空間向量在立體幾何中的三種考法（解析）-2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大題題型歸納

空間向量在立體幾何中的三種考法

空間角的向量求法

題目工］如圖，在四棱錐P—4BCD中，底面4BCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，ACnBD=O,且P。，平

（1）求證：BD〃平面EFG；

（2）若NDAB=誓,求直線PA與平面EFG所成角的余弦值.

O

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵方

0

【分析】（1）通過(guò)證明由〃GF即可證明結(jié)論；

（2）以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由選擇條件可得相應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，可得向量P4坐標(biāo)與平面

EFG法向量坐標(biāo)，即可得線面夾角正弦值，從而可得答案.

【詳解】（1）證明：：G,F分別為PD,PB中點(diǎn)，GFIIDB,

又6。?平面GEF,GFU平面GEF,

:.BD//平面EFG;

（2）底面4BCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，所以4C_L_BD,又PO_L平面ABC。，OAOBU平面

ABCD,

所以PO_LOA,PO±OB,

如圖所示，以。為原點(diǎn)，以04OB,OP所在直線為c,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

/。48=冬，底面48。。是邊長(zhǎng)為2的菱形，OA=1,OD=OB=^,

O

1

則4(1,0,0),呂(0,6,0),0(0,—四,0),「(0,0,2),G(0,—乎,1),F(O,苧,1).

PA=(1,0,-2),AP=(-1,0,2),OA=(1,0,0),

又AP=3AE,AE^^-AP,AOE^OA+-AP^(^-,0,^-),

oooo

設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量為方=(,,y,z),

n?EF—

—|~x++/z—0nQ二1'令0=1,所以方=(1,°,2)，

則

n?EG——一~^~y+gz=0

設(shè)直線PA與平面EFG所成角為。.6?€(0,y]

則sin0==二=■，故有cos。=V1-sin20=-f-,

|可同V5-V555

所以直線PA與平面EFG所成角的余弦值4.

5

題目可如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，P4,平面ABCD,E為PD的中

⑴求證：PB〃平面力EC；

(2)求平面P4C與平面4EC所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)建系，求平面4EC的法向量，利用空間向量證明線面平行；

(2)求平面P4C的法向量，利用空間向量求面面夾角.

【詳解】(1)因?yàn)镻4_L平面4BCD,且4B,4Du平面4BCD,則PA±AB,PA±AD,

即AB,AD,4P兩兩互相垂直，

如圖，以4為原點(diǎn)，以AB,4D,AP分別為力軸，U軸，之軸，建立空間直角坐標(biāo)系幺一名弊,

則A(0,0,0),F(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),￡；(0,l,l),

可得方=(2,0,-2),AC=(2,2,0),AE=(0,1,1).

設(shè)平面AEG的法向量為洗=O,沙,z),

則<—>_y，取0=1,可得g=—l,z=l,

[AE-m=y+z=0

所以平面AEC的一個(gè)法向量為由=(l,-l.l),

2

可知兩?由=2xl+0—2xl=0,即屈_L關(guān),

又因?yàn)镻BQ平面AEC,所以PB//平面AEG,

(2)由(1)可知：為苕=(2,2,0),#=(0,0,2),

設(shè)平面PAC的法向量為五=（a,b,c）,

?元=2a+2b=0

則，取a=1,可得b=—l,c=0,

g?n=2c=0

則平面PAC的一個(gè)法向量為荷=（1,一1,0）,

m?n1+1+0V6

可得cos<m,n>==

\m\,|n|V3xV2—3

所以平面PAC與平面ABC所成角的余弦值為乎.

題目§已知圖1是由等腰直角三角形ABE和菱形BCDE組成的一個(gè)平面圖形，其中菱形邊長(zhǎng)為

4,乙4=90°,Zn=60°.將三角形ABE沿BE折起，使得平面ABE_L平面BCDE（如圖2）.

圖1圖2

（1）求證：力Q_LCE＞；

（2）求二面角B-AC-D的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）取BE的中點(diǎn)O,連接力Q,OC,則4Q，BE,再結(jié)合已知面面垂直可得AQ，平面

BCDE,則4Q，CD,而OC，CD,再由線面垂直的判定可得CD，面AXOC,從而可證得AXC

±CD,

（2）以O(shè)B,OC,04所在的直線分別為名軸，沙軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解.

【詳解】（1）證明：取BE的中點(diǎn)O,連接40,OC.

?：ArB-AXE,：.AiO±BE.

又,/平面平面BCDE,且平面4跳；0平面BCDE=BE,AQu平面A〔BE,

AQ_L平面BCDE.

???CDU平面BCDE,：.AiO_LCD.

?.?在菱形BCDE中，/D=60°,△BCE為等邊三角形，

1/BE的中點(diǎn)為。，OC工BE,

?：BEIICD,：.OCLCD

???A】。COC=O,力iO,OCu平面A.OC,

CD，平面AQC,???AQu平面AQC,CD，AQ.

3

(2)由(1)40_1平面88￡；,；08,0。匚平面3。0￡；,.?.40_1。840_10。，

???OC_LBE,

：.如圖，以O(shè)B,OC,OAi所在的直線分別為c軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

,

B(2,0,0),C(0,2V3,0),JD(-4,2V3,0),A1(0,0,2),

AC=(0,2V3,-2),BC=(-2,2V3,0),CD=(-4,0,0).

設(shè)平面BAiC的法向量為有=(x,y,z),則

和?綏=2島-方=0

\r^-BC=-2x+2V3y=0

設(shè)平面DA.C的法向量為甚=(a,b,c),則

營(yíng)￡=,6產(chǎn)=0,令-用則花=(0,3,

[n2?CD=-4Q=0

設(shè)二面角石一4。一。的大小為仇由圖可知夕為鈍角,

Wl-^2

ICOS01=4=差，，sin”

區(qū)H荔，3+1+3XV1+3

A/21

7,

二面角B—4。一。的正弦值為

題目可如圖，四棱錐P—ABCD中，四邊形ABCD為梯形，AB〃CD,A。，AB,4B=4P=

2。。=4,FB=2A￡>=4V2,PD=2瓜M,N分別是PO,PB的中點(diǎn).

(1)求證：直線MN//平面ABCD；

(2)求平面MCN與平面ABCD夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵等

【分析】(1)由M,N分別是P。，PB的中點(diǎn)可得上ZN〃BD,進(jìn)而可證直線MN〃平面ABCD;

(2)以A為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，求平面MCN與平面ABCD得法向量，進(jìn)而求出

cos#,4,則平面MCN與平面AB。。夾角的余弦值可得.

【詳解】(1)連接BD,；河，N分別是PD,PB的中點(diǎn).

MN//BD

又MN?平面ABCD,8。U平面ABCD

：.直線MN//平面ABCD

(2)VAB=AP=2DC=4,PB=2AD=472,PD=276

AB2+AP2=PB2,AD2+AP2=PD2

：.AB±AP,AD±AP

4

AB,AD,AP兩兩之間互相垂直

以/.為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系

,

A(010,0),B(0,4,0),C(2V2,210),n(2V2,0>0),F(0,0,4)

又：M,N分別是PD,PB的中點(diǎn).

/.M(V2,0,2),N(0,2,2)

CM^(一方,一2,2),函=(-272,0,2),AP=(0,0,4)

設(shè)平面MCN的法向量為n=(x,y,z)

n—0可？(—V2x—2y+2z=0

n=0付\-2V2x+2z=0

(_V2

e解得令±=2可得法向量克=(2,2,2方)

[z=V2x

-：AB±AP,AD±AP,ADHAB^A

：.AP±平面ABCD

毋為平面ABCD得法向量

AP-n

cosAP,n8V2_2V7

4xV14-7

令平面同CN與平面ABCD夾角為。且為銳角

cosO=|cosAP,n|=2,

：.平面MCN與平面ABCD夾角的余弦值為當(dāng)Z.

題目可如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形,PA±平面ABCD,PA=AD=

（1）證明：AA/LPC；

（2）設(shè)力。的中點(diǎn)為。，點(diǎn)N在棱PC上（異于點(diǎn)P,C）,且ON=Q4,求直線AN與平面4W所

成角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得,由面面垂直的性質(zhì)可得CD_L平面PAD,則CD

_LAM,所以由線面垂直的判定可得力M_L平面PCD，從而可得結(jié)論；

（2）以AB,AD,AP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.

【詳解】（1）證明：因?yàn)镻4=4D,點(diǎn)M是PD的中點(diǎn)，所以AMI.PD.

5

因?yàn)镻A_L平面ABCD,P4u平面PAD,所以平面PAD_L平面ABCD,

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以CD_L40,

因?yàn)槠矫鍼ADCI平面AB0D=AD,CDu平面ABCD,

所以CD_L平面PAD,所以CD_LAW,

因?yàn)镻DCCD=D,PD,CDu平面PCD,

所以_AM_L平面PCD,

因?yàn)镻Cu平面PCD,所以⑷WJ_PC.

（2）解：由題意可得AB,AD,AP兩兩垂直,

設(shè)=1,如圖，以AB,AD,AP所在直線分別為c,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（O,O,O）,B（I,O,O）,C（I,2,O）,D（O,2,O）,P（O,O,2）,

因?yàn)辄c(diǎn)M是PD的中點(diǎn),所以閘0,空，空），

所以宿二（0,亨,空）,前=（1,2,0）,

設(shè)平面ACM的法向量為亢=（0,?/,z）,則

n=卓"+夸z=0

n=rc+V2y=0

令y=—l可得/==1,所以平面ACM的一?個(gè)法向量n=

（V2,-1,1）.

FC=（1,V2,—V2）,設(shè)N（xNfyN9zN'）,PN=APC=（/I,V2A,—V2/1）（0</I<1）,

即QN,VN,ZN-尬）=（4仞，一仞），所以N（X,仞，血一仞）.

又。傳，岑，0），?？?。4=苧,

所以C—-空了+w

化簡(jiǎn)得542—7/1+2=0,解得4=3或4=1（舍去）.

5

所以而=（高子,胃），

設(shè)直線AN與平面ACW所成的角為仇則

3V2,_

n-AN5_________________V15

sin。=

<M+_L.18_10，

'V25T25T25

所以直線AN與平面ACM所成角的正弦值為嚕

題目引已知三棱臺(tái)A.B^-ABC,ArA_L面ABC,4AB產(chǎn)AB=AC=4,cosZBAC=-j,D

是線段AtA中點(diǎn)，且BD，DC.

6

（1）證明：BDLBQ；

（2）請(qǐng)選擇合適的基底向量,求直線B。與AA,所成角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵嚕

OO

【分析】（1）根據(jù)條件結(jié)合余弦定理先求出A.A的長(zhǎng)度，然后再證明△BAD與△/。4片相似，從

而可證明.

（2）選取基底｛AB,AC,AA｝,分別表示出瓦方,求出模長(zhǎng)和對(duì)應(yīng)的數(shù)量積,由向量法可得出答案.

【詳解】⑴證明：連接BQ.設(shè)小人=a，在4ABC中，由余弦定理得

BC=不—2x4x4x（一―）=2V10,

又DB=DC=J4+16，因?yàn)锽D_LOC,所以2（號(hào)+16）=40,解得a=4,

由于4^77=4=4^，且/BAD=ADAXBX,所以4BAD?△/。4目，

AyD2A.B

所以NAQBFAABD,所以NBDBF90°，即BD_LBQ,

又因?yàn)锽QA所以BD_L面又因?yàn)锽Qu面BQC,所以BD_LB。

（2）選取基底｛五反彩,兀希｝,

----??----?----?1--->---->----?

BC=+ArA+AC=-十-AB+AC-AAr,

（瓦方=（―?-AB+AC-瓦可=1+16+16+2x（一十）

AB-AC^35,

AA=（-j-AB+AC-=-16,

力寸_—16_4A

cOSB.C,AAx=—=--,

所以直線B'C與44i所成角的余弦值為巨淳.

35

題目可如圖,在三棱柱ABC-中，AB=BC,AB尸BQ.

1

4G

B

⑴證明:

（2）若AB=BBi=2,AB尸碗，/ABC=120°,求二面角力—3目一。的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

【分析】⑴取力。的中點(diǎn)。，連接即可證明力。，平面B8Q,從而得證；

⑵證明BQJL平面ABC,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DB、DC、所在直線為re、夕、z軸建立空

間直角坐標(biāo)系，再由空間向量求解.

【詳解】⑴取力。的中點(diǎn)。，連接BD,BQ,

?/AB=BC,AB尸B。,：.AC.LBD,AC±BQ,

文BDCBQ=D,BD,BQu平面BBQ,：.AC±平面BBQ,

而B(niǎo)BC平面BBQ,

(2)在△ABC中，AB=BC=2,/ABC=120°,

可得5￡>=4^8=1,人。=24。=2盜，

2r

在△ABiC中，ABX=BC=V6,AC=2V3,可得BQ=V6^3=V3,

在ABBQ中，BD=1,BQ=A/3,BB}=2,

22

可得BD+BXD=Bp,即BXD_LBD,

由(1)知，AC±平面BBQ,ACu平面ABC,所以平面ABC_L平面BBQ,

又平面ABCn平面BBQ=BD,BQu平面BBQ,

：.BQ_L平面ABC,以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DB、DC、所在直線為x、y、z軸建立空間直角

坐標(biāo)系，

則5(1,0,0),A(0,-V3,0),C(0,V3,0),32(0,0,y/3),

BA=(-l,-V3,0),麗=(-l,0,V3),BC=(-1,V3.0),

設(shè)平面ABBi與平面CBBi的一■個(gè)法向量分別為由=(如%,zj,n=(z2,紡,z2),

由fm-BA=-X1-V3yi=°,取/產(chǎn)例得力=(々fi),

rri?BBX=-x1-\-VSz1=0

I

由卜西=-X2+V3Z2=。，取然=小得方=(何i,).

1n?BC=-X2+V3?/2—0

由圖可知，二面角A的平面角為鈍角，

8

，二面角A—BB—C的余弦值為一§.

5

題目回如圖，在四棱錐P—4BCD中，P4_L平面ABCD,AD±CD,AB//CD,PA=AD=

8=1,AB=2,點(diǎn)河是PB的中點(diǎn).

（1）證明：PB=2C7W；

（2）求直線與平面ACM所成的角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵乎

【分析】（1）取AB中點(diǎn)F,證明得到四邊形AFCD是正方形，進(jìn)而得到8。_L平面P4C,所以BC

±PC,根據(jù)直角三角形相關(guān)性質(zhì)可得到PB=2CM-,

（2）先建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線段長(zhǎng)度寫(xiě)出坐標(biāo)，求平面4W的一個(gè)法向量，再結(jié)合線面角計(jì)

算公式求出答案.

【詳解】（1）取4B中點(diǎn)F,連接CF,^]AF=CD=1,

又因?yàn)锳F〃CD,所以四邊形AFCD是平行四邊形，

因?yàn)锳D_LCD,AD=CD,所以四邊形AFCD是正方形，

所以AB_LCF,即△ABC是等腰三角形，則AC=BC=

A/2,

所以AC2+BC2=4：=AB2,即AC±BC,

因?yàn)镻A_L平面ABCD,BCu平面4BCD,所以PA_L

BC,

又因?yàn)镻AACu平面P力。，PAHAC=A,

所以平面PAC,

因?yàn)镻Cu平面P4C,所以8C_LPC,

又因?yàn)辄c(diǎn)M■是的中點(diǎn)，所以由直角三角形性質(zhì)易得PB=2CM

（2）因?yàn)镻4_L平面4BCD,AD,ABU平面4BCD,所以P4_L40,PA±AB,

又因?yàn)樗倪呅蜛FW是正方形，所以AD_LAB,

如圖，以｛國(guó)5,荏，存｝為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—g/z,

則人(0,0,0),0(1,1,0),。(1,0,0),河(0,1,q)，

所以麗=(-1,1。,正=(1,1,0),瘋=(0,1,(),

設(shè)平面ACW的一^個(gè)法向量為n=(x、y,z),

,[n-AC—x+y=Q人…/、

則〔小0一+A。,令'j則—⑵,

9

設(shè)直線ZW與平面ACM所成的角為仇046?4年，

所以sin。=|cosn,DM|=匕=——}—==誓,

11同"向MI氓x氓9

所以直線。M■與平面ACM所成的角的正弦值為小.

9

題目回如圖，平行六面體ABCD-4BQQ1的體積為6,截面ACQA,的面積為6.

（1）求點(diǎn)B到平面ACCrAx的距離；

⑵若AB=AD=2,/BAD=60°,44產(chǎn)通,求直線口2與平面CCQQ所成角的正弦值.

【答案】（1）1

⑵噂

【分析】（1）應(yīng)用等體積法求出點(diǎn)到平面距離；

（2）空間向量法求線面角的正弦值即可.

【詳解】（1）在平行六面體ABCD—ABiG。中，ABC—45G是三棱柱，

21

^B-ACCiAj-W%1BC-4B[G=^ABCD-AACrDj-2,

設(shè)點(diǎn)_B到平面ACCrAi的距離為d,則%_4cq4尸["SACGA，d=：x6d=2,所以d=l,

即點(diǎn)B到平面4CG4的距離為1.

(2)在UABCD中，AB=AD=2,/BAD=60°，所以ABCD是菱形，連接BD紀(jì)AC于O,則BO

=1,

由(1)知點(diǎn)B到平面ACCrAx的距離為1,所以BOJ_平面ACCxAr.

設(shè)點(diǎn)4在直線AC上射影為點(diǎn)H,SaACCiA^AC-AJ/=2V3A1H=6,

222

則AH=四,且BO_L4",力〃=y/A^-AlH'=V(V6)-(V3)=V3,

所以。和夕重合，即A.O±AO.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OAOB,04分別為立軸，,軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則3(0,1,0),4(四,0,0),。(0,—1,0),4(0,0,7^),

根據(jù)AAi=DDi=(--^3,0,y/3),AB=DC=(-,\/3,1,0),則Z?i(—V3,—1,V3),

BDt=(-V3,-2,V3),設(shè)平面CCQQ的一法向量為五=(x,y,z),

-n——V3x+—0_rml向、、

L，取工=1,則71=(1,6,1),

n=—V^x+y=0

設(shè)直線BA與平面CCQQ所成角為a,則sin&=|cos的閱==——二一士

e11\BD\\n\VWxV5

}

_V6

一可，

所以直線BDi與平面CCQQ所成角正弦值為艱.

5

題目兀如圖所示，在多面體ABCGFE中，底面BCFE為矩形，且AE，底面BCFE,AG〃EF,

AG=AE=BE=±EF=2,BFC\CE=O.

⑴證明：A?！ㄆ矫鍳CF.

（2）求平面ABO與平面GCF夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）取線段CF的中點(diǎn)X,連接OH,GH,則利用三角形中位線定理結(jié)合已知條件可得四邊

形AOHG是平行四邊形，則AO〃HG,然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；

⑵由題意可得EB,EF,94,所以以E為原點(diǎn)，分別以EF,94所在的直線為①z軸建立空間

直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求解即可.

【詳解】（1）證明：取線段CF的中點(diǎn)H,連接OH,GH,

因?yàn)樗倪呅蜤BCF是矩形,且CB=2EB,

所以O(shè)HHBC且OH=^-BC,

因?yàn)锳G〃EF且AG=[EF,EF"BC且EF=BC,

所以AG//BC且AG=yBC,

所以AG//OH且AG=OH,

所以四邊形AOHG是平行四邊形，則AOHUG,

因?yàn)槠矫鍳CF,HGu平面GCF,所以40〃平面GCF

（2）因?yàn)锳E_L底面BCFE,EB,EFd平面BCFE,所以AE_LEB,AE_LEF,

因?yàn)镋B_LEF

所以以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以EB,EF,EA所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

11

系E—xyz,

則A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0),F(0,4,0),G(0,2,2),0(1,2,0),AB=(2,0,-2),AO=(1,2,-2),

歷=(2,0,0),死=(0,—2,2).

設(shè)平面ABO的法向量為沆=(a,b,c),則

jAB-rn=2a-2c=0，令0=0=2,則b=1,

[AO-m—a+2b—2c—0

故平面ABO的一個(gè)法向量用,=(2,1,2),

設(shè)平面GCF的法向量為方=0,/z),

.fn?FC=2z=0?,,

由＜—,，取y=l1,則nz=l,

[n-FG=-2y+2z—0

故平面GCF的一個(gè)法向量l=(0,1,1),

貝Icosm,n=-.

3V22

設(shè)平面ABO與平面GCF的夾角為貝°C[o￡]),則cos昨亨.

題目工口如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA，平面ABCD,PA=AD=

;AB=1,E,河分別為線段4B,PC的中點(diǎn)，連接CE,延長(zhǎng)CE并與ZM的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,連

接PE,PF.

(1)求證：ME〃平面PFD.

(2)求平面APE與平面PEF所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)要證ME〃平面PFD，只需證明ME〃PF即可;

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解即可.

【詳解】(1)；AE=^AB=。，且AE〃。。，

為△FW的中位線，

ME為ACPF的中位線，二MEIIPF.

文?：PFU平面PFD,ME4平面PFD,:.ME〃平面PFD.

⑵以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以方，荏，力的方向?yàn)?，y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如

圖所示，則由已知可得P(0,0,l),E(0,l,0),F(L0,0),

???立軸，平面尸區(qū)4,.?.設(shè)平面PEA的一個(gè)法向量為元=(1,0,0),平面PEF的法向量為沅=

3H),,/PE=(0,1,-1),PF=(1,0,-1),

,歸PE-y^j—。，令幺=1,得/=i,j=i,...力=(1,],]),

Im?PF=x—z=0

12

A/6

~3~

題目電如圖1,在五邊形4BCDE中，四邊形4BCE為正方形，CDLDE,CD=DE,如圖2,將

△ABE沿BE折起，使得A至4處，且人田，AXD.

⑴證明平面ABE；

（2）求二面角C—4E—。的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵乎

［分析】（1）由已知易得。E_LBE,即可證明線面垂直;

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)公式法求解即可.

【詳解】(1)由題意得NBEC=NCED=看,NBED=&DE_LBE,

因?yàn)锳B_LAE,則AXB_LA.E,

又A_B_LA。，AXEAA}D=AX,AXE,AXDc面為即,所以4_8_1_面A^ED,

又。Eu面兒即，則DE±ArB,

入DELBE,A.BCBE=B,ArBu平面AiBE,BEu平面AXBE,

所以O(shè)E_L平面4BE.

(2)取BE的中點(diǎn)O,可知BE=2CD,OE=CD,

由DE_LBE,且CD_LDE可得OE〃CD,

所以四邊形OCDE是平行四邊形，所以。?！―E,則CO_L平面A{BE,

設(shè)BE=2,以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,OC,04所在直線為坐

標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

則Ai(0,0,1),七(一1,0,0),B(l,0,0),。(0,1,0),0(—1,1,0),

=(1,0,1),動(dòng)=(1,1,0),歷=(0,1,0),

設(shè)平面4EC的一個(gè)法向量為nx=

則{"pnptl+Zl=0

即G+%=0取a;i=1,則4=(1,—1,

13

-1）,

設(shè)平面AXED的一個(gè)法向量為n2=（/2,統(tǒng),22），

則代.鬻=：，即巴7O，取工2=1,則范=（1.0,-1）,

[n2?ED—01仍一U

所以cos/,/==等，

6

|nx||n2|

由圖可知，二面角。一人出一。為銳角，

所以面角。一_4田一。的余弦值為平.

O

題目E如圖,在斜三棱柱ABC—ABG中,AA,=AB,AB,±AQ,AB1的中點(diǎn)為。,BC的中

點(diǎn)為D

（1）證明：。?！ㄆ矫鍭CCXAX；

（2）若乙4cB=90°,AB產(chǎn)BQ,47=25。=4,求平面ACG4與平面ABO所成角的大小.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）60°.

【分析】（1）連接4B,則。為的中點(diǎn)，然后由三角形中位定理可得。。//,再由線面平行

的判定定理可證得結(jié)論;

（2）由題意可證得BE_L平面ABC,所以以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用空

間向量求解即可.

【詳解】（1）連接45因?yàn)樗倪呅?B1BA為平行四邊形,

所以。為4B的中點(diǎn)，

因?yàn)?。為BC的中點(diǎn)，

所以O(shè)O〃AQ,

又AQu平面ACCrAx,OD?平面ACCrAr,

所以O(shè)O〃平面ACGA.

（2）因?yàn)?B,又ABi_LAYC,AQCl4口=4,4C4BU平面A,BC,

所以4Bi_L平面人出。，

因?yàn)锽Cu平面4BC,

所以

又工。_LBC,ACHAB^A,平面AB]。，

所以BC_L平面ABQ,

因?yàn)锽Cu平面ABC,

所以平面ABCX.平面AB,C,

取的中點(diǎn)E,

14

因?yàn)?8產(chǎn)BQ,所以BiE_LAC,

因?yàn)槠矫鍭BC_L平面ABLC,平面ABCC平面ABrC^AC,

所以3田_L平面ABC,BiE=20，

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,A(0,-2,0),(7(0,2,0),51(0,0,273),5(2,2,0),

由反?=分高得6(—2,0,2沖)，則/=(0,4,0),南=(一2,—2,2遍)，

設(shè)平面ACC^Ax的法向量為有={x,y,z),

則J苞?生=包=0

［蘇?CC、=-2x-2y+2在=0'

令a;=四,所以肅=,

因?yàn)锽］E_L平面ABC,所以可取平面ABC的法向量為兀=

(0,0.1).

設(shè)平面ACG4與平面ABC所成角為明由圖可知a為銳角,

故平面ACC.A,與平面ABC所成角為60°.

題目兀如圖，在底面為正方形的四棱臺(tái)ABCD-ABCS中，已知AD=2,尸1,BD1=V7,

A到平面BDDi的距離為等1.

⑴求A到平面ABCD的距離；

⑵若44戶夸,求直線CG與平面ABD,所成角的正弦值.

【答案】⑴乎

⑵等

［分析［(1)先判定BD1±DD1,再根據(jù)等體積法計(jì)算即可；

(2)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量求線面角即可.

【詳解】(1)在正方形ABCD中，AB=A。=2,則8。=2.72,

2

在/\BDD\中，由條件可知BZ5=BD1+DDl,即BD」DDX,

所以S^BDD=4BD「DD產(chǎn)亨,

因?yàn)?到平面BOA的距離為考L,所以VA.BDD=^-x2用S^BDD『,

(OfO

因?yàn)镾^ABD=］AB?AD=2,記。到平面ABCD的距離為九，

所以由VDx_ABD--^-h-SAABD=VA_BDD=，得h=,

即。i到平面ABCD的距離為空；

15

(2)在四棱臺(tái)ABCD-4B1GA中，AQH平面ABCD,

則。到平面ABCD的距離即為4到平面ABCD的距離，

假設(shè)441不垂直于平面ABCD，則44i>空，與44尸乎矛盾，

所以44i_L平面ABCD,

又因?yàn)槠矫鍭BQQi〃平面ABCD,所以AA,_L平面A^C^,

由ARU平面4BQQi,>L4i_LAXDX,

所以在直角梯形AAQQ中，如圖所示，過(guò)。1作D1M±AD于M點(diǎn)、,

2

則DM=AD-ARA4尸DXM,DM+AA[=DD；nDM=。AQ尸,

以71為原點(diǎn)，AB,AD,AAX方向?yàn)閦,y,z軸的正方向，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),■，烏),2(0,菅,烏)，荏=(2,0,0),羽=

設(shè)行=(力,y,z)是平面ABDi的一^法向量，

—2/—Q

f77r3V3c，??？7=1,,則Z=-，^,所以亢=(0,l,-v^),

TI,AD\—~2y-\—^~z=0

13「

CC-n一工一7_2V5

設(shè)直線CG與平面AB。所成角為。，則sin。=Y

.\nVf+T+Tx7r+35.

題目正1如圖,多面體ABQi—ABCD中，四邊形ABCD是菱形，AABC^60°,AB//AXBX,AB=

243=4,ADUAQi,AD=2A1D1,AA_L平面ABCD,AQ_LAB,.

16

⑴求44i；

⑵求二面角D-CA-D的正弦值.

【答案】（1）2

【分析】⑴取AB的中點(diǎn)E,連接A.E,CE,3小，由已知可得出CE，AB.進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判

定定理、性質(zhì)定理，可得出四邊形A.AEB,是正方形.即可得出答案；

（2）取的中點(diǎn)F,連接AF.先證明AF,AD,441兩兩相互垂直.以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間

直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面4coi與平面4的法向量，根據(jù)向量法求出夾角的余弦

值,進(jìn)而即可得出答案.

【詳解】(1)(1)取的中點(diǎn)E,連接AXE,CE,BXE.

在菱形ABCD中，/ABC=60°,BA=BC,

所以△ABC是正三角形.

又E是AB的中點(diǎn)，所以CE_LAB.

?/AA±平面ABCD,CEu平面ABCD,

：.CE.

,：AAiAAB-A,AB,AAjC平面AArBxB,

圖1

：.CE±平面AAiBiB.

ABxc平面ABCD,：.CE±ABr.

?/AC±AB,,AcnCE=C,ACC平面AXEC,CEu平面A〔EC,

AB,A.平面ArEC.

?：AVEu平面AXEC,：.ABX±AVE.

?：AXBJ/AE,AE,A4」AE,

：.四邊形AAEBi是正方形.

AXB{=2,AAi=2.

（2）取B。的中點(diǎn)F,連接AF.

由（1）知，△AB。是正三角形.

又F為8。的中點(diǎn)，所以AF_LBC,AF_L40,且AF=273.

因?yàn)?4,平面ABCD,

所以AF,4D,44i兩兩相互垂直.

如圖2,以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，/，瓦希的方向分別為,，g,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)

-g/z,則C(2V3,2,0),A(0,0,2),。(0,2,2),D(0,4,0),

所以，兩=(-2四,-2,2),(0,2,0),河=(0,4,-2).

設(shè)平面A1CD1的法向量為n={x,y,z）,

則收3=。，即升一2v+2z=0,令,=],則亢,0,⑸

[n-A1n1=O129=0

設(shè)平面4CD的法向量為關(guān)=（a,b,c）,

\m-CA=0而f—2V3a—26+2c=0人,,_>”后門后、

貝nl”>—Xi，即“八。八，令a=l,貝n”力=1,四,2戰(zhàn).

lm-A￡>=0145-2c=0

所以Icos由L=曲>=上=工

/'制同網(wǎng)2X48,

所以，二面南a—CA—。的正弦值為』_（看y=且11

已知空間角求其他量

題目工如圖,在三棱錐P-ABC中，PA工底面ABC,NBAC=90°.點(diǎn)。、E、N分別為棱PA.

。。、3。的中點(diǎn)，”是線段入。的中點(diǎn)，_?人=4。=4,48=2.

P

（1）求證：MN//平面BDE-,

（2）己知點(diǎn)H在棱PA上,且直線NH與直線BE所成角的余弦值為京，求線段AH的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

【分析】⑴以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以AB.AC.AP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用

空間向量法可證得MN〃平面BDE;

（2）設(shè)AH=7i（O<7i<4）,則8（0,0,無(wú)），利用空間向量法可得出關(guān)于無(wú)的方程，解出后的值，即可

得出結(jié)論.

【詳解】（1）證明：因?yàn)镻4，底面ABC,ABAC=90°,

如圖，以點(diǎn)力為原點(diǎn)，以AB,AC.AP所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，

18

則4(0,0,0)、B(2,0,0)、C(0,4,0)、P(0,0,4)、D(0,0,2)、E(0,2,2)、M(0,0,l)、N(l,2,0),

屈=(0,2,0),屈=(2,0,-2),

設(shè)平面BDE的法向量為4=(c,y,z),則(".竺=2"=°,

[n-DB=2x-2z=0

取c=l,可得方=(1,0,1),

又因?yàn)辂?(1,2,—1),則砒?亢=1—1=0,所以，麗_L五，

又因?yàn)镸N<t平面BDE,所以，MN//平面BDE.

(2)解:依題意，設(shè)AH=爪0W無(wú)W4),則H(0,0,/i),

所以,NH—(—1,—2,1i),BE—(—2,2,2),

,,――>,\BE-NH\12/1-21V7

由已知，仔\(zhòng)cosBE,NH\=?=-y==-----=百-,

\BE\-\NH\V/I2+5x2V321

整理可得10/i2-21/z+8=0,解得/i=~|"或/i=1■,

o/

所以，線段AH的長(zhǎng)為2或J.

0/

題目團(tuán)已知正方體ABCD-AiBQQi，點(diǎn)、E為4。中點(diǎn)，直線5G交平面CDE于點(diǎn)、F.

⑴證明：點(diǎn)F為EG的中點(diǎn)；

（2）若點(diǎn)M為梭48上一點(diǎn),且直線與平面CDE所成角的正弦值為噂,求4粵的值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析.

（2）4-