2024年初中升學考試專題復習數(shù)學總復習（按知識點分類）翻折變換

翻折變換（折疊問題）45．（2023?通遼）綜合與實踐課上，老師讓同學們以“正方形的折疊”為主題開展數(shù)學活動，有一位同學操作過程如下：操作一：對折正方形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；操作二：在AD上選一點P，沿BP折疊，使點A落在正方形內(nèi)部點M處，把紙片展平，連接PM，BM，延長PM交CD于點Q，連接BQ．（1）如圖1，當點M在EF上時，∠EMB＝30度；（2）改變點P在AD上的位置（點P不與點A，D重合）如圖2，判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．?【答案】（1）30；（2）∠MBQ＝∠CBQ，理由見解答過程．【分析】（1）由折疊可得AE＝BE=12AB，∠AEM＝∠BEM＝90°，AB＝BM，故BE=12（2）證明Rt△BMQ≌Rt△BCQ（HL），可得∠MBQ＝∠CBQ．【解答】解：（1）由折疊可得：AE＝BE=12AB，∠AEM＝∠BEM＝90°，AB＝∴BE=12∴∠EMB＝30°；故答案為：30；（2）∠MBQ＝∠CBQ，理由如下：∵在AD上選一點P，沿BP折疊，使點A落在正方形內(nèi)部點M處，∴AB＝BM，∠A＝∠BMP＝90°，∴BC＝AB＝BM，∠BMQ＝∠C＝90°，∵BM＝BM，∴Rt△BMQ≌Rt△BCQ（HL）；∴∠MBQ＝∠CBQ．【點評】本題考查正方形中的折疊問題，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)和正方形性質(zhì)．翻折變換（折疊問題）47．（2023?赤峰）如圖，把一個邊長為5的菱形ABCD沿著直線DE折疊，使點C與AB延長線上的點Q重合，DE交BC于點F，交AB延長線于點E，DQ交BC于點P，DM⊥AB于點M，AM＝4，則下列結(jié)論：①DQ＝EQ，②BQ＝3，③BP=158，④BD∥A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④【答案】A【分析】由折疊性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得∠QDF＝∠CDF＝∠QEF，根據(jù)等角對等邊即可判斷①正確；根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出MQ＝AM＝4，再求出BQ即可判斷②正確；由△CDP∽△BQP得CPBP=CDBQ=53，求出BP【解答】解：由折疊性質(zhì)可知：∠CDF＝∠QDF，CD＝DQ＝5，∵CD∥AB，∴∠CDF＝∠QEF．∴∠QDF＝∠QEF．∴DQ＝EQ＝5．故①正確；∵DQ＝CD＝AD＝5，DM⊥AB，∴MQ＝AM＝4．∵MB＝AB－AM＝5－4＝1，∴BQ＝MQ－MB＝4－1＝3．故②正確；∵CD∥AB，∴△CDP∽△BQP．∴CPBP∵CP＋BP＝BC＝5，∴BP=38BC=∵CD∥AB，∴△CDF∽△BEF．∴DFEF∴EFDE∵QEBE∴EFDE∴△EFQ與△EDB不相似．∴∠EQF≠∠EBD．∴BD與FQ不平行．故④錯誤；故選：A．【點評】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識，屬于選擇壓軸題，有一定難度，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．翻折變換（折疊問題）50．（2023?吉林）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＜AC．點D，E分別在邊AB，BC上，連接DE，將△BDE沿DE折疊，點B的對應點為點B′，若點B′剛好落在邊AC上，∠CB'E＝30°，CE＝3，則BC的長為9．?【答案】9．【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出B'E＝BE，＝2CE＝6即可求解．【解答】解：∵將△BDE沿DE折疊，點B的對應點為點B′，若點B′剛好落在邊AC上，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＜AC，∠CB'E＝30°，CE＝3，∴B'E＝BE＝2CE＝6，∴BC＝CE＋BE＝3＋6＝9．故答案為：9．【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)熟練掌握以上性質(zhì)是解題關(guān)鍵．翻折變換（折疊問題）44．（2023?南充）如圖，在等邊△ABC中，過點C作射線CD⊥BC，點M，N分別在邊AB，BC上，將△ABC沿MN折疊，使點B落在射線CD上的點B′處，連接AB′，已知AB＝2．給出下列四個結(jié)論：①CN+NB′為定值；②當BN＝2NC時，四邊形BMB′N為菱形；③當點N與C重合時，∠AB′M＝18°；④當AB′最短時，MN=72120．其中正確的結(jié)論是【考點】翻折變換（折疊問題）；等邊三角形的性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)．【分析】根據(jù)將△ABC沿MN折疊，使點B落在射線CD上的點B′處，得NB＝NB'，故CN+NB'＝CN+NB＝BC，判斷①正確；由cos∠B'NC=NCB'N=12，得∠B'NC＝60°，可得△BMN是等邊三角形，即可得B'M＝BM＝BN＝B'N，判斷②正確；當點N與C重合時，可得∠B'AC＝∠AB'C＝75°，∠AB'M＝∠AB'C﹣∠MB'C＝15°，判斷③錯誤；當AB′最短時，∠AB'C＝90°，過M作KT⊥BC于T，交B'A延長線于K，設BN＝B'N＝x，有x2＝（2﹣x）2+（3）2，可求得BN=74，設AM＝y(tǒng)，則BM＝2﹣y＝B'M，AK=12y，KM=32y，有（1+12y）2+（32y）2＝（2﹣y）2，可求出AM=35，BM=75，在Rt△BMT中，BT=12BM=【解答】解：∵將△ABC沿MN折疊，使點B落在射線CD上的點B′處，∴NB＝NB'，∴CN+NB'＝CN+NB＝BC，∵△ABC是等邊三角形，AB＝2，∴BC＝2，∴CN+NB'＝BC＝2，故①正確；∵BN＝2NC，∴B'N＝2NC，∵CD⊥BC，∴∠B'CN＝90°，∴cos∠B'NC=NC∴∠B'NC＝60°，∴∠BNB'＝120°，∵將△ABC沿MN折疊，使點B落在射線CD上的點B′處，∴∠BNM＝∠MNB'＝60°，BM＝B'M，BN＝B'N，∵∠B＝60°，∴△BMN是等邊三角形，∴BM＝BN，∴B'M＝BM＝BN＝B'N，∴四邊形BMB′N為菱形；故②正確；當點N與C重合時，如圖：∵∠ACB＝60°，∠DCB＝90°，∴∠ACD＝30°，∵將△ABC沿MN折疊，使點B落在射線CD上的點B′處，∴AC＝BC＝B'C，∠MB'C＝∠B＝60°，∴∠B'AC＝∠AB'C＝（180°﹣30°）÷2＝75°，∴∠AB'M＝∠AB'C﹣∠MB'C＝75°﹣60°＝15°，故③錯誤；當AB′最短時，∠AB'C＝90°，過M作KT⊥BC于T，交B'A延長線于K，如圖：∵∠ACB'＝∠BCB'﹣∠BCA＝30°，∴AB'=12AC＝1，B'C=3AB'=3，∠設BN＝B'N＝x，則CN＝2﹣x，在Rt△B'CN中，B'N2＝CN2+B'C2，∴x2＝（2﹣x）2+（3）2，解得x=7∴BN=7∵∠AB'C＝90°＝∠BCB'，∴AB'∥BC，∴KT⊥AB'，∴∠K＝90°，∵∠KAM＝180°﹣∠BAC﹣∠B'AC＝60°，∴∠KMA＝30°，∴AK=12AM，KM=設AM＝y(tǒng)，則BM＝2﹣y＝B'M，AK=12y，KM=∴B'K＝AB'+AK＝1+12在Rt△B'KM中，B'K2+KM2＝B'M2，∴（1+12y）2+（32y）2＝（2﹣y解得y=3∴AM=35，BM在Rt△BMT中，∠B＝60°，∴BT=12BM=710，MT∴NT＝BN﹣BT=7在Rt△MNT中，MN=NT2∴正確的有①②④，故答案為：①②④．【點評】本題考查等邊三角形中的翻折問題，涉及含30°角的直角三角形三邊的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．翻折變換（折疊問題）49．（2023?涼山州）如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的中線，將△ACD沿CD折疊，當點A落在點A′處時，恰好CA′⊥AB，若BC＝2，則CA′＝23．【考點】翻折變換（折疊問題）；直角三角形斜邊上的中線．【分析】由∠ACB＝90°，CD是AB邊上的中線，可得∠A＝∠ACD，由翻折的性質(zhì)可知∠ACD＝∠A'CD，AC＝CA'，故∠A＝∠ACD＝∠A'CD，而A'C⊥AB，即得∠A＝∠ACD＝∠A'CD＝30°，在Rt△ABC中，tan30°=2AC，可解得【解答】解：設CA'交AB于O，如圖：∵∠ACB＝90°，CD是AB邊上的中線，∴CD＝AD＝DB，∴∠A＝∠ACD，由翻折的性質(zhì)可知∠ACD＝∠A'CD，AC＝CA'，∴∠A＝∠ACD＝∠A'CD，∵A'C⊥AB，∴∠AOC＝90°，∴∠A'CD+∠ACD+∠A＝90°，∴∠A＝∠ACD＝∠A'CD＝30°，在Rt△ABC中，tanA=BC∴tan30°=2∴AC＝23，∴CA'＝23，故答案為：23．【點評】本題考查直角三角形中的翻折問題，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)，熟練掌握含30°角的直角三角形三邊的關(guān)系．翻折變換（折疊問題）48．（2023?武威）如圖，將矩形紙片ABCD對折，使邊AB與DC，BC與AD分別重合，展開后得到四邊形EFGH．若AB＝2，BC＝4，則四邊形EFGH的面積為（）A．2 B．4 C．5 D．6【考點】翻折變換（折疊問題）；矩形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】由折疊可知∠AGE＝∠BGE＝90°，AG＝BG，∠AFH＝∠DFH＝90°，AF＝DF，由同旁內(nèi)角互補，兩直線平行得AD∥GE⊥BC，AB∥FH∥CD，由平行線的性質(zhì)可得FH⊥GE，GE＝BC＝4，F(xiàn)H＝AB＝2，OF＝OH，OG＝OE，再根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形為菱形可知四邊形EFGH為菱形，最后利用菱形的面積公式計算即可求解．【解答】解：如圖，設EG與FH交于點O，∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，AB∥CD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，∠AGE＝∠BGE＝90°，AG＝BG，∠AFH＝∠DFH＝90°，AF＝DF，∴AD∥GE⊥BC，AB∥FH∥CD，∴FH⊥GE，GE＝BC＝4，F(xiàn)H＝AB＝2，OF＝OH，OG＝OE，∴四邊形EFGH為菱形，∴S菱形EFGH=1故選：B．【點評】本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、菱形的判定、菱形的面積公式，熟知折疊的性質(zhì)和菱形的判定方法是解題關(guān)鍵．翻折變換（折疊問題）41．（2023?成都）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于點D，過D作DE∥BC交AC于點E，將△DEC沿DE折疊得到△DEF，DF交AC于點G．若AGGE=73，則tanA＝【考點】翻折變換（折疊問題）；解直角三角形；平行線的性質(zhì)．【分析】過點G作GM⊥DE于M，證明△DGE∽△CGD，得出DG2＝GE×GC，根據(jù)AD∥GM，得AGEG=DMEM=73，設GE＝3k，AG＝7k，EM＝3n，DM＝7n，則EC＝DE＝10n，在Rt△DGM中，GM2＝DG2﹣DM2，在Rt△GME中GM2＝GE2﹣EM2，則DG2﹣DM2＝GE2﹣EM2，解方程求得n=34k，則【解答】解：過點G作GM⊥DE于M，如圖，∵CD平分∠ACB交AB于點D，DE∥BC，∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴ED＝EC，∵將△DEC沿DE折疊得到△DEF，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠4，又∵∠DGE＝∠CGD，∴△DGE∽△CGD，∴DGCG∴DG2＝GE×GC，∵∠ABC＝90°，DE∥BC，∴AD⊥DE，∴AD∥GM，∴AGGE=DMEM，∠∵AGGE∴DMEM設GE＝3k，EM＝3n，則AG＝7k，DM＝7n，∴EC＝DE＝10n，∴DG2＝GE×GC＝3k×（3k+10n）＝9k2+30kn，在Rt△DGM中，GM2＝DG2﹣DM2，在Rt△GME中，GM2＝GE2﹣EM2，∴DG2﹣DM2＝GE2﹣EM2，即9k2+30kn﹣（7n）2＝（3k）2﹣（3n）2，解得：n=34∴EM=94∵GE＝3k，∴GM=GE∴tanA＝tan∠EGM=EM故答案為：37【點評】本題考查了求正切，折疊的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．翻折變換（折疊問題）50．（2023?邵陽）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD=7，動點P在矩形的邊上沿B→C→D→A運動．當點P不與點A、B重合時，將△ABP沿AP對折，得到△AB′P，連接CB'，則在點P的運動過程中，線段CB′的最小值為11??【答案】11?【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出B'在A為圓心，2為半徑的弧上運動，進而分類討論當點P在BC上時，當點P在DC．上時，當P在AD．上時，即可求解．【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝2，AD=7∴BC＝AD=7，AC=如圖所示，當點P在BC．上時，∵AB'＝AB＝2，.∴B'在A為圓心，2為半徑的弧上運動，當A，B'，C三點共線時，CB最短，此時CB'＝AC﹣AB'=11當點P在DC．上時，如圖所示，此時CB'＞11當P在AD上時，如圖所示，此時CB'＞11綜上所述，CB'的最小值為11?故答案為：11?【點評】本題考查了矩形與折疊問題，圓外一點到圓上的距離的最值問題，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．51．（2023?隨州）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是邊AB上一動點（不含端點），將△ADM沿直線DM對折，得到△NDM．當射線CN交線段AB于點P時，連接DP，則△CDP的面積為10；DP的最大值為25．【答案】10，25，【分析】△CDP的面積直接以CD為底，AD為高即可求；當點P和M重合時，DP的值最大，畫出圖形，利用勾股定理構(gòu)造方程即可解答．【解答】解：△CDP的面積為12當點P和M重合時，DP的值最大，如圖；設AP＝x，則PB＝5﹣x，DN＝4，∴CN＝3，在Rt△PBC中，根據(jù)勾股定理有：（5﹣x）2+42＝（x+3）2，解得x＝2，∴DP＝25，故答案為：10，25，【點評】本題考查矩形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)及勾股定理，熟悉性質(zhì)是解題關(guān)鍵．翻折變換（折疊問題）46．（2023?宜昌）如圖，小宇將一張平行四邊形紙片折疊，使點A落在長邊CD上的點A處，并得到折痕DE，小宇測得長邊CD＝8，則四邊形A'EBC的周長為16．【答案】16．【分析】可證∠ADE＝∠AED，得到AD＝AE，再證四邊形A′EBC是平行四邊形，可得四邊形A'EBC的周長＝2（A′C+A′E），即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∠AED＝∠A′ED，由折疊得∠ADE＝∠A′DE，AD＝A′D，AE＝A′E，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴AD＝AE＝A′D＝A′E，∴AB﹣BE＝CD﹣A′D，∴A′C＝BE，∴四邊形A′EBC是平行四邊形，∴四邊形A'EBC的周長＝2（A′C+A′E）＝2（A′C+A′D）＝2CD＝16．故答案為：16．【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，折疊的性質(zhì)，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．翻折變換（折疊問題）46．（2023?廣西）【探究與證明】折紙，操作簡單，富有數(shù)學趣味，我們可以通過折紙開展數(shù)學探究，探索數(shù)學奧秘．【動手操作】如圖1，將矩形紙片ABCD對折，使AD與BC重合，展平紙片，得到折痕EF：折疊紙片，使點B落在EF上，并使折痕經(jīng)過點A，得到折痕AM，點B，E的對應點分別為B'E展平紙片，連接AB'，BB'，BE′．請完成：（1）觀察圖1中∠1，∠2和∠3，試猜想這三個角的大小關(guān)系；（2）證明（1）中的猜想；【類比操作】如圖2，N為矩形紙片ABCD的邊AD上的一點，連接BN，在AB上取一點P，折疊紙片，使B，P兩點重合，展平紙片，得到折痕EF；折疊紙片，使點B，P分別落在EF，BN上，得到折痕l，點B，P的對應點分別為B′，P′，展平紙片，連接BB′，P′B′．請完成：（3）證明BB′是∠NBC的一條三等分線．【答案】（1）∠1＝∠2＝∠3；（2）證明過程詳見解答；（3）證明過程詳見解答．【分析】（1）猜想∠1＝∠2＝∠3；（2）可推出點O是等邊三角形ABB′的外心，從而得出∠1＝∠2＝30°，進一步得出結(jié)論；（3）同理（2）可得OB＝OB′＝OP＝OP′，BP′＝PB′＝BB′，從而∠P′BO＝∠B′BO，∠OBB′＝∠BB′O，根據(jù)EF∥BC得出∠OB′B＝∠B′BC，進一步得出結(jié)論．【解答】（1）解：∠1＝∠2＝∠3；（2）證明：如圖1，設AM，EF交于點O，由題意得：EF是AB的垂直平分線，AM是BB′的垂直平分線，AB＝AB′，∴AB′＝BB′，OA＝OB＝OB′，∴AB′＝BB′＝AB，O為外心，∴∠ABB′＝60°，∴∠1＝∠2＝30°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠3＝90°﹣60°＝30°，∴∠1＝∠2＝∠3；（3）證明：如圖2，同理（2）得：OB＝OB′＝OP＝OP′，BP′＝PB′＝BB′，∴∠P′BO＝∠B′BO，∠OBB′＝∠BB′O，∵EF∥BC，∴∠OB′B＝∠B′BC，∴∠P′BO＝∠B′BO＝∠B′BC，∴BB′是∠NBC的一條三等分線．【點評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對稱的性質(zhì)．翻折變換（折疊問題）18．（2023?湖北）如圖，將邊長為3的正方形ABCD沿直線EF折疊，使點B的對應點M落在邊AD上（點M不與點A，D重合），點C落在點N處，MN與CD交于點P，折痕分別與邊AB，CD交于點E，F(xiàn)，連接BM．（1）求證：∠AMB＝∠BMP；（2）若DP＝1，求MD的長．【答案】（1）證明過程見詳解；（2）MD=12【分析】（1）利用平行線內(nèi)錯角相等和翻折前后對應角相等，等量代換即可證明；（2）利用相似列出關(guān)系式DPAM【解答】（1）證明：點B、M關(guān)于線段EF對稱，由翻折的性質(zhì)可知：∠MBC＝∠BMP，∵ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠MBC＝∠AMB，∴∠AMB＝∠BMP（等量代換）．（2）解：設MD＝x，則AM＝3﹣x，設AE＝y(tǒng)，則EM＝EB＝3﹣y．在Rt△AEM中，AE2+AM2＝EM2，∴y2+（3﹣x）2＝（3﹣y）2，∴y=?16x2+x．即AE=?1∵∠ABC＝∠EMN＝90°，∴∠AME+∠DMP＝90°，又∵∠AEM+∠AME＝90°，∴∠AEM＝∠DMP，∠A＝∠D，∴△AEM∽△DMP．∴DPAM=MD整理得：56∴x=12∴MD=12【點評】本題考查了翻折的性質(zhì)以及相似三角的判定，勾股定理的應用，掌握一線三垂直的相似是本題突破的關(guān)鍵．翻折變換（折疊問題）26．（2023?深圳）如圖，在△ABC中，AB＝AC，tanB=34，點D為BC上一動點，連接AD，將△ABD沿AD翻折得到△ADE，DE交AC于點G，GE＜DG，且AG：CG＝3：1，則S三角形AGES【答案】4975【分析】過點A作AF⊥BC于點F，過點A作AH⊥DE于點H，由折疊易得AF＝AH，AB＝AE，BF＝EH，CG＝a，則AG＝3a，于是AB＝AC＝AE＝4a，在Rt△ABF中，利用tanB=34可求出AH＝AF=125a，BF＝EH=165a，在Rt△AGH中，利用勾股定理求出GH=95a，以此求出EG=【解答】解：如圖，過點A作AF⊥BC于點F，過點A作AH⊥DE于點H，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，∠B＝∠E，AF＝AH，AB＝AE，BF＝EH，∴∠E＝∠C，設CG＝a，則AG＝3a，∴AB＝AC＝AE＝4a，在Rt△ABF中，tanB=AF∴BF=43∴(4解得：AF=125a或∴AH＝AF=125a，BF＝在Rt△AGH中，GH=A∴EG＝EH﹣GH=16∵∠AGE＝∠DGC，∠E＝∠C，∴△AEG∽△DCG，∴AGDG=EG∴DG=15∴EGDG∴S三角形AGE故答案為：4975【點評】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、解直角三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，解題關(guān)鍵是將兩三角形的面積比轉(zhuǎn)化為兩條線段的比，再利用相似三角形解決問題．27．（2023?黑龍江）矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，將矩形ABCD沿過點A的直線折疊，使點B落在點E處，若△ADE是直角三角形，則點E到直線BC的距離是6或3+22或3﹣22．【答案】6或3+22或3﹣22．【分析】由折疊的性質(zhì)可得點E在以點A為圓心，AB長為半徑的圓上運動，延長BA交圓A的另一側(cè)于點E，則此時△ADE是直角三角形，易得點E到直線BC的距離；當過點D的直線與圓相切于點E時，△ADE是直角三角形，分兩種情況討論即可求解．【解答】解：由題意矩形ABCD沿過點A的直線折疊，使點B落在點E處，可知點E在以點A為圓心，AB長為半徑的圓上運動，如圖1，延長BA交OA的另一側(cè)于點E，則此時△ADE是直角三角形，點E到直線BC的距離為BE的長度，即BE＝2AB＝6；當過點D的直線與圓相切于點E時，△ADE是直角三角形，分兩種情況：①如圖2，過點E作EH⊥BC交BC于點H，交AD于點G，∵四邊形ABCD是矩形，∴EG⊥AD，∴四邊形ABHG是矩形，∴GH＝AB＝3，∵AE＝AB＝3，AE⊥DE，AD＝9，由勾股定理可得DE=92?∵S△AED=12AE?DE=12∴EG＝22，∴E到直線BC的距離EH＝EG+GH＝3+22；②如圖3，過點E作EN⊥BC交BC于點N，交AD于點M，∵四邊形ABCD是矩形，∴NM⊥AD，∴四邊形ABNM是矩形，∴MN＝AB＝3，∵AE＝AB＝3，AE⊥DE，AD＝9，由勾股定理可得DE=92?∵S△AED=12AE?DE=12∴EM＝22，∴E到直線BC的距離EN＝MN﹣GN＝3﹣22；綜上，點E到直線BC的距離是6或3+22或3﹣22，故答案為：6或3+22或3﹣22．【點評】本題考查了矩形的折疊問題，切線的應用，以及勾股定理，找到點E的運動軌跡是解題的關(guān)鍵．翻折變換（折疊問題）43．（2023?齊齊哈爾）矩形紙片ABCD中，AB＝3，BC＝5，點M在AD邊所在的直線上，且DM＝1，將矩形紙片ABCD折疊，使點B與點M重合，折痕與AD，BC分別交于點E，F(xiàn)，則線段EF的長度為352或15【答案】352或【分析】分點M在D點右邊與左邊兩種情況，分別畫出圖形，根據(jù)勾股定理，銳角三角函數(shù)即可求解．【解答】解：設BM，EF交于點O，∵將矩形紙片ABCD折疊，使點B與點M重合，折痕與AD，BC分別交于點E，F(xiàn)，∴OM＝OB，EF⊥BM，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠M＝∠OBF，∠MEO＝∠BFO，又OM＝OB，∴△OEM≌△OFB（AAS），∴OE＝OF，①當M點在D點的右側(cè)時，如圖所示，∵BC＝5，DM＝1，∴AM＝AD+DM＝BC+DM＝6，Rt△ABM中，BM=AM2∴OM=12BM∵tanM=EO∴EO3∴EO=3∴EF＝2EO=3當M點在D點的左側(cè)時，如圖所示，∵AB＝3，BC＝5，DM＝1，∴BM=A∴OM=12BM∵tan∠EMO=EO∴EO5∴EO=15∴EF＝2EO=15綜上所述，EF的長為352或故答案為：352或【點評】本題考查矩形中的折疊問題，涉及勾股定理，銳角三角函數(shù)等知識，分類討論是解題的關(guān)鍵．44．（2023?黑龍江）矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，將矩形ABCD沿過點A的直線折疊，使點B落在點E處，若△ADE是直角三角形，則點E到直線BC的距離是6或3+22或3﹣22．【答案】6或3+22或3﹣22．【分析】由折疊的性質(zhì)可得點E在以點A為圓心，AB長為半徑的圓上運動，延長BA交圓A的另一側(cè)于點E，則此時△ADE是直角三角形，易得點E到直線BC的距離；當過點D的直線與圓相切于點E時，△ADE是直角三角形，分兩種情況討論即可求解．【解答】解：由題意矩形ABCD沿過點A的直線折疊，使點B落在點E處，可知點E在以點A為圓心，AB長為半徑的圓上運動，如圖1，延長BA交OA的另一側(cè)于點E，則此時△ADE是直角三角形，點E到直線BC的距離為BE的長度，即BE＝2AB＝6；當過點D的直線與圓相切于點E時，△ADE是直角三角形，分兩種情況：①如圖2，過點E作EH⊥BC交BC于點H，交AD于點G，∵四邊形ABCD是