函數(shù)與極限練習(xí)題

函數(shù)與極限練習(xí)題（總17頁(yè)）-本頁(yè)僅作為文檔封面，使用時(shí)請(qǐng)直接刪除即可--內(nèi)頁(yè)可以根據(jù)需求調(diào)整合適字體及大小-第一章函數(shù)與極限§1函數(shù)一、是非判斷題1、f(x)在X上有界，g(x)在X上無(wú)界，則f(x)+g(x)在X上無(wú)界。TOC\o"1-5"\h\z[ ]2、f(x)在X上有界的充分必要條件是存在數(shù)A與B,使得對(duì)任一xeX都有A<f(x)<B[ ]3、f(x),g(x)都在區(qū)間I上單調(diào)增加，則f(x)?g(x)也在I上單調(diào)增加。[ ]4、定義在(H)上的常函數(shù)是周期函數(shù)。[ ]5、任一周期函數(shù)必有最小正周期。[ ]6、f(x)為(H)上的任意函數(shù)，則f(x3)必是奇函數(shù)。[ ]7、設(shè)f(x)是定義在La,a]上的函數(shù)，則f(x)+f(-x)必是偶函數(shù)。[ ]8、f(x)=1+x+x2…是初等函數(shù)。[ ]二．單項(xiàng)選擇題1、下面四個(gè)函數(shù)中，與y=|x|不同的是?!(A)j=1einx| (B)y=工x2 (C)y=4x4 (D)y=xsgnx2、下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是單調(diào)增加的。(A)sin3x (B)x3+1 (C)x3+x (D)x3-x3、設(shè)f(x)=x2,f[p(x)]=22x,則函數(shù)叭%)是(A)log2x(B)2x (C)logx2 (D)x224、若f(x)為奇函數(shù)，則也為奇函數(shù)。(A)f(x)+c,(c豐0); (B)f(-x)+c,(c中0) (C)f(x)+f(|x|);(D)f[f(-x)].三．下列函數(shù)是由那些簡(jiǎn)單初等函數(shù)復(fù)合而成。y=earctan(x+1)2、y=xx+xx+xx3、y=lnlnlnx四.設(shè)f(x)的定義域D=[0,1],求下列函數(shù)的定義域。f(x2)f(sinx)f(x+a)(a>0)f(x+a)+f(x-a)(a>0)五.設(shè)f(xxfx， x<0,g(x)=[5x, x<0，求f[g(x)]及g[f(x)]。[x, x>0 〔-3x, x>0六.利用f(x)=sinx的圖形作出下列函數(shù)的圖形:1.y=lf(x)1。4y=f(x+2)3.。4y=f(x+2)。6y=f(2x)§2數(shù)列的極限一是非判斷題1、當(dāng)n充分大后，數(shù)列x與常數(shù)A越來(lái)接近，則limx二Annx-8[ ]2、如果數(shù)列x發(fā)散，則x必是無(wú)界數(shù)列。nn[ ]3。如果對(duì)任意￡>0,存在正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時(shí)總有無(wú)窮多個(gè)x滿(mǎn)足n|x-aI<8,n

貝ljlim%=a.nnfsTOC\o"1-5"\h\z[ ]4、如果對(duì)任意8>0,數(shù)列％中只有有限項(xiàng)不滿(mǎn)足|%-aKe,則lim%=a.n nnnfs[ ]5、若數(shù)列%收斂，列j發(fā)散，則數(shù)列％+j發(fā)散。n n nn[ ]二．單項(xiàng)選擇題1、根據(jù)lim%=a的定義，對(duì)任給e>0,存在正整數(shù)N，使得對(duì)n>N的一切nnfsxn，不等式|%n—a|<e都成立這里的N。（A）是e的函數(shù)N（e），且當(dāng)e減少時(shí)N（e）增大；（B）是由e所唯一確定的（C）與（C）與e有關(guān)，但e給定時(shí)N并不唯一確定（D）是一個(gè)很大的常數(shù)，與e無(wú)關(guān)。12、1,當(dāng)n為奇數(shù)=<n2、[10-7,當(dāng)n為偶數(shù)（A）（C）lim%=0;n

n（A）（C）lim%=0;n

nfs⑻lim%=10-7;nnfslim%nnfs0,n為奇數(shù)，.

10-7,n為偶數(shù);（D）lim%不存在nnfs3、數(shù)列有界是數(shù)列收斂的（A）充分條件;（A）充分條件;（B）必要條件;（C）充分必要條件；（D）既非充分又非必要條件。4、下列數(shù)列%中，收斂的是 。n（A）%=（-1）nn~-（B）%=n（C）%=sinn^-（D）%=n-（-1）nn n nn+1n2n三．根據(jù)數(shù)列極限的定義證明。

… 1(1)lim=0nfgn2(3)limsnn=0n… 1(1)lim=0nfgn2(3)limsnn=0nnfg四、若lim%=0,nnfgnfgn2n2又?jǐn)?shù)列J有界，則lim%yn nnnfg五、若lim%=a,證明limI%1=1aI。反過(guò)來(lái)成立嗎成立給出證明，不成立舉nnnfg nfg出反例。

§3函數(shù)的極限一是非判斷題1、如果f(x)=5,但f(x—0)=f(x+0)=4,則limf(x)不存在。0 0 0 a%[ ]2、limf(x)存在的充分必要條件是limf(x)和limf(x)都存在。xTB xf笆 xfT?[ ]3、如果對(duì)某個(gè)e>0,存在5>0,使得當(dāng)0<|x—x|<B時(shí)，有f(x)-A|<s，那末0limf(x)=A.xTx0TOC\o"1-5"\h\z[ ]4、如果在x的某一去心鄰域內(nèi)，f(x)>0,且limf(x)=A,那末A>0.0 xTx0[ ]5、如果limf(x)=A且A>0,那么必有X>0,使x在LX,X]以外時(shí)f(x)>0.xTB[ ]二．單項(xiàng)選擇題1、從limf(x)=1不能推出。xTx0(A)limf(x)=1 ⑻f(x-0)=1(C)f(x)=1(D)lim[f(x)-1]=000xTx0+0 xTx02、f(x)在x=x處有定義是limf(x)存在的 。0 xTx0（A）充分條件但非必要條件；（B）（A）充分條件但非必要條件；（B）必要條件但非充分條件(C)充分必要條件；(C)充分必要條件；(D)既不是充分條件也不是必要條件3、若fx)=*，且(x)=A，則(A)f(x)=g(x) (B)limf(x)=g(x)x-^1(C)limf(x)=limg(x) (D)以上等式都不成立TOC\o"1-5"\h\zx-1 x-14、limf(x)=limf(x)是limf(x)存在的。x-x-0 x-x+0 xfx00 0(A)充分條件但非必要條件；(B)必要條件但非充分條件(C)充分必要條件； (D)既不是充分條件也不是必要條件x2-x2-4(2)lim =-4x--2x+4(4)(1)lim(3x-1)=8n-3(3)lim1+x3=1x-2x3 2limx(yx2-4-x)=-2x-+^五.求lim—x-0x

13x—1;x>1六.設(shè)f(x)二，12x;x<1求(1)lim求(1)limf(x)x-^1(2)limf(x)x-2(3)limf(x)x-0七.設(shè)函數(shù)f(x)=,求5x—3|x|(1)limf(x) (2)limf(x)(3)limf(x)(4)limf(x)(5)x-笆 x—―? x-+0 x——0limf(x)x-0§4無(wú)窮小與無(wú)窮大一、是非題1、零是無(wú)窮小。[ ]2、1是無(wú)窮小。x[ ]3、兩個(gè)無(wú)窮小之和仍是無(wú)窮小。TOC\o"1-5"\h\z[ ]4、兩個(gè)無(wú)窮小之積仍是無(wú)窮小。[ ]5、兩個(gè)無(wú)窮大之和仍是無(wú)窮大。[ ]6、無(wú)界變量必是無(wú)窮大量。[ ]7、無(wú)窮大量必是無(wú)界變量。[ ]8、a,0是xfx時(shí)的無(wú)窮小，則對(duì)任意常數(shù)A、B、C、D、E,0\o"CurrentDocument"Aa2+Bap+C02+Da+E0也是xfx時(shí)的無(wú)窮小。 [ ]0二．單項(xiàng)選擇題1、若x是無(wú)窮小，下面說(shuō)法錯(cuò)誤的是。（A）X2是無(wú)窮??；（B）2x是無(wú)窮?。唬–）x-0.0001是無(wú)窮小；（D）-x是無(wú)窮小。2、在XT0時(shí)，下面說(shuō)法中錯(cuò)誤的是。11 1（A）xsinx是無(wú)窮?。˙）%sin1是無(wú)窮?。–）—sin—是無(wú)窮大；（D）—是x xx x無(wú)窮大。3、下面命題中正確的是。（A）無(wú)窮大是一個(gè)非常大的數(shù)； （B）有限個(gè)無(wú)窮大的和仍為無(wú)窮大；（C）無(wú)界變量必為無(wú)窮大； （D）無(wú)窮大必是無(wú)界變量。三．下列函數(shù)在指定的變化趨勢(shì)下是無(wú)窮小量還是無(wú)窮大量(1)lnx(xf1)及(xf0+)(2)(3)ex(xf+s)及(xf—s)(4)iex(x(1)lnx(xf1)及(xf0+)(2)(3)ex(xf+s)及(xf—s)(4)iex(x—++0)、(x—f—0)及(xf0)四．證明函數(shù)y=xcosx在(0,+s)內(nèi)無(wú)界，但當(dāng)xfW時(shí)，這函數(shù)不是無(wú)窮大。§5極限的運(yùn)算法則一．是非題1、R(x)=p且是有理分式，且Q(x)豐0,T(x)是多項(xiàng)式，Q(x)那末2、limR(x)+T(x)]xfx0=R(x)+T(x).limnfs1+2+3+…+n 12 n 二lim——+lim——+...+lim——二0.n2nfsn2nfsn2nfsn23、11limxsin—=limx.limsin—=0xf0 x xf0xf0 x4、若lim犯xfx0g(x)存在，且limg(x)=0,則可斷言limf(x)=0xfx0xfx0二．計(jì)算下列極限⑴lim上±5xf2x—3x2—2x+1(2)lim 1x(sin +2) (xf0)x（3）(x+h)2—x2lim h-0 h（4）limx-85）（3）(x+h)2—x2lim h-0 h（4）limx-85）x2+x

lim x-0x4-3x2+1(6)limx-4⑺lim(1+-+-+…+—)n-8 24 2n（8）limn-81+2+3+—\-(n—1)n213(9) lim(——— )x-11—x1一x3(n-1)(n-2)(n-3)lim n-8 5n3(10)limexarctanxx--8(13)lim(xx2+1-yx2-1)x-8四.已知limx2+a+b=2,求常數(shù)a,和b。x-2x2-x-2limsinx?.1+sinx-0 xx+vx+-、；x(14)lim3——. ——x-+8 v'2x+1五．已知lim(x-8x3-1x2+1—ax—b)=1,§6極限存在準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限一．是非題TOC\o"1-5"\h\z1、limy=limz—a,且當(dāng)n>N時(shí)有y<x<z,那么limx=a. [ ]n n nnn nn-8 n-8 x-82、如果數(shù)列x滿(mǎn)足：(1)x<a(n—1,2...,a為常數(shù)；(2)x>x(n=1,2…).n n nn+1則xn必有

極限sinx3、lim =13、x—8x4、lim(1+1)n=1n—8 n5．1lim(1+x)x=85．x-0二．單項(xiàng)選擇題1、列極限中，極限值不為0的是(A)lim1、列極限中，極限值不為0的是(A)lim史暨x—8x;(B)lim2sinx+3cosx (C)limx2sin1x—0 x(D)limx—-ox22、(A)A>B(B)AeB(C)|A|>B2、(A)A>B(B)AeB(C)|A|>B(D)|A|2|B|若f(x)>p(x),且limf(x)=A,lim①(x)=B,則必有x-axx-a3、4、(A)e(B)e1000(C)e?ei000(D)3、4、(A)e(B)e1000(C)e?ei000(D)其它值lim與

x母sinx(A)1(B)-1(C)0(D)8lim(1+—)n+1000的值是nx—85、(A)-1(B)1(C)05、(A)-1(B)1(C)0(D)不存在11lim(xsin———sinx)=x-0xxx-0三．計(jì)算下列極限（1）lim兀f0sin2x(2)limtg3x-xf0x（3）limhhf+o<1-cosax1-cos2x(4)lim xf0xsinx（5）1lim(1-x)xxf0(6)limx/1+2xxf0（7）1（7）1+Xx

lim( )2xX—8X1(8)lim(1—(k為正整xf8 x數(shù)）（9）(10) （9）(10) lim(1-3sinx)2cosxxf01lim(1———)3xxf8 x2lim"+xfjxf0 sin3x1sin3x+x2sin—lim xxf0 (1+cosx)xTOC\o"1-5"\h\z11 1.利用夾逼準(zhǔn)則證明：limn( + +—F )=1n4gn2+1n2+2n2+n12.設(shè)x=a>0,x=-(x+—)n=1,2,3,—,利用單調(diào)有界準(zhǔn)則證明：數(shù)1 n+1 2nxn列｛x｝收斂，并求其極限。n§7無(wú)窮小的比較一，．是非題1、a,仇丫是同一極限過(guò)程中的無(wú)窮小，且a~P,P?0則必有a7。TOC\o"1-5"\h\z[ ]tgx-sinxx-x、?「xT0時(shí)可sinx~x,「.lim =lim =0xTsin3x xT0x3[ ]3、已知limHsA=1，由此可斷言，當(dāng)xT0時(shí),cosx與(1-x)為等價(jià)無(wú)窮小。xT01-x[ ].當(dāng)xT0時(shí)，sin3x與ex-1是同階無(wú)窮小。[ ].當(dāng)xT1時(shí)，1-3，x是x-1的高階無(wú)窮小。[ ]二.單項(xiàng)選擇題1、x-0時(shí)，1—cosx是*2的。

（A）高階無(wú)窮?。˙）同階無(wú)窮小，但不等價(jià) （C）等價(jià)無(wú)窮小 （D）低階無(wú)窮小2、當(dāng)x-0時(shí)，（1—cosx）2是sin2x的。（A）高階無(wú)窮小（B）同階無(wú)窮小，但不等價(jià)（C）等價(jià)無(wú)窮?。―）低階無(wú)窮小3、如果％38時(shí), 1 是比高階的無(wú)窮小，則a,b,c應(yīng)滿(mǎn)足 。ax2+bx+cx+1（A）a=0,b=1,c=1 （B） a中0,b=1,c為任意常數(shù)（C）a。0,b,c為任意常數(shù) （D）a,b,c都可以是任意常數(shù)4、x31時(shí)與無(wú)窮小1—x等價(jià)的是。(A)M-x3) (B)-1-4x) (C)M-x2) (D)2 2 25.下列極限中，值為1的是兀smxlim 兀smxlim 2xx38兀sinxlim x302x(C)「兀sinx

lim 國(guó)2xx32(D)「兀sinxlim x3兀2x2三.證明：當(dāng)x30時(shí)，3(cosx-cos2x)~x2?！ぁ?，」.二 -二__:— 1 , …四.確定a的值，使,1+tanx-、口+sinx~ x小(x30)4§8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)

是非題1、f(x)在其定義域(a,b)內(nèi)一點(diǎn)x0處連續(xù)的充分必要條件是f(x)在乂0既左連續(xù)又右連續(xù)。TOC\o"1-5"\h\z[ ]2、f(x)在x0有定義，且limf(x)存在，則f(x)在x0連續(xù)。xfx0[ ]3、f(x)在其定義域(a,b)內(nèi)一點(diǎn)x0連續(xù)，則limf(x)=f(limx)x-x0 x.x0[ ]4、f(x)在(a,b)內(nèi)除x0外處處連續(xù)，點(diǎn)乂0是f(x)的可去間斷點(diǎn)，貝IJf(x)xe(a,x)或(％,b)F(x)=(?門(mén)、0 0在(a,b)內(nèi)連續(xù)11mf(x),x=x0x-x0TOC\o"1-5"\h\z[ ]5、f(x)在x=x0無(wú)定義，則f(x)在*0處不連續(xù)。[ ]二．單項(xiàng)選擇題1、f(x)在點(diǎn)x處有定義是f(x)在點(diǎn)x=x連續(xù)的 。0 0(A)必要條件而非充分條件 (B)充分條件而非必要條件(C)充分必要條件 (D)無(wú)關(guān)條件2、limf(x)=f(x)是f(x)在x=x連續(xù)的。0 0lx0(A)必要條件而非充分條件 (B)充分條件而非必要條件(D)無(wú)關(guān)條件(C)(D)無(wú)關(guān)條件1x=0是f(x)=sinx-sin—的x(A)可去間斷點(diǎn)(B)跳躍間斷點(diǎn)(A)可去間斷點(diǎn)(B)跳躍間斷點(diǎn)(C)振蕩間斷點(diǎn)(D)無(wú)窮間斷點(diǎn)x2—1 14、x2—1 14、f(x)=｛』'x<1,則x二1是f(x)的。2x,x>1,(A)連續(xù)點(diǎn)(B)可去間斷點(diǎn)(C)跳躍間斷點(diǎn)(D)無(wú)窮間斷點(diǎn)5、f(x)二sinxxH ,x<0,x0,x=0,xcos—,x>0,

x則x=0是f(x)的(A)連續(xù)點(diǎn)(B)可去間斷點(diǎn)(C)跳躍間斷點(diǎn)(D)振蕩間斷點(diǎn)6、設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x)cotx,則定義f(0)為時(shí)f(x)在x=0處連續(xù)1(A)- (B)e(C)-e(D)無(wú)論怎樣定義f(0),f(x)在x=0處e也不連續(xù)三．研究下列函數(shù)的連續(xù)性，并畫(huà)出圖象。f(、-x2;0-x—1 o,(、—x;—1—x—1(1)f(x)=<c _ (2)f(x)=<i 12—x;1<x—2 1;x<—1或x>1四．判斷下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的間斷點(diǎn)的類(lèi)型，如果是可去間斷點(diǎn)，則補(bǔ)充或改變函數(shù)的 定義使其連續(xù)。x2—1y= x=1,x=2x2—3x+2… x -兀-y=——x=k兀 x=k兀+—(k-0,±1,±2?-)tgx 2Ix—1;x<1(3)y=< x=1(3)13—x;x>1五.討論函數(shù)f(x)=lim匕上的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)判斷其類(lèi)型。nS1+x2n§9連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性一．是非題1、f(x),g(x)在x=x0連續(xù)，則f2(x)+2f(x).g(x)—3g(x)在x=x0也連續(xù)。TOC\o"1-5"\h\z[ ]2、f(x)在x=x連續(xù)，g(x)在x=x不連續(xù)，則f(x)+g(x)在x一定不連00 0續(xù)。[ ]3、f(x)在*0連續(xù)，g(x)在*0不連續(xù)，則f(x).g(x)在*0一定不連續(xù)。[ ]4、f(x)=xsinx在(-8,+8)上連續(xù)。ex[ ]5、不連續(xù)函數(shù)平方后仍為不連續(xù)函數(shù)。[ ].求函數(shù)f(x)=x3+3x"x—3的連續(xù)區(qū)間。x2+x-6「2x—1;0<x<1,,.求函數(shù)f(x)=| 的連續(xù)區(qū)間?！?x;1<x<3四..設(shè)函數(shù)f(x)=「'x;x<0應(yīng)當(dāng)怎樣選擇數(shù)a,使得f(x)成為(-8,+8)內(nèi)的a+x;x>0連續(xù)函數(shù)。五．求下列極限cos2x—cos2a（1）lim xfa xa（2）limln（1+2x）

x.0Sin5x⑶lim1-'cos士x.+01-cosx(4)1<1+tanx-v1+sinxlim x.0 'x3-1(5)(6)lim3arctanxX-8(5)(6)lim3arctanxX-8lim xf+0六.設(shè)函數(shù)sinax71-cosxf(x)=\b1r一,、—[Inx-ln(x2+x)x問(wèn)a,b為何值時(shí)，f(x)在(-8,+8)內(nèi)連續(xù)§10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一.是非題1、f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)，則f(x)在(a,b)內(nèi)一定有最大值和最小值。［ ］2、設(shè)f(x)在［a,b］上連續(xù)且無(wú)零點(diǎn)，則f(x)在上［a,b］恒為正或恒為負(fù)。［ ］3、f(x)在［a,b］上連續(xù)且單調(diào)，f(a)?f(b)<0,則f(x)在(a,b)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)。［］4、若f(x)在閉區(qū)間［a,b］有定義，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，且f(a)?f(b)<0,則f(x)在(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)。