全國初中數(shù)學競賽試題

第頁2006年全國初中數(shù)學競賽試題選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分.

以下每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的，請將正確選項的代號填入題后的括號.不填,多填或錯填得零分）。在高速馬路上，從3千米處開始，每隔4千米經(jīng)過一個限速標記牌；并且從10千米處開始，每隔9千米經(jīng)過一個速度監(jiān)控儀．剛好在19千米處第一次同時經(jīng)過這兩種設施，那么第二次同時經(jīng)過這兩種設施的千米數(shù)是（）。（A）36（B）37（C）55（D）90答：C．

解：因為4和9的最小公倍數(shù)為36，19＋36＝55，所以第二次同時經(jīng)過這兩種設施是在55千米處。故選C．已知，，且，則的值等于（）。（A）－5（B）5（C）－9（D）9答：C．解：由已知可得

，。又，所以解得，故選C．Rt△ABC的三個頂點A，B，C均在拋物線上，并且斜邊AB平行于x軸．若斜邊上的高為，則（）。（A）（B）（C）（D）答：B．一個正方形紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；拿出其中一部分，再沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；又從得到的三部分中拿出其中之一，還是沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分……如此下去，最終得到了34個六十二邊形和一些多邊形紙片，則至少要剪的刀數(shù)是（）。（A）2004（B）2005（C）2006（D）2007答：B．解：依據(jù)題意，用剪刀沿不過頂點的直線剪成兩部分時，每剪開一次，使得各部分的內(nèi)角和增加360°．于是，剪過次后，可得（＋1）個多邊形，這些多邊形的內(nèi)角和為（＋1）×360°，因為這（＋1）個多邊形中有34個六十二邊形，它們的內(nèi)角和為34×（62－2）×180°=34×60×180°，其余多邊形有（＋1）－34＝－33（個），而這些多邊形的內(nèi)角和不少于（－33）×180°．所以（＋1）×360°≥34×60×180°＋（－33）×180°，解得≥2005．當我們按如下的方式剪2005刀時，可以得到符合條件的結論．先從正方形上剪下1個三角形，得到1個三角形和1個五邊形；再在五邊形上剪下1個三角形，得到2個三角形和1個六邊形……如此下去，剪了58刀后，得到58個三角形和1個六十二邊形．再取出33個三角形，在每個三角形上剪一刀，又可得到33個三角形和33個四邊形，對這33個四邊形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到33個六十二邊形和33×58個三角形．于是共剪了58＋33＋33×58＝2005（刀）．故選B．如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，點P在劣弧AB上，連結DP，DP交AC于點Q．若QP=QO，則的值為（）。（A）（B）2（C）（D）填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）已知為整數(shù)，且＝2006，＝2005．若，則的最大值為_____________。答：5013．解：由＝2006，＝2005，得＝＋4011．因為＝2006，＜，為整數(shù)，所以，的最大值為1002．于是，的最大值為5013。如圖，面積為的正方形DEFG內(nèi)接于面積為1的正三角形ABC，其中a，b，c是整數(shù)，且b不能被任何質(zhì)數(shù)的平方整除，則的值等于_____________。答：-解：設正方形DEFG的邊長為x，正三角形ABC的邊長為m，則，由△ADG∽△ABC，可得，于是由題意，a＝28，b＝3,c＝48，所以=-。正五邊形廣場ABCDE的周長為2000米．甲,乙兩人分別從A，C兩點同時動身，沿A→B→C→D→E→A→…方向繞廣場行走，甲的速度為50米∕分，乙的速度為46米∕分.那么，動身后經(jīng)過_____________分鐘，甲,乙兩人第一次開始行走在同一條邊上．答：104．已知，且滿意，則的值等于______________。小明家號碼原為六位數(shù)，第一次升位是在首位號碼和第二位號碼之間加上數(shù)字8，成為一個七位數(shù)的號碼；第二次升位是在首位號碼前加上數(shù)字2，成為一個八位數(shù)的號碼．小明發(fā)覺，他家兩次升位后的號碼的八位數(shù)，恰是原來號碼的六位數(shù)的81倍，則小明家原來的號碼是___________。答：282500．解答題（共4題，每小題15分，滿分60分）已知,是銳角。從頂點A向BC邊或其延長線作垂線，垂足為D；從頂點C向AB邊或其延長線作垂線，垂足為E。當和均為正整數(shù)時，是什么三角形？并證明你的結論。證明：存在無窮多對正整數(shù)，滿意方程。如圖，點P為⊙O外一點，過點P作⊙O的兩條切線，切點分別為A，B．過點A作PB的平行線，交⊙O于點C．連結PC，交⊙O于點E；連結AE，并延長AE交PB于點K．求證：

。10個學生參與n個課外小組，每一個小組至多5個人，每兩個學生至少參與某一個小組，隨意兩個課外小組，至少可以找到兩個學生，他們都不在這兩個課外小組中．證明：n的最小值為6。證明：設10個學生為

，n個課外小組為，首先，每個學生至少參與兩個課外小組．否則，若有一個學生只參與一個課外小組，設這個學生為

，由于每兩個學生都至少在某一小組內(nèi)出現(xiàn)過，所以其它9個學生都及他在同一組出現(xiàn)，于是這一組就有10個人了，沖突．…5分若有一學生恰好參與兩個課外小組，不妨設恰好參與EMBEDEquation.3，由題設，對于這兩組，至少有兩個學生，他們沒有參與這兩組，于是他們及沒有同過組，沖突．所以，每一個學生至少參與三個課外小組．于是n個課外小組EMBEDEquation.3的人數(shù)之和不小于3＝30．另一方面，每一課外小組的人數(shù)不超過5，所以n個課外小組EMBEDEquation.3的人數(shù)不超過5n，故，所以。……10分下面構造一個例子說明是可以的．簡單驗證，這樣的6個課外小組滿意題設條件．所以，n的最小值為6．…………15分中國教化學會中學數(shù)學教學專業(yè)委員會“《數(shù)學周報》杯”2007年全國初中數(shù)學競賽試題參考答案一,選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分.以下每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的.請將正確選項的代號填入題后的括號里.不填,多填或錯填得零分）1．方程組的解的個數(shù)為（）．（A）1（B）2（C）3（D）4答：（A）．解：若≥0，則于是，明顯不可能．若，則于是，解得，進而求得．所以，原方程組的解為只有1個解．故選（A）．2．口袋中有20個球，其中白球9個，紅球5個，黑球6個．現(xiàn)從中任取10個球，使得白球不少于2個但不多于8個，紅球不少于2個，黑球不多于3個，那么上述取法的種數(shù)是（）．（A）14（B）16（C）18（D）20答：（B）．解：用枚舉法：紅球個數(shù)白球個數(shù)黑球個數(shù)種數(shù)52，3，4，53，2，1，0443，4，5，63，2，1，0434，5，6，73，2，1，0425，6，7，83，2，1，04所以，共16種．（第3題答案圖）故選（B）．（第3題答案圖）3．已知△為銳角三角形，⊙經(jīng)過點B，C，且及邊AB，AC分別相交于點D，E．若⊙的半徑及△的外接圓的半徑相等，則⊙確定經(jīng)過△的（）．（A）內(nèi)心（B）外心（C）重心（D）垂心答：（B）．解：如圖，連接BE，因為△為銳角三角形，所以，均為銳角．又因為⊙的半徑及△的外接圓的半徑相等，且為兩圓的公共弦，所以．于是，．若△的外心為，則，所以，⊙確定過△的外心．故選（B）．4．已知三個關于x的一元二次方程恰有一個公共實數(shù)根，則的值為（）．（A）0（B）1（C）2（D）3答：（D）．解：設是它們的一個公共實數(shù)根，則把上面三個式子相加，并整理得因為，所以．于是故選（D）．5．方程的整數(shù)解（x，y）的個數(shù)是（）．（A）0（B）1（C）3（D）無窮多答：（A）．解：原方程可化為，因為三個連續(xù)整數(shù)的乘積是3的倍數(shù)，所以上式左邊是3的倍數(shù)，而右邊除以3余2，這是不可能的．所以，原方程無整數(shù)解．故選(A).二,填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）（第7題答案圖）6．如圖,點A，C都在函數(shù)的圖象上，點B，D都在軸上，且使得△OAB，△BCD都是等邊三角形，則點D的坐標為．（第7題答案圖）答：（，0）．解：如圖，分別過點A，C作x軸的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)．設OE＝a，BF＝b，則AE＝，CF＝，所以，點A，C的坐標為（，），（2＋b，），所以解得因此，點D的坐標為（，0）．7．如圖，在直角三角形ABC中，，CA＝4．點P是半圓弧AC的中點，連接BP，線段BP把圖形APCB分成兩部分，則這兩部分面積之差的確定值是．答：4．解：如圖，設AC及BP相交于點D，點D關于圓心O的對稱點記為點E，線段BP把圖形APCB分成兩部分，這兩部分面積之差的確定值是△BEP的面積，即△BOP面積的兩倍．而（第6題答案圖）．（第6題答案圖）因此，這兩部分面積之差的確定值是4．8．如圖，，則n＝．答：6．解：如圖，設AF及BG相交于點Q，則于是（第8題答案圖）．（第8題答案圖）所以，n＝6．9．已知點A，B的坐標分別為（1，0），（2，0）．若二次函數(shù)的圖象及線段AB恰有一個交點，則的取值范圍是．答：≤，或者．解：分兩種狀況：（Ⅰ）因為二次函數(shù)的圖象及線段AB只有一個交點，且點A，B的坐標分別為（1，0），（2，0），所以得．由，得，此時，，符合題意；由，得，此時，，不符合題意．（Ⅱ）令，由判別式，得．當時，，不合題意；當時，，符合題意．綜上所述，的取值范圍是≤，或者．10．已知對于隨意正整數(shù)n，都有，則．答：．解：當≥2時，有兩式相減，得，所以因此三,解答題（共4題，每小題15分，滿分60分）11（A）．已知點M，N的坐標分別為（0，1），（0，－1），點P是拋物線上的一個動點．（1）推斷以點P為圓心，PM為半徑的圓及直線的位置關系；（2）設直線PM及拋物線的另一個交點為點Q，連接NP，NQ，求證：．解：（1）設點P的坐標為，則PM＝;又因為點P到直線的距離為，所以，以點P為圓心，PM為半徑的圓及直線相切．…………5分（第11A題答案圖）（2）如圖，分別過點P，Q作直線的垂線，垂足分別為H，R．由（1）知，PH＝PM，同理可得，QM＝QR．（第11A題答案圖）因為PH，MN，QR都垂直于直線，所以，PH∥MN∥QR，于是所以，因此，Rt△∽Rt△．于是，從而．…………15分12（A）．已知a，b都是正整數(shù)，試問關于x的方程是否有兩個整數(shù)解？假如有，請把它們求出來；假如沒有，請給出證明.（兩種方法）。解：不妨設≤b，且方程的兩個整數(shù)根為(≤)，則有所以，…………5分因為,b都是正整數(shù)，所以x1，x2均是正整數(shù)，于是，≥0,≥0，≥1,≥1，所以或（1）當時，由于a,b都是正整數(shù)，且≤b，可得a＝1，b＝3，此時，一元二次方程為，它的兩個根為，．（2）當時，可得a＝1，b＝1，此時，一元二次方程為，它無整數(shù)解.綜上所述，當且僅當a＝1，b＝3時，題設方程有整數(shù)解，且它的兩個整數(shù)解為，．……………15分13（A）．已知AB為半圓O的直徑，點P為直徑AB上的隨意一點．以點A為圓心，AP為半徑作⊙A，⊙A及半圓O相交于點C；以點B為圓心，BP為半徑作⊙B，⊙B及半圓O相交于點D，且線段CD的中點為M．求證：MP分別及⊙A和⊙B相切．（第13A題答案圖）證明：如圖，連接AC，AD，BC，BD，并且分別過點C，D作AB的垂線，垂足分別為，則CE∥DF．（第13A題答案圖）因為AB是⊙O的直徑，所以在Rt△和Rt△中，由射影定理得……………5分兩式相減可得又，于是有，即，所以，也就是說，點P是線段EF的中點．因此，MP是直角梯形的中位線，于是有，從而可得MP分別及⊙A和⊙B相切．……………15分14（A）．（1）是否存在正整數(shù)m，n，使得？（2）設(≥3)是給定的正整數(shù)，是否存在正整數(shù)m，n，使得解：（1）答案是否定的．若存在正整數(shù)m，n，使得，則明顯，于是所以，不是平方數(shù)，沖突．……………5分（2）當時，若存在正整數(shù)m，n，滿意，則而，故上式不可能成立．………………10分當≥4時，若（t是不小于2的整數(shù)）為偶數(shù)，取則，因此這樣的（m，n）滿意條件．若＋1（t是不小于2的整數(shù)）為奇數(shù)，取則，因此這樣的（m，n）滿意條件．綜上所述，當時，答案是否定的；當≥4時，答案是確定的．……………15分注：當≥4時，構造的例子不是唯一的．11（B）．已知拋物線：和拋物線：相交于A，B兩點.點P在拋物線上，且位于點A和點B之間；點Q在拋物線上，也位于點A和點B之間.（1）求線段AB的長；（2）當PQ∥y軸時，求PQ長度的最大值．解：（1）解方程組得所以，點A，B的坐標分別是（-2，6），（2，-6）．于是…………5分（2）如圖，當PQ∥y軸時，設點P，Q的坐標分別為因此PQ≤8，當時等號成立，所以，PQ的長的最大值8．（第11B題答案圖）……………15分（第11B題答案圖）12（B）．實數(shù)a，b，c滿意a≤b≤c，且，abc＝1．求最大的實數(shù)k，使得不等式恒成立．解：當，時，實數(shù)a，b，c滿意題設條件，此時≤4．……………5分下面證明：不等式≥對滿意題設條件的實數(shù)a，b，c恒成立．由已知條件知，a，b，c都不等于0，且．因為所以≤．由一元二次方程根及系數(shù)的關系知，a，b是一元二次方程的兩個實數(shù)根，于是≥0，所以≤．……………10分因此……………15分13（B）．如圖，點E，F(xiàn)分別在四邊形ABCD的邊AD，BC的延長線上，且滿意．若，的延長線相交于點，△的外接圓及△的外接圓的另一個交點為點，連接PA，PB，PC，PD．求證：（1）；（2）△∽△．證明：（1）連接PE，PF，PG，因為，所以．又因為，所以于是有，從而△∽△，所以．（第13B題答案圖）又已知，所以，．（第13B題答案圖）………………10分（2）由于，結合（1）知，△∽△，從而有所以，因此△∽△．………………15分14（B）．證明：對隨意三角形，確定存在兩條邊，它們的長u，v滿意1≤．證明：設隨意△ABC的三邊長為a，b，c，不妨設．若結論不成立，則必有≥，eq\o\ac(○,1)≥．eq\o\ac(○,2)………………5分記，明顯，代入eq\o\ac(○,1)得令，則≥．eq\o\ac(○,3)由，得，即，于是．由eq\o\ac(○,2)得≥，eq\o\ac(○,4)由eq\o\ac(○,3)，eq\o\ac(○,4)得此式及沖突．從而命題得證．………………15分2009年全國初中數(shù)學競賽試題參考答案一,選擇題（共5小題，每小題7分，共35分。以下每道小題均給出了代號為A,B,C,D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的，請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填,多填或錯填都得0分）1,已知非零實數(shù)，滿意，則等于（）。（A）－1（B）0（C）1（D）2［答］解：由題設知≥3，所以，題設的等式為，于是，，從而2,如圖，菱形ABCD的邊長為，點O是對角線AC上的一點，且OA＝，OB＝OC＝OD＝1，則等于（）。（A）（B）（C）1（D）2ACACOBD（第2題）解：因為△BOC∽△ABC，所以，即所以，由＞0，解得3,將一枚六個面編號分別為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地勻稱的正方體骰子先后投擲兩次，記第一次擲出的點數(shù)為，第二次擲出的點數(shù)為，則使關于的方程組只有正數(shù)解的概率為（）。（A）（B）（C）（D）［答］解：當時，方程組無解。當時，方程組的解為由已知，得即或由的實際意義為1，2，3，4，5，6，可得共有5×2＝10種狀況；或共3種狀況。又擲兩次骰子出現(xiàn)的基本領件共6×6＝36種狀況，故所求的概率為4,如圖1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，動點P從點B動身，沿梯形的邊由B→C→D→A運動。設點P運動的路程為，△ABP的面積為，把看作的函數(shù)，函數(shù)的圖像如圖2所示，則△ABC的面積為（）。（A）10（B）16（C）18（D）32OO9x414y圖2（第4題）AACPBD圖1［答］解：依據(jù)圖像可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，進而求得AB＝8，故S△ABC＝×8×4＝165,關于的方程的整數(shù)解（，）的組數(shù)為（）。（A）2組（B）3組（C）4組（D）無窮多組［答］解：可將原方程視為關于的二次方程，將其變形為由于該方程有整數(shù)根，則判別式△≥0，且是完全平方數(shù)。由△＝≥0，解得≤，于是014916△11610988534明顯，只有時，△＝4是完全平方數(shù)，符合要求。當時，原方程為，此時，；當時，原方程為＝0，此時所以，原方程的整數(shù)解為二,填空題（共5小題，每小題7分，共35分）6,一個自行車輪胎，若把它安裝在前輪，則自行車行駛5000km后報廢；若把它安裝在后輪，則自行車行駛3000km后報廢，行駛確定路程后可以交換前,后輪胎，假如交換前,后輪胎，要使一輛自行車的一對新輪胎同時報廢，那么這輛車將能行駛km。［答］解：設每個新輪胎報廢時的總磨損量為k，則安裝在前輪的輪胎每行駛1km磨損量為，安裝在后輪的輪胎每行駛1km的磨損量為，又設一對新輪胎交換位置前走了xkm，交換位置后走了ykm，分別以一個輪胎的總磨損量為等量關系列方程，有兩式相加，得則7,已知線段AB的中點為C，以點A為圓心，AB的長為半徑作圓，在線段AB的延長線上取點D，使得BD＝AC；再以點D為圓心，DA的長為半徑作圓，及⊙A分別相交于F,G兩點，連接FG交AB于點H，則的值為。解：如圖，延長AD及⊙D交于點E，連接AF,EF。HACEBDHACEBDFG（第7題）∠EFA＝∠FHA＝90°，∠FAH＝∠EAF所以Rt△FHA∽Rt△EFA而AF＝AB，所以8,已知是滿意條件的五個不同的整數(shù)，若是關于的方程的整數(shù)根，則的值為。［答］解：因為，且是五個不同的整數(shù)，全部也是五個不同的整數(shù)。又因為2009＝1×（－1）×7×（－7）×41，所以由，可得。9,如圖，在△ABC中，CD是高，CE為∠ACB的平分線，若AC＝15，BC＝20，CD＝12，則CE的長等于。［答］解：如圖，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以AB＝AD＋BD＝25。故由勾股定理逆定理知△ACB為直角三角形，且∠ACB＝90°。CEDAFB（第9題）作EF⊥BC，垂足為F。設EF＝，由∠ECF＝∠ACB＝45°，得CF＝CEDAFB（第9題）即1234512345678910第10題題）10,10個人圍成一個圓圈做嬉戲，嬉