數(shù)系的擴充及復(fù)數(shù)的運算-2021年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

版系的擴充及復(fù)版

的送寡

【命題解讀】

復(fù)數(shù)是高考必考的知識點之一，每年的高考都出關(guān)于復(fù)數(shù)的一個選擇題，主要是針對

復(fù)數(shù)的幾何意義和復(fù)數(shù)的四則運算，以基礎(chǔ)題目為主，是高考容易得分的一個知識點。

【命題預(yù)測】

預(yù)計2021年的高考復(fù)數(shù)的考察還是以基礎(chǔ)題為主，主要還是集中在復(fù)數(shù)的幾何意義和

四則運算上，稍加注意得分不難。

【復(fù)習(xí)建議】

1.理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念和幾何意義；

2.掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)運算。

考向一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及幾何意義

1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

(1)復(fù)數(shù)的概念

形如a+bi(a/GR)的數(shù)叫作復(fù)數(shù)淇中a,b分別是它的實部和虛部.若6=0,則a+bi為實數(shù);若

以0,則a+bi為虛數(shù);若a=0且以0廁a+bi為純虛數(shù).

(2)復(fù)數(shù)相等:a+bi=c+dioa=c且b-d(a,b,c,d^R).

(3)共軌復(fù)數(shù):a+歷與c+di共輾Qa=c且b=-d(a,b,c,"GR).

(4)復(fù)數(shù)的模：向量成=(a,6)的模r叫作復(fù)數(shù)z=a+歷(a,6GR)的模，記作|z|或舊+歷|,即

|z|=|a+歷|=Va2+b2.

2.復(fù)數(shù)的幾何意義

一---對應(yīng)

(1)復(fù)數(shù)z=a+歷(。力GR)-------------復(fù)平面內(nèi)的點Z(a力).

⑵復(fù)數(shù)z=a+歷(。/GR)一—一對應(yīng)*平面向量9=3力)(O為坐標(biāo)原點).

要例制折

1.12020山東濰坊高三二?！咳魪?fù)數(shù)z="在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限內(nèi)，則實

1-1

數(shù)。的值可以是（)

A.1B.0C.-1D.-2

【答案】B

a+i(a+i)(l+i)_a-la+1.

【解析】：z=j_—~T~Tl

又因為復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限內(nèi),

佇Uo

2

,得-1v1.

3》0

[2

，實數(shù)。的值可以是0.

故選：B.

2.12019山東高考模擬（理）】已知復(fù)數(shù)z=（a+i）（l-i）（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)

的點在直線y=2x上，則實數(shù)a的值為（）

1

A.0B.-1C.1D.——

3

【答案】D

【解析】因為z=(a+i)(l—i)=a+l+(l—a)i,對應(yīng)的點為（a+1,1-。），因為點在直線

y=2x上，所以1—a=2(a+l),解得a=-L

故選D.

3

考向二復(fù)數(shù)的代數(shù)運算

1.復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法則

設(shè)zi=a+歷,Z2=c+di(a,b,c,dGR),則

力口法:zi+z2=(a+6i)+(c+di)=(a+c)+(6+i/)i;

減法:zi-Z2=(a+萬)-(c+di)=(a-c)+(6-(Z)i;

乘法:z「Z2=(a+6i>(c+di)=(ac-bd)+{ad+bc)v,

0人、4Zia+bi(a+biYc-di)ac+bdbc-ad./「,八、

除法方(c+仲

（2）復(fù)數(shù)加法的運算律

復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何Z1,Z2,Z3￡C，有Zl+Z2=Z2+Z1,

（Z1+Z2）+Z3=Z1+（Z2+Z3）.

Q典例制折

1.12020河南省名校聯(lián)盟高三質(zhì)量檢測】已知復(fù)數(shù)z=*-+l（i為虛數(shù)單位，aGR）為純

2-1

虛數(shù)，則實數(shù)。=

5

A.B.C.0D.2

22

【答案】B

2a+5

a{〃(2+i).2〃+5a.5

【解析】???z=—+1=小=為純虛數(shù),???〈

2T(2T)(2+I)55a^Q

、5

5

(2-----.

2

故選B.

2-3i

2.12020四川省成都市石室中學(xué)高三下學(xué)期月考】復(fù)數(shù)z=——，則2?彳=

3+21

A.iB.-iC.1D.-1

【答案】C

(2—3i)(3—2i)-13i—.

【解析】---z-------------------------------二—---------—1,z=i，z-z—1-

(3+2i)(3-2i)13

故選：c.

r\?

3.12019山東濱州高三期末】設(shè)復(fù)數(shù)z='，則目=（）

A.1B.—C.V2D.2

2

【答案】C

2i2z(l+z)

【解析】

z-T^7-(i-z)(i+z)=11+/,

所以因='(一1)2+12=夜.

故選:C

量、檢測訓(xùn)練

題組一(真題在線)

1.【2020年高考全國I卷理數(shù)】若z=l+i,貝”z2-2z|=

A.0B.1

C.72D.2

【2020年高考全國ni卷理數(shù)】復(fù)數(shù)Jr

2.的虛部是

1-31

A.-AB.」

1010

c.—D.』

1010

3.【2020年新高考全國I】—=

l+2i

A.1B.-1

C.iD.-i

4.【2020年高考北京】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)是(1,2),貝/.z=

A.l+2iB.-2+i

C.l-2iD.-2-i

5.【2019年高考北京卷理數(shù)】已知復(fù)數(shù)z=2+i,則z==

A.6B.75

C.3D.5

6.【2019年高考全國I卷理數(shù)】設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-i|=l,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x,y),

A.(x+l『+y2=lB.(x-l)2+y2=1

C.x2+(y-l)2=1D.%2+(y+l)2=1

7.【2019年高考全國II卷理數(shù)】設(shè)z=-3+2i,則在復(fù)平面內(nèi)I對應(yīng)的點位于

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

8.【2019年高考全國III卷理數(shù)】若z(l+i)=2i,則2=

A.-1-iB.-1+i

C.1-iD.1+i

5-i

9.【2019年高考天津卷理數(shù)】i是虛數(shù)單位，則|二-一|的值為.

1+1

10.【2019年高考浙江卷】復(fù)數(shù)z=二一(i為虛數(shù)單位)，則|z|=.

1+i

11.【2019年高考江蘇卷】已知復(fù)數(shù)(a+2i)(l+i)的實部為0,其中i為虛數(shù)單位，則實數(shù)

a的值是.

題組二

1.12020山東高三其他】設(shè)復(fù)數(shù)z=(2+7)(3-27),則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)

為()

A.(4,1)B.(8,1)C.(4,-1)D.(8,-1)

2.12020新泰市第二中學(xué)高三其他】已知復(fù)數(shù)2滿足(1+，)2=|6+?。?為虛數(shù)單位，

則z等于()

,.11.11.

A.1—iB.1+zC.--------1D.—I—I

2222

3.【2020山東高三其他】已知復(fù)數(shù)z滿足z(l+z)=2〃(eH).若忖=20,貝打的值

為()

A.1B.2C.±1D.±2

2i

4.【2020重慶市江津中學(xué)、實驗中學(xué)等七校高三聯(lián)考】設(shè)2=,則在復(fù)平面內(nèi)Z

1+V3i

對應(yīng)的點位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

a1

5.【2020遼寧省錦州市黑山中學(xué)高三模擬考試】復(fù)數(shù)z=(l-i)--二(i是虛數(shù)單位)，則

1

z的共物復(fù)數(shù)為

A.—2+iB.-2-iC.-2+3iD.2+i

6.12020廣東省高三適應(yīng)性考試】設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z-+&

i+1

的實部為

A.5B.-5C.-3D.3

7.12020河北省衡水中學(xué)高三第三次聯(lián)合考試】已知復(fù)數(shù)z=(2+i)2,貝”的虛部為

A.3B.3iC.4D.4i

8.【2020河北省衡水中學(xué)高三第九次調(diào)研】已知復(fù)數(shù)z=8辿，則下列結(jié)論正確的是

1(1-1)

A.z的虛部為iB.|z|=2

C.z的共輾復(fù)數(shù)1=—i+iD.z?為純虛數(shù)

9.【2020廣西南寧市第三中學(xué)高三適應(yīng)性月考卷】設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足

z(i-l)=l+i,則其共朝復(fù)數(shù)彳=

A.iB.-iC.-1+iD.-1-i

z

10.12020清華大學(xué)中學(xué)生標(biāo)準學(xué)術(shù)能力診斷性測試】已知復(fù)數(shù)z滿足——二i(其中i為

4-z

虛數(shù)單位)，則Z的虛部為

A.4iB.4C.1D.-1

事答案解析

題組一

1.D

2-i(2—i)(l—2i)—5i.2/、

【解析】由題意可得：-^7="'=-=-1，則z2—2z=2i—2(1+。=—2.

1+21(1+21)(1-21)5v7

故‘2-2z卜卜2|=2.

故選：D.

2.D

1l+3i13.

【解析】因為z=匚五---------------------=-------1-----1,

(l-3i)(l+3i)1010

13

所以復(fù)數(shù)2=——的虛部為一.

l-3i10

故選：D.

3.D

2—i_(2—i)(l—2i)_—5i

【解析】

l+2i-(l+2i)(l-2i)-5

故選：D

4.B

【解析由題意得z=l+2i,.,.iz=i—2.

故選：B.

5.D

【解析】由題z=2+i,則z^=(2+i)(2—i)=5,故選D.

6.C

【解析】由題可得z=x+yi,z-i=x+(y_l)i,=JV+Q—iy=],則

x2+(y-l)2=1.

故選C.

7.C

【解析】由z=-3+2i,得z=—3—2i,則I=—3—2i對應(yīng)的點（-3,-2）位于第三象限.故

選C.

8.D

2i2i(l-i),.

【解析】z=——=——-———=1+1.故選D.

1+i(l+i)(l-i)

9.V13

【解析】

1O-T

1_1_y/2

【解析】由題可得|z|=iTTij-V2-T

11.2

【解析】?.?(a+2i)(l+i)=a+ai+2i+2i2=a-2+(a+2)i,令a—2=0,解得a=2.

題組二

l.D【解析】因為z=(2+i)(3—2i)=8—i,

使用復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(8,-1).

故選：D

2.A【解析】因為z=應(yīng)乜=2(17)=一,所以應(yīng)選答案A.

1+i(l+z)(l-0

2ti

3.D【解析