中點(diǎn)弦問題（學(xué)生版）-【高考總復(fù)習(xí)】2022高考數(shù)學(xué)滿分突破之解析幾何篇

專題02中點(diǎn)弦問題（設(shè)而不求與點(diǎn)差法）

【突破滿分?jǐn)?shù)學(xué)之秒殺技巧與答題模板】：

22

』3乂-11

x2V2Tr+vr-

第一步：若/（國,必）,8（》2，必）是橢圓.+彳=1（。〉b〉0）上不重合的兩點(diǎn)，則<

a'b'22

丄+互=1

/h2

第二步：兩式相減得（石+々），「熱）+（必+，2）?「及）二0,

ah

第三步：上及是直線的斜率左，（土玉，乂±22）是線段A5的中點(diǎn)（%,%）,化簡可得

Xj-x222

匕士匹?"二”=-4=為確=-與，此種方法為點(diǎn)差法。

%1+x2%]—x2a'x0a~

特別樨醒：

x2V2

若45是橢圓與+J=l（a〉b>0）上不垂直于X軸的兩點(diǎn)，尸是N8的中點(diǎn)，。為橢圓的中心，則直

a2b2

t2

線AB與OP的斜率之積為定值

a

【考點(diǎn)精選例題精析】：

X2v2

例1.已知雙曲線彳=1（。>01>0）,尸（5,0）為該雙曲線的右焦點(diǎn)，過口的直線交該雙曲線于4,8

a'b'

兩點(diǎn)，且Z8的中點(diǎn)M（-竺，一與），則該雙曲線的方程為.

例2.已知拋物線=4x的一條弦恰好以P（l,l）為中點(diǎn)，則弦力8所在直線的方程是（）

A.y=x-lB.y=2x—lC.y=—x+2D.y=-2x+3

~r—^=1（4>6>0）.

例3.己知橢圓。6，點(diǎn)下為左焦點(diǎn)，點(diǎn)尸為下頂點(diǎn)，平行于尸尸的直線/交橢圓于48D兩

點(diǎn)，且的中點(diǎn)為I2丿，則橢圓的離心率為

V2,1>/3

A.2B.2C.4D.2

—+2i=i（o<Z）<2）

例4.已知橢圓4b~的左右焦點(diǎn)分別為耳心，過左焦點(diǎn)”作斜率為2的直線與橢圓交于

48兩點(diǎn)，的中點(diǎn)是P,°為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線°P的斜率為一工，則6的值是

3

A.2B./C.2D.加

例5.橢圓〃/+辦；=1與直線y=l-2x交于A、8兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段中點(diǎn)的直線的斜率為④，則］

的值為

72.

A.4B.6C.20D.

\[a>V2j

7十萬

例6.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為耳巴，過左焦點(diǎn)耳作斜率為一2的直線與橢圓交

丄

于A,B兩點(diǎn)，P是AB的中點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OP的斜率為則。的值是

x2y21，/八、yl5

~r—=l(a〉6〉0)e=—,

2A

例7.己知橢圓。b的一個頂點(diǎn)為8(0,4),離心率5,直線/交橢圓于M，N兩點(diǎn)，如

果&BMN的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)尸，直線/方程為

E=l(a>b>0)八“D

例8.已知為橢圓'+

b-的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)尸的直線/與橢圓C交于48兩點(diǎn)，P

24

為的中點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn).若是以。尸為底邊的等腰三角形，且△°尸尸外接圓的面積為行，則橢

圓C的長軸長為.

例9.如圖，橢圓//的離心率為2，點(diǎn)用(一2，1丿是橢圓內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)加作兩條斜率

存在且互相垂直的動直線44,設(shè)4與橢圓C相交于點(diǎn)48,4與橢圓C相交于點(diǎn)2E.當(dāng)點(diǎn)M恰好為線

段的中點(diǎn)H寸，恒回=m.

(1)求橢圓C的方程；

(2)求而?麗的最小值.

例10.已知橢圓05+11的左、右焦點(diǎn)分別為片，入，點(diǎn)在橢圓c上.

(1)若線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為IM3)丿，求直線的斜率；

(2)若“，N,。三點(diǎn)共線，直線咐與橢圓C交于MP兩點(diǎn)，求APMN面積的最大值,

cC:二十^7=1(〃>b>0)—

例H.在平面直角坐標(biāo)系X。中，已知橢圓。b2的離心率為2,為橢圓的一條弦

(不經(jīng)過原點(diǎn))，直線、=丘小>°)經(jīng)過弦/8的中點(diǎn)，與橢圓C交于P、。兩點(diǎn)，設(shè)直線48的斜率為仁

(2)求證：尢“為定值；

(3)過戶作x軸的垂線，垂足為A,若直線和直線2R傾斜角互補(bǔ)，且APOA的面積為26，求橢圓C

的方程.

—Hy=1

例12.己知直線乙N=x+"與橢圓C：3交于A,8兩點(diǎn).

(1)若直線/過橢圓c的左焦點(diǎn)耳，求幀用；

八?！?

(2)線段的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)12丿，求切.

【達(dá)標(biāo)檢測】：

A組基礎(chǔ)鞏固

1.（2013年新課標(biāo)全國卷110）已知橢圓G:=+￡=1（。>力〉0）的右焦點(diǎn)為F（3,0）,過點(diǎn)F的直線交橢

ab

圓于48兩點(diǎn).若N8的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1,—1）,則E的方程為（）

22222222

?XV

A.丄+匕=1B.二+匕=1C.-X------+1--V-------11D.——+厶1

453636272718189

2.（2010年新課標(biāo)全國卷12）己知雙曲線E的中心為原點(diǎn)，尸（3,0）是E的焦點(diǎn)，過/的直線/與E相交于

48兩點(diǎn)，且Z8的中點(diǎn)為N（-12,-15）,則E的方程為（）

----+------1

3.已知橢圓369以及橢圓內(nèi)一點(diǎn)P（4,2）,則以P為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率為（）

丄丄

A.-2B.2c.-2D.2

—+=1（a>6>0）——

4.已知橢圓的方程為。2b2丿，斜率為3的直線/與橢圓相交于"，8兩點(diǎn)，且線段"8的

中點(diǎn)為M（l,2）,則該橢圓的離心率為（）

丄變正1

A.3B.5c.3D.2

5.已知橢圓中心在原點(diǎn)，且一個焦點(diǎn)為尸口36）,直線4x+3y-13=°與其相交于知、N兩點(diǎn)，MN中點(diǎn)

的橫坐標(biāo)為1,則此橢圓的方程是

22

3=1-%------J-1--------1

B.325D.369

6.如果橢圓記+豆-1的弦被點(diǎn)（42）平分，則這條弦所在的直線方程是

A.x-2y=0Bx+2y-4=0c2x+3y-12=0px+2y-8=0

x2y2旦

/+戸=l（a＞。＞0）

7.已知橢圓C：的離心率為2,直線/與橢圓C交于48兩點(diǎn)，且線段的

中點(diǎn)為加（一2，1）,則直線/的斜率為（）

121

A.3B.3C.2D.1

--------1--=-----1--

8.橢圓369的一條弦被點(diǎn)（4,2）平分,則此弦所在的直線方程是

Ax-2y=0Bx+2y=4C2x+3y=14口x+2y=8

X2V2

——7=l（^r>b>0）rr

9.過橢圓C：a-b右焦點(diǎn)廠的直線/：x-y-'3=0交c于/、8兩點(diǎn)，p為48的中

丄

點(diǎn)，且。尸的斜率為2，則橢圓C的方程為（）

"-12211

丄+丄=1--------1---------=1-----1-----=1

A.63B.75C.84D.96

C-.—+P

10.已知橢圓43過點(diǎn)的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn),若P為Z8的中點(diǎn)，則直線

的方程為（）

A3x—2y—2=0B3x+2y-4=0

C3x+4y-5=0D3x-4j/-l=0

x2,2

—+匕=1

11.已知點(diǎn)（2J）是直線/被橢圓124所截得的線段的中點(diǎn)，則直線/的方程是（）

A2x+3y-7=0B2x-3j^-l=0

C4x+3y-ll=0D4x-3y-5=0

x2y2_

—i-1

12.已知點(diǎn)P（l,2）是直線/被橢圓48所截得的線段的中點(diǎn)，則直線/的方程是

13.已知斜率為左的直線/與橢圓牙=交于A,3兩點(diǎn).線段的中點(diǎn)為“（1，機(jī)）（機(jī)>°）.

,1

k<—

（1）證明：2.

（2）設(shè)尸為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且可+方+而=0.證明：2|尸「卜歸川+|/利.

14.已知橢圓b2-"ab°）的右焦點(diǎn)為F（￡0）,過點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的

弦長為2.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)A,B為橢圓C上的兩動點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，直線AB,OM（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率都存

在且分別記為k1,k2,試問k|k2的值是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.

15.設(shè)橢圓E：/+戸一"“>">°）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，瑪，過耳的直線交橢圓于'，8兩點(diǎn)，若橢圓

丄

E的離心率為5,厶,8居的周長為16.

（I）求橢圓E的方程；

（II）設(shè)不經(jīng)過橢圓的中心而平行于弦的直線交橢圓E于點(diǎn)C0,設(shè)弦的中點(diǎn)分別為M，N.證

明：O,A/,N三點(diǎn)共線.

K+片=]

16.已知橢圓//的長軸長為4,且短軸長是長軸長的一半.

（1）求橢圓的方程;

⑵經(jīng)過點(diǎn)前用作直線,，交橢圓于4B兩點(diǎn).如果…合好是線段"的中點(diǎn)，求直線’的方程.

c——7—T=1（。>6>0）------

17.在平面直角坐標(biāo)系xS7中，已知橢圓°：?b2的離心率為3,直線/和橢圓C交于

IAB\=-

A,8兩點(diǎn)，當(dāng)直線/過橢圓C的焦點(diǎn)，且與X軸垂直時(shí)，3.

（1）求橢圓c的方程；

（2）是否存在與x軸不垂直的直線/,使弦43的垂直平分線過橢圓C的右焦點(diǎn)？若存在，求出直線/的方

程；若不存在，請說明理由.

18.已知橢圓C：,離心率是2.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）若直線/與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為122丿.求直線/與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面

積.

B組能力提升

22

一"+J"=1(々>°>°)/7(1A\—

19.已知橢圓一。〃的右焦點(diǎn)為廣U'U丿，且離心率為2,三角形48c的三個頂點(diǎn)都在橢

圓,,上，設(shè)它的三條邊相、8C、4c的中點(diǎn)分別為。、自歷，且三條邊所在直線的斜率分別為勺右小,

111

—?----1—=

且句上2、質(zhì)均不為00為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線8、0石、。”的斜率之和為1.則占與43()

4183

A.3B.-3C.13D.2

2

X/

20.已知橢圓/+戸的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)尸(G°)('>c)和點(diǎn)A,直線

/:6x-5k28=0交橢圓于P,。兩點(diǎn)，若尸恰好為的重心，則橢圓的離心率為()

V2y/3

A.TB.T

亞275

C.5D.5

,y2

21.已知直線/：京一尸2左+]=0與橢圓G./+戸-l(4>/>>0)交于/、8兩點(diǎn)，與圓G：(x-2)2+(y_l)J]

交于C、。兩點(diǎn).若存在使得祝=麗，則橢圓G的離心率的取值范圍是

_(J?___|_2__]V

22.已知斜率為3的直線/與橢圓”64一交于B兩點(diǎn),線段N8中點(diǎn)M縱坐標(biāo)為2，點(diǎn)