安徽省亳州市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期1月期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題

絕密★啟用前毫州市普通高中2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期高三期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼格貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時，選出每小題后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的標(biāo)號涂黑如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他標(biāo)號.回答非選擇題時，將寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合和集合即可求解.【詳解】因為，所以.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)，則“”是“的實部小于0”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】考查的實部小于0的充要條件，結(jié)合集合關(guān)系進(jìn)行判斷.【詳解】因為若其實部小于0，則，即，顯然是的必要不充分條件，則“”是“的實部小于0”的必要不充分條件，故選：B.3.如圖所示為某企業(yè)員工年齡（歲）的頻率分布直方圖，從左到右依次為第一組?第二組、……、第五組，若第五組的員工有80人，則第二組的員工人數(shù)為（）A.140 B.240 C.280 D.320【答案】C【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，求得的值，進(jìn)一步計算即可.【詳解】由已知得，所以，因為第五組的員工人數(shù)為80，所以第二組的員工人數(shù)為.故選：C.4.在等差數(shù)列中，已知，則（）A.1 B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式進(jìn)行計算即可.【詳解】設(shè)的公差為.由已知可得，所以，則.故選：B.5.如圖，正三棱柱的底面邊長為1，高為3，已知為棱的中點(diǎn)，分別在棱上，，記四棱錐，三棱錐與三棱錐的體積分別為，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件分別計算出的值，即可判定.【詳解】因為，所以.故選：D.6.已知直線和曲線，當(dāng)時，直線與曲線的交點(diǎn)個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.無法確定【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線所過定點(diǎn)，結(jié)合圖象即可判定.【詳解】直線的方程可化為，所以直線恒過點(diǎn)，曲線即，表示圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為3的圓的上半部分（如圖），由圖可知，當(dāng)時，直線與曲線的交點(diǎn)個數(shù)為1.故選：B.7.在三棱錐中，已知，平面平面，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別取的中點(diǎn)為，連接.根據(jù)題中條件可求得，，結(jié)合外接球球心在直線上，列出方程，解出即可.【詳解】分別取的中點(diǎn)為，連接.因為，所以,則,又則,又平面平面，平面平面，，則,平面，所以平面，又平面,所以,又,平面,平面,所以平面,又平面,所以,故為二面角的平面角，所以，所以，三棱錐外接球的球心在直線上.設(shè)，則，即，解得（負(fù)值舍），所以三棱錐外接球的半徑為，表面積為.故選：A.8.當(dāng)時，函數(shù)在上的零點(diǎn)的個數(shù)為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】先由得出；再構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出題目問題等價于根的問題，即等價于當(dāng)時，函數(shù)與直線在上交點(diǎn)個數(shù)；最后根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性、值域及即可求解.【詳解】令，則，即.構(gòu)造函數(shù)，則問題等價于討論方程的根的個數(shù).因為函數(shù)在上單調(diào)遞增；函數(shù)在上單調(diào)遞增；所以在上單調(diào)遞增，故問題進(jìn)一步等價于討論方程的根的問題，即可轉(zhuǎn)化為根的問題，即等價于當(dāng)時，函數(shù)與直線在上交點(diǎn)個數(shù).因為函數(shù)在上單調(diào)遞增；函數(shù)在上單調(diào)遞增；所以函數(shù)單調(diào)遞增，故.又因為當(dāng)時，所以當(dāng)時，方程只有一根，所以函數(shù)在上的零點(diǎn)的個數(shù)為1.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查同構(gòu)法的應(yīng)用、函數(shù)圖像交點(diǎn)個數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)之間的關(guān)系.解題關(guān)鍵在于由得出；構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出題目問題等價于當(dāng)時，函數(shù)與直線在上交點(diǎn)個數(shù).二?多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知向量滿足，且，則的坐標(biāo)可以為（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用三點(diǎn)共線的性質(zhì)進(jìn)行求解問題.【詳解】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則由可知三點(diǎn)共線，且在之間，選項A：，，與不平行，選項A錯誤；選項B：，，與平行，且在之間，選項B正確；選項C：，，與平行，且在之間，選項C正確；選項D：，，與平行，但不在之間，選項D錯誤.故選：BC.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D.在上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】設(shè)的最小正周期為，由圖象可得到，故，因為，所以，解得，故A正確；將代入，得，則，解得，因為，所以當(dāng)時，，所以，故B錯誤；因為，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故C正確；當(dāng)時，，因為在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ACD11.將正數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為，則，我們把，分別叫做的首數(shù)和尾數(shù)，若將的首數(shù)記為，尾數(shù)記為，則下列說法正確的是（）A.B.是周期函數(shù)C.若，則D.若，則【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)新定義可判斷A，由得出不存在非零常數(shù)使成立，判斷B，根據(jù)首數(shù)尾數(shù)的定義，利用對數(shù)運(yùn)算判斷CD.【詳解】對于A，因為，所以，故A正確；對于B，若，必有，不可能存在非零常數(shù)，使得恒成立，不符合周期函數(shù)的定義，故B錯誤；對于C，設(shè)，則，若10，則，若，則，所以，故C正確；對于D，設(shè)同選項，若，則，若，則，所以，故D錯誤故選：AC12.已知拋物線的焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，直線經(jīng)過點(diǎn)，且與交于點(diǎn)（位于第一象限），為拋物線上之間的一點(diǎn)，為點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.B.若的斜率為1，則當(dāng)?shù)降木嚯x最大時，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角三角形C.若，則的斜率為3D.若不重合，則直線經(jīng)過定點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】利用兩點(diǎn)距離公式求得，從而判斷A；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得的坐標(biāo)，從而判斷B；利用拋物線的定義求得，從而判斷C，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用表示直線，從而判斷D.【詳解】對于A，因為拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，由已知得，解得，故A正確；對于B，當(dāng)?shù)降木嚯x最大時，以為切點(diǎn)的的切線斜率也為1，因為，所以只需考慮，則，令，得，則，則此時，又的坐標(biāo)為，所以軸，所以為直角三角形，故B正確；對于C，如圖，設(shè)的準(zhǔn)線為，過點(diǎn)分別作，過點(diǎn)作，當(dāng)時，設(shè)，所以，所以，即的斜率為，故C錯誤；對于D，設(shè)，則，設(shè)的方程為，代入，得0，易得，所以，直線的方程為，則，所以經(jīng)過定點(diǎn)，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知直線的斜率為2，且與曲線相切，則的方程為__________.【答案】【解析】【分析】由題意令，解方程可得切點(diǎn)坐標(biāo)，由此即可得解.【詳解】設(shè)，令，得，則切點(diǎn)為，故所求的方程為.故答案為：.14.已知隨機(jī)變量，若，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】利用正態(tài)分布的性質(zhì)，列出不等式，解出即可.【詳解】因為，所以，所以.故答案為：.15.已知，則__________.【答案】##【解析】【分析】平方相加可得，即可根據(jù)角的范圍求解.【詳解】將兩式平方,相加得，即，因為，所以，所以.故答案為：16.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則__________.【答案】##【解析】【分析】設(shè)，由橢圓定義結(jié)合余弦定理可推出，繼而根據(jù)，平方后，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律，即可求得答案.【詳解】由題意知橢圓方程為，則，設(shè)，則，而，由余弦定理得，即，所以.因為O為的中點(diǎn)，故，所以，，所以，即，故答案：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用數(shù)量積的運(yùn)算法則轉(zhuǎn)化為的關(guān)系式，從而得解.四?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若，點(diǎn)在邊上，，且，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理將角化邊，即可得到，再由余弦定理計算可得；（2）首先由等面積法求出，再由，代入、的值，即可求出，再檢驗即可.小問1詳解】因為，由余弦定理得，整理得，所以，因為，所以.【小問2詳解】由題意知，所以，由（1）的過程可得，代入的值整理得，解得或.當(dāng)時，，此時為鈍角，不符合條件，當(dāng)時，，符合條件，所以.18.記正項等比數(shù)列?等差數(shù)列的前項和分別為，已知，.（1）求和的通項公式；（2）設(shè)集合，求中元素的個數(shù).【答案】（1），（2）10個【解析】【分析】（1）根據(jù)等差等比數(shù)列的通項公式及前項和公式進(jìn)行計算即可；（2）解出集合后，根據(jù)組合數(shù)公式進(jìn)行計算即可【小問1詳解】設(shè)的公比為的公差為，因為，所以，解得或（舍去），所以.因為，所以，即，因為，所以，所以.【小問2詳解】因為，所以，因為，從四個數(shù)中任取兩個數(shù)（可重復(fù)）有種取法，易知不同取法中的兩個數(shù)之和都互不相等，故集合中的元素有10個.19.如圖，直四棱柱的棱長均為為棱的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）若，求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)直棱柱可得，根據(jù)菱形可得，故可得平面，故可證面面垂直.（2）利用向量法可求平面的法向量與平面的法向量的夾角的余弦值，故可求它的正弦值.【小問1詳解】在直四棱柱中，平面，而平面，所以，因為四棱柱的各棱長均相等，故四邊形是菱形，所以，又因為，，所以平面.因為平面，所以平面平面.【小問2詳解】設(shè)與的交點(diǎn)為，則，根據(jù)直四棱柱可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸?軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.易知，則.設(shè)平面的法向量為，則即，取.設(shè)平面的法向量為，則即，取.因為，所以二面角的正弦值為.20.小張參加某公司的招聘考試，題目按照難度不同分為A類題和B類題，小張需要通過“抽小球”的方式?jīng)Q定要答的題目難度類型：一個箱子里裝有質(zhì)地?大小一樣的5個球，3個標(biāo)有字母A，另外2個標(biāo)有字母B，小張從中任取3個小球，若取出的A球比B球多，則答A類題，否則答B(yǎng)類題.（1）設(shè)小張抽到A球的個數(shù)為X，求X的分布列及.（2）已知A類題里有4道論述題和1道計算題，B類題里有3道論述題和2道計算題，小張確定題目的難度類型后需要從相應(yīng)題目中任選一道題回答.（i）求小張回答論述題的概率；（ii）若已知小張回答的是論述題，求小張回答的是A類題的概率.【答案】（1）分布列見解析，（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件求得的所有可能取值及相應(yīng)的概率，列出分布列，根據(jù)期望公式求解即可；（2）（i）根據(jù)全概率公式進(jìn)行計算即可；（ii）根據(jù)條件概率公式進(jìn)行計算即可.【小問1詳解】的所有可能取值為，,所以的分布列為123故.【小問2詳解】記事件“小張回答類題”，“小張回答類題”，“小張回答論述題”.（i）由（1）知，由題意知，所以.（ii），所以.21.已知函數(shù).（1）若，求的極小值；（2）若對任意的和，不等式恒成立，求的最大值.【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)考查函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極小值的定義求出即可；（2）參變分離后，利用導(dǎo)數(shù)考查函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，即可求得的取值范圍,繼而求解.【小問1詳解】當(dāng)時，，所以，易知在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值.【小問2詳解】因為，所以恒成立等價于恒成立.設(shè)，則，易知在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，即，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以.結(jié)合式，可知：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即當(dāng)時，的最小值為2，要使恒成立，須，即的最大值為2.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：對于恒成立問題，常用到以下兩個結(jié)論：（1）恒成立；（2）恒成立.22.已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，直