高考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)題易錯(cuò)點(diǎn)2 常用邏輯用語(yǔ)（含解析）（新高考專用）

專題02常用邏輯用語(yǔ)

常用貧7輯用語(yǔ)

易錯(cuò)知識(shí)

多

知A

1.有關(guān)充分必要條件的判斷中，搞彳已;誰(shuí)是經(jīng)?論,導(dǎo)致判斷錯(cuò)誤。

類

件

西

淆

不

昆

置詞命題對(duì)一是要改寫(xiě)蜀否定結(jié)論f己知命往往顧此失已知命

吳

參

件

求

題■

類

命

一題真假題真假

結(jié)

圍

全

范

理已知條完參數(shù)范圍的市-間端點(diǎn)值如to

-a求參數(shù)求參數(shù)

致

定

視

忽

侖

筆

否

一題真假上:方程交匯的京判別式7是大范圍中于等于零的攵范圍中錯(cuò).

取

號(hào)

吳

.培

忽視判忽視對(duì)

錯(cuò)

又如余顆百佃一架件卷刑求叁為致m中，忽相，對(duì)片j論致錯(cuò)

別式等高次項(xiàng)

號(hào)取舍系數(shù)討

一、混淆條件與結(jié)論致誤致錯(cuò)論致錯(cuò)

1.“l(fā)n(x+l)〈O”的一個(gè)必要不充分條件是()

A.—KX—E.x>0

e

C.-KXO一D.KO

【錯(cuò)解】ln(x+l)<0等價(jià)于0<x+l<l,即一l<x〈O,因?yàn)橐籰<x<0可以推出一1〈求一L故選B。

e

【錯(cuò)因】本題中l(wèi)n(x+l)<0,即一l<x(。是結(jié)論，而選項(xiàng)是條件，錯(cuò)解是把一l<x<0當(dāng)條件，選項(xiàng)當(dāng)結(jié)論。

【正解】

【答案】D

【正解】ln(x+l)<0等價(jià)于0<x+l<l,即一這是結(jié)論，因?yàn)橐豢梢酝瞥鰔〈0,而x<0不能

推出一1〈求0,所以；K0是一1〈求0的必要不充分條件，所以“l(fā)n(x+l)<0"的一個(gè)必要不充分條件是

“x<0”.

二、不對(duì)命題完全否定致誤

1.命題“存在一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是()

A.任意一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)B.任意一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方是有理數(shù)

C.存在一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方是有理數(shù)D.存在一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)

【錯(cuò)解】命題“存在一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定為“任意一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”，

選B。

【錯(cuò)因】沒(méi)有否定結(jié)論，

【正解】

【答案】A

【詳解】命題“存在一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定為“任意一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)”，

2.命題“Vx<0,x?+ax-l20”的否定是()

A2B2

-Vx<O,x+ax-]<0-3x>0,x+ax-l>0

C.Bx<0,x2+ax—1<0D.Bx<0,x2+ax-\>0

【錯(cuò)解】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，所以“Vx<0,x2+dx-l>0"的否定是

“Vx<0,/+ax-l<0"，選人。

【錯(cuò)因】沒(méi)有改量詞。

【正解】

【答案】C

【詳解】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，所以“Vx<Or?+ax-1±0"的否定是

u3x<0,x2+ax-1<0.

三、已知條件類型求參數(shù)范圍中忽視等號(hào)取舍致錯(cuò)

1.若不等式l<x<3的必要不充分條件是加—2<x<m+2,則實(shí)數(shù)優(yōu)的取值范圍是（）

A.[1,2]B.[1,3]C.（-1,2）D.（1,3）

【錯(cuò)解】設(shè)4={幻1<》<3},B={x\m-2<x<m+2],因?yàn)椴坏仁?<x<3的必要不充分條件是

m-2<x<m+2,可得4是8的真子集，所以（〃7_2<]，解得1<切<3,所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是

m+2>3

1<7W<3,選D.

【錯(cuò)因】忽略了對(duì)端點(diǎn)值加=1和m=3的判斷。

【正解】

【答案】B

【解析】設(shè)力={》|1<》<3},B={x\m-2<x<m+2\,因?yàn)椴坏仁?<x<3的必要不充分條件是

m-2<\

m-2<x<m+2,可得4是8的真子集，所以，,解得：1《機(jī)43,經(jīng)檢驗(yàn)加=1和加=3符

m+2>3

合題意，所以14，”43。

四、已知命題真假求參數(shù)范圍中忽視判別式等號(hào)取舍致錯(cuò)

2

1.已知命題x-x+a>0^若「。是真命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

【錯(cuò)解】由題意知不等式Y(jié)—x+aWO有解，.?.△=i_4a>0,解得].因此，實(shí)數(shù)。的取值范圍是

a<—

4

［，選B.

(.co,/

【錯(cuò)因】不等式—x+a<0有解,則△=]—4a?0,而不是△=l-4a〉0。

【正解】

【答案】A

【解析】已知命題p：VxeR,》2一》+4>0,若「0是真命題，則不等式/一x+a<0有解,

.-.A=l-4?>0,解得。4工.因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是1—8，!.

4I4」

五、已知命題真假求參數(shù)范圍中忽視對(duì)高次項(xiàng)系數(shù)討論致錯(cuò)

1.已知命題？Yx^R,ax2+2x+3>0.若命題。為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.1B.]a|O<a?]}

a>01

【錯(cuò)解】由已知得VxeR,4-+2》+3>0為真命題，所以《，，八，解得a>—,

[△=4一12。<03

命題P為真命題的a的取值范圍為<a\a>->,

I3j

命題。為假命題的。的取值范圍是，al>.

【錯(cuò)因】沒(méi)有對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)a分情況討論。

【正解】

【答案】C

【解析】由已知得VxeH,。/+2》+3>0為真命題，

(1)若a=0,則不等式等價(jià)為2x+3>0,對(duì)于VxeR不成立，

fcr>01f,1

⑵若。不為0,則《，…八，解得。>一，...命題。為真命題的。的取值范圍為楠

A=4-12a<03I3

命題P為假命題的a的取值范圍是《司a<|>.

六、已知條件類型求參數(shù)范圍中忽視對(duì)高次項(xiàng)系數(shù)討論致錯(cuò)

1.（多選題）已知p：X2+X-6=0;q：ar+l=O.若P是q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的值是（）

1

A.-2B.——C.0D.1

21

3

【錯(cuò)解】由題意得P：力={-3,2},q：8={一1}，因?yàn)镻是9的必要不充分條件，所以8A,所以當(dāng)

一工=—3或—1=2時(shí)，也滿足題意，解得〃=1或4=—'，選BD。

aa32

【錯(cuò)因】沒(méi)有對(duì)x的系數(shù)a分情況討論。

【正解】

【答案】BCD

【解析】由題意得p'.A={一3,2},當(dāng)。=0時(shí)，q：B=0,當(dāng)時(shí),

因?yàn)镻是g的必要不充分條件，所以BA,所以。=0時(shí)滿足題意，當(dāng)-工=-3或-'=2時(shí)，也滿足題

aa

意，解得4=,或。=一4.

32

2.“關(guān)于x的不等式aV+ad<0的解集為的一個(gè)必要不充分條件是（）

A.44后0B.4＜后0

C.4Wa＜0D.4＜水0

Q<0

【錯(cuò)解】若關(guān)于、的不等式小小。的解集為凡則』'"O'解得一4<皿，

觀察選項(xiàng)要找范圍大的，可得-4<a<0的一個(gè)必要不充分條件是-4<a<0.

【錯(cuò)因】沒(méi)有對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)a分情況討論。

【正解】

【答案】A

【解析】關(guān)于x的不等式aV+axl<0的解集為R,

（1）當(dāng)a=0時(shí)，-1<0,解集為此

a<0

（2）當(dāng)時(shí)，《2,八，解得-4<a<0,綜合可得-4〈a￡0,觀察選項(xiàng)要找范圍大的,

A=a+4a<0

可得-4<a40的一個(gè)必要不充分條件是-4<a<0.

易錯(cuò)題通關(guān)

1.命題“Va,6〉0,a+』>2和6+工）2至少有一個(gè)成立”的否定為（）

ha

A.Va,b>0,a+，〈2和6+,<2至少有一個(gè)成立

ba

B.Va,b>0,a+!22和)2都不成立

ba

C.3a,6>0,2+,<2和6+,<2至少有一個(gè)成立

ba

D.3a,6>0,ad—22和都不成立

ba

【答案】D

【解析】'7a,b>0,a+，22和。+L22至少有一個(gè)成立”的否定為：3a,6〉0,

ba

11

a+~b>2和b+a22都不成立.

2.使“。>分”成立的一個(gè)充分不必要條件是()

A.a>b+1B.—>1C.a2>b2D.a}>b}

b

【答案】A

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若a>b+l,則成立，即充分性成立，反之，若a>b,則

a>b+l不一定成立，所以。>6+1是“a>b”成立的一個(gè)充分不必要條件，對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)b<0時(shí)，

由色>1得a<6,則a>6不成立，即@>1不是充分條件，不滿足條件;對(duì)于C選項(xiàng)，由/>/,若a=-2,

hh

h=\,則a<b,則a>b不一定成立，所以a?不是a>b的充分條件，不滿足條件，對(duì)于D選項(xiàng)，由

/可得。>，，則/>/是a>b成立的充要條件，不滿足題意。

3.下列命題的否定是真命題的是()

A.VaeR,一元二次方程x?—ar-1=0有實(shí)根B.每個(gè)正方形都是平行四邊形

C.3meN,yJm2+\&ND.存在一個(gè)四邊形48CD,其內(nèi)角和不等于360°

【答案】D

【解析】對(duì)A,VaeR,一元二次方程X?-ax-1=0有實(shí)根，其否定為：3aeR,一元二次方程

x?-ax-1=0無(wú)實(shí)根，由△=片+4>0,可得原命題為真命題，命題的否定為假命題；對(duì)B,每個(gè)正方

形都是平行四邊形，其否定為：存在一個(gè)正方形不是平行四邊形，原命題為真命題，其否定為假命題；對(duì)

c,3/MeTV,J-+1eN，其否定為：VmGN>Qm2+1eN，由旭=0時(shí)，Jo+1=1eN，則原命題

為真命題，其否定為假命題；對(duì)D,存在一個(gè)四邊形488,其內(nèi)角和不等于360°,其否定為任意四邊

形力8CD,其內(nèi)角和等于360°,連接四邊形的一條對(duì)角線，可得兩個(gè)三角形，則其四邊形的內(nèi)角和為360°,

可得原命題為假命題，其否定為真命題.

4.“直線w垂直于平面a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線”是“加，?！钡模ǎ?/p>

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】因?yàn)楫?dāng)直線勿垂直于平面。內(nèi)的所有直線時(shí).，才能得到勿_L。，所以由直線小垂直于平面a內(nèi)的

無(wú)數(shù)條直線不一定能推出心a，但是由心。一定能推出直線m垂直于平面。內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，所以“直

線加垂直于平面。內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線”是“k?！钡谋匾怀浞謼l件.

5.設(shè)x>0,y>0,則“x+y=l”是“小，”的（）

4

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】當(dāng)x+y=l時(shí)，但在土發(fā)=工當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

442

故"x+y=l”是“打的充分條件；當(dāng)?shù)蹠r(shí)，x=L滿足孫W』，

44444

但不滿足x+y=l,故"x+y=l”不是的必要條件.

4

綜上，“x+y=l”是“xjwL'的充分不必要條件，故選A.

6.（多選）下列命題的否定中，真命題的是（）

A.BxeR,x2-x+-<0B.所有正方形既是矩形也是菱形

4

C.3a>0，x2+2x+2+a=QD.所有三角形都有外接圓

【答案】AC

【詳解】選項(xiàng)A,》2-x+；=>0,所以原命題為假命題，則原命題的否定為真命題，所以選項(xiàng)

A滿足條件；選項(xiàng)B,所有正方形既是矩形也是菱形，原命題是真命題，原命題的否定為假命題，所以選

項(xiàng)B不滿足條件；選項(xiàng)C,當(dāng)。〉0時(shí)，x2+2x+2+a=（x+iy+l+a〉0,所以原命題為假命題，原

命題的否定為真命題，所以選項(xiàng)C滿足條件：選項(xiàng)D,所有三角形都有外接圓，原命題是真命題，原命題

的否定為假命題，所以選項(xiàng)D不滿足條件.

7.（多選）下列選項(xiàng)中p是g的充分不必要條件的是（）

A.p:l<x<2,q:1<x<2B.p:xy>19q\x>\,y>1

C.q-.x<\D.P-.兩直線平行，q：內(nèi)錯(cuò)角相等

X

【答案】AC

【解析】A:集合（1,2）是集合［1,2］的真子集，所以p是q的充分不必要條件；8:；'4>1,故。不能推出以

由x>l/>1=>孫>1,4=P，所以P是夕的必要不充分條件.C:夕：；>1可得0<x<l,集合（0,1）

是集合的真子集，所以p是q的充分不必要條件；D:根據(jù)平面幾何中平行直線的判定定理和性質(zhì)

定理可知，是充要條件.故選：AC,

8.已知命題p：A2—3x+2W0,命題（7：4x+4一是g的充分不必要條件，則卬的取值范圍是（）

A.(—8,0]B.[1,+°0)

C.{0}D.(一8,-1]u[1,4-oo)

【答案】D

【解析】由￥—3x+2W0,得1WXW2,由x?—4x+4—/W0,得2—I加WxW2+|w|,

R-I勿IW1,,

若P是q的充分不必要條件，貝小或，解得|勿|所以—1或021.

2+1/心212+|/?|22,

9.己知p:a20；qVxeR,f—av+a>0，則?是夕的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件1）.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】qZxsR,x2-ax+a>0>即△=（一4）?一4。<0,解得：0<a<4,設(shè)

Z=［0,+oo）,8=（0,4）,?.■8=/,故P是夕的必要不充分條件.

2

10.（多選）已知命題a-5a+3<m+2,若。是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范

圍是（）

A.a<0B.a>5C.a>0D.a<5

【答案】AB

【解析】因?yàn)槊}“0勺加€｛嗣一14加<1｝,M_5a+3〈加+2"且命題〃是假命題，可得命題

-^p:Vme{ml-l<m<l},a2-5a+3>m+2r，為真命題，即Vme{嗣-1WmW1},小一5°+32〃?+2

恒成立，可得a2_5a+3N3,即/_5a20,解得“40或即實(shí)數(shù)a的取值范圍是｛a|a<0或

a>5）.

11.（多選）下列命題正確的是（）

A.“a>l”是“乂1”的充分不必要條件

a

B.命題'勺*6(0,+8),gx=x-1"的否定是"Vxe(0,+°°),In1”

C.設(shè)x,yGR,貝(!“x22且y22”是“夕+/24”的必要不充分條件

D.設(shè)a,6CR,則“aWO”是“a后0”的必要不充分條件

【答案】ABD

【解析】若11,則a>l或a<0,則“a>l”是“41”的充分不必要條件，故A正確；根據(jù)存在量詞命題的

aa

否定為全稱量詞命題，得“mxG(O,+8),InX=X-1”的否定是“Vxe(o,+8),In掙X—1”，故

B正確；當(dāng)x22且y》2時(shí)，x+y>4,當(dāng)x2+/>4時(shí)去|J不一定有xN2且y22,如x=5,y=0,因此"x》2

且y》2”是“/+/24”的充分不必要條件，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椤癮b=O”是“a=0”的必要不充分條件，

所以“aWO”是“ab手0”的必要不充分條件，故D正確.故選A、B、D.

12.命題“Vx〉O，4+221"的否定是.

X

【答案】"mc〉o,V^+-<iM

X

【詳解】命題“Wx>0,五+121”的否定為“mx>0,?

XX

13.若F(x)=f—2x,g(x)=ax+2(a>0),—1,2],[—1,2],使/為)=”氏)，則實(shí)數(shù)a的

取值范圍是.

[o,-

【答案】I2」

【解析】設(shè)f(x)=*—2x,g(x)=ax+2(a>0)在[―1,2]上的值域分別為4,B,則4=[-1,3],B=1-a

—a+22—1,11

+2,2a+2],由題意可知，???@4-，又??,&>0,：.0<a^-

[2d+2W3,22

14.已知p：—2WxW10,q-A-m<x<l+m(m>0),且g是p的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)〃的取值范

圍是.

【答案】[9,48)

【詳解】?；“0是P的必要不充分條件”的等價(jià)命題是：P是夕的充分不必要條件.設(shè)

/="|一24》410},3=*|1-機(jī)4工41+〃7,〃7〉0}.；夕是夕的充分不必要條件，所以/UB.

m>0,

二<1一%-2,(兩個(gè)等號(hào)不能同時(shí)取到)，29.

1+加…10.

15.命題“*eR,犬+x+i40”的否定是.

【答案】VxeR,x2+x+1>0

【詳解】?.?命題"小reR,x2+x+l?0”的否定是：VxeR,x2+x+l>0.

16.已知命題“VxeR,ax2—ox+l>0”為真命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

【答案】[0,4）

【詳解】由題意得不等式o？-ax+i〉。對(duì)xeR恒成立.①當(dāng)。=0時(shí)，不等式1〉0在R上恒成立，

,a>0

符合題意.②當(dāng)時(shí)，若不等式"2一公+1>。對(duì)xeR恒成立，則〈，2,八，解得

△=礦一4。<0

0<a<4.綜上可得：0?。<4,所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是[0,4）.

17.設(shè)a:m-lWxW2m,/?：2<x<4,mwR,a是"的必要條件，但a不是月的充分條件，則實(shí)

數(shù)加的取值范圍為.