2021-2022高中數(shù)學(xué)人教版必修2作業(yè)2.3.2平面與平面垂直的判定（系列五）Word版含解析

第二章2.3[基礎(chǔ)鞏固]1．空間四邊形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC解析：∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD?平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.答案：D2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，截面A1BD與底面ABCD所成二面角A1A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D.eq\r(3)解析：如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接A1O，O為BD中點(diǎn)，∵A1D＝A1B，∴在△A1BD中，A1O⊥BD.又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD.∴∠A1OA為二面角A1-BD-A的平面角．設(shè)AA1＝1，則AO＝eq\f(\r(2),2).∴tan∠A1OA＝eq\f(1,\f(\r(2),2))＝eq\r(2).答案：C3．(2016·日照高一)已知A是銳二面角α-l-β中α內(nèi)一點(diǎn)，AB垂直β于點(diǎn)B，AB＝eq\r(3)，點(diǎn)A到l的距離為2，則二面角α-l-β的平面角的大小為_(kāi)_______．解析：過(guò)點(diǎn)A作l的垂線，設(shè)垂足為C，連接BC(圖略)．由于AB⊥β，則△ABC為直角三角形，∠ACB就是銳二面角α-l-β的平面角．sin∠ACB＝eq\f(\r(3),2)，因此∠ACB＝60°，即二面角α-l-β的平面角是60°.答案：60°[能力提升]1．設(shè)a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列四種說(shuō)法：①若a⊥b，a⊥α，則b∥α；②若a∥α，β⊥α，則a∥β；③若a⊥β，β⊥α，則a∥α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，則β⊥α.其中正確的個(gè)數(shù)是()A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)解析：①中可能b∥α或b?α；②中可能有a∥β，a?β或a與β相交；③中可能a∥α，或a?α；④正確．答案：B2．(2016·吉林一中)在空間四邊形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，則△ABC是()A．直角三角形 B．等腰三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形解析：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BD于點(diǎn)H，由平面ABD⊥平面BCD，得AH⊥平面BCD，則AH⊥BC.又DA⊥平面ABC，所以BC⊥AD，所以BC⊥平面ABD，所以BC⊥AB，即△ABC為直角三角形．故選A.答案：A3．已知α-l-β是直二面角，A∈α，B∈β，A，B?l，設(shè)直線AB與α、β所成的角分別為θ1，θ2，則()A．θ1＋θ2＝90° B．θ1＋θ2≥90°C．θ1＋θ2≤90° D．θ1＋θ2<90°解析：如圖，作AC⊥l于點(diǎn)C，BD⊥l于點(diǎn)D，則∠BAD＝θ1，∠ABC＝θ2，由最小角原理知，θ2＝∠ABC≤∠ABD，而∠ABD＋∠BAD＝90°，∴θ1＋θ2≤90°.答案：C4．如圖，在三棱錐P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是所在棱的中點(diǎn)，則下面結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A．平面EFG∥平面PBCB．平面EFG⊥平面ABCC．∠BPC是直線EF與直線PC所成的角D．∠FEG是平面PAB與平面ABC所成二面角的平面角解析：平面PAB與平面ABC交于AB，由于GE，EF未必與棱AB垂直，故不一定是二面角的平面角．答案：D5．已知m、l是直線，α、β是平面，給出下列命題：(1)若l垂直于α內(nèi)兩條相交直線，則l⊥α；(2)若l平行于α，則l平行于α內(nèi)的所有直線；(3)若m?α，l?β，且l⊥m，則α⊥β；(4)若l?β，且l⊥α，則α⊥β；(5)若m?α，l?β，且α∥β，則l∥m.其中正確的命題的序號(hào)是()A．(1)(2) B．(2)(3)C．(1)(3) D．(1)(4)解析：命題(1)是線面垂直的判定定理，所以正確；命題(2)，l∥α，但l不能平行于α內(nèi)所有直線；命題(3)，l⊥m，不能保證l⊥α，即分別包含l與m的平面α、β可能平行也可能相交而不垂直；命題(4)，為面面垂直的判定定理，所以正確；命題(5)，α∥β，但分別在α、β內(nèi)的直線l與m可能平行，也可能異面．答案：D6.(2016·江西省南昌三中月考)如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)C在圓周上(異于A，B兩點(diǎn))，直線PA垂直于圓O所在的平面，點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAB；④平面PAC⊥平面PBC.其中正確的結(jié)論是________．(填序號(hào))解析：由題意可知PA在平面MOB內(nèi)，所以①不正確；因?yàn)镸為線段PB的中點(diǎn)，OA＝OB，所以O(shè)M∥PA，又OM不在平面PAC內(nèi)，所以MO∥平面PAC，②正確；當(dāng)OC與AB不垂直時(shí)，推不出OC⊥平面PAB，所以③不正確；因?yàn)锳B是直徑，所以BC⊥AC，又PA垂直于圓O所在的平面，所以PA⊥BC，所以BC⊥平面PAC，而B(niǎo)C?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC，所以④正確．綜上所述，正確的結(jié)論是②④.答案：②④7．三棱錐P-ABC的兩個(gè)側(cè)面△PAB與△PBC都是邊長(zhǎng)為a的正三角形且AC＝eq\r(2)a.則平面ABC與平面PAC的位置關(guān)系是________．解析：如圖，取AC的中點(diǎn)O，連接PO、OB，由題意知PO⊥AC，PO＝eq\f(\r(2),2)a，PB＝a，OB＝eq\f(\r(2),2)a，∴PB2＝PO2＋OB2，∴PO⊥OB，∴PO⊥平面ABC，又∵PO?平面PAC，∴平面ABC⊥平面PAC.答案：垂直8.如圖，正方形BCDE的邊長(zhǎng)為a，已知AB＝eq\r(3)BC，將Rt△ABE沿BE邊折起，點(diǎn)A在平面BCDE上的射影為點(diǎn)D，在翻折后的幾何體中有如下結(jié)論：①AB與DE所成角的正切值是eq\r(2)；②AB∥CD；③平面EAB⊥平面ADE；④直線BA與平面ADE所成角的正弦值為eq\f(\r(3),3).其中正確的結(jié)論有________．(填序號(hào))解析：由題意可得翻折后的幾何體如圖所示．對(duì)于①，因?yàn)锽C∥DE，所以∠ABC即為AB與DE所成的角，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝eq\r(2)a，BC＝a，所以tan∠ABC＝eq\r(2)，故①正確；②明顯錯(cuò)誤；對(duì)于③，因?yàn)锳D⊥平面BCDE，所以AD⊥BE，又因?yàn)镈E⊥BE，所以BE⊥平面ADE，所以平面EAB⊥平面ADE，故③正確；對(duì)于④，易知∠BAE即為直線BA與平面ADE所成的角，在△ABE中，∠AEB＝90°，AB＝eq\r(3)a，BE＝a，所以sin∠BAE＝eq\f(\r(3),3)，故④正確．答案：①③④9．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)(點(diǎn)D不同于點(diǎn)C)，且AD⊥DE，F(xiàn)為B1求證：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直線A1F∥證明：(1)因?yàn)锳BC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又AD?平面ABC，所以CC1⊥又因?yàn)锳D⊥DE，CC1，DE?平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1，又AD?平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因?yàn)锳1B1＝A1C1，F(xiàn)為B1C所以A1F⊥B1C因?yàn)镃C1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1所以CC1⊥A1F又因?yàn)镃C1，B1C1?平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C所以A1F⊥平面BCC1B1由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥又AD?平面ADE，A1F?所以A1F∥10．(2015·山東節(jié)選)如圖，在三棱臺(tái)DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H分別為AC，BC的中點(diǎn)．若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF＝DE，∠BAC＝45°，求平面FGH與平面ACFD所成的角(銳角)的大小．解：作HM⊥AC于點(diǎn)M，作MN⊥GF于點(diǎn)N，連接NH.由FC⊥平面ABC，得HM⊥FC，又FC∩AC＝C，所以HM⊥平面ACFD.因此GF⊥NH，所以∠MNH即為所求的角．在△BGC中，MH∥BG，MH＝eq\f(1,2)