2021-2022學(xué)年遼寧省六校協(xié)作體高一下學(xué)期第三次聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2021-2022學(xué)年遼寧省六校協(xié)作體高一下學(xué)期第三次聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若復(fù)數(shù)滿足,則在復(fù)平面內(nèi),對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：由，可得，∴z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，－2），故選C．【解析】考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系．點(diǎn)評(píng)：解本題的關(guān)鍵是根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z，然后利用復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別為為復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．2．下列命題正確的是（

）A．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形B．用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺(tái)C．四面體的任何一個(gè)面都可以作為棱錐的底面D．棱臺(tái)的側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)，側(cè)面是等腰梯形【答案】C【分析】根據(jù)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的定義判斷各選項(xiàng)．【詳解】棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形但不一定全等，A錯(cuò)；用一個(gè)平行棱錐底面的平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺(tái)，B錯(cuò)；四面體是三棱錐，它的任何一個(gè)面都可以作為棱錐的底面，C正確；棱臺(tái)的側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)，側(cè)面都是梯形，不一定是等腰梯形，D錯(cuò)．故選：C．3．的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由誘導(dǎo)公式及正弦和角公式求解即可.【詳解】，則.故選：B.4．將函數(shù)圖像上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?.5倍(縱坐標(biāo)不變)，然后再向右平移個(gè)單位長度，則所得圖像的函數(shù)解析式是(

)A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圖像變換對(duì)解析式的影響求解即可．【詳解】函數(shù)圖像上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?.5倍(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)的圖像，函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖像．故選：B．5．下列命題正確的有（

）A．使得等式成立B．都有C．已知為第一象限角，若則D．若，則角是第一象限角【答案】A【分析】通過舉例判斷ABC，利用兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷D．【詳解】時(shí)，，A正確；時(shí)，不成立，B錯(cuò)誤；，，它們都是第一象限角，滿足，但，C錯(cuò)；由得，，若是第一象限角，即，，，D錯(cuò)誤．故選：A．6．玩具制造商設(shè)計(jì)并投產(chǎn)一種全新的益智玩具”智慧立方”它的形狀為正四面體，為了操作方便，正四面體棱長必須大于，通過大量的人體力學(xué)實(shí)驗(yàn)得知當(dāng)"智慧立方系數(shù)"時(shí)尺寸最適合3-6歲的小朋友把玩，其中是正四面體的體積，S是正四面體的表面積.則棱長尺寸最合適范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出正四面體的體積和表面積，計(jì)算出，然后解相應(yīng)不等式可得．【詳解】如圖正四面體中，是的中心，則是高，，正四面體棱長為，則，，，，，所以，由，又，因此解得．故選：D．7．如圖，四邊形ABCD四點(diǎn)共圓，其中BD為直徑，，，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先在利用余弦定理求出邊，再利用正弦定理求出直徑，進(jìn)而利用直角三角形求出、，再利用三角形的面積公式進(jìn)行求解.【詳解】在中，因?yàn)椋?，，所以由余弦定理，得，由正弦定理，得；在和中，，，又，所以的面積為.故選：C.8．在中，，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足，直線CE與AD交于點(diǎn)P，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出，即可得解.【詳解】解：如圖，以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，故，則，故，所以.故選：B.二、多選題9．已知復(fù)數(shù)，下列命題錯(cuò)誤的有（

）A．若，則B．若，那么C．若，那么D．若，那么【答案】BCD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模的定義，復(fù)數(shù)的分類，復(fù)數(shù)的運(yùn)算判斷各選項(xiàng)，錯(cuò)誤命題可舉反例說明．【詳解】設(shè)，則，，A正確；若，則，但，B錯(cuò)；若，則，但，C錯(cuò)；若，滿足1，但，D錯(cuò)．故選：BCD．10．函數(shù)，則（

）A．的值域?yàn)锽．在上單調(diào)遞增C．有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)D．在定義域內(nèi)存在遞減區(qū)間【答案】AC【分析】利用二倍角公式，同角關(guān)系化簡函數(shù)式，再根據(jù)正切函數(shù)性質(zhì)判斷．【詳解】()，值域是，A正確；在上，不存在，B錯(cuò)；顯然，零點(diǎn)為有無數(shù)個(gè)，C正確；在定義域內(nèi)每一個(gè)區(qū)間，上，函數(shù)都是增函數(shù)，無減區(qū)間，D錯(cuò)．故選：AC．11．在正方體中，M，N，P分別為棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)平面MNP，，則（

）A． B．直線平面C．正方體被平面MNP截得的截面為正六邊形 D．點(diǎn)Q的軌跡長度為【答案】BCD【分析】取中點(diǎn)，由即可判斷A選項(xiàng)；取棱的中點(diǎn)，由平面MNP即可判斷C選項(xiàng)；先判斷平面平面，由平面即可判斷B選項(xiàng)；連接，先判斷平面，進(jìn)而求得點(diǎn)Q的軌跡為以為圓心1為半徑的圓即可判斷D選項(xiàng).【詳解】連接，取中點(diǎn)，連接，易得，則不平行，A錯(cuò)誤；如圖，取棱的中點(diǎn)，易得，平面MNP，則面MNP，同理可得平面MNP，即正六邊形為正方體被平面MNP截得的截面，C正確；由C選項(xiàng)知：平面MNP即平面，易得，又平面，平面，則平面，同理可得平面，又，則平面，，則平面平面，又平面，則直線平面，B正確；連接，易得與平面交于正方體的體心，連接，易得，又平面，平面，則，又平面，，則平面，平面，則，同理可得，又平面，，則平面，平面，則，又，則，即點(diǎn)Q的軌跡為以為圓心1為半徑的圓，故點(diǎn)Q的軌跡長度為，D正確.故選：BCD.12．已知中，是邊的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則（

）A．的值可以等于2B．的值可以等于2C．的值可以等于D．的值可以等于3【答案】AD【分析】確定在以為直徑的圓上，分別以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，得出圓的方程，由求出點(diǎn)坐標(biāo)代入圓方程得出滿足的關(guān)系式，用三角換元法把用表示，然后根據(jù)兩角和與差的正弦公式及輔助角公式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)判斷各選項(xiàng)．【詳解】因?yàn)?，所以，，，則在以為直徑的圓上，如圖也是該圓上的點(diǎn)．分別以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則圓方程是，，，，即，所以，．可設(shè)，，所以，時(shí)，，A正確；同理，B錯(cuò)誤；，易知，所以，C錯(cuò)；，易知，所以，，，D正確；故選：AD．三、填空題13．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則__________.【答案】【分析】由正弦定理化角為邊后，應(yīng)用余弦定理可得．【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，所以．故答案為：?4．已知圓錐的表面積為，它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則此圓錐的體積為______.【答案】【分析】根據(jù)題意，設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，進(jìn)而得，再根據(jù)圓錐的表面積得，進(jìn)而求圓錐的高，利用公式求體積.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，由于它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，所以，即，所以該圓錐的表面積為，解得，所以圓錐的高為，所以圓錐的體積為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的側(cè)面展開圖，圓錐的表面積，體積的計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，空間想象能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓得到母線與半徑的關(guān)系，進(jìn)而利用表面積公式求解.15．為奇函數(shù)，那么的一個(gè)取值為__________.【答案】0（答案不唯一）【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)求出，代入檢驗(yàn)后可得．【詳解】是奇函數(shù)，則，，當(dāng)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，．為奇數(shù)時(shí)，，是奇函數(shù)，所以的一個(gè)值為0（答案不唯一）．故答案為：0（答案不唯一）．四、雙空題16．在長方體中，；點(diǎn)分別為中點(diǎn)；那么長方體外接球表面積為__________；三棱錐的外接球的體積為__________.【答案】

【分析】求出長方體的對(duì)角線即為長方體外接球的直徑，由此可得球表面積，設(shè)分別是中點(diǎn)，可證明平面，設(shè)平面與的交點(diǎn)分別為，在平面內(nèi)過作，過作交于點(diǎn)，證得是三棱錐的外接球球心．在四邊形中求得四邊形外接圓直徑，然后求出，再求出三棱錐的外接球的半徑后球體積．【詳解】長方體對(duì)角線長為，所以長方體外接球半徑為，表面積為；如圖，分別是中點(diǎn)，則是矩形，平面平面，分別是中點(diǎn)，則，而平面，所以平面，所以平面，而平面，平面，所以平面平面，平面平面，由平面，平面，得，而，設(shè)平面與的交點(diǎn)分別為，則分別是的中點(diǎn)，所以分別是和的外心，在平面內(nèi)過作，過作交于點(diǎn)，由平面，得，，而，平面，所以平面，同理平面，所以是三棱錐的外接球球心．四邊形是圓內(nèi)接四邊形，由長方體性質(zhì)知，所以，，，，由平面，平面，得，，，，所以，所以三棱錐的外接球的體積為．故答案為：；．五、解答題17．已知平面向量，，，滿足，，.(1)若與共線，求向量的坐標(biāo)；(2)若，求向量，的夾角.【答案】(1)或；(2).【分析】（1）設(shè)，由向量共線知且，根據(jù)向量共線坐標(biāo)表示及模長的坐標(biāo)公式列方程求x、y即可.（2）利用向量垂直的坐標(biāo)表示求，的夾角.【詳解】(1)設(shè)，又與共線，則且，而，所以，可得或.故或.(2)由，又，，所以，又，則.18．正棱錐S﹣ABCD的底面邊長為4，高為1.求：（1）棱錐的側(cè)棱長和側(cè)面的高；（2）棱錐的表面積與體積.【答案】（1）側(cè)棱長為，側(cè)面的高為；（2）表面積，體積為.【分析】（1）設(shè)為正四棱錐的高，則，作，連結(jié)，分別在和，即可求得棱錐的側(cè)棱長和側(cè)面的高；（2）由（1）利用棱錐的側(cè)面積公式和體積公式，即可求解.【詳解】（1）如圖所示，設(shè)為正四棱錐的高，則，作，則為中點(diǎn)，連結(jié)，則，因?yàn)?，可得，在中，，在中，，所以棱錐的側(cè)棱長為，側(cè)面的高為.（2）棱錐的表面積為=，幾何體的體積為.19．已知函數(shù)的圖像如圖，其中分別為最高點(diǎn)和最低點(diǎn).為零點(diǎn)，.(1)求的解析式；(2)求的值.【答案】(1)．(2)1【分析】（1）由周期求得，然后由三角形面積求得，再由點(diǎn)坐標(biāo)結(jié)合單調(diào)性求得，得函數(shù)解析式；（2）利用周期性計(jì)算．【詳解】(1)由已知，，所以，，，，，，所以或，由圖像知在的增區(qū)間上，所以．．(2)由（1）知是周期為4的周期函數(shù)，因此所以．20．如圖所示，在直三棱柱中，是的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)設(shè)，求幾何體的體積.【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）連接交于，連接，證明后得證線面平行；（2）由直三棱柱的體積減去三棱錐的體積可得．【詳解】(1)連接交于，連接，如圖，則是中點(diǎn)，又是中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面；(2)因?yàn)?，，所以，所以，，?1．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c且，作，使得如圖所示的四邊形ABCD滿足，．(1)求B；(2)求BC的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，利用三角形面積公式和數(shù)量積運(yùn)算得到求解；（2）設(shè)，在中，由正弦定理得到，在中，利用正弦定理并化簡得到，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】(1)解：由，得，即，所以，因?yàn)椋裕?2)設(shè)，則，，在中，由正弦定理得，所以，在中，由正弦定理得，所以，，，，因?yàn)?，可得，?dāng)時(shí)，即，可得，當(dāng)時(shí)，即，可得，所以BC的取值