四川省瀘州市瀘縣第五中學(xué)高三下學(xué)期二模理科數(shù)學(xué)試題

瀘縣五中2020級高三第二次診斷性模擬考試數(shù)學(xué)（理工類）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效3．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．考試結(jié)束后，請將答題卡交回第I卷選擇題（60分）一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則集合的子集有（）A.2個(gè) B.4個(gè) C.8個(gè) D.16個(gè)【答案】B【解析】【分析】解不等式，結(jié)合，求出，計(jì)算出，從而求出，并求出交集的子集個(gè)數(shù).【詳解】，解得：，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，且，所以，故的子集有個(gè).故選：B2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（）A.i B.－iC.1＋i D.1－i【答案】A【解析】【分析】由題可得，再由復(fù)數(shù)除法法則即可求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以.故選：A.3.某同學(xué)在研究變量，之間的相關(guān)關(guān)系時(shí)，得到以下數(shù)據(jù)：并采用最小二乘法得到了線性回歸方程，則（）4.85.878.39.12.84.15.25.97A.， B.， C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定數(shù)據(jù)，求出變量，的平均數(shù)，再利用最小二乘法公式計(jì)算判斷作答.【詳解】依題意，，，，，則，.故選：D4.已知△ABC的重心為O，則向量（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】△ABC的重心O為三角形三條中線的交點(diǎn)，為中線的三等分點(diǎn)，根據(jù)向量線性運(yùn)算的幾何表示結(jié)合條件即得.【詳解】設(shè)分別是的中點(diǎn)，由于是三角形的重心，所以.故選：C.5.將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，所得圖象的一條對稱軸方程可以是A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】試題分析：將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的倍得函數(shù),其對稱軸方程為，故選D.考點(diǎn)：函數(shù)圖象的變換、函數(shù)的對稱軸.6.北斗導(dǎo)航系統(tǒng)由55顆衛(wèi)星組成，于2020年6月23日完成全球組網(wǎng)部署，全面投入使用.北斗七星自古是我國人民辨別方向判斷季節(jié)的重要依據(jù)，北斗七星分別為天樞、天璇、天璣、天權(quán)、玉衡、開陽、搖光，其中玉衡最亮，天權(quán)最暗.一名天文愛好者從七顆星中隨機(jī)選兩顆進(jìn)行觀測，則玉衡和天權(quán)至少一顆被選中的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)古典概型計(jì)算公式，結(jié)合組合的定義、對立事件的概率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)橛窈夂吞鞕?quán)都沒有被選中的概率為，所以玉衡和天權(quán)至少一顆被選中的概率為.故選：B.7.已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是扇形，則該幾何體的側(cè)面面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知三視圖得到幾何體是底面半徑為2，高為3的圓柱的，由此計(jì)算側(cè)面積即可．【詳解】由已知三視圖得到幾何體是底面半徑為2，高為3的圓柱的，如圖所示：所以幾何體的側(cè)面積為；故選：A．8.2022年北京冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)給世界人民留下了深刻的印象，其吉祥物“冰墩墩”和“雪容融的設(shè)計(jì)好評不斷，這是一次中國文化與奧林匹克精神的完美結(jié)合．為了弘揚(yáng)奧林匹克精神，某學(xué)校安排甲、乙等5名志愿者將吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安裝在學(xué)校的體育廣場，每人參與且只參與一個(gè)吉祥物的安裝，每個(gè)吉祥物都至少由兩名志愿者安裝．若甲、乙必須安裝不同的吉祥物，則不同的分配方案種數(shù)為（）A8 B.10 C.12 D.14【答案】C【解析】【分析】先安排甲乙兩人，然后剩余3人分兩組，一組1人，一組2人，先分組后安排即可．【詳解】甲和乙必須安裝不同的吉祥物，則有種情況，剩余3人分兩組，一組1人，一組2人，有，然后分配到參與兩個(gè)吉祥物的安裝，有，則共有種，故選：．9.已知，則A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由誘導(dǎo)公式及二倍角公式化簡，由結(jié)合得，即可求解【詳解】=又,解又，,故故所以故選A【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，熟記公式是關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題10.已知，，，則，，的大小關(guān)系為A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】可先得出，然后設(shè)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號即可判斷出在，上單調(diào)遞減，從而得出，即得出．【詳解】解：；設(shè)，；時(shí)，；在，上單調(diào)遞減；；；．故選：．【點(diǎn)睛】考查對數(shù)的運(yùn)算，構(gòu)造函數(shù)解決問題的方法，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法．11.已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)為，，漸近線上一點(diǎn)P滿足（O坐標(biāo)原點(diǎn)），，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知條件和雙曲線的性質(zhì)可得，則可求得的坐標(biāo)為，則利用兩點(diǎn)間的距離公式可求得，然后在中利用余弦定理化簡可求出的關(guān)系，從而可求出雙曲線的離心率【詳解】由雙曲線的性質(zhì)可得，由雙曲線的對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，因?yàn)?，所以，即，設(shè)，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，所以，因?yàn)椋?，所以的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，設(shè)，則，在中，由余弦定理可得，所以，得，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以離心率為，故選：B12.已知函數(shù)，，若存在，使得恒成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得函數(shù)的最大值，故可求實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】，，，，存在，，使得，，設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，解的，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，最大值為（2），故選．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查恒成立問題，考查函數(shù)的最值，屬于中檔題．第II卷非選擇題（90分）二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．13.若，滿足約束條件，則取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】先作出不等式組對應(yīng)的可行域，再利用的幾何意義和數(shù)形結(jié)合分析得解.【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如下圖陰影部分所示.表示陰影區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率.觀察可知，.因?yàn)椋?，所?故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃求取值范圍，考查斜率的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析推理能力.14.曲線與直線所圍成的封閉圖形的面積為__________．【答案】【解析】【詳解】由定積分的幾何意義可得：封閉圖形的面積.15.已知函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則滿足條件的的最大值為__________.【答案】##【解析】【分析】先對函數(shù)化簡變形，求出其單調(diào)遞增區(qū)間為從而由題意可得解不等式組可求得結(jié)果詳解】由，得，的單調(diào)遞增區(qū)間為由題知，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故答案為：16.已知過點(diǎn)的直線與相交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與相交于點(diǎn)，若直線與圓相切，則直線與的交點(diǎn)的軌跡方程為__________.【答案】【解析】【詳解】設(shè)直線AC，BD的斜率分別為，則直線AC，BD的方程分別為：，據(jù)此可得：，則：，直線CD的方程為：，整理可得：直線與圓相切，則：，據(jù)此可得：，由于：，兩式相乘可得：即直線與交點(diǎn)的軌跡方程為.點(diǎn)睛：求軌跡方程，要注意曲線上的點(diǎn)與方程的解是一一對應(yīng)關(guān)系，檢驗(yàn)應(yīng)從兩個(gè)方面進(jìn)行：一是方程的化簡是否是同解變形；二是是否符合實(shí)際意義，注意軌跡上特殊點(diǎn)對軌跡的“完備性與純粹性”的影響.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必做題：共60分．17.已知數(shù)列滿足.（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見解析，；（2）.【解析】【分析】(1)把給定的遞推公式兩邊取倒數(shù)并變形即可作答；(2)由(1)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法即可得解.【詳解】（1）由得，所以是公差為2的等差數(shù)列，，即；（2）由(1)知，，則，兩式相減得，則，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.18.網(wǎng)購是當(dāng)前民眾購物的新方式，某公司為改進(jìn)營銷方式，隨機(jī)調(diào)查了100名市民，統(tǒng)計(jì)其周平均網(wǎng)購的次數(shù)，并整理得到如下的頻數(shù)分布直方圖.這100名市民中，年齡不超過40歲的有65人，將所抽樣本中周平均網(wǎng)購次數(shù)不小于4次的市民稱為網(wǎng)購迷，且已知其中有5名市民的年齡超過40歲.（1）根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為網(wǎng)購迷與年齡不超過40歲有關(guān)？網(wǎng)購迷非網(wǎng)購迷合計(jì)年齡不超過40歲年齡超過40歲合計(jì)（2）若從網(wǎng)購迷中任意選取2名，求其中年齡超過40歲的市民人數(shù)的分布列與期望.附：；0.150．100.050.012.0722.7063.8416.635【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】【分析】（1）利用題意繪制列聯(lián)表即可，求得.所以可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為網(wǎng)購迷與年齡是否超過40歲有關(guān)；（2）求出的所有可能取值，進(jìn)而求出相應(yīng)的概率，從而可得分布列，進(jìn)而可根據(jù)期望的概念求出結(jié)果.【小問1詳解】由題意可得列聯(lián)表如下：網(wǎng)購迷非網(wǎng)購迷合計(jì)年齡不超過40歲204565年齡超過40歲53035合計(jì)2575100則.所以可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為網(wǎng)購迷與年齡是否超過40歲有關(guān)；【小問2詳解】由頻率分布直方圖可知，網(wǎng)購迷共有25名，由題意得年齡超過40的市民人數(shù)的所有取值為0，1，2，，，，的分布列為012.19.如圖，在梯形中，，四邊形為矩形，平面，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【答案】(1)見解析;(2).【解析】【詳解】分析：（1）在梯形中，易得，再有平面，，即可得，從而得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和平面的法向量，由法向量的夾角余弦求解即可.詳解：（1）在梯形中，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，即.∵平面，平面，∴，而，∴平面，∵，∴平面；（2）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，∴，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由得，取，則，∵是平面的一個(gè)法向量，∴.點(diǎn)睛:本題主要考查線面垂直的判定定理以及利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.20.已知橢圓的離心率，橢圓上的點(diǎn)與左、右頂點(diǎn)所構(gòu)成三角形面積的最大值為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過橢圓C右焦點(diǎn)的直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，滿足k1?k2＝﹣2，l1交C于點(diǎn)E，F(xiàn)，l2交C于點(diǎn)G，H，線段EF與GH的中點(diǎn)分別為M，N．判斷直線MN是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)求出該定點(diǎn)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．【答案】（1）；（2）是定點(diǎn)，定點(diǎn)為.【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率、幾何性質(zhì)，橢圓上下定點(diǎn)與長軸構(gòu)成的三角形面積最大，求得參數(shù)的值，寫出標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)l1：y＝k1（x﹣1），l2：y＝k2（x﹣1），聯(lián)立直線l1與橢圓C的方程，得到韋達(dá)定理，同時(shí)求得的坐標(biāo)；方法一：討論直線MN的斜率存在情況，將坐標(biāo)代入直線方程lMN：y＝mx+n，求得之間的關(guān)系，從而判斷直線是否過定點(diǎn)；方法二：討論直線MN的斜率存在情況，由坐標(biāo)求得直線MN的斜率，并寫出直線方程，由橢圓的對稱性可知，若定點(diǎn)存在，則必在x軸上，所以令y＝0，化簡判斷x是否為定值即可.【小問1詳解】設(shè)右焦點(diǎn)F（c，0），c＞0，由題知求得a＝2，，c＝1，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問2詳解】方法一：設(shè)l1：y＝k1（x﹣1），l2：y＝k2（x﹣1），聯(lián)立直線l1與橢圓C的方程得消去y得，，由根與系數(shù)的關(guān)系知，則，代入直線l1的方程得，所以，同理得．①當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線lMN：y＝mx+n，將點(diǎn)M，N的坐標(biāo)代入直線lMN，得易知k1，k2為方程（4m+4n）k2+3k+3n＝0的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系知，由題知k1?k2＝﹣2，所以，得，所以直線，所以直線MN過定點(diǎn)．②當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，，即，所以k1＝﹣k2，且k1?k2＝﹣2．不妨設(shè)，，所以，即直線，滿足過定點(diǎn)．綜上，直線MN過定點(diǎn)．方法二：設(shè)l1：y＝k1（x﹣1），l2：y＝k2（x﹣1），聯(lián)立直線l1與橢圓C的方程消去y得，．由根與系數(shù)的關(guān)系知，，，代入直線l1的方程得，所以，同理的．①當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，即k1≠﹣k2，＝＝，（上式結(jié)合k1?k2＝﹣2化簡），直線＝，由橢圓的對稱性可知，若定點(diǎn)存在，則必在x軸上，所以令y＝0，得，所以直線MN過定點(diǎn)．②當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，，即，所以k1＝﹣k2，k1?k2＝﹣2．不妨設(shè)，，所以，即直線，滿足過定點(diǎn)．綜上，直線MN過定點(diǎn)．21.已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，可得，分，，，和四種情況進(jìn)行分類討論的單調(diào)性；（2）根據(jù)題意，將原問題轉(zhuǎn)化為成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，再令，利用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值中的應(yīng)用，結(jié)合“隱零點(diǎn)”的用法，可知，存在，使得，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可求出函數(shù)的最小值，將的最大值和的最小值比較，即可求證結(jié)果.【小問1詳解】解：由題意可得的定義域?yàn)棰佼?dāng)時(shí)，即，在單調(diào)遞增．②當(dāng)時(shí)，即，時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，即，時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，④當(dāng)時(shí)，即，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增；綜上可得：當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；【小問2詳解】證明：當(dāng)時(shí)，，要證即證，只需證，只需證，令，則，∴時(shí)，，單調(diào)遞增，∴時(shí)，，單調(diào)遞減，∴，令，則，令，則，∴在上單調(diào)遞增又∵，，∴存在，使得，即；∴，，，單調(diào)遞減，，，，單調(diào)遞增；∴，令，則在上單調(diào)遞減，∴，即，∵，∴，∴，即∴時(shí)，恒成立∴.（二）選做題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題記分．22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為(其中φ為參數(shù))，曲線：