2018年高考數(shù)學(xué)全國1卷第12題出處及變式

1.208全國1卷理科第12題——對正方體結(jié)構(gòu)的認知和運用+截面面積計算1（2018全國1卷理科第12題）已知正方體的棱長為1每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為（ ）A．334

B．233

C．324

D．32【解析】注意到正方體12條棱分為三組平行的棱，則只需與共頂點的三條棱所成角相等即可，注意到正方體的結(jié)構(gòu)，則平面應(yīng)為圖1中所示，所以只需由圖中平面平移即可。最大面積截面如圖2所示，，故本題正確答案為A。變式（1994全國聯(lián)賽填空題第5題已知一平面與一正方體的12條棱的夾角都等于，則sn= 【解析】如上圖1，頂點到平面ABC的距離為體對角線的1，則sin3

3a3 3.a 3變式：（2004湖南數(shù)學(xué)競賽第8題）過正方體ABCD111的對角線B1的截面面積為S，則Smax的值為（ ）Smin3 6 23 26A. B. C. D.2 2 3 3【解析】如圖，因為正方體對面平行，所以截面BE1F為平行四邊形，則11S2SBED1

22

B1h此時E到B1的最小值為C1與B1的距離即當E為中點時，h

2a（a為正方體棱長，S

21

a

2a

6a2又因為S 為min 2

min 2 2 2

max四邊形B11F的面積，選C.變式（2005全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第4題在正方體D'B'C'D'中任作平面與對角線C'垂直，使得與每個面都有公共點，記這樣得到的截面多邊形的面積為S，周長為l，則（）A.S為定值，l不為定值 B.S不為定值，l為定值C.S與l均為定值 D.S與l均不為定值【解析】選B，將正方體切去兩個正三棱錐A'BD與CD'B'C后,得到一個以平行平面'BD與D'B'C為上下底面的幾何體V,V的每個側(cè)面都是等腰直角三角形截面多邊形W的每一條邊分別與V的底面上的一條邊平行,將V的側(cè)面沿棱'B'剪開,展平在一張平面上,得到一個平行四邊形'B'11,如圖而多邊形W的周界展開后便成為一條與'1平行的線段(如圖中E'1,顯然E'1'A,故l為定值.當E位于'B'中點時,多邊形W為正六邊形,而當E'移至A處時,W為正三角形易知周長為定值l的正六邊形與正三角形面積分別為

3l2與24

3l2,故S不為定值.36變式4：在長方體ABCD1111中，ABAD,A12，過點1作平面與1AB,AD分別交于M,N兩點，若AA與平面所成角為450，則截面面積的最小值 ．1解析：過A作N的垂線，垂足為T，第一步：尋找T的軌跡：T的軌跡是平面D內(nèi)，以A為圓心，2為半徑的圓法一（直觀感知作出線面角并證明連接T因為A1MN所以N平面AT，0過A作T的垂線垂足為Q易證AQ平面1MN所以AT450

則AT2。1法二（運動變化的觀點探求軌跡問題作一個以AA為軸母線與對稱軸所成角為450的1圓錐，過任意一條母線作圓錐的切面1MN，與平面D的交線為N，則AT2。第二步：求最值法一（注意運動中的不變性因為T2

2為定值且TMN則要求截面面積的最小值，只需求N 的最小值，

AT2MTNT4

，所以MNMTTN2TT。

MTTN

4則S

MN

1422

24

2等號成立當且僅當1法二：（利用二面角實現(xiàn)面積的轉(zhuǎn)化）切面AMN與平面D所成角為450，由射影面1積法知cos450

SAMN1SAMN1

所以S

MN

2SAMN

21MNAT2111

2MN4211法三（等體積法實現(xiàn)面積的轉(zhuǎn)化由VA1

AMN

VA

AMN得

SAMN3

A1

3SMN

d，1因為線面角為450，所以dAA1

sin450，所以S

MN

2S

AMN

，同上。法四：（類比勾股定理）設(shè)切點Tx0,y0，則切線N方程為x0xy0y4，則求得4

4M ,0,M,

類比直角三角的勾股定理猜想截面的平方等于三角直角面的平方x0

y0

64 16 16

64

16x2y2

128和，從而把截面面積的平方化為

x2y2

x2 y2

x2y2

0 0x2y2

x2y200 0 0 00 00 002 2因為x0y0

42x0y0，即0x0y02，128所以面積平方的最小值為 32，面積是最小為424變式已知正四面體D的棱長為2

6四個頂點都在球心為O的球面上P為棱BC的中點，過點P作求O的截面，則截面面積的最小值為 【解析當截面與PO垂直時面積最小設(shè)截面半徑為

OA2OP2

PA

6答案為變式6棱長為2的正方體ABCD1111中，E為棱AD的中點，過1點，且與平面1BE平行的正方體截面的面積為（ ）A.5 B.25

C.26

D.6【分析對正方體結(jié)構(gòu)和截面的認知根據(jù)平行作圖得到一個菱形對角線分別為面對角線和體對角線，選C.變式在一個密封的容積為1的透明正方體容器內(nèi)裝有部分液體如果任意轉(zhuǎn)動該正方體，液面的形狀都不可能是三角形，那么液體體積的取值范圍是 .解析：如圖，正方體ABC-EFH，此時若要使液面不為三角形，則液面必須高于平面EH，且低于平面AFC． 可以求出液體取值范圍為1,566【點評】在運動變化中，空間想象能力得到了很好的考查。拓展點M為正方體ABCD111的內(nèi)切球O球面上的動點點N為1上一點，2N1N1,MBN若球O的