河南省名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一年級上冊12月考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

河南省名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期

12月考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題.本題共8小題，每小題5分，共40分.

1.若集合/={x|lnx<l},N=則McN=()

A.{小>-1}B.|x|l<x<e!

C.{乂-Ivxve}D.{x[0<xve}

【答案】D

【解析】由Inxvl得：0<x<e,則加={乂0vxve}；

丫丫一丫—2

由——<2得：------2=--<0,即(x+l)(x+2)>0,解得：％<—2或x>—1,

x+1x+1x+1

則N={x[x<-2或x>-1}一McN={乂0vxve}.

故選：D.

2.已知Q=2°2,b=O,402，C=0.4°3則〃，b,。的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>c>a

【答案】A

【解析】因為函數(shù)y=0.4'為減函數(shù)，所以1=0.4°>0.4a2〉0.4a6,

又因為a=2°-2>2°=l，所以

故選：A.

3.己知函數(shù)/(力為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)=ex+l,則/?=()

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】A

[解析]由題可知/"ng)=/(—ln2)=_/(ln2)=_(eM2+l)=_3.

故選：A.

4.已知2"=5,log83=Z?,則4".()

255

A.25B.5C.—D.-

93

【答案】C

【解析】因為2"=5，^=log83=1log23,即23〃=3，

所以4。-3%=￡_=僅)=f="

所以43b329-

故選：C.

5.下列函數(shù)中，在其定義域上既是減函數(shù)又是奇函數(shù)的是()

A./(x)=-B./(尤)=1—九

c./(x)=C-1D.=

【答案】D

【解析】對于A,〃力=工的定義域為(口,。)(0,+8),因為/(_x)='=—/(x),

所以函數(shù)在定義域內(nèi)奇函數(shù)，而函數(shù)的單減區(qū)間是(-8,0)和(0,+8),

所以在定義域內(nèi)不是減函數(shù)，故A錯誤；

對于B,/(力=1—%的定義域為R,因為/(—%)=l+xw—f(x),所以函數(shù)不是奇函數(shù),

故B錯誤；

對于C：=—1的定義域為R,因為/(—x)=g]—1=2,—lw—/(x),

所以函數(shù)不是奇函數(shù)，故C錯誤；

22

對于D,〃x)=—土的定義域為(―8,0)J(0,+8),因為/(_無)=_工=_/(%),

X-X

所以函數(shù)在定義域內(nèi)奇函數(shù)，且/("=-%在定義域內(nèi)是減函數(shù)，故D正確.

故選：D.

11

6.已知正實數(shù)%,y滿足4x+3y=4,則7；-+---^的最小值為()

2x+l3y+2

A34插B1V2c172DI4亞

84232422

【答案】A

【解析】由正實數(shù)%,y滿足4x+3y=4,可得2(2x+l)+(3y+2)=8,

令〃=2X+1,b=3y+2,可得2〃+8=8f

1111f11)2a+b1(.laL

??+—+—+

2x+l3y+2ab\ab)88(baj8[

即工+!23+正，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)=b

一時取等號，

a684ba

故選：A.

7.若函數(shù)/(X+1)為偶函數(shù)，對任意不，%2e[1,+8)且王。工2，都有

(%2-%)[/(石)一/(%2)]＞。，則有()

人圖41)B-命嗚卜嗚)

-1IW外同口同CMg)

【答案】A

【解析】因為函數(shù)/(%+1)為偶函數(shù)，所以了(%)的對稱軸為％=1；

又對任意X],%€[1,+8)且石/％2有(尤27/㈤]＞。,

則/(x)在[L+8)上為單調(diào)遞減函數(shù).因為

金尸?卜同…渭】?所以母人1卜嗚)

故選：A.

2

8.對于a,6w7?,定義運算“③”：a?b=<a血"―"，設(shè)/(%)=(2%-1)(8)(%-1),

b-ab,a>b

且關(guān)于X的方程/(X)=t(teR)恰有三個互不相等的實數(shù)根%PX2,X3,則%+%+退的取

值范圍是()

2

八小，、?，、(2x-l)-(2x-l)(x-l),2x-l<x-1

【解析】由題設(shè)知〃為=(2%-1)(8)(尤一1)=';

[(x-1)2-(2x-l)(x-l),2x-l>x-1

化簡整理得：f(x)=\°'一,畫出函數(shù)的圖像，如下圖：

-x+x,x>0

f的取值范圍是

設(shè)％＜0＜工2＜工3，則/，退是一乂+工=/的兩個根，關(guān)于X=g對稱，故々+%3=1，

下面求西的范圍：,解得：斗=匕警I,

Qre(0,-j,.-.l+8re(l,3),1—Jl+8/e(1—百,0'故玉e-^-,0,

5-6

所以占+%+%3e

故選：A.

二、多選題.本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.若a>0,b>0,且。+小=4,則下列不等式恒成立的（）

B.-+->1

ab

C.y[ab>2D.a2+b2>S

【答案】ABD

【解析】因為a>0,b>0,且a+b=4,則=4,

當(dāng)且僅當(dāng)a=Z?=2時，等號成立，所以，A對；

ab4

—+—>—

ab4

當(dāng)且僅當(dāng)〃=b=2時，等號成立，B對；

疝K區(qū)心=2,當(dāng)且僅當(dāng)。=匕=2時，等號成立，C錯；

2

因為“2+〃22。人，貝|2（〃+/）之〃+/+2。匕=（。+32=16,故片+曠就，

當(dāng)且僅當(dāng)a=Z?=2時，等號成立，D對.

故選：ABD.

10.對于任意實數(shù)。，b,c,d,下列四個命題中為假命題的是（）

A.若a>b,cwO,貝i|ac>Z?cB.ac2>be2>貝！!”>>

C.若a</?<0,則/，必〉〃D.若a>6>0，c>d,則ac>>d

【答案】AD

【解析】對于A,當(dāng)c=—1時，滿足條件cwO,但是ac<Z?c,所以A為假命題;

對于B,因為公2>反2,所以ex。，所以02〉0，所以成立，所以B為真命題；

對于C,因為。<6<0,所以a2>aS且仍>〃，所以a2>">〃，所以C為真命題；

對于D,當(dāng)。=2,6=1，c=-l,2=-2時，滿足條件a>b>O，c>d,但是ac-bd,

所以D為假命題.

故選：AD.

11.若函數(shù)/(x)=%2-4X+1在定義域A上的值域為,則區(qū)間A可能為()

A.[-1,4]B.[0,3]C.[1,4]D,[1,3]

【答案】BC

【解析】???函數(shù)4x+l的圖象是開口向上的拋物線，對稱軸方程為x=2,

故/(X)min=/(2)=—3,又/(0)=/(4)=1，

故要定義域A上的值域為[-3,1],滿足題意的選項是：BC.

故選：BC.

v2-1

12.已知函數(shù)/(0==一，則下列說法正確的有()

X+1

A.函數(shù)/(尤)為偶函數(shù)

B.當(dāng)XR0時，=

-9

C.函數(shù)/(無)的值域為-1,—

D.若/(a—1)</(2。+1),則實數(shù)a的取值范圍為(—，―2)5。,+8)

【答案】ABD

(_X)2_1_1

【解析】對于A,xeR,由—=—~~7=/(-^)>

(-x)-+1式+1

可得函數(shù)/(無)為偶函數(shù)，故A選項正確；

;小),

可得/(%)=_/故B選項正確;

(r-_i_1)_2°i

對于c,由"功=1^___L—=i__J又由d+121,有0〈—-<1,

爐+i爐+ix2+l

2

有-1?1—-,一<1,可得函數(shù)/(無)的值域為故C選項錯誤；

X+1

2

對于D,當(dāng)x>0時，由/'(x)=l-—5一,可得函數(shù)“X)在[0,+司上單調(diào)遞增，

又由函數(shù)/(無)為偶函數(shù)，可得函數(shù)了(無)的減區(qū)間為(-",0),增區(qū)間為[0,+8),

若/(a—1)</(2。+1),有卜―l|<|2a+l|,不等式兩邊平方后可解得a>0或a<—2,

故D選項正確.

故選：ABD.

三、填空題.本題共4小題，每小題5分，共20分.

2

13.計算：(lg5)2_(lg2y+83xlg0_Q6°+0.2T=---------

【答案】5

【解析】

221

(lg5)2-(lg2)2+83xlg^-0.60+0.2-1=(lg5+lg2)(lg5-lg2)+(23)3xlg22-l+(5-1)

=lg5-lg2+4x|xlg2-l+5=lg5+lg2+4=5.

故答案為：5.

14.若/(尤)滿足2/(X)—/[￡|=2X+1,則/

【答案】3

【解析】取x=2得到2/(2)-/1)]=5；取x=g得到2/1)]-/(2)=2,

解得/g]=3.

故答案為：3.

2

15.己知/'(x)=[]-m,g(x)=ln(x+l),若2,—1],3X2G[0,1],使得

f(X)Ng(X2),則實數(shù)加的最大值是.

【答案】2

【解析】V^e［-2,-l］,即40』,使得/&）、（％）,.?"⑺二冷⑺.；

/（x）在［―2,—1］上單調(diào)遞減，.?"⑺.=/（-l）=2-m;

"=必+1在［0』上單調(diào)遞增，y=In”在（0,+。）上單調(diào)遞增，

g（x）=In+1）在［o,1］上單調(diào)遞增,...g（%）疝°=g（0）=lnl=0；

：.2-m>0,解得：m<2,則實數(shù)機的最大值為2.

故答案為：2.

16.若函數(shù)>=/（無）是函數(shù)丁=優(yōu)（0<。/1）的反函數(shù)，其圖象過點（、后,a）,且函數(shù)

丁=—/（工+,-3）在區(qū)間（2,+8）上是增函數(shù)，則正數(shù)機的取值范圍是

x

【答案】［2,4］

【解析】由題意可得函數(shù)y=/（x）=logax,再根據(jù)其圖象過點（、后,a），

可得log〃?=a,即a=j，/。）=1。8廣

mmm

函數(shù)y=-f（x+——3）在區(qū)間（2,+co）上是增函數(shù)，且-/（x+3）=-log,（尤+--3）,

XX2X

m

.??函數(shù)，=logi（兀+3）在區(qū)間（2,+oo）上是減函數(shù)，

5%

故y=x+'-3在區(qū)間（2,+s）上是增函數(shù)，

X

rviini

再根據(jù)丫=尤+'-3在區(qū)間（2,一）上大于零，且產(chǎn)尤+'-3在（而，+功是增函數(shù)，

XX

4m?2

可得《m,解得2周弧4.

2+--3..0

12

故答案為：［2,4］.

四、解答題.本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知集合A=卜|—211,B=1x|x2-2x-m<0j.

（1）當(dāng)根=3時，求A他孫

（2）若Ac3={X-l（尤<4},求實數(shù)加的值.

解：(1)由一^―21得0<x+l<6,得一lvx?5,

%+1

所以A={x[—l<xK5},

當(dāng)機=3時，由x2一21一3<0，得一1<%<3,

所以5={x|-lvx<3},

所以為6={犬|九<一1或I23},

所以A^B)=[x\3<x<5}.

(2)因為Ac_B={%卜1v%v4},所以JBN0,

所以A=4+4加>0,即加>一1,

由％之一2x—根v0得(九一1/<1+m,得1—J1+加<x<1+J1+加，

所以3={%|1-11+m<x<1+Jl+zn}，

因為Ac_B={%Hvx〈4),所以1+J1+加=4,1-Vl-Km<-1,

解得加二8.

18.已知命題夕：VxeR,f+4]+/_1>0,命題，為真命題，實數(shù)〃的取值集合為A.

(1)求集合A；

(2)設(shè)集合5={%|根—44x41—2m},若xe3是xeA的充分不必要條件，求實數(shù)加

的取值范圍.

解：(1)命題〃為真命題，則A=16—4/+4<0,得a>下或a<-小,

所以A=或a>否}.

(2)因為是xeA的充分不必要條件，所以BUA,

5..

①當(dāng)5=0時，則利—4>1—2根，即機>—,滿足BUA,

3

②當(dāng)JBN0時，則加一4<1一2根，即加43,

3

因為BUA,所以1一2根<一6或加一4〉6,解得存<g,

、

綜上可得加—--,+oo.

19.已知函數(shù)/(%)=(logzX-2)(log2x-l).

(1)當(dāng)尤e[2,8]時，求該函數(shù)的值域；

(2)若疝(蝎為對于x?4,161恒成立,求加的取值范圍.

解：⑴由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，當(dāng)xe[2,8]時，log2xe[l,3],

令log2X=//e[1,3],即可得一3r+21e[1,3],

a1

由二次函數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)/=]時，/&)1nhi=-1，當(dāng)f=3時，/(。3=2,

因此可得當(dāng)尤e[2,8]時，該函數(shù)的值域為_；,2.

(2)當(dāng)x?4/6]時，可得log2X?2,4],

原不等式可化為F—3/+2之加對于re[2,4卜恒成立，

99

即可得"3+：之九對于fe[2,4卜恒成立，易知函數(shù)y=f—3+：在止[2,4]上單調(diào)遞增,

2

所以V疝n=2-3+萬=0,因此只需Vmm=02相即可，得力＜0；

即〃2的取值范圍是(9,0].

20.第19屆杭州亞運會將于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州舉行，某公司為了競

標(biāo)配套活動的相關(guān)代言，決定對旗下的某商品進行一次評估.該商品原來每件售價為15元,

年銷售10萬件.

(1)據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售總收入不低

于原收入，該商品每件定價最多為多少元？

(2)為了抓住此次契機，擴大該商品的影響力，提高年銷售量，公司決定立即對該商品進

行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價到x元.公司擬投入((爐―400)萬元作為技改

Y

費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入一萬元作為浮動宣傳費用.試問：當(dāng)該商品改革

4

后的銷售量a至少應(yīng)達到多少萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之

和？并求出此時商品的每件定價.

解：(1)設(shè)定價為x(M15)元，則銷售量為10—0.2(x—15)萬件，

由已知可得，%[10—0.2(x—15)]215x10,

整理可得，X2-65X+750<0，解得15WxW50,

所以，該商品每件定價最多為50元.

(2)由已知可得，ax>150+-(%2-400)+50+-=-x2+-+100,x>15,

4、7444

足品uCCHIx1001c[x~1001

因為x215,所以—+——+—>2J—x——+—=10.25,

4%4V4x4

當(dāng)且僅當(dāng)二=口叫，即x=20時，等號成立，

4x

所以，a>10.25,

所以，當(dāng)該商品改革后的銷售量。至少應(yīng)達到10.25萬件時，才可能使改革后的銷售收入不

低于原收入與總投入之和，商品的每件定價為20元.

21.若定義在尺上的函數(shù)/(X)對任意的占、x2eR,都有+々)=/(菁)+〃％)-1

成立，且當(dāng)x>0時，/(x)>l.

(1)求證：“X)—1為奇函數(shù)；

(2)求證：/(x)是R上的增函數(shù)；

⑶若〃4)=5,解不等式了(3病一〃l2)<3.

解：⑴證明：定義在尺上的函數(shù)/(無)對任意的毛、

都/(/+%2)=/(%)+/(9)-1有成立，

構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)—1,則〃%+%)—1=[〃芭)—1]+卜(%)—1],

即g(菁+X2)=g(xi)+g(w),

令%=々=0,得g(o)=g(o)+g(o)=2g(o),所以，g(0)=0,

由于函數(shù)g(x)=/(%)-1的定義域為R,關(guān)于原點對稱，

令X]=X,%=—x，則g(x)+g(_x)=g(o)=o，，g(_x)=_g(x)，

因此,函數(shù)8（%）=/（%）-1為奇函數(shù).

（2）任取%＞%，則七一%2〉0，，g（內(nèi)一42）=/（七一％2）一1＞0，

另一方面g（%）一g（%2）=g（%）+g（—%2）=g（%—%2）＞。,即g（玉）＞g（%2）,

因此，函數(shù)g（x）=/（x）—l在R上為增函數(shù)，即函數(shù)y=/（%）在R上為增函數(shù).

（3）Q/（4）=5,則g（4）=〃4）-4=1,g?=g（4+4）=g（4）+g（4）=2,

由?。?〃/一加一2）＜3,得g（3加2—加—2）+1＜3,即g（3加2—加一2）＜2,

Qg（4）=/（4）-1=4,又g（4）=g（2）+g（2）=4,：.g（2）=2,

所以，g（3m-m-2^＜g（2）,

由于函數(shù)y=g（x）在R上單調(diào)遞增，所以，3m2-m-2＜2,即3根加一4＜0，

解得一1〈根＜：,因此，不等式/（3那—加―2）＜3的解集為，1,￡|.

22.已知函數(shù)/（力=；（2"+2一）g（x）=g（2-2一）

（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，證明：/（無）在區(qū)間［0,8）上是增函數(shù)；

（2）已知尸（x）=4/2（x）—4/1礦（x）+9,其中冽是大于1的實數(shù)，當(dāng)xe［0,log2相］時,

F（x）＞0,求實數(shù)加的取值范圍；

（3）當(dāng)a?0,判斷^^與4（%）+（l—。）的大小，并注明你的結(jié)論.

X1

解:（1）Vx^x^O,/（^）-/（x2）=1（2+21（2"+2^）

2芻-2為

r,x,1

2-2整+2~-2一河2H-------------------------X,

2%1+%22—2巧

1———

2再+巧

-2"一22

因為石〉々20,所以2百一2松＞0，2為+河＞1，所以/（%）一/（%2）＞°，

即/（尤）在［0,+"）上是增函數(shù).

2，+2-x丫(2工+2-1

(2)由己知產(chǎn)(x)=4?-4m----------+9,

1

m-\——

設(shè)仁1±二，由⑴得/(%)在[0,log2間上單調(diào)遞增,即1￡___m

22

9

所以尸(x)20o4產(chǎn)-4mt+9三0=4mtW4r+9omW/H—,

4t

m+

①加》也后時，m＞3,即/+222、口=3,當(dāng)且僅當(dāng)?=』時取等號,

2~2^24rV42

此時要滿足7"Wf+2恒成立，即相+H=3,所以！±YlwmW3；

4fI4”.2

iQm-\——

m+

②1＜相＜1±2色