,y>0時(shí)，曲線C:f+4y2=2+2x+4y即攵/+0，一；）=1,將

1+y2=ι中心平移到（Iq）位于第一象限的部分；因?yàn)轲郏é?y）,（XLy）,Qχ,-y）都在

曲線C上，所以曲線C圖象關(guān)于X軸，y軸和原點(diǎn)對(duì)稱，作出圖象如圖所示：

對(duì)于選項(xiàng)A：由圖知曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故選擇項(xiàng)A正確；

2

對(duì)于選項(xiàng)5：令.+y2=ι中令y=。得χ=2,向右平移一個(gè)單位可得橫坐標(biāo)為3,根

據(jù)對(duì)稱性可知-3≤x43,故選項(xiàng)6不正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：令《+V=I中X=O可得y=l,向上平移1個(gè)單位可得縱坐標(biāo)最大值為

曲線C第一象限的部分被包圍在矩形內(nèi)，矩形面積為3x3=2,所以曲線C圍成的區(qū)

222

Q

域面積小于2x4=18,故選項(xiàng)C正確；

2

對(duì)于選項(xiàng)。：令三丫+（y—g）2=l中X=O,可得y=g±*，所以到點(diǎn)（0,3的最近

距離為0,故選項(xiàng)O正確；

2

綜上所述，選AC￡）.

【例6】（多選題）數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合，也可以組成世間萬(wàn)物的絢麗畫面.一些優(yōu)美的曲

線是數(shù)學(xué)形象美，對(duì)稱美，和諧美的結(jié)合產(chǎn)物，曲線C:（V+y2）3=i6χ2y2恰好是四葉玫

瑰線.給出下列結(jié)論正確的是（）

A.曲線C經(jīng)過(guò)5個(gè)整點(diǎn)（即橫，縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）

5.曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)。的距離都不超過(guò)2

C.曲線C圍成區(qū)域的面積大于4兀

D.方程U2+/)3=?6x1y?xy>0)表示的曲線C在第一象限和第三象限

【答案】BD

【解析】把X=G,y=√5代入曲線C,可知等號(hào)兩邊成立，

所以曲線C在第-象限過(guò)點(diǎn)(√Σ,JΣ),由曲線的對(duì)稱性可知，該點(diǎn)的位置是圖中的點(diǎn)用

對(duì)于A選項(xiàng)，只需要考慮曲線在第一象限內(nèi)經(jīng)過(guò)的整點(diǎn)即可，把(1,1),(1,2)和(2,1)代

入曲線C的方程驗(yàn)證可知，等號(hào)不成立，所以曲線C在第一象限內(nèi)不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)，再結(jié)

合曲線的對(duì)稱性可知，曲線C只經(jīng)過(guò)整點(diǎn)((M)),即A錯(cuò)誤；

22

對(duì)于3選項(xiàng)，因?yàn)閅+y2≥2D(X>0,y>0),所以孫≤m,所以

22322Λ+V222

(x+γ)=?6xy≤16×^=4(x+γ),所以丁十丁“,即jβ正確.

4

對(duì)于C選項(xiàng)，以O(shè)為圓點(diǎn)，2為半徑的圓。的面積為4兀，顯然曲線C圍成的區(qū)域的面

積小于圓。的面積，即C錯(cuò)誤；

對(duì)于O選項(xiàng)，因?yàn)樘?hào)>0,所以X與y同號(hào)，僅限與第一和三象限，即。正確.

故選：BD.

【例7】(雙空題)曲線C是平面內(nèi)到定點(diǎn)A(LO)的距離與到定直線x=-l的距離之和為

3的動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡.則曲線C與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是；又已知點(diǎn)8(α,l)(α為常數(shù))，

那么IPBl+1PAI的最小值d(α)=.

?∣a2-2a+2,a<-1.4或α≥1,

【答案】(0,±6)-0+4,-1.4<a<-l,

2—6Z,-1<6?<1.

【解析】(1)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo))為(x,y)，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A(IQ)的距離與到定直線X=T的

距離之和為3,所以J(X-I)2+y2+J(χ+1)2=3,

當(dāng)X=O時(shí)，代入求得y=±若，所以與y軸交點(diǎn)為(0,±6).

(2)當(dāng)-^≤x≤T時(shí)，曲線C可以化為V=i0χ+i5

當(dāng)一IeX≤g時(shí)，曲線C可以化為y?=-2χ+3,

令J=I,則10.r÷l5=1或一2什3=1,解得Jt=—1.4或x=?；

①當(dāng)④1.4或α.l時(shí),P3+B4≥6A,所以

d(a)HABI=7(Λ-1)2+1=√α2-2α+2;

②當(dāng)—l<α<l時(shí)當(dāng)直線y=l與V=—2x+3(—1<%,?∣)相交時(shí),交點(diǎn)P滿足

PB+A4取得最小值

因?yàn)閽佄锞€準(zhǔn)線方程為％=2,所以直線y=1與準(zhǔn)線交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1),此時(shí)d(α)=2-a;

③當(dāng)T.4<E,—1時(shí)當(dāng)直線y=l與+獅一1)相交時(shí),交點(diǎn)P滿足

QB+Q4取得

最小值此為拋物線準(zhǔn)線方程為X=4所以直線y=1與準(zhǔn)線交點(diǎn)坐標(biāo)為(Y,1),此時(shí)

d(a)=α+4.

y∣a2-2a+2,α剌-14或者α1,

綜上所述，d(α)=<α+4,-1.4<α≤-1,

2—。，—l<α<l.

【例8】如圖所示,直線4和4相交于點(diǎn)M,∕∣，/2,點(diǎn)N∈4,以A、B端點(diǎn)的曲線段。上

任一點(diǎn)到，2的距離與到點(diǎn)N的距離相等，若AAMN是銳角三角形,IAMl=J萬(wàn),IANl=3且

IBNl=6,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線C的方程.

【答案】)產(chǎn)=8x(掇IJV4,y>0).

【解析】解法1:已知曲線類型待定系數(shù)法

/,為X軸,線段MN的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系如圖所示,依題意知:曲線段C

是以點(diǎn)N為焦點(diǎn)4為準(zhǔn)線的拋物線的段,其中A、3分別為C的端點(diǎn).

設(shè)曲線段C的方程為V=2px(p>0)區(qū)≤x≤∕,y>0),其中乙，乙分別為A、8橫

坐標(biāo)，"=|MNI,.?.M(?,0),N仁,0),由MM=√F7,IAVl=3得：

區(qū)+守+2PXyI=I7….①

+2pxλ=9②

解由①、②組成的方程組得XA=W，代入①并由p>θ解得(P=4或1p=2,

Pg=1IXA=2

因?yàn)閆XAMV是銳角三角形，；.?^>與，故應(yīng)舍去｛02,所以P=4,XΛ=1.

由點(diǎn)3在曲線段C上，得∕=∣BNl-2=4，

綜上，得曲線段C的方程為y2=8x(l≤x≤4,y>0).

解法2：利用拋物線定義求標(biāo)準(zhǔn)方程

以乙為X軸，線段MN的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系如圖所示，

依題意知：曲線段C以點(diǎn)N為焦點(diǎn)，4為準(zhǔn)線的拋物線的一段，

過(guò)點(diǎn)A作//4垂線，垂足分別為H、A1,

2222

由拋物線定義可知IΛAI=∣4V∣=3,則IAM=IAM=√AΛ∕-M=λ∕(√∏)-3=2√2,

2222

IHN?=y]AN-AH=√3-(2√2)=1,?MH?=?AAl?=3,

所以IMNl=IMM+∣"M=3+1=4,即0=4，故拋物線的方程為y2=8x.

由IANI=3,∣3N∣=6,結(jié)合拋物線定義，得XA+勺3,4+合=6,所以XA=I=4.

綜上，得曲線C的方程為V=8χ(iWxW4,y>0).

【注】求曲線方程時(shí)，為了使得最終的結(jié)果具有簡(jiǎn)單的形式，需要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，

一般要考慮兩點(diǎn):①圖形的對(duì)稱性;②使盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上.

【例9】已知雙曲線1-產(chǎn)=1的左、右頂點(diǎn)分別為A,A2,點(diǎn)「(為%),。(％,-乂)是雙

曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求直線AJ與&Q交點(diǎn)的軌跡E的方程.

【答案】'+y?=l(x*0且XW±/)

【解析】由題設(shè)知|斗|>75,4(-血，。)，42(&,0)，則有

AP：y=—^?=(x+⑶①，AQf=^?=(x-√Σ)②

X]+,y2X]—J2

解法1：

聯(lián)立①②解得交點(diǎn)坐標(biāo)為X=2,y=叵L,即4=2,X=叵③，

X1X1XX

則x≠0,∣x∣v√5,而點(diǎn)P(Xl,χ)在雙曲線上，所以2~-y∣2=[,

將③式帶入上式，整理得所求軌跡E的方程為《+V=l(x≠0且XW±√2).

2

解法I：

-y∣2

設(shè)M(X,y)是直線AP與40交點(diǎn)，①②兩式相乘得丁=(X2-2)(3)

xl~—2.

22

而點(diǎn)P(Λ1,y)在雙曲線上，所以色-城=1,即城吟一,代入⑶式整理得

2

X21

—+y=1.

2

因?yàn)镻,。是雙曲線上不同的兩點(diǎn)，所以他們與點(diǎn)A，人均不重合，故點(diǎn)A，4不在軌跡

Et.

過(guò)點(diǎn)(0,1),以及A2(√Ξ,0)的直線/的防塵為x+√iy-√i=0,

x+?∕2y-?f2=0

2

解方程組x得X=Λ∕2,y=0.

-----y2=1

,2'

所以直線/與雙曲線只有唯一交點(diǎn)兒(夜,0),故軌跡E不經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),同理軌跡E也

不經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,-1).

綜上，軌跡E的方程為:+y2=i(χ*o且xx±√∑).

【注】用交軌法求曲線方程時(shí)，要特別注意變量的取值范圖.

【例10］如圖,設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線V=2px(p>0)上除原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),已知

OA?L08,0MJ_AB,則點(diǎn)M的軌跡方程為()

A.X2+y?-2pχ=0(原點(diǎn)除外)B.x2+y2-2p3=0(原點(diǎn)除外)

C.xz+y?+2pχ=0(原點(diǎn)除夕卜)D.x2+y?+2py=0(原點(diǎn)除夕卜)

【答案】A

【解析】當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)M(X,y),直線AB的方程為y=h+b,由。知，43得％=-±,

y

聯(lián)立丁=2px和y=Ax+b,消去y得A?/+工(2奶-2p)+〃=0,所以為々=送

22

所以NM=(3+6)(d+0)=kx∣??÷??(xj+X2)+?=—^,

k

由QAJ得X]X7+y%=0，所以"5"+'^=0，所以力=一2切，

kk

所以y=kx+b=k(x-2p),jEΛ=--代入得f+y2-2px=0(y≠0),

y

'與斜率不存隹吐設(shè)此線AB的方程為X=AO,4(聞,.%),5(/0，-%),

由。用_LAB得點(diǎn)M在X軸上,即M(x0,0),

?/QAJ_。4,.,?焉一滋=0,

又點(diǎn)A(x0,y0)在拋物線上,故=2px0,整理得XO=2p,故點(diǎn)M(2p,0),滿足方程

x~+y2_2px=0,

綜上所述：動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為/+y2-2pχ=0(除原點(diǎn)外)

故選：A.

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.如果把一個(gè)平面區(qū)域內(nèi)兩點(diǎn)間的距離的最大值稱為此區(qū)域的直徑，那么曲線

Y+y2=2圍成的平面區(qū)域的直徑為()

A.√32B.3C.2√2D.4

【答案】B

X2=?[2cosθ

【解析】/+V=2的參數(shù)方程為：\_(。為參數(shù))

?=√2sin

曲線是關(guān)于點(diǎn)(0,0)中心對(duì)稱的圖形，所以曲線/+V=2上點(diǎn)(XO,%)到原點(diǎn)距離為

直徑長(zhǎng)的一半，

d=J(Xo-O)2+(%-Of=Jx；+y；-Jv∑cose+2sin28=7-2cos2V2cos0+2

/93

當(dāng)COS。=在時(shí)，d取得最大值為一，所以直徑為3.

42

2.由曲線x2+y2=2W+2∣y∣圍成的圖形面積為()

A.1τt+4B.2"+8C.4%+4D.4乃+8

【答案】D

【解析】由題意，作出如圖的圖形，由曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

當(dāng)x20,y>0時(shí)，解析式為(x—1)2+(y—1)2=2,故可得此曲線所圍成的圖形由

一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形與四個(gè)半徑為0的半圓組成，所圍成的面積是

f2萬(wàn)

2√2X2V2+4XLX4X(Λ∕2)=8+4，

2

故選D

3.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，曲線(實(shí)線部分)的方程可以是()

222

A.(?x?-y-1)?(1x+√)=0B.λ∣?x?-y-1?(1x+y)=O

2222

C.(］x?-y-l)7λ∕lx+y=0D.√∣x∣-y-17√1χ+y=0

【答案】C

【解析】因?yàn)榍€表示折線段的一部分和雙曲線，

A選項(xiàng)，等價(jià)于IXI-y-l=0或l-χ2+y2=0,表示折線y=∣χ∣-l的全部和雙曲線，故

錯(cuò)誤；

H尤l?yTeo一

B選項(xiàng)，等價(jià)于；或|x|?y?l=O,又|3|?y-1二0表刀浙線y=|x|-1的

jl-x^+y~=0

全部，故錯(cuò)誤；

t∣x∣-y-1=0、?↑?x?-y-1-0

C選項(xiàng)，等價(jià)于1；2或i-∕+y2=0,\1,2表示折線y=1χki

Jl-x2+∕≥0fl-x2+∕≥o

在雙曲線外部(包含有原點(diǎn))的部分，1-V+y2=0表示雙曲線χ2-y2=l,符合題中的圖

象，故C正確；

t∣x∣-y-1-0t∣x∣-y-1^0j∣x∣-y-1=0

D選項(xiàng)，等價(jià)于F22、或122，

22表示折線y=∣χ∣T

∣1-x2+γ2^0fl-x2+y2=011-%+γ20

t∣x∣-?-120

在雙曲線外部(包含有原點(diǎn))的部分，和F,,表示雙曲線在X軸正文的部分，故

?l-x2+y2=O

錯(cuò)誤.

4.方程|x—l∣=Jl-(y-1)?所表示的曲線是()

A.一個(gè)圓B.兩個(gè)圓C.半個(gè)圓D.兩個(gè)半圓

［答案］A_________

【解析】∣x-l∣=Jl-(y-l)2=>(?-l)2+(?-l)2=1,表示一個(gè)圓,選A.

5.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程

為(V+>2y=/y.給出下列四個(gè)結(jié)論：

①曲線C有四條對(duì)稱軸；

②曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為L(zhǎng)；

③曲線C第一象限上任意一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積最大為

④四葉草面積小于J.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是()

y

X

A.①②B.φ(3)C.①③④D.①②④

【答案】C

【解析】

①當(dāng)X變?yōu)橐籜時(shí)，(V+y2)3=χ2y2不變，所以四葉草圖象關(guān)于),軸對(duì)稱；當(dāng)y變?yōu)橐粂

時(shí)，(V+y2)3=χ2y2不變，所以四葉草圖象關(guān)于X軸對(duì)稱；當(dāng)y變?yōu)閄時(shí)，，+y2)3=》2丫2

不變，所以四葉草圖象關(guān)于N=X軸對(duì)稱；當(dāng))，變?yōu)橐籜時(shí)，(f+y2)3=χ2y2不變，所以四

葉草圖象關(guān)于y=-X軸對(duì)稱；

綜上可知：有四條對(duì)稱軸，故正確；

②因?yàn)?/+V)?=//,所以+/3=*2,22(VL,所以χ2+y2≤^,所以

√χ2+√≤^,取等號(hào)時(shí)V=丁=J,所以最大距離為:，故錯(cuò)誤；

282

③設(shè)任意一點(diǎn)?(χ,y),所以圍成的矩形面枳為Xy,因?yàn)?Y+y2)3=χ2y2,

所以xV=y+y2)3≥(2孫)3,所以j?y≤J,取等號(hào)時(shí)X=y=也，

o4

所以圍成矩形面積的最大值為故正確；

O

④由②可知χ2+y2≤',所以四葉草包含在圓f+2=J.的內(nèi)部，

44

因?yàn)閳A的面積為：S=TT--=-,所以四葉草的面枳小于￡,故正確.故選：c.

444

6.曲線C為：到兩定點(diǎn)M(-2,0)、N(2,0)距離乘積為常數(shù)16的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡.以下結(jié)論正確

的個(gè)數(shù)為()

(1)曲線C一定經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；(2)曲線C關(guān)于X軸、y軸對(duì)稱；

(3)Z?M∕W的面積不大于8；(4)曲線C在一個(gè)面積為64的矩形范圍內(nèi).

A.lB.2C.3D.4

【答案】C

【解析】設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(x,y),由題意可得［(x+2)+y2.Ja—2產(chǎn)+/=16,對(duì)于

命題(1),將原點(diǎn)坐標(biāo)代入方程得2X2=4H16,所以命題(1)錯(cuò)誤；對(duì)于命題(2),點(diǎn)尸關(guān)于X

軸、y軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為片(x,-y),P2(-x,y),

'?'J(x+2)2+(—y)2?y∣(x-2)2+(―j)2=√(x+2)2+y2■?/(?-2)2+y2=16

,2222

?'y∣(-x+2)+y-J(T-2)2+y2=J(X-2)2+y2.y∣(x+2)+y=16

則點(diǎn)8,2都在曲線C上，所以，曲線C關(guān)于X軸、y軸對(duì)稱，命題(2)正確；

對(duì)于命題(3),設(shè)IPM=4,IPM=八NMRV=8則"=16,

由余弦定理得CoSe=?+、F="~+"T6>2ab-l6=L當(dāng)且僅當(dāng)&=力=4時(shí)等

2ab32322

號(hào)成立，則6為銳角，所以，sin6∣=√l-cos2(9≤-.則的面積為

2

SlMPN=?w^sin0≤?×16×-^-=4石<8命題(3)正確;

222

對(duì)于命題(4),16=J(X+2產(chǎn)+V.J(X-2產(chǎn)+虛>y∣(x+2)-√(x-2)=∣x-4∣,

RTW-16<√-4≤16,得χ2≤20,解得-2√F≤x≤2石，

由(3)知，2^^=1的川田=3乂4、|)；區(qū)46,得∣y∣≤2√L

曲線C在一個(gè)面積為46x46=16"<64的矩形內(nèi)，命題(4)正確.

因此，正確的命題序號(hào)為(2)(3)(4).故選C.

7.雙曲線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布?伯努利用來(lái)描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線.在平面

直角坐標(biāo)系中，把到定點(diǎn)6(一40),巴(α,O)的距離之積等于"(α>0)的點(diǎn)的軌跡稱

為雙紐線C.

已知點(diǎn)P(XO，%)是雙紐線。上一點(diǎn)，下列說(shuō)法中正確的有()

①雙紐線C關(guān)于原點(diǎn)。中心對(duì)稱：

/a,,a

②一］"。虧；

③雙紐線C上滿足IPFxI=IPF21的點(diǎn)P有兩個(gè)；④IPol的最大值為√20.

A.①②B.①②④C.②③④D.①③

【答案】B

［解析］________________________

對(duì)①，設(shè)動(dòng)點(diǎn)C(X,y),由題可得C的軌跡方程J(X—a)?+y.，(^+4了+］=」,

把(x,y)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)(-x,-y)代入軌跡方程顯然成立.故①正確；

對(duì)②因?yàn)镻(X°,y°)，故S鵬=gIWI?IP瑪ISin4尸6=；I6瑪U(kuò)%I.又

2

?PFx?-?PF11=?,所以YsinN耳P5=2αI%1,即I%I=ISinNlPg≤],故

一^≤%≤?∣,②正確.

對(duì)③，若IPF11=∣PF21,則P(X0,γ0)在大名的中垂線即y軸匕故此時(shí)Xo=O,代入

22222

y∣(x-a)+y-y∣(x+a)+y=a,可得知=O,即尸(0,0),僅有一個(gè).故③錯(cuò)誤；

對(duì)④,因?yàn)镹POFl+ZPOF2=萬(wàn),故COSZPOF1+cosZPOF2=0.

IoPI2+∣o用2_同1+∣OP∣2+QBFT%∣2=0

2?0P?-?0Fi?2?OP?-?OF2?

因?yàn)镮oGl=IoBI=α,|尸姆卜|尸周=。2,故2∣OP∣2+2F=歸用2+∣%∣2

即21OP|2+2/=(附HP周F+2歸用.伊益，所以21op『=(閥HP&J

又|尸用-|尸用,,丹心∣=2α,當(dāng)且僅當(dāng)Pj,巴共線時(shí)取等號(hào).故

2∣0P『=(∣P用TP引Y,,(24)2,

BPlOPI2,,2a2,解得IOPl,,√∑”.故④正確.

8.已知點(diǎn)A(-√2,0),8(夜,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足ZAPB=ΘS.\PA??PB?cos22=1,則點(diǎn)P的軌